2018高考一轮通用人教A版数学文练习第3章 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 含答案 精品

第二节 同角三角函数的基本关系与
诱导公式
———————————————————————————————— [考纲传真] 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，
sin α
cos α＝tan α.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π
2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin α
cos α. 2．诱导公式
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin α
cos α恒成立．( )
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( )
(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π
2的奇数倍、偶数倍，变与不变指函数名称是否变化．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)已知α是第二象限角，sin α＝5
13，则cos α等于( ) A ．－5
13 B ．－12
13 C.5
13
D.1213
B [∵sin α＝5
13，α是第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－12
13.]
3．(2017·陕西质检(二))若tan α＝1
2，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C.15
D.35
B [sin 4α－cos 4α＝(sin 2α－cos 2α)(sin 2α＋cos 2
α)＝sin 2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－1tan 2α＋1
＝
－3
5，故选B.]
4．(2016·四川高考)sin 750°＝________. 12 [sin 750°＝sin(750°－360°×2)＝sin 30°＝12.]
5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)＝________.
【导学号：31222107】
－45 [因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝35，α∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α＝45，
所以sin(π＋α)＝－sin α＝－4
5.]
(1)已知sin αcos α＝18，且5π4＜α＜3π
2，则cos α－sin α的值为( ) A ．－
3
2
B.32
C ．－3
4 D.34
(2)(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝3
4，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A.64
25 B.48
25 C ．1
D.1625
(1)B (2)A [(1)∵5π4＜α＜3π
2， ∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α， ∴cos α－sin α＞0.
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝3
4， ∴cos α－sin α＝3
2.
(2)∵tan α＝3
4，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2
α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝
1＋4×34
⎝ ⎛⎭⎪⎫342
＋1＝64
25，故选A.]
[规律方法] 1.利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin α
cos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．
2．应用公式时要注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α
－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.
[变式训练1] 已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( ) A ．－1 B ．－2
2 C.2
2
D ．1
A [由⎩⎨⎧
sin α－cos α＝2，
sin 2α＋cos 2
α＝1，
消去sin α得：2cos 2α＋22cos α＋1＝0， 即(2cos α＋1)2＝0， ∴cos α＝－2
2.
又α∈(0，π)，∴α＝3π
4， ∴tan α＝tan 3π
4＝－1.]
(1)已知A ＝
sin α＋cos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是
( )
A ．{1，－1,2，－2}
B ．{－1,1}
C ．{2，－2}
D ．{1，－1,0,2，－2} (2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
5π6＋α＝________.
(1)C (2)－33 [(1)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos α
cos α＝2； k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos α
cos α＝－2. (2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π－π6＋α ＝tan ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α
＝－tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6－α＝－33.]
[规律方法] 1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，尤其是角之间的互余、互补关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．
2．诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值．
[变式训练2] 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π6的值为
________.
【导学号：31222108】
－
2＋33 [∵cos
⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6－α＝－33， sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α
＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6－α＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫332＝23，
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α－π6＝－33－23＝－2＋33.]
(1)(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎭
⎪⎫θ＋π4＝35，则
tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π4＝________. (2)(2017·郑州质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，则
sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
7π2－α的值为________．
(1)－43 (2)335 [(1)由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
θ＋π4＞0，所以cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ＋π4＝
1－sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π4＝4
5.
tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ＋π4－π2＝－1
tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π4
＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ＋π4＝－4535＝－
43. (2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α－π2， ∴－sin α＝－2cos α，则sin α＝2cos α， 代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝1
5. sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫72π－α＝sin 3α－cos α
5sin α－3cos α
＝8cos 3α－cos α7cos α＝87cos 2α－
17＝335.]
[规律方法] 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．
(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．
[变式训练3] (2016·安徽皖南八校联考)已知sin α＝13，α是第二象限角，则tan(π－α)＝________.
24 [∵sin α＝1
3，α是第二象限角， ∴cos α＝－22
3，
∴tan α＝－24，故tan(π－α)＝－tan α＝2
4.]
[思想与方法]
三角函数求值与化简的常用方法
(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin α
cos α进行弦、切互化．
(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． (3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π
4等． (4)利用相关角的互补、互余等特殊关系可简化解题步骤． [易错与防范]
1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．应特别注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
课时分层训练(十八)
同角三角函数的基本关系与诱导公式
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．若cos α＝13，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2，0，则tan α等于( )
【导学号：31222109】
A ．－2
4 B.2
4 C ．－22 D ．2 2
C [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，0，
∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
132＝－232， ∴tan α＝
sin α
cos α
＝－2 2.] 2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π
2，则θ等于( ) A ．－π6 B ．－π3 C.π6
D.π3
D [∵sin (π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，
∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π
3.] 3.
cos 350°－2sin 160°
sin (－190°)
＝( )
A ．－ 3
B ．－3
2 C.32
D. 3
D [原式＝
cos (360°－10°)－2sin (180°－20°)
－sin (180°＋10°)
＝
cos 10°－2sin (30°－10°)
－(－sin 10°)
＝
cos 10°－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12cos 10°－3
2sin 10°
sin 10°
＝ 3.]
4．(2016·山东实验中学二诊)已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛
⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ
的值为( )
A.2
3 B ．－2
3 C.13
D ．－13
B [∵sin θ＋cos θ＝4
3， ∴1＋2sin θcos θ＝16
9， ∴2sin θcos θ＝79.又0＜θ＜π
4， 故sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝ －1－2sin θcos θ＝－2
3，故选B.]
5．(2016·浙江杭州五校联盟高三一诊)已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则
2
3sin 2θ－cos 2θ
＝( )
A.103 B ．－103 C.1013
D ．－1013 C [直线x －3y ＋1＝0的斜率为1
3，因此与此直线垂直的直线的斜率k ＝－3，∴tan θ＝－3，
∴23sin 2θ－cos 2θ＝2(sin 2θ＋cos 2θ)3sin 2θ－cos 2θ
＝2(tan 2θ＋1)3tan 2θ－1，把tan θ＝－3代入得，原式＝2×[(－3)2＋1]3×(－3)2－1＝1013.故选C.] 二、填空题
6．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3＋α＝________.
【导学号：31222110】
13 [cos
⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－α＝13.]
7．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝1
5，则tan α＝________. －43 [由⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，
消去cos α整理，得 25sin 2α－5sin α－12＝0， 解得sin α＝45或sin α＝－3
5. 因为α是三角形的内角， 所以sin α＝4
5.
又由sin α＋cos α＝15，得cos α＝－3
5， 所以tan α＝－4
3.]
8．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1
tan 2α＝________.
【导学号：31222111】
0 [原式＝cos α1＋sin 2α
cos 2α＋sin α
1＋cos 2αsin 2α
＝cos α
1
cos 2α＋sin α
1sin 2α
＝cos α⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1－cos α＋sin α1sin α
＝0.]
三、解答题
9．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°.
[解] 原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945°3分 ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225°6分
＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45°9分
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32＋12×12＋1＝2.12分 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α
； (2)sin 2α＋sin 2α.
[解] 由已知得sin α＝2cos α.2分
(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α
＝－16.7分 (2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α
＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α
＝85.12分 B 组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．已知tan x ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π2，则sin x ＝( ) A.－1±5
2 B.3＋1
2
C.5－12
D.3－12
C [因为tan x ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π2，所以tan x ＝cos x ，所以sin x ＝cos 2x ，sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x ＝－1±5
2，
因为－1≤sin x ≤1，所以sin x ＝5－12.]
2．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝________.
【导学号：31222112】
44．5 [因为sin(90°－α)＝cos α，所以当α＋β＝90°时，sin 2α＋sin 2β＝sin 2α＋cos 2α＝1，
设S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°，
则S ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21°
两个式子相加得2S ＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S ＝44.5.]
3．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α·sin (－π－α). (1)化简 f (α)；
(2)若α是第三象限角，且cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． [解] (1)f (α)＝sin α·cos α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2－2πtan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α·sin α ＝sin α·cos α·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α·sin α ＝－cos α.5分
(2)∵cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α－3π2＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15，7分
又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2
α＝－265， 故f (α)＝265.12分。