二阶线性微分方程理论及解法

2020/3/13
无关特解, 的通解为
是对应齐次方程的 n 个线性 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程
Y (x) y(x)
齐次方程通解 非齐次方程特解
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定理 4. （非齐次方程之解的叠加原理）
分别是方程
y P(x) y Q(x) y fk (x) (k 1, 2, , n )
y2

1 2i
( y1

y2)
e
x
sin

x
因此原方程的通解为
y e x (C1 cos x C2 sin x)
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总结:
y p y q y 0 ( p, q为常数)
特征方程: r 2 pr q 0, 特征根：r1, r2
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定义: 设 y1(x), y2 (x), , yn (x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
使得
则称这 n 个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关.
例如，
在 ( , ) 上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
又如，
若在某区间 I 上
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一、二阶齐次线性微分方程解的结构
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定理1. 若函数 y1(x), y2 (x) 是二阶线性齐次方程 y P(x) y Q(x) y 0
的两个解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x)
也是该方程的解. （解的叠加原理）
证: 将 y C1y1(x) C2 y2 (x) 代入方程左边, 得 [C1y1 C2 y2 ] P(x)[C1y1 C2 y2 ] Q(x)[C1y1 C2 y2 ] C1[ y1 P(x) y1 Q(x) y1]
★ 若含 k 重实根 r , 则其通解中必含
★ 若含 k 重复根
则其通解中必含
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例3. 求方程 y 2 y 3 y 0 的通解. 解: 特征方程 r 2 2 r 3 0, 特征根: r1 1 , r2 3 ,
因此原方程的通解为
例4. 求解初值问题
解: y2 y1 与 y3 y1 是对应齐次方程的解, 且
y2 y3

y1 y1

ex x e2x x

常数
因而线性无关, 故原方程通解为
y C1(ex x) C2 (e2x x) 代入初始条件 y(0) 1, y(0) 3, 得C1 1, C2 2, 故所求特解为 y 2e2x ex.
y* e x[ 2 Q (x) 2 Q(x) Q(x) ]
代入 y py qy f (x) 得 e x[Q(x) (2 p)Q(x) (2 p q)Q (x)] e x Pm (x)
u ( 2 r1 p )u ( r12 p r1 q )u 0
注意 r1 是特征方程的二重根
u 0 取 u = x , 则得 y2 x er1 x , 因此原方程的通解为
y ( C1 C2 x ) er1 x
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3. 当 p2 4 q 0 时, 特征方程有一对共轭复根
则根据二次多项式至多只有两个零点 , 可见
必须全为 0 ,
在任何区间 I 上都 线性无关.
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☆ 两个函数线性相关性的充要条件： 线性相关
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y1(x) k y2 (x)
仅相差常数倍！
线性无关
y1(x) 常数 y2 ( x)
注：0 与任意函数 必线性 相关
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定理 2.
是二阶线性齐次方程的两个线
性无关特解, 则 y C1y1(x) C2 y2 (x) 为该方程的通解.
例如, 方程
有特解
且
y2 tan x, 故方程的通解为 y1
推论*.
是 n 阶线性齐次方程
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的 n 个线性无关解, 则方程的通解为
y C1y1 Cn yn (Ck为任意常数)
此时微分方程有两个复数解:
y1 e( i ) x e x (cos x i sin x ) y2 e( i ) x e x (cos x i sin x )
利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解:
y1

1 2
( y1

y2 )
e x cos x
方程有两个线性无关的特解:
因此方程的通解为 y C1 er1 x C2 er2 x
则微分
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2. 当 p2 4 q 0 时, 特征方程有两个相等实根
则微分方程有一个特解
设另一特解
，u (x) 待定.
代入方程得:
er1 x [ (u 2 r1u r12u ) p(u r1u ) q u 0
的特解,
是方程
n
y P(x) y Q(x) y fk (x)
的特解.
k 1
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定理 5.
均是方程
的特解，则
是方程
y P(x) y Q(x) y 0
的特解.
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例1. 设两个不同的函数
都是
一阶非齐次线性方程 y P(x) y Q(x)
的解, C 是任意 常数, 则该方程的通解是 ( B ).
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备用1. 设
是二阶非齐次线 性微分方程
y P(x) y Q(x) y f (x) 的三个不同特解, 且
C1,C2 是任意常数, 则该方程
的通解是 ( D ).
(B) C1( y1 y2 ) C2 ( y1 y3) ( y2 y3);
d d
s
2s t2

t0
2

ds dt
4,

s
d d

s t
0
t

0

2
解: 特征方程 r 2 2 r 1 0 有重根 r1 r2 1 , 因此原方程的通解为 s (C1 C2 t ) e t
利用初始条件得
C1 4, C2 2
于是所求初值问题的解为
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解 特征方程 r 5 r 4 2r 3 2r 2 r 1 0,
即 (r 1)(r 2 1)2 0,
特征根 r1 1, r2 r3 i , r4 r5 i ,
通解 C1e x (C2 C3 x)cos x (C4 C5 x)sin x.
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四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
y py qy f (x) ( p, q 为常数)
根据解的结构定理，其通解为
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解
1、 f (x) e x Pm (x) 型 2、 f (x) e x[Pl (x) cos x P~n (x)sin x] 型
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备用2 设线性无关函数
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都是二阶非齐次线
性方程 y P(x) y Q(x) y f (x)的解, C1,C2 是任意 常数, 则该方程的通解是 ( D ).
(B) C1y1 C2 y2 (C1 C2 ) y3;
(C) C1y1 C2 y2 (1 C1 C2 ) y3;
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例7 在下列微分方程中，以 (C1,C2 ,C3为任意常数)
为通解的是( D )
(2008考研)
( A) y y - 4 y - 4 y 0 (C ) y - y - 4 y 4 y 0
(B) y y 4 y 4 y 0 (D) y - y 4 y - 4 y 0
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二、二阶非齐次线性微分方程解的结构
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定理 3. 设 y * (x) 是二阶非齐次方程
①
的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 则
y Y (x) y *(x)
②
是非齐次方程的通解 .
证: 将 y Y (x) y *(x) 代入方程①左端, 得
(Y y *) P(x) (Y y *) Q(x) (Y y *)
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第三节 二阶线性微分方程的理论及解法
一、二阶齐次线性微分方程解的结构 二、二阶非齐次线性微分方程解的结构 三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 四、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
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二阶线性微分方程：
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y p(x) y q(x) y f (x),
(Y P(x)Y Q(x)Y )
f (x) 0 f (x)
即y 是①的解. 又Y 中含有两个独立任意常数，证毕！
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例如, 方程
有特解
对应齐次方程
有通解
Y C1 cos x C2 sin x
因此该方程的通解为
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推广*. 给定 n 阶非齐次线性方程
提示:
y1 y3, y2 y3 线性无关. （反证法可证）
不一定线性无关
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例2. 已知微分方程 y p(x) y q(x) y f (x) 有三 个解 y1 x , y2 ex , y3 e2x , 求此方程满足初始条件
y(0) 1, y(0) 3 的特解 .
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三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法
①
和它的导数只差常数倍,
所以令①的解为 y er x ( r 为待定常数 ), 代入①得 (r2 pr q ) er x 0 r2 pr q 0 ②
称②为微分方程①的特征方程, 其根称为特征根.
1. 当 p2 4 q 0时, ②有两个相异实根
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求特解的方法 — 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
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1、f (x) e x Pm (x) 型 （其中 为实数，Pm (x) 为 m 次多项式）
设特解为 y* e xQ (x) , 其中 Q (x) 为待定多项式, 则 y* e x[ Q (x) Q(x) ]
f (x) 0 时, 称为二阶非齐次线性微分方程; f (x) 0 时, 称为二阶齐次线性微分方程.
复习: 一阶线性微分方程： y P(x) y Q(x)
通解: y C e P (x)d x e P (x)d x Q(x) e P (x)d x dx
齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y
特征根 实根
通
解
y C1er1 x C2er2 x
y ( C1 C2x ) erx y e x (C1 cos x C2 sin x )
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推广*：n 阶常系数齐次线性微分方程
y(n) a1 y(n1) an1y an y 0 ( ak 均为常数) 特征方程: r n a1 r n1 an1r an 0
C2 [ y2 P(x) y2 Q(x) y2 ] 0 证毕.
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2020/3/13
注：y C1y1(x) C2 y2 (x) 未必是已知方程的通解.
例如, 但是
是某二阶齐次方程的解, 则 也是齐次方程的解
并不是通解！
为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性 相关性的概念.
例5 求方程 y 2 y 5 y 0的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 5 0 ,
解得 r1，2 1 2 j ,
故所求通解为 y ex (C1 cos2x C2 sin 2x).
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2020/3/13
例6 求 y(5) y(4) 2 y(3) 2 y y y 0 的通解.