高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用课件7 新人教B版选修21

变式练习
1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点， 求B1到面A1BE的距离.
解:建立坐标系.
A1E
=(-1,1 2
,0),
z
A1B =(0,1,-1),
D1
设u =(1,y,z)为面A1BE的法向量 A1
E
C1
B1
由
u
u
A1E A1B
= =
0, 0,
学习 重点
题型四、求点到平面的距离
如图点P为平面外一点，点A为平面内的任
一点，平面的法向量为n,过点P作平面的垂
线PO，记PA和平面所成的角为，则点P
到平面的距离
d | PO |
| PA | sin
nP
| PA | | n PA |

O
A
| n || PA | | n PA|
∴ n MC 2 ax ay 0 且
P
2
N
n MN a y a z 0 22
D
Cy
M
解得 2 x y z , 2
∴可取 m ( 2,1, 1)
A
B
x
∴ MA 在 n 上的射影长 d MA n a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a .
【解】 (1)建立如图所示的空间直角坐标系． ∵∠ADC＝∠DAB＝90°， AB＝4，CD＝1，AD＝2. ∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)． 由 PD⊥平面 ABCD， 得∠PAD 为 PA 与平面 ABCD 所成的角， ∴∠PAD＝60°. 在 Rt△PAD 中，由 AD＝2，得 PD＝2 3. ∴P(0,0,2 3)．
(2)∵P→A＝(2,0，－2 3)，B→C＝(－2，－3,0)， ∴cos〈P→A，B→C〉
2×－2＋0×－3＋－2
＝
4× 13
3×0 ＝－
1133.
∴异面直线 PA 与 BC 所成角的余弦值为 1133.
例2 正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 a，侧 棱长为 2a，求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角．
|n|
【例 3】.(用向量法求距离):
1.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P
N
D
C
M
A
B
解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz
则D(0,0,0),A(2a,0,0),B( 2a ,a ,0),C(0,a,0),P(0,0,a )
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
C
D



0,

2

A B
结论： cos | cos CD, AB |
题型二：线面角

a u 设直线L的方向向量为 平面 的法向量为 ，且
直线L与平面 所成的角为
u
a
au
sin
au a




u
典例剖析
空间“角度”、“距离”问题
一、情景导入：
复习回顾：
设直线l，m的方向向量分别为a ，b ， 平面 ， 的法向量分别为 u，v
（1）平行关系
线线平行 l //
m


a
//

b

a

b
线面平行 l // a u a u 0
面面平行

//


u //
【思路点拨】 利用正三棱柱的性质，建立适当 的空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时 利用平面A1ABB1的法向量n＝(λ，x，y)求解．
建立如右所示空间直角坐标系：A→B＝(0，a,0)， A→A1＝(0,0， 2a)，
A→C1＝(－ 23a，a2， 2a)． 设侧面 ABB1A1 的法向量 n＝(λ，x，y)， ∴n·A→B＝0 且 n·A→A1＝0. ∴ax＝0 且 2ay＝0. ∴x＝y＝0.故 n＝(λ，0,0)．
∵ , 0, 0) N (
2 11 a , a, a)
∴ MC (
2
a, a, 0) ,
MN

(0,
1
a,
1
2 a),
2 MA

(
2
2
2 a, 0,
0)
2
22
z
2
设 n ( x, y, z) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC
例1 四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA 与平面ABCD所成的角为60°.在四边形ABCD中， ∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝ 2. (1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标； (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．
【思路点拨】 建立坐标系→写出点的坐标→求出 P→A与B→C的坐标→计算P→A与B→C的夹角．
n2
2
[总结] 求点面距时，(一)可由点 P 向平面作垂线，找 出垂足 P′，转化为求线段长 PP′；(二)可用等积法求解； (三)设平面 α 的法向量为 n，平面 α 内已知点 A，则点 P 到平面 α 的距离 d＝|P→A|n·|n|；(四)可转化为线面距，利用过 已知点与已知平面平行的直线上任一点到平面距离都相等 求解．
v

u

v
设直线l，m的方向向量分别为a ，b ， 平面 ， 的法向量分别为 u，v
（2）垂直关系
线线垂直 线面垂直 面面垂直
ll maau

// ubaa bu0
v uv 0
二、新课讲授
一.利用空间向量求空间角
∵A→C1＝(－ 23a，a2， 2a)，
∴cos〈A→C1，n〉＝|nn|·|AA→→CC11|＝－2λ|λ|. ∴|cos〈A→C1，n〉|＝12. ∴AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30°.
二.立体几何中的空间距离
1.两点之间的距离； 2.点到直线之间的距离； 3.异面直线之间的距离； 4.点到平面之间的距离； 5.两个平面之间的距离；
D
A
C
y
B
得 u =(1,2,2), A1B1 = 0,1,0,
B1到面A1BE的距离为
d=
A1B1 u
u
=
2 3
.
2. Rt ABC中，BCA 900,现将 ABC沿着
平面ABC的法向量平移到A1B1C1位置，已知
BC CA CC1，取A1B1、A1C1的中点D1、F1，