安徽省合肥市第一中学2017届高三第三阶段考试数学(文)试题 Word版含答案

数学（文科）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合01x A xx ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{}22B x x x =<，则“x A B ∈”是“()0,1x ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了”（ ） A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里3.将函数()cos f x x x =-的图象向右平移m 个单位（0m >），若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．3πB ．23π C ．8π D ．56π 4.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3272π-B ．183π-C ．273π-D ．3182π-5.已知向量a 与b 的夹角为60︒，2a =，6b =，则2a b +在a 方向上的投影为（ ） A ．1B ．3C ．5D ．76.如图所示，医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体，开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始x 分钟后，瓶内液面与进气管的距离为h 厘米，已知当0x =时，13h =，如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则函数()h f x =的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．7.已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，数列{}n b 是公差为3且各项均为正整数的等差数列，则数列{}n b a 是（ ） A ．公差为5的等差数列 B ．公差为6的等差数列 C ．公比为6的等比数列 D ．公比为8的等比数列8.若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．1718 B ．1718-C ．118D ．118-9.已知()f x 是定义在R 上周期为4的奇函数，当[)2,0x ∈-时，()()22log xf x x =+-，则()2017f = （ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．210.已知不等式422xxay y +-≤+对任意实数x ，y 都成立，则常数a 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12x x <，有()()12121f x f x x x ->--，且()11f =，则不等式()22log 312log 31xxf -<--的解集为（ ） A ．(),0-∞B ．(),1-∞C ．()()1,00,3- D ．()(),00,1-∞12.已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若变量x ，y 满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的取值范围是 ．14.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点F 为DE 中点，则AF BC = ．15.数列{}n a 满足112, 02121, 12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，n S 为{}n a 的前n 项和，则2016S = ．16.在ABC ∆中，边AB 的垂直平分线交边AC 于D ，若3C π=，8BC =，7BD =，则ABC∆的面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-（*n N ∈）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13log n n b a =，记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 18. （本小题满分12分）已知向量()1,sin a x =，cos 2,sin 3b x x π⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()1cos 22f x a b x =-． （1）求函数()f x 的解析式及其单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角A ，B ，C所对的边分别是a ，b ，c ，若c =()0f C =，求ABC∆周长的取值范围． 19. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF DB P ．（Ⅰ）已知AB BC =，AE EC =．求证：AC FB ⊥；（Ⅱ）已知G ，H 分别是EC 和FB 的中点．求证：GH P 平面ABC ． 20. （本小题满分12分）某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：[)[)3221805040,120,1443120080000,144,5002x x x x y x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．（Ⅰ）当[]200,300x ∈时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 21. （本小题满分12分）已知函数()()22ln f x x a x a x =-++，其中a R ∈．（1）若曲线()y f x =在点()()2,2f f 处的切线的斜率为1，求a 的值； （2）讨论函数()f x 的单调性． 22. （本小题满分12分）已知函数()()22xf x ax x e =++（0a >），其中e 是自然对数的底数．（1）当2a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在[]2,2-上是单调增函数，求a 的取值范围；（3）当1a =时，求整数t 的所有值，使方程()4f x x =+在[],1t t +上有解．合肥一中2017届高三第一学期段三考试数学（文科）参考答案一、选择题1-5:C B A D D 6-10:C D B A D 11、12：D B 二、填空题13.[]1,9 14.12- 15.100816.三、解答题17.（本小题满分10分）（1）当1n =时，由1121S a =-得：113a =．（2）13n n a =（*n N ∈），11331log log 3nn n b a n ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭．3n n n n a b ∴=231233333n n nT ∴=++++；231112133333n n n n n T +-∴=++++ 2311111121111123331333333322313n n n n n n n nn T +++⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭∴=++++-=-=- ⎪⨯⎝⎭- 32334434n n n T +∴=-<⨯ 18.（本小题满分12分） （1）()2171cos 2sin cos 2sin 23262f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由7222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈ 得572663k x k πππππ-≤+≤-，k Z ∈ 所以，函数()f x 的单调递增区间为5,63k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）由（1）()71sin 2062f C C π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，又C 为ABC ∆的内角，所以711266C ππ+=，3C π=又2c =，由正弦定理可得2sin sin sin a b cA B C===，2sin a A ∴=，2sin b B =，232sin 2sin 2sin sin 2sin 326a b A B A A A A A ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=+=+-==+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭3C π=，203A π∴<<，5666A πππ∴<+<，1sin 126A π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭，6A π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭所以ABC ∆的周长的取值范围为(．19.（本小题满分12分）（1）证明：因为EF BD P ，所以EF 与BD 确定一个平面，连接DE ，因为AE EC =，E 为AC 的中点，所以DE AC ⊥，同理可得BD AC ⊥，又因为BDDE D =，BD ⊂平面BDEF ，DE ⊂平面BDEF ，所以AC ⊥平面BDEF ，因为FB ⊂平面BDEF ，所以AC FB ⊥．（2）解：设FC 的中点为I ，连接GI 、HI ，在C E F ∆中，G 是CE 的中点，所以GI EF P ，又EF DB P ，所以GI DB P ，又GI ⊄平面ABC ，DB ⊂平面ABC ，所以GI P 平面ABC ，同理，HI P 平面ABC ，又G I H I I =，所以平面GHI P 平面ABC ，因为GH ⊂平面GHI ，所以GH P 平面ABC20.（本小题满分12分）（Ⅰ）当时，该项目获利为S ，则()22112002008000040022S x x x x ⎛⎫=--+=--⎪⎝⎭，∴当[]200,300x ∈时，0S <，因此，该项目不会获利当300x =时，S 取得最大值5000-，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；（Ⅱ）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：[)[)21805040,120,1443180000200,144,5002x x x y x x x x ⎧-+∈⎪⎪=⎨⎪-+∈⎪⎩．当[)120,144x ∈时，()211202403y x x =-+，所以当120x =时，y x取得最小值240； 当[)144,500x ∈时，1800002002003002y x x x x x=+-≥-= 当且仅当1800002x x =，即400x =时，yx取得最小值300 因为240300<，所以当每月处理量为120吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． 21.（本小题满分12分）（1）由()()22ln f x x a x a x =-++可知，函数的定义域为{}0x x >，且()()22a f x x a x '=-++．由题意，()()24212af a '=-++=，解得2a =． （2）()()()()()2222122x a x a x a x a f x x a x x x-++--'=-++==（0x >） 令()0f x '=，得11x =，22ax = ①当0a ≤时，02a≤，令()0f x '>，得1x >，令()0f x '<，得01x << 所以，()f x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数 ②当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得1x >或02ax <<，令()0f x '<，得12ax << 所以，()f x 在,12a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭和()1,+∞上为增函数③当12a=，即2a =时，()0f x '≥恒成立，所以，()f x 在()0,+∞上为增函数 ④当12a >，即2a >时，令()0f x '>，得01x <<或2ax >，令()0f x '<，得12a x <<所以，()f x 在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在()0,1和,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数 22.（本小题满分12分）（1）()()222x f x x x e =++，则()()()()2253123x xf x x x e x x e '=++=++令()0f x '=，1x =-，32-()32352f x f e -⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭极大值，()()113f x f e -=-=极小值（2）问题转化为()()22130xf x ax a x e '⎡⎤=+++≥⎣⎦在[]2,2x ∈-上恒成立；又0xe > 即()22130ax a x +++≥在[]2,2x ∈-上恒成立；令()()2213g x ax a x =+++0a >，对称轴1102x a=--< ①当1122a--≤-，即102a <≤时，()g x 在[]2,2-上单调增，()()min 210g x g ∴=-=> 102a ∴<≤②当12102a -<--<，即12a >时，()g x 在12,12a ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦上单调减，在11,22a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调增，()221120a a ∴∆=+-≤ 解得：11a ≤≤+ 112a ∴<≤+综上，a 的取值范围是0,1⎛ ⎝⎦． （3）1a =，设()()224x h x x x e x =++--，()()2331x h x x x e '=++-令()()2331x x x x e ϕ=++-，()()256x x x x e ϕ'=++令()()2560xx x x e ϕ'=++=，得2x =-，3-()()33310x e ϕϕ∴=-=-<极大值，()()21210x e ϕϕ=-=-<极小值 ()1110eϕ-=-<，()020ϕ=> ∴存在()01,0x ∈-，()0,x x ∈-∞时()0x ϕ<，()0,x x ∈+∞时()0x ϕ>()h x ∴在()0,x -∞上单调减，在()0,x +∞上单调增又()41440h e -=>，()38310h e-=-<，()020h =-<，()1450h e =-> 由零点的存在性定理可知：()0h x =的根()14,3x ∈--，()20,1x ∈ 即4t =-，0．。