物体的重心及形心教案

解： xC =0
y

10 10
5 2.5
2.5
=4.75cm
着重说明 组合法求 形心位置
说明：1、辅助坐标的建立 2、负面积法
例 2、求图示 T 形形心的位置。
解： xC =0
yc
10 60 5 40 20 30 10 6 40 20
19.3cm
10 60 0 40 20 25 yc 10 60 40 20 14.3cm
yc
40 20 20 6010 45 10 60 40 20
30.7cm
zc
FGi zi FG
FGi zi FGi
物体连同坐标轴转 90 度，而使坐标面 oxz 成为水平面，由重心的概念
知，此物体重心的位置不变，再对 x 轴应用合力矩定理求 Zc。
体积为 V。假想把物体分割成许多微小体积ΔVi，每个微小体积所受的
重力为ΔFGi=γΔVi，其作用点坐标为（xi，yi，zi）。整个物体所受的重力
点上；
（3）中心对称的简单物体及图形，其对称中心便是重心或形心。
2、积分法
若将平面图形分割成无穷多个微分面积 dA ，在极限情况下用积分公式
3、组合法
工程实际中，有些物体的截面是由若干个简单图形组成的，这种图形
称为组合图形，这些截面称为组合截面。由于简单图形的面积及形心一般 是已知的，因此计算组合截面的形心时可以利用这些已知结果。
为 FG=∑△FGi。应用合力矩定理可以推导出物体重心的近似公式
2、均质物体重心（形心）坐标公式
对于均质物体（常把同一材料制成的物体称为均质物体），其容重γ为
常量（物体每单位体积的重量），各微小部分的体积为 V1 V2 Vn ， 整个物体的体积为V
则有
FG1 V1 FC2 V FGn Vn
于简单图形的面积及形心一般是已知的，因此计算组合截面的形心时可以
利用这些已知结果。
n
xC
A1 x1 A2 x2 An xn A1 A2 An
Ai xi
i 1 n
Ai
i 1
n
yC
A1 y1 A2 y2 An yn A1 A2 An
Ai yi
i 1 n
Ai
i 1
例 1：求图示槽形形心的位置。
2、均质物体重心（形心）坐标公式
3、均质薄壳重心（形心）坐标公式
xc
Ai xi Ai
yc
A yi Ai
三、物体重心与形心的计算
根据物体的具体形状及特征，可用不同的方法确定其重心及形心的位置。
1、对称法
（1）具有一根对称轴的简单物体及图形，其形心必在对称轴上；
（2）具有两根或两根以上对称轴的物体及图形，其形心在对称轴的交
教学内容
教学方法
与手段
§4 物体的重心
在工程中，物体重心的位置具有重要意义。例如挡土墙、重力坝、起
重机的抗倾覆稳定性问题，都与它们的重心位置有关，高速运转部件的重
心如果不在轴线上，将引起机械的剧烈震动，因此必须了解重心的概念和
重心位置的求法。
一、重心概念
在地球表面附近的物体，它的每一部分都受到地球引力的作用，这些 平行力系
性等概念
将物体分成许多微小部分 n 份
要阐述清
各微小部分所受到的地球引力（重力）以 FG1 FG2 FGn 表示
楚
各微小部分作用点坐标为 (x1 y1z1 ) (x2 y2 z2 ) (xn yn zn )
n
则物体的重量为 FG FGi FGi n1
重心的坐标用（xC，yC，zC）表示，根据空间力系的合力矩定理，对 x
三、物体重心与形心的计算 根据物体的具体形状及特征，可用不同的方法确定其重心及形心的位
置。 1、对称法 对于形状比较规则的物体及图形，其重心及形心可根据对称性直接判
断。 （1）具有一根对称轴的简单物体及图形，其形心必在对称轴上； （2）具有两根或两根以上对称轴的物体及图形，其形心在对称轴的交
点上； （3）中心对称的简单物体及图形，其对称中心便是重心或形心。
物体的重心及形心教案
授 课 日 期 年 月日节
年月 日 节
年月日 节
授课班级
课 题 与 主 要 物体的重心及形心
内
容
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
教 学 目 的 了解物体重心坐标的一般公式及均质物体、平面图形的形心坐标公
与 要 求 式。学会计算平面组合图形的形心。
教学重、难点 积分法求解形心位置（难点）
轴取矩，则
M x ( FG ) FG1 y1 FG2 y2 FGn yn FGi yi
M x (FG ) FG yc FG yc
因
Fc yc FGi yi
则
yc
FGi yi FG
FGi yi FGi
同理
xc
FGi xi FG
FGi xi FGi
引力汇交于地球的中心，形成一个空间汇交力系，但由于我们所研究的物 重心、形
体其尺寸与地球的直径相比要小得多，因此可以近似地将物体上这部分力 心、重心
系看作是空间平行力系，这个平行力系的合力的大小即为物体的重量，合 对于物体
力的作用点即为物体的重心。
的相对位
二、物体重心坐标公式
置的不变
1、重心坐标的一般公式
2、积分法
若将平面图形分割成无穷多个微分面积 dA ，在极限情况下，上式写成：
xdA xC A dA
A
3、组合法
ydA yC A dA
A
工程实际中，有些物体的截面是由若干个简单图形组成的，例如梯形
可以认为是由两个三角形（或一个矩形、一个三角形）组成的，T 形截面是
由两个矩形组成的，这种图形称为组合图形，这些截面称为组合截面。由
合。
3、均质薄壳重心（形心）坐标公式
由于薄壳的厚度远小于其它两个方向尺寸，可忽略厚度不计，
则 V1 A1t V2 A t Vn Ant
Vi Ait
故形心公式为
xc
Vi xi V
Ait xi Ai t
Ai xi Ai
yc
Vi yi V
Ait yi Ai t
A yi Ai
FG
F V Gi
得
xc
Vi xi Vi
Vi xi V
yc
Vi yi Vi
Vi yi V
zc
Vi zi Vi
Vi zi V
由上可知：①均质物体重心完全决定于物体的几何形状，而与物体的
重量无关。②由物体的几何形状及尺寸所决定的物体的几何中心，称为形
心，上式也是物体形心的坐标公式。③对于均质物体来说，形心与重心重
布置作业
4-11（a）(b)
装
教学内容与方法步骤
附记
．．．．．．．．．．．．．
§4 物体的重心 一、重心概念
订
平行力系的合力的大小即为物体的重量，合力的作用点即为物体的重心。
本节重点 掌握组合
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二、物体重心坐标公式 1、重心坐标的一般公式
截面形心 的计算
线
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