高中函数试题

高中函数试题
1. 题目一：
已知函数 f(x) = x^2 + 4x + 3，求解以下问题：
a) 求 f(x) = 0 的解；
b) 求函数 f(x) 的极值点；
c) 求函数 f(x) 的单调递增区间。

解答：
a) 将 f(x) = 0 转化为 x^2 + 4x + 3 = 0 的一元二次方程。

通过使用求根公式或配方法，可以求得方程的解为 x = -1 或 x = -3。

b) 函数 f(x) 是一个二次函数，其抛物线开口向上，因此函数在抛物
线的顶点处取得极小值。

通过求导并令导数等于0，可以求得 f'(x) = 2x + 4，令其等于0，得
到 x = -2。

所以，函数 f(x) 的极值点为 x = -2。

c) 函数 f(x) 的一阶导数为 f'(x) = 2x + 4。

由于导数大于0时函数单
调递增，小于0时函数单调递减。

将 f'(x) > 0 转化为 2x + 4 > 0，解得 x > -2。

将 f'(x) < 0 转化为 2x + 4 < 0，解得 x < -2。

因此，函数 f(x) 的单调递增区间为 (-∞, -2)。

2. 题目二：
已知函数 g(x) = sin(x) + cos(x)，求解以下问题：
a) 求 g(x) = 0 的解；
b) 分析函数 g(x) 的周期性；
c) 判断函数 g(x) 是否具有对称性。

解答：
a) 将 g(x) = 0 转化为 sin(x) + cos(x) = 0。

经过简化，可将其转化为 sin(x) = -cos(x)。

根据三角函数的性质，可以得出x = (2n + 1)π/4，其中 n 为整数。

b) 函数 g(x) 的周期是由 sin(x) 的周期2π 决定的。

因此，函数 g(x) 的周期为2π。

c) 要判断函数 g(x) 是否具有对称性，需要分别分析 sin(x) 和 cos(x) 的对称性。

sin(x) 是奇函数，具有关于原点对称性，即 sin(-x) = -sin(x)。

cos(x) 是偶函数，具有关于 y 轴对称性，即 cos(-x) = cos(x)。

因此，函数 g(x) 不具有对称性。

综上所述，根据函数 g(x) = sin(x) + cos(x) 的特性，我们求解了给定的问题，并对其进行了分析和判断。