第三章第七讲三角形等高模型及鸟头模型例题精讲

板块一三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高 2
从这个公式我们能够发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
假如三角形的底不变，高越大( 小 ) ，三角形面积也就越大( 小) ；
假如三角形的高不变，底越大( 小 ) ，三角形面积也就越大( 小) ；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中起码有一个要发生变化．可是，当三角形的底和高同时发生
变化时，三角形的面积不必定变化．比方当高变成本来的 3 倍，底变成本来的 1 ，则三角形面积与本来的一
3
样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不只是取决于高或底的变化．同时
也告诉我们：一个三角形在面积不改变的状况下，能够有无数多个不一样的形状．
在实质问题的研究中，我们还会经常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如左图 S1 : S2 a : b
A B
S1S2
a b C D
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图
S△ACD S△BCD；
反之，假如S△ACD S△BCD，则可知直线AB 平行于 CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等 ( 长方形和正方形能够看作特别的平行四边形 ) ；⑤三角形面积等于
与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四
边形底相等，面积比等于它们的高之比．
【例 1 】你有多少种方法将随意一个三角形分红：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．
【例 2 】如图，BD长 12 厘米，DC长 4 厘米，B、C和D在同一条直线上．
⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍
⑵ 求三角形 ABD 的面积是三角形
ADC 面积的多少倍
A
B
【例 3 】 如右图， ABFE 和 CDEF 都是矩形， AB 的长是 4 厘米， BC 的长是 3厘
米，
D C
平方厘米．
那么图中暗影部分的面积是
A
B E
F
D
C
【例 4 】如图，长方形
ABCD 的面积是 56 平方厘米， 点 E 、 、 分别是长方形 ABCD 边上的中点， H 为
AD
F G 边上的随意一点，求暗影部分的面积．
H
A D E
G
B
F
C
【例 5 】长方形 ABCD 的面积为 36 cm 2 ， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上随意一点，问暗影部分面积是多
少
A H D
E G
B
F C
【例 6 】长方形 ABCD 的面积为
36， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上随意一点，问暗影部分面积是
多少
A H D
E
G
B
F C
2三角形等高模型与鸟头模型题库page 2 of 18
可编写可改正
A (H)
D
E
G
B
F
C
【例 7 】如右图，
E 在 AD 上，
AD 垂直
，
AD 12 厘米，
DE 3 厘米．求三角形 的面积是三角形
EBC
BC
ABC
面积的几倍
A
E
B
D
C
【例 8 】如图，在平行四边形 ABCD 中， EF 平行 AC ，连接 BE 、AE 、 CF 、 BF 那么
与
BEC 等积的三角形一共有
哪几个三角形
A
F
D
E
B
C
【分析】 AEC 、 AFC 、 ABF ．
【例 9 】 ( 第四届”迎春杯”试题 ) 如图，三角形 ABC 的面积为 1，此中 AE 3AB ， BD
2BC ，三角形 BDE
的面积是多少
B
E
A
B
E
A
C
C
D
D
【例 10 】
( 2008 年四中考题 ) 如右图，
AD ，
EF FC ，已知暗影部分面积为 5 平方厘米，
ABC
DB AE
的面积是
平方厘米．
B
D
A
E
F C
【例 11 】
如图
是一个长方形， 点 、 F 和 分别是它们所在边的中点． 假如长方形的面积是
36 个平
ABCD
E G
可编写可改正
方单位，求三角形
EFG 的面积是多少个平方单位．
G
D
C E F
A
B
【例 12 】
如图，大长方形由面积是
12 平方厘米、 24 平方厘米、 36 平方厘米、 48 平方厘米的四个小长方
形组合而成．求暗影部分的面积．
12cm
2
36cm
2
48cm
2
24cm
2
【例 13 】
如图，三角形 ABC 中， DC 2BD ，CE 3AE ，三角形 ADE 的面积是 20 平方厘米， 三角形 ABC
的面积是多少
A
E
B
D
C
【例 14 】 ( 2009 年第七届” 希望杯”二试六年级 ) 如图，在三角形 ABC 中，已知三角形 ADE 、三角形 DCE 、
三角形 BCD 的面积分别是 89， 28， 26．那么三角形 DBE 的面积是
．
B
D
A
E C
【例 15 】
( 第四届《小数报》 数学比赛 ) 如图，梯形 ABCD 被它的一条对角线 BD 分红了两部分． 三角形 BDC
的面积比三角形
ABD 的面积大 10 平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是
15 分米，它们的
差是 5 分米．求梯形
ABCD 的面积．
A D
B
C
可编写可改正【例 16 】图中AOB的面积为15cm2，线段 OB的长度为 OD的3倍，求梯形ABCD的面积．
A D
O
B C
【例 17 】如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．
D
A
C
B
【例 18 】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分红 4 个不一样的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的 15% ，黄色三角形面积是21cm2．问：长方形的面积是多少平方厘米
黄
红红
绿
【例 19 】O 是长方形 ABCD 内一点，已知OBC 的面积是5cm2，OAB 的面积是2cm2，求OBD 的面积是多少
A D
O
P
B C
【例 20 】如右图，过平行四边形ABCD 内的一点 P 作边的平行线 EF 、 GH ，若PBD 的面积为8 平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米
A G D
E P
F
B H C
可编写可改正【例 21 】如右图，正方形ABCD 的面积是 20，正三角形BPC 的面积是 15，求暗影BPD 的面积．
A D
P
B C
【例 22 】在长方形ABCD内部有一点O ，形成等腰AOB 的面积为16，等腰DOC 的面积占长方形面积的 18% ，那么暗影AOC 的面积是多少
D
C
O
A B
【例 23 】（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD 中， E 、 F 分别是其两腰AB 、 CD 的中点， G 是 EF 上的随意一点，已知ADG的面积为15cm2，而BCG 的
面积恰巧是梯形ABCD 面积的7 ，则梯形ABCD的面积是
cm2．20
A D
E F
G
B C
【例 24 】以下图，四边形ABCD与 AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．
F
A B
G
D E C
【例 25 】如图，正方形ABCD的边长为6，AE，CF2．长方形EFGH的面积为．
H
A D E
B
G F C
【例 26 】如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，假如ADE的面积为 4 平方厘米．求三角形CDF的面积．
D C
F
A E B
【例 27 】图中两个正方形的边长分别是 6 厘米和 4 厘米，则图中暗影部分三角形的面积是多少平方厘米．
【例 28 】如图，有三个正方形的极点 D 、 G 、 K 恰幸亏同一条直线上，此中正方形GFEB 的边长为10 厘米，求暗影部分的面积．
D C
G F P
O
Q
H K
A B E
【例 29 】( 2008 年”华杯赛” 决赛 ) 右图中，ABCD和CGEF是两个正方形，AG 和 CF 订交于 H ，已知 CH 等于 CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于 6 平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．
F E
A D
H
B C G
【例 30 】( 第八届小数报数学比赛决赛试题) 以下列图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点， DF FC ，而且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD 的面积是 32 平方厘米．求图中暗影部分的面积．
A D
乙
F
甲丙
B E C
【例 31 】如图，已知长方形ADEF 的面积 16 ，三角形 ADB 的面积是 3 ，三角形 ACF 的面积是 4 ，那么三角形 ABC 的面积是多少
A F
C
D B E
【例 32 】如图，在平行四边形ABCD 中， BE EC ， CF 2FD ．求暗影面积与空白面积的比．
A D
H F
G
B C
E
【例 33 】( 第七届”小灵巧杯”数学比赛五年级复赛) 以下图，三角形ABC 中， D 是 AB 边的中点， E 是 AC 边上的一点，且 AE 3EC ，O 为 DC 与 BE 的交点．若CEO的面积为a平方厘米，BDO 的面积为 b 平方厘米．且 b a 是 2.5 平方厘米，那么三角形ABC 的面积是平方厘米．
A D
b O
a
E
B C
【例 34 】如图，在梯形 ABCD 中， AD : BE 4:3 ， BE : EC 2:3 ，且BOE 的面积比AOD 的面积小10 平方厘米．梯形ABCD 的面积是平方厘米．
A D
O
B E C
【例 35 】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13 ， 35 ， 49．那么图中暗影部分的面积是多少
A D
49 35
E
13
B C
【例 36 】图中是一个各条边分别为 5 厘米、 12 厘米、 13 厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的暗影部分( 即未被遮住的部分) 的面积是多少平方厘米
【例 37 】如图，长方形ABCD 的面积是 2 平方厘米，EC 2DE ， F 是 DG 的中点．暗影部分的面积是多少平方厘米
A D
F E
B
G
C
【例 38 】( 2007 年六年级希望杯二试一试
题) 如图，三角形田地中有两条小道AE 和 CF ，交错处为 D ，张
v1.0 可编写可改正大伯常走这两条小路，他知道 DF DC ,且 AD 2DE ．则两块地 ACF 和 CFB 的面积比是_________ ．
C E
B D
F
A
【例 39 】( 2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图， BC 45 ， AC 21， ABC 被分成 9 个面积相等的小三角形，那么DI FK ．
B
D
E
H I
G
J
A
K C
F
【分析】由题意可知， BD : BC S BAD : S ABC 2 :9 ，所以 BD 2
， CD BC BD 35 ；又BC 10
9
DI : DC S DIF : S DFC 2 :5 ，所以 DI 2
，同样分析可得FK 10 ，所以DC 14
5
DI FK 14 10 24 ．
【例 40 】 E 、 M 分别为直角梯形ABCD 两边上的点，且DQ 、CP、ME相互平行，若AD 5 ， BC7 ，AE 5 ， EB 3 ．求暗影部分的面积．
A
D
Q M
E
B C
P
【例 41 】( 2007 年人大附中分班考试题) 已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求暗影五边形的面积．( 丙是三角形HBC )
可编写可改正A
甲乙
D I J F
M N
H 丙
B E C
【例 42 】( 2009 年四中入学测试题) 如图，已知CD 5 ， DE 7 ， EF 15 ， FG 6 ，线段 AB 将图形分成两部分，左侧部分面积是38，右侧部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是．
A A
C D E F C D E F
G G
B
B
【例 43 】( 2008 年仁华考题 ) 如图，正方形的边长为10，四边形EFGH的面积为5，那么暗影部分的面积是．
A D
H
G
E
B F C
【例 44 】( 2008 年走美六年级初赛) 以下图，长方形ABCD 内的暗影部分的面积之和为70，AB 8 ，AD 15 ，四边形 EFGO 的面积为．
A D
O
G
E
B F C
【例 45 】( 清华附中分班考试题) 如图，假如长方形ABCD 的面积是 56 平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米
可编写可改正
D Q 3 C
2
M 5
P
A N 6 B
【例 46 】( 2008 年日本第12 届小学算术奥林匹克大赛初赛) 如图，暗影部分四边形的外接图形是边长为10cm 的正方形，则暗影部分四边形的面积是cm 2 ．
4cm
1cm
【例 47 】如图，三角形AEF 的面积是 17， DE 、 BF 的长度分别为11、3．求长方形ABCD 的面积．
A B
F
D E C
【例 48 】( 2008 年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛) 如图，长方形ABCD 中， AB 67 ，BC 30 ． E 、 F 分别是 AB、BC 边上的两点， BE BF 49 ．那么，三角形 DEF 面积的最小值
是．
D C
F
A E B
【例 49 】(2007 首届全国资优生思想能力测试) ABCD是边长为12 的正方形，以下图，P 是内部随意一点， BL DM 4、 BK DN 5 ，那么暗影部分的面积是．
可编写可改正
A L
B A(P) LB
P K K
N N
D M C DM C
【例 50 】以下图，在四边形ABCD 中， E ， F ， G ， H 分别是 ABCD 各边的中点，求暗影部分与四边形 PQRS 的面积之比．
H
D
A
P
E S
G Q
R
B F C
【例 51 】如图，四边形ABCD 中， DE : EF : FC 3: 2:1 ， BG : GH : AH 3: 2:1 ， AD : BC 1: 2 ，已知四边形 ABCD 的面积等于4，则四边形EFHG的面积．
E F
C
D
A H G B
【拓展】如图，关于随意四边形ABCD ，经过各边三平分点的相应连线，获得中间四边形EFGH ，求四边形EFGH 的面积是四边形ABCD 的几分之几
B
M
N
A
K
E
F
J
H G
D O P C
【例 52 】( 2008 年日本小学算数奥林匹克大赛决赛) 有正三角形ABC，在边AB、BC、CA的正中间分
v1.0 可编写可改正
别取点 L 、 M 、 N ，在边 AL 、 BM 、CN 上分别取点 P 、Q 、 R ，使 LP MQ NR ，当 PM 和 RL 、
PM 和 QN 、 QN 和 RL 的订交点分别是 X 、 Y 、 Z 时，使 XY XL ．
这时，三角形 XYZ 的面积是三角形 ABC 的面积的几分之几请写出思虑过程．
A P
L
N
Z
X
Y R
BQ
M
C
【例 53 】
如图：已知在梯形 ABCD 中，上底是下底的
2
，此中 F 是 BC 边上随意一点，三角形
AME 、三
3
角形 BMF 、三角形 NFC 的面积分别为
14 、 20、 12 ． 求三角形 NDE 的面积 ．
A B
M
E
F
N
D
C
【例 54 】
如图，已知 ABCD 是梯形， AD ∥ BC ， AD : BC 1: 2 ， S AOF : S DOE 1:3 ， S BEF
24cm 2 ，求
AOF 的面积 ．
A
D
F
O E
B
C
【例 55 】
（ 2009 年迎春杯决赛高年级组） 如图，
ABCD 是一个四边形， M 、 N 分别是 、 的中点．如
AB CD
果 ASM 、 MTB 与 DSN 的面积分别是 6、7 和 8，且图中全部三角形的面积均为整数，则四边形 ABCD 的面积为
．
14三角形等高模型与鸟头模型题库page 14 of 18
D
A
S
M N
T
B
C
板块二鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角) 两夹边的乘积之比．
如图在△ ABC 中，D , E分别是AB , AC上的点如图⑴ ( 或D在BA的延伸线上， E 在 AC 上)，
则 S△ABC : S△ADE ( AB AC ) : ( AD AE )
D
A
A
D
E
E
B
C B C
图⑴图⑵
【例 56 】如图在△ABC中，D, E分别是AB, AC上的点，且AD : AB 2:5 ， AE : AC 4:7 ，S△ADE16 平方厘米，求△ ABC的面积．
A
A
D
D
E E
B
C B C
【例 57 】如图在△ABC 中， D 在 BA 的延伸线上， E 在 AC 上，且 AB : AD 5: 2 ，
AE : EC 3: 2 ，S△ADE12平方厘米，求△ ABC 的面积．
D D
A A
E
E
B C B C
【例 58 】以下图，在平行四边形ABCD中， E为 AB的中点， AF 2CF ，三角形AFE(图中暗影部分)的面积为 8 平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米
D C
F
A E B
【例 59 】已知△DEF的面积为7平方厘米，B E CE, AD 2BD ,CF 3AF ，求△ABC的面积．
A
F
D
B
E
C
【例 60 】如图，三角形ABC 的面积为 3 平方厘米，此中AB : BE 2:5 ， BC : CD 3: 2 ，三角形 BDE 的面积是多少
B B
A E A E
C C
D D
【例 61 】( 2007 年”走美”五年级初赛试题) 以下图，正方形ABCD 边长为 6 厘米， AE 1
AC ，3
CF 1
BC ．三角形DEF的面积为 _______平方厘米．3
A D
E
B
可编写可改正
【例 62 】如图，已知三角形ABC 面积为1，延伸 AB 至 D ，使 BD AB ；延伸 BC 至 E ，使 CE2BC ；
延伸 CA 至 F ，使 AF 3AC ，求三角形DEF 的面积．
F
A
C
E
B
D
【例 63 】如图，平行四边形ABCD ， BE AB ， CF 2CB ， GD 3DC ， HA 4AD ，平行四边形ABCD 的面积是 2 ，求平行四边形ABCD 与四边形 EFGH 的面积比．
H
A B
E
G C
D
F
【例 64 】如图，四边形EFGH 的面积是 66 平方米， EA AB ， CB BF ， DC CG ， HD DA ，求四边形 ABCD 的面积．
H
C G
D
A B
F
E
【例 65 】如图，将四边形ABCD 的四条边 AB 、 CB 、 CD 、 AD 分别延伸两倍至点 E 、 F 、 G 、 H ，若四边形 ABCD 的面积为5，则四边形EFGH的面积是．
F
E
B A
C G
D
H
v1.0 可编写可改正
【例 66 】如图，在△ ABC 中，延伸 AB 至 D ，使 BD AB ，延伸 BC 至 E ，使CE 1
BC ，F是AC的2
中点，若△ABC 的面积是 2 ，则△DEF 的面积是多少
A
F
B C
E
D
【例 67 】如图，S△ABC1 ，BC5BD ， AC 4EC ， DG GS SE ， AF FG ．求S FGS．
A
F
E
G
S
B C
D
【例 68 】以下图，正方形ABCD边长为 8 厘米， E 是 AD 的中点， F 是 CE 的中点， G 是 BF 的中点，三角形 ABG的面积是多少平方厘米
E
A D
F
G
B C
【例 69 】四个面积为1的正六边形如图摆放，求暗影三角形的面积．
F
H A
E
B
G C
D。