2-3 拉普拉斯方程

③ 写出边界条件和衔接条件(即：不同区域分界面 上的边值关系)。
④ 根据定解条件，求出通解中的积分常数。 ⑤ 将求出的积分常数代入通解表达式，得到实际
问题的解。 关键步骤：① 充分利用对称性，写出简单的通解。
② 正确写出边界条件，不能有遗漏。
例1 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带 电荷Q，同心地包围一个半径为R1的导体球（R1 <R2）。使这个导体球接地，求空间各点的电势 和这个导体球的感应电荷。
R 0 处，2 应为有限值，因此
dn 0
在介质球面上（R=R0），
1 2 ,
0
1
R
2
R
比较Pn的系b数1 ，得:200 E0 R03，
c1
3 0 2 0
E0
bn cn 0， (n 1)
所有常数已经定出，因此本问题的解为
1
E0R cos
0 20
E0R03 cos
R2
2
3 0 20
E(a) 0 er
E0R cos
在球内总电场作用下，介质的极化强度为
P内
e 0 E
(
0)E
0 20
30 E0
介质球的总电偶极矩为
p
4
3
R03 P
0 20
4 0 R03 E0
球外区域电势 所产生的电势
1
的第二项就是这个电偶极矩
E0
1
4 0
pR R3
0 20
E0 R03 R2
cos
例3 半径为R0的接地导体球置于均匀外电场E0中， 求电势和导体上的电荷面密度。
因此v的可能值为
νn
n 2 α
,
n 1,2
π
考虑这些条件，ϕ可以重写为
V Anrnsin n
n
在尖角附近r→ 0 ，上式求和式的主要贡献来自r的
最低次幂项，即n=1项 V A1r1sin 1
电场为：
Er
r
1A1r11sin 1
E
1 r
1 A1r1 1cos 1
尖劈两面上的电荷面密度为：
（3）确定常数 A，B，C，D，k
① y 0, 0 D 0
② y b, 0 sin kb 0
kb n k n (n 1, 2,3, )
b
n (x, y) (Anekx Bnekx)(Cn sin ky) (n 1, 2,3 ) 通解 (x, y) n (x, y) n1
m1,3,5 m
b
令 m 2n 1 n 0,1,2,
(x, y) 4V 1 sin (m 1) y e(2n1) x / b
m0 2n 1
b
0 x
0
y
b
3.半径 a，带有均匀电荷分布 的无限长圆柱导体，
求导体柱外空间的电势和电场。
解：电荷分布在无限远，电势零点可选在有限区，为简单可
r dr dr
dr
d C dr
r
(r) C ln r D 当 r = a 时，(a) 0 D C ln a
(r) C ln a C ln r C ln r
a
0
d
dn
ra
0
Ca r
1 a
ra
C 0
a
C a 0
(r) a ln r 0 a
E
d
dr
er
a 0
er r
在导体面上
第二章第三节
分离变量法
§2.3 拉普拉斯方程 分离变量法
本章的基本问题： 电场由电势描述； 电势满足泊松方程+边界条件。
具体的工作：解泊松方程 只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时， 这类问题的解才能以解析形式给出，而且视 具体情况不同而有不同解法。
本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法。
一、拉普拉斯方程
3cos
)
2. 柱坐标一般用于二维问题：
二维问题的解：
( A0 B0 ln r)(C0 D0 )
( Anrn Bnrn )(Cn cos n Dn sin n )
n
或写成： A0 B0 ln r C0 D0 ln r
[rn (An sin n Bn cos n）
n rn (Cn sin n Dn cos n）]
l
(5) 电场为均匀场 电势： V z (0 z l)
l
E
d
dz
ez
V l
ez
E V 常数 l
2. 一对接地半无限大平板，相距为 b ，左端有一极
板电势为 V（常数），求两平行板之间的电势。
解：（1）边界为平面，
选直角坐标系；上、下两
y
平板接地，取为参考点；
且当 y 0, b, 0
)
ϕ的通解形式为
A0 B0lnrC0 D0
A r B r C cos D sin
在尖劈θ=0面上，ϕ =V与r无关，由此
A0C0 V , B0 0,C 0 0.
因r→ 0时ϕ有限，得 B0 B 0.
在尖劈θ=2π-α 面上， ϕ=V与r无关，必须
D0 0， sin 2 0
0En 0E0E
0 2
01 A1r11
很小时,v1趋于1/2， 场强和面电荷密度很大，趋于 1/r1/2。三维针尖问题就是尖端放电现象。
补充例题
1、两无限大平行导体板，相距为 l ，两板间电势 差为V (与 x, y, z无关)，一板接地，求两板间的
电势 和 E 。
解：（1）边界为平面，故
若问题具有轴对称性，取此轴为极轴，通解为
n
(an Rn
bn R n 1
)Pn
(cos
)
见P282
Pn (cos ) -----为勒让德函数
P0 (cos ) 1 P1(cos ) cos
若问题具有球对称性
P2
(cos
)
1 2
(3 cos 2
1)
a b
R
P3
(cos
)
1 2
(5 cos2
拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式
1. 球坐标中的通解：
( R,
,)
n,m
(anm R n
bnm R n1
)Pnm
(cos
) cos
m
n,m
(cnm R n
dnm R n 1
)Pnm (cos ) sin
m
Pnm (cos ) ——缔合勒让德函数(连带勒让德函数)
anm, bnm, cnm, dnm为积分常数，在具体问题中由边 界条件确定。
③ x 0 An 0
④两n (边xx同,ny乘)01 CsinCnsnmisninVynbn并b从yVy0ee→nnbnbb1xx积Cn分si：n(BnbnCy n Cn ) b
b
m y
b
n y m y
V sin
0
b
dy 0
Cn sin
n1
b
sin
b
dy
Cn
n1
b sin m y sin n y dy
1 R
1 R1
，
(R2
R
R1 )
导体球上的感应电荷为
0 R R1
2
R
R 2d
Q1
例2：电容率为 的介质球置于均匀外电场E0中，
求电势。
解：以介质球的球心为坐标原点，以E0方向为极轴 建立球坐标系。
设球的半径为R0 ，球外为真空。介质球的存在 使空间分为两均匀区域—球外区域和球内区域。
两区域内部都没有自由电荷，因此电势 均满
Z
应选直角坐标系
V
下板 0，设为参考点
S1
（2）定性分析：因在 z l l
O
y
V （常数），可考虑
与 x, y 无关。
x
(3) 列出方程并给出解：
2 0
d 2
d z2 0
方程的解： Az B (0 z l)
(4) 定常数： (z 0) 0 B 0
(z l) V Al V A V
注意：在（1）、（2）两种情况中若考虑了某些边
界条件，k1, k2 , k将与某些正整数有关，它们可取1，
2，3，… ，只有对它们取和后才得到通解。
（3）若 (x)，与 y, z 无关。
d 2 0 Ax B
dx 2
3. 分离变量法的解题步骤：
① 根据界面的形状选择适当坐标系。
② 建立坐标系，写出场量所满足的方程，写出通 解。
2 0
这就是拉普拉斯方程。 注意：求解区域内ρ＝0，产生电场的电荷全部分布 于V 的边界上，它们的作用通过边界条件反映出来。 所以，这类问题可归结为求拉普拉斯方程满足边界 条件的解。
二、分离变量法
分离变量法就是将场量的函数表达式中不同坐标相 互分离，即将场量分解为单一坐标函数的乘积的形 式，求出通解。然后再根据给定的边界条件求出实 际问题的的解。
x
（2）z 轴平行于平板，且
V
x
x 0, 0 y b, V
与 z 无关，可设 (x, y) z
2
2
x2
2
y2
0
(0 x , 0 y b)
X (x)Y ( y)
X
(x)
Aekx
Bekx
Y ( y) C sin ky D cos ky
(x, y) ( Aekx Bekx )(C sin ky D cos ky)
若二维问题又具有轴对称性，则电势与θ无关
A B ln r
3、直角坐标 2 2 2 2 0
x2 y 2 z 2
（1）令 (x, y, z) X (x)Y ( y)Z (z)
d2X dx 2
X
0
d 2Y dy 2
Y
0
d 2Z dz 2
Z
0
0
令 k12 , k22 k12 k22 k 2
在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的． 例如：① 电容器内部的电场是由作为电极的两个
导体板上所带电荷决定的。 ② 电子光学系统的静电透镜内部，电场是 由分布于电极上的自由电荷决定的。
这些问题的特点是： 自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空 间中没有其他自由电荷分布。
如果我们选择这些导体的表面作为区域V的边界，则 V 内部自由电荷密度ρ＝0，电势所满足的泊松方程化 为比较简单的情形：
解：以球心为原点建立球坐标系，导体壳外和壳内
的电势均满足方程 2 0 ，问题具有球对称
性，电势 不依赖于角度θ和φ。设导体壳外
和壳内的电势分别为
1
a
b， R
(R
R3 )
2
c
d， R
(R2
R
R1 )
边界条件为：
（1）内导体接地 2 RR1 1 R 0 （2）整个导体球壳为等势体 2 RR2 1 RR3
0
b
b
∵
b 0
sin
m
b
y
sin
n
b
y
dy
0 b
/
2
n n
m m
b 2
mn
∴
b
V sin
0
my dy
b
Cn
n1
b 2
mn
Cm
b/2
Cm
2 b
b
V
sin
my
dy
2V
0
b
b
b
m
m
0
sin ydy
4V
[ 2V [ cos y] m
m
0
m
0
（m = 奇数） （m = 偶数）
(x, y) 4V 1 sin m y em x / b
（3）球壳带总电荷Q，因而
见P49
1 R2d
2 R2d Q
ห้องสมุดไป่ตู้
RR3 R
RR2 R
0
由这些边界条件得 a 0，b Q Q1 ，
c Q1 ，d Q1
40 40
4 0 R1
4 0
其中
Q1
R11
R31 R21
R31
Q
利用这些值，得电势的解
1
Q Q1 ，
4 0 R
(R
R3 )
2
Q1
4 0
选在导体面 r = a 处，即 ((r a) 0) 选柱坐标系。
对称性分析：
① 导体为圆柱，柱上电荷均匀
分布， 一定与 无关。
② 柱外无电荷，电场线从面上 发出后，不会终止到面上，只
能终止到无穷 远，且在导体面 上电场只沿 er 方向，可认为
与z无关， (r)
y
r oθ
x z
2 0 1 d (r d ) 0 r d C
解：用导体表面边界条件，照上例方法可解出导体
球外电势
E0 R
cos
E0 R03 R2
cos
导体面上电荷面密度为
0
R
R R0
30E0 cos
例4 导体尖劈电势V，分析它的尖角附近的电场。
解：用柱坐标系。取Z轴沿尖边。
柱坐标下的拉氏方程为
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
0，
(0
2
X (x) Aek1x Bek1x Y ( y) Cek2 y Dek2 y Z (z) E sin kz F cos kz
（2）若 (x, y)
d2X dx 2
X
0
d 2Y dy 2
Y
0
k2, k2 0
X (x) Aekx Bekx Y ( y) C sin ky D cos ky
足拉普拉斯方程。
以 1 代表球外区域的电势，2代表球内的电势。
两区域的通解为：
1
n
(an
Rn
bn R n 1
)Pn
(cos
)，
(R
R0
)
2
n
(cn R n
dn R n 1
)Pn
(cos
)，
(R
R0
)
无穷远处，
1 E0R cos E0RP1(cos ),
因而 a1 E0，an 0 (n 1)