高中数学课件-2016-2017学年北师大版选修4-4 点的极坐标与直角坐标的互化

数学D 选修4-4
第一讲 坐标系
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3．点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与___(_ρ_，__θ_＋__2_kπ_)_(_k_∈__Z_)__ 表示同一 个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐标不 同，平面内一个点的极坐标有______无__数种表示． 如果规定ρ>0，___0_≤_θ_＜__2_π___，那么除___极__点___外，平面 内的点可用___唯__一___的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ， θ)表示的点也是________唯确一定的．
据已知两点的斜率公式，得直线PA的倾斜角为60°.于是舰 A发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公式， 可得|PA|＝10.
所以，以舰A所在地为极点，正东方向为正方向建立极坐 标系，舰A发射炮弹的极坐标为(10,60°)．
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于是P在BC的中垂线l上，易求得其方程为 3 x－3y＋7 3 ＝0.
又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒， 知|PB|－|PA|＝4， 于是知P应在双曲线x42－y52＝1的右支上．
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直线l与双曲线的交点P(8,5 3)即为动物的位置，至此问题 便可获解．
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[思路点拨]
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解题过程： 以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单 位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示．
由|OC|＝600 m，∠AOC＝π6，∠OAC＝π2， 得|AC|＝300 m，|OA|＝300 3 m，
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2．极坐标 设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的 _极__径_____，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM 叫做点M的_______极_，角记为θ.有序数对_______(_ρ_，_θ叫) 做点M的 极坐标，记为_______M__(_ρ_，_．θ) 一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ___≥____0，θ可取 _任__意__实__数___．
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[解题过程] (1)如图所示，
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由A2，π3，B(2，π)，C2，53π得 |OA|＝|OB|＝|OC|＝2， ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝23π.
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∴△AOB≌△BOC≌△AOC， ∴AB＝BC＝CA， 故△ABC为等边三角形． (2)由上述可知，AC＝2OAsinπ3＝2×2× 23＝2 3. ∴S△ABC＝ 43×(2 3)2＝3 3(面积单位)． [规律方法] 由点的极坐标(ρ，θ)可以确定点的位置，同 时可以建立三角形中的边、角关系，正确理解极径ρ、极角θ是 建立上述联系的关键．
对舰B而言，A、C两舰位置如图所 示．为方便起见，取A、B所在直线为x 轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系， 则A、B、C三舰的坐标分别为(3,0)、(－ 3,0)、(－5,2 3)．
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由于B、C同时发现动物信号，记动物所处位置为P，则 |PB|＝|PC|.
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3．规定ρ>0，θ∈R，则极轴上极点以外的点的极坐标为 ________.
解析： 极轴上极点以外的点的极角为θ＝2kπ，k∈Z，极 径ρ>0，故所求点的极坐标为(ρ，2kπ)，k∈Z.
答案： (ρ，2kπ)，k∈Z
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G150

2，34π.
[规律方法] 在极坐标系中，由点的位置求极坐标时，随
着极角的范围的不同，点的极坐标的表示也会不同．只有在
ρ>0，θ∈[0,2π)的限定条件下，点的极坐标才是唯一的．
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[变式训练] 3.舰A在舰B在正东6 km处，舰C在舰B的北偏 西30°且与B相距4 km处，它们围捕海洋动物．某时刻A发现动 物信号，4秒后B、C同时发现这种信号．A发射麻醉炮弹．设 舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1 km/s，炮弹运
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[变式训练] 2.若本例中△ABC的顶点的极坐标不变，限 定ρ>0,0≤θ<2π，求：
(1)△ABC各边中点的极坐标； (2)△ABC绕中心O(0,0)逆时针旋转π6后所得△A′B′C′的 顶点的极坐标．
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这种用方向和距离表示平面上一点位置的思想是什么思想 呢？
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1．极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O，叫做_极__点___，自极点 O引一条射线Ox， 叫做_极__轴____；再选定一个_长__度__单__位___、一个__角__度__单__位__ (通常取弧度)及其正方向(通常取___逆__时__针__方向)，这样就建立 了一个极坐标系．
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4．设点A 2，π3 ，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分 别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定ρ＞0, －π＜θ≤π)．
解析： 如右图所示．
关于极轴的对称点为B2，－π3. 关于直线l的对称点为C2，23π 关于极点O的对称点D－2，－23π. 四个点A，B，C，D都在以极点为圆心，2为半径的圆上．
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设点B 3，π4 ，D 3，74π 关于极点的对称点分别为E(ρ1， θ1)，F(ρ2，θ2)，且ρ1＝ρ2＝3.
当θ∈[0,2π)时，θ1＝54π，θ2＝34π， ∴E3，54π，F3，34π为所求．
行的初速度是 2033gkm/s，其中g为重力加速度．若不计空 气阻力与舰高，问若以舰A所在地为极点，正东方向为正方向 建立极坐标系，求舰A发射炮弹的极坐标．
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解析： 先建立直角坐标系，分析出点P在双曲线上，又 在线段BC的垂直平分线上，求出交点P的坐标，然后求出P、A 两点之间的距离和PA与x轴正向所成的角，即可确定点P的极坐 标．
以是( )
A．(1,0)
B．2，π4
C．3，π2
D．(4，π)
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解析： 由题意知 ρ＝y， 又由 y＝ρsin θ 故 ρ＝ρsin θ， 所以 sin θ＝1 即 θ＝π2，故选 C．
答案： C
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点的极坐标与直角坐标的互化
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[学习目标]
1．了解极坐标系的意义． 2．理解点的极坐标的不唯一性． 3．能够建立适当的极坐标系解决数学问题.
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极坐标系的实际应用
某大学校园的部分平面示意图如图所示．
用点O，A，B，C，D，E，F，G分别表示校门，器材 室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝ |BC|，|OC|＝600 m．建立适当的极坐标系，写出除点B外各点 的极坐标(限定ρ>0，0≤θ<2π且极点为(0,0))．
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[学法指要]
1．利用坐标法解决几何问题．(重点) 2．常与三角函数和几何图形结合命题． 3．点的极坐标不唯一是易混点，准确理解极坐标系的概 念并用于解题．(难点)
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据太平洋海啸预警中心测定：当地时间 2010年2月27日凌晨3时34分(北京时间27日 14时34分)，南美洲智利中部近岸(36.1°S, 72.6°W)发生里氏8.8级地震，震源深度为33 公里，震中距其东北方向的智利首都圣地亚 哥大约450公里．
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由极坐标确定点的位置
在极坐标系中，作出以下各点：A(4,0)，
B3，π4，C2，π2，D3，74π.
[思路点拨]
建立极 坐标系
―极―径→
作出极角 的终边
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又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150 m.
同理，得|OE|＝2|OG|＝300 2 m，
所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(300
3 ，0)，
C
600，π6
，D
300，π2
，E

300

2，34π
，F(300，π)，
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解析： (1)由于△ABC的顶点分别为A 2，π3 ，B(2，π)， C2，53π，
易知△ABC为等边三角形． 作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D、E、F. 则D、E、F分别是△ABC的各边的中点，依题意，得 D1，23π，E1，43π，F(1,0)．
―极―角→
以极点O为圆心，以 极径为半径分别画弧
―→
点的 位置
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[解题过程] 如图所示，A，B，C，D四个点分别是唯一 确定的．
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[规律方法] 由极坐标确定点的位置的步骤 ①取定极点O； ②作方向为水平向右的射线Ox为极轴； ③以极点O为顶点，以极轴Ox为始边，通常按逆时针方向 旋转极轴Ox确定出极角的终边； ④以极点O为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的 交点即是所求点的位置．
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[变式训练] 1.在极坐标系中，B 3，π4 ，D 3，74π ，试判 断点B，D的位置是否具有对称性，并求出B，D关于极点的对 称点的极坐标(限定ρ>0，θ∈[0,2π))．
解析： 由B3，π4，D3，74π，知|OB|＝|OD|＝3， 极角 π4 与 74π 的终边关于极轴对称，所以点B，D关于极轴对 称．
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1．已知点M的极坐标为 5，－23π ，下列所给出的四个坐 标中不能表示点M的坐标是( )
A．5，－π3
B．5，43π
C．5，103π
D．5，－83π
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极坐标的综合应用
在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标 分别为A2，π3，B2，π，C2，53π.
(1)判断△ABC的形状； (2)求△ABC的面积． [思路点拨] 解答本题可以结合图形利用边、角关系完成 判断和计算．
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(2)△ABC绕中心O(0,0)逆时针旋转
π 6
后所得对应三角形为
△A′B′C′，依题意，得A′ 2，π2 ，B′ 2，76π ，
C′2，116π.
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解析： 在极坐标系中作出点M(5， －23π)，由图验证，点M的极坐标可以写成 5，43π ， 5，103π ， 5，－83π ，但不能写 成5，－π3.
答案： A
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2．极坐标系中，到极点的距离等于到极轴的距离的点可