数值计算课后答案4

习 题 四 解 答
1、设010,1x x ==，写出()x f x e -=的一次插值多项式1()L x ，并估计插值误差。

解：根据已知条件，有
设插值函数为1()L x ax b =+，由插值条件，建立线性方程组为
解之得11
1
a e
b -⎧=-⎨=⎩
则11()(1)1L x e x -=-+ 因为(),()x x y x e y x e --'''=-= 所以，插值余项为 所以
01
0101
()max max (1)
2111248x r x e x x e ξξ-≤≤≤≤-≤
-=⨯⨯=。

2、给定函数表
选用合适的三次插值多项式来近似计算f(0.2)和f(0.8)。

解：设三次插值多项式为230123()f x a a x a x a x =+++，由插值条件，建立方程组为 即
解之得
则所求的三次多项式为23()0.41 6.29 3.489.98f x x x x =--+。

所以
3、设(0,1,2,
,)i x i n =是 n+1个互异节点，证明：
（1）0()(0,1,2,
,)n k k i i i x l x x k n ===∑；
（2）0
()()0(0,1,2,
,)n
k i i i x x l x k n =-==∑。

证明： （1）由拉格朗日插值定理，以x 0,x 1,x 2,…x n 为插值节点，对y=f(x)=x k 作n 次插值，插值多项式为
0()()n
n i i i p x l x y ==∑，
而y i =x i k ,
所以0
()()()n
n
k n i i i i i i p x l x y l x x ====∑∑
同时，插值余项 所以()n
k k i i l x x x =∑
结论得证。

（2）取函数()(),0,1,2,,k f x x t k n =-=
对此函数取节点(0,1,2,,)i x i n =，则对应的插值多项式为
0()()()n
k n i i i p x x t l x ==-∑，
由余项公式，得
(1)
(1)011
()()()()()()()()0(1)!(1)!
n
n k
k n k
i i i r x x t x t l x f x x t x n n ξ
ξππ++==---=
=-=++∑所以
令t=x ，
4
、给定数据（()f x =
(1)试用线性插值计算f(2.3)的近似值，并估计误差；
(2)试用二次Newton 插值多项式计算f(2.15)的近似值，并估计误差。

解：用线性插值计算f(2.3)，取插值节点为2.2和2.4，则相应的线性插值多项式是 用x=2.3代入，得 (2) 作差商表如下
根据定理2，
f(x)＝f(x 0)＋f[x 0，x 1](x-x 0)+f[x 0，x 1，x 2](x-x 0)(x-x 1)+…
+f[x 0，x 1，…，x n ](x-x 0)(x-x 1)…(x-x n －1)
+f[x 0，x 1，…，x n ，x]π(x) 。

以表中的上方一斜行中的数为系数，得
f(2.15)＝1.41421＋0.3501 ×(2.15-2.0)－0.047 ×(2.15-2.0) ×(2.15-2.1) ＝1.663725 指出： 误差未讨论。

5
根据定理257
()0167(1)(1)(2)(1)(2)(4)26
p x x x x x x x x x x x =++--------。

指出： 余项未讨论。

5*解：由已知条件，显然，x 0=0，h=1，x=t 。

作差分如下
0(1)(1)(2)(1)(2)(3)
()()01614(2)(140)2!3!4!(1)(2)35
167(1)(1)(2)(3)
36
n n t t t t t t t t t p x th p t t t t t t t t t t t t ------+==+⨯+
⨯+⨯-+⨯---=+------指出: 在本题这种情况下,实际上()()n n p t p x =，也就是说,在这样的条件下,t 的多项式就是x 的多项式，可以直接转换。

一般情况下，把t 的关系转换为x 的关系需要根据x=x 0+th ，将t 用x 表示，即将0
x x t h
-=代入得到的多项式。

解：所给节点是等距结点：
000.125,0.125,,0,1,2,3,4,5i x h x x ih i ===+=。

令0
0()x x th t h
=+=
,根据等距结点插值公式，得 0(1)
()()0.79618(0.02284)(0.00679)
2!(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4)(0.00316)0.00488(0.00460)
3!4!5!n n t t p x th p t t t t t t t t t t t t t t -+==+⨯-+⨯----------+⨯-+⨯+⨯-则
(0.1581)(0.1581)(0.1250.2648)0.790294822,
(0.636)(0.6363)(0.125 4.088)0.651804826n n n n f p p h f p p h ≈=+=≈=+=。

7、设f(x)在[-4,4]有连续的4阶导数，且
(1)试构造一个次数最低的插值多项式p(x)，使其满足
(1)(1)1,(0)(0)2,(0)(0)0,(3)(3)1,(3)(3)1p f p f p f p f p f ''''-=-=-======== (2)给出并证明余项f(x)-p(x)的表达式。

解：
(1)由7*可以求出满足
的三次埃尔米特插值多项式
32
52()2273
H x x x =-+。

设2232
2252()()(3)2(3)273
p x H x a x x x x a x x =+-=-++-，则p(x)满足 (0)(0)2,(0)(0)0,(3)(3)1,(3)(3)1p f p f p f p f ''''========， 由(1)1f -=得 3222521(1)(1)2(13)(1)1273108a a ⨯--⨯-++---=⇒=-， 所以
223222432
521
()()(3)2(3)273108
11332108544p x H x a x x x x x x x x x =+-=
-+--=-++-+。

(2)余项具有如下结构 作辅助函数
则显然()t ϕ在点,1,0,3x -处有6个零点（其中0，3是二重零点），即 ()0,(1)0,(0)0,(0)0,(3)0,(3)0x ϕϕϕϕϕϕ''=-=====， 不妨假设(1,0)x ∈-。

由罗尔定理，存在123(1,),(,0),(0,3)x x ξξξ∈-∈∈， 使得123()0,()0,()0ϕξϕξϕξ'''===，
再注意到(0)0,(3)0ϕϕ''==，即()t ϕ'有5个互异的零点12303ξξξ<<<< 再次由罗尔定理得，存在111223343(,),(,0),(0,),(,3)ηξξηξηξηξ∈∈∈∈， 使得1234()0,()0,()0,()0ϕηϕηϕηϕη''''''''====
第三次应用罗尔定理得，存在112223334(,),(,),(,)ξηηξηηξηη∈∈∈ 使得123()0,()0,()0ϕξϕξϕξ'''''''''===，
第四次应用罗尔定理得，存在112223(,),(,)μξξμξξ∈∈ 使得(4)(4)12()0,()0ϕμϕμ==，
第五次应用罗尔定理得，存在12(,)τμμ∈
使得(5)()0ϕτ= 注意到
（()()()r t f t p t =-中p(t)是4次函数，其5次导数为0）。

所以
(5)(5)(5)
()()()5!()=0()=5!
f f k x k x ξϕττ=-⇒，
代入余项表达式，有
(5)22()
()()()(1)(3)5!
f r x f x p x x x x ξ=-=+-。

指出：
本题是非标准插值问题，比较简单的求解方法有：
①求插值问题的基本方法是待定系数法。

以本题来说，有5个条件，可以确定一个4次的插值多项式，设为23301233y a a x a x a x a x =++++，将条件代入，建立一个5元的线性方程组，求出各参数，就可以求出插值多项式。

②求插值问题的第二种方法是基函数法，即根据给定条件设定插值多项式的结构和各基函数的结构，根据条件确定基函数即可。

具体方法与拉格朗日插值基函数构造和埃尔米特插值基函数构造相似。

③以标准插值为基础的方法是一种更简单的方法，本题中，首先利用4个条件构造一个埃尔米特插值，在此基础上设定所求插值多项式的一般形式，保证其满足埃尔米特插值条件，代入未利用条件解方程（组），求出其中的未知参数，即可求出插值多项式。

本题也可以先利用(1)(1)1,(0)(0)2,(3)(3)1p f p f p f -=-=-====构造一个2次插值多项式
42()()()(1)(3)p x p x ax b x x x =+++-，
满足
再根据(0)(0)0,(3)(3)1p f p f ''''====列出两个线性方程组成的方程组，求出a 、b 两个参数，即可求出所求的插值多项式。

求插值函数余项()r x 的常用方法是：
()()()r x f x p x =-应具有如下形式（以本题为例）
作辅助函数
则()t ϕ在点,1,0,3x -处有6个零点（其中0，3是二重零点）。

反复应用罗尔定理，直到至少有一个
(4,4)τ∈-，使得(5)()0ϕτ=。

此时即有
代入余项表达式即可求出。

7*、设f(x)在[-4,4]有连续的4阶导数，且
试用两种方法构造三次埃尔米特插值多项式H(x)，使其满足 (0)(0)2,(0)(0)0,(3)(3)1,(3)(3)1p f p f p f p f ''''========。

解一（待定系数法）：
解：设230123()H x a a x a x a x =+++，则
2123()23H x a a x a x '=++，
由插值条件得
解之得012325
2,0,,327
a a a a ===-=，
所以32
52()2273
H x x x =-+。

解二（基函数法）：
解：设300110011()()()()()()()()()H x f x x f x x f x x f x x ααββ''=+++，
因为线性拉格朗日插值基函数为100133()033x x x x
l x x x ---===--，01100()303x x x x l x x x --===--， 由④得 同理 由⑤得 则
32
52()2273
H x x x =
-+。

8、设()(01)x f x e x =≤≤，试作一个二次多项式p(x)，使其满足 (0)(0),(0)(0),(1)(1)p f p f p f ''===，并导出余项估计式。

解：设此二次式为2()p x a bx cx =++， 因为(),()x x f x e f x e '==， 所以，由已知条件
将其代入2(),()2p x a bx cx p x b cx '=++=+，得 所以，要求的二次多项式为 2()1(2)p x x e x =++-。

因为0是2重零点，1是1重零点，因此可以设余项具有如下形式： 2
其中K(x)为待定函数。

固定x ，作辅助函数 显然
(0)0,(0)0,()0,(1)0x ϕϕϕϕ'====， 不妨假设(0,1)x ∈。

由罗尔定理，存在12(0,),(,1)x x ξξ∈∈， 使得12()0,()0ϕξϕξ''==， 再注意到(0)0ϕ'=
再次由罗尔定理得，存在11212(0,)(0,1),(,)(0,1)ηξηξξ∈⊂∈⊂， 使得12()0,()0ϕηϕη''''==
再次应用罗尔定理，存在12(,)(0,1)ξηη∈⊂
使得
()0ϕξ'''=。

注意到
（()()()r t f t p t =-中p(t)是2次函数，其3次导数为0）。

所以
()
()()3!()=0()=3!
f f K x K x ξϕξξ'''''''''=-⇒， 代入余项表达式，有
2
2()()()()(0)(1)=(1)3!3!f e r x f x p x x x x x ξξ'''=-=---。

指出：
石瑞民《数值计算》关于余项讨论很清楚。

9、给出sinx 在[0,π]上的等距结点函数表，用线性插值计算sinx 的近似值，使其截断误差为41
102
-⨯，问该函数表的步长h 取多少才能满足要求？ 解：设(0,1,)k x k =为等距结点，步长为h ，则1k k x x h +=+ 当1[,]k k x x x +∈时，作f(x)的线性插值 则有
11()
()()()()2
k k f f x L x x x x x ξ+''-=
--， 由此易知 因此 由241
1082
h -≤⨯，得0.02h ≤。

指出：关于最大值的计算与12题相同。

10、求4()f x x =在区间[a,b]上的分段埃尔米特插值，并估计误差。

解：由分段三次埃尔米特插值多项式 则4()f x x =的分段埃尔米特插值为 其中
其余项估计式为
444(4)
()max ()4!38438416
a x
b h h h r x f x ≤≤≤=⨯=。

解：这是第一类边界条件，要求解方程组 其中
将以上数据代入方程组 解之得
将获得的数据代入到 中，得
12、设2()[,]f x C a b ∈（具有二阶连续导数），且f(a)=f(b)=0，证明： 证明：以a 、b 为节点进行插值，得
因为()()x a x b --在1
()2
x a b =+处取得最大值，故
13.
解一：
设所求的拟合函数为2y a bx cx =++， 则5
221[()]i i i i L a bx cx y ==++-∑。

对a 、b 、c 分别求偏导，并令偏导数等于0，得 将各数据点的数值代入，得方程组为 解之得a=0.4086，b=0。

42，c=0.0857， 所以数据点所反映的函数的近似关系为
解二：设所求的拟合函数为2y a bx cx =++， 将数据代入方程得
方程组的系数矩阵和右端向量为 因为 所以
解之得a=0.4086，b=0。

42，c=0.0857， 所以数据点所反映的函数的近似关系为 14
用最小二乘法求形如y a bx =+的经验公式，并计算均方误差。

解：设2y a bx =+ 则
对a 、b 分别求偏导，并令偏导数等于0，得
22222222224444422
2225(1925313844)(19.032.349.073.397.8)0(1925313844)(1925313844)(1919.02532.33149.03873.34497.8)0a b a b ⎧+⨯++++-++++=⎪⨯+++++⨯++++-⨯+⨯⎨⎪+⨯+⨯+⨯=⎩
化简得 第二个方程减去第一个方程乘以1065进一步化简得 解之得
则x 与y 的函数关系是 y=1.01+0.05x 2。

此时，平方逼近误差为
所以,
0.13=。

指出：
均方误差实际上就是按最小二乘法则确定的残差。

15
求运动方程。

解：设运动方程为s ＝a+bt 则 将上述数据代入方程组 得方程组 解之得
所以，7.855047822.25376s t =-+。

指出：
利用统计型计算器，有关中间数据可以简单求出。

16
用最小二乘法求y=f(t)。

解：描草图，观察草图可以发现，该组数据分布近似于指数函数曲线，而且随着t 的增大，y 的增速放缓，故设
b t
y ae =。

两边取对数，得
1
ln ln y a b t =+，
令1
ln ,,ln y z s a c t
===，
则拟合函数转化为线性拟合关系z c bs =+。

11
11
1
1
13.639649,0.5303303i
i i i i z
s z ====∑∑。

得
解之得 所以
7.4961692
5.2151048t
y e
-
=。

指出：
（1）T=0，该拟合函数不适用。

（2）专业的变化规律（经验函数）应当由专业人员给出。

仅仅从有限数据的草图得出的规律可能不具普遍性。

17、给定数据表
y ae =解：对bx y ae =两边取对数，得 ln ln y a bx =+，
令01ln ,ln ,y Y a a b a ===， 则
01Y a a x =+，
代入数据，建立方程组为 解之得 所以
0.13232985.9529x y e -=。

18、用最小二乘法求方程组 的近似解。

分析：这是方程个数多于未知数个数的超定方程组，是矛盾方程组，用最小二乘法求解。

解：设方程组中各个方程的一般形式为i i i a x b y c +=，则 对x 、y 分别求偏导，并令偏导数等于0，得 将数据代入得
解之得
它有形如()p x a bx =+的拟合函数，试求本问题的最小二乘解。

解：令1
y z
=，则拟合函数变形为
z a bx =+，原拟合问题转化为线性拟合问题。

则8
21[()]i i i L a bx y ==+-∑。

对a 、b 分别求偏导，并令偏导数等于0，得 将数据代入，得 解之得
所以，所求的拟合函数为
1
()520.58104.02p x x
=
-。

20、在平面上给出三个点，它们的坐标是123(1,1),(2,0),(1.5,3)T T T x x x ===，每个点对应一个函数值1231.8, 2.6, 3.1z z z ===，找出一个通过这三个点的平面。

解：这实际上是求过三个点(1,1,1.8),(2,0,2.6),(1.5,3,3.1)的平面方程。

由解析几何知识可知，平面的三点式方程为
将三点坐标代入，解此方程就可求出所求平面方程。

（以下从略）
补充题（一）
1、求次数不超过2和3的多项式p 2(x)和p 3(x)。

使得
p 2(0)＝p 3(0)＝0，p 2(1)＝p 3(1)＝1，p 2(2)＝p 3(2)＝8，p 3(3)＝27。

解一：设二次多项式为p 2(x)=a 0+a 1x+a 2x 2 ，则有 解之得，0120,2,3a a a ==-=。

所以
22()23p x x x =-+。

设三次多项式为p 3(x)=a 0+a 1x+a 2x 2＋a 3x 3 ，则有 解之得，01230,0,0,1a a a a ====。

所以
32()p x x =。

解二：由题6，可以直接利用插值多项式公式求出所要求的多项式来。

解三：在学习了差商和差分后，也可以利用牛顿插值公式或等距节点插值公式求出所求多项式。

对f(x)在0，1，2，3处求差商得 所以，
p 2(x)=p 2(0)+1×(x -0)+3×(x -0)(x-1)=3x 2-2x ，
p 3(x)=p 3(0)+1×(x -0)+3×(x -0)(x-1)+1×(x -0)(x-1)(x-2)=x 3。

2、已知函数f(x)在节点－1，0，1处的值分别是0.3679,1.000,2.7182，用待定系数法和插值基函数法两种方法求出拉格朗日插值。

解1：设所求的多项式为
22012()p x a a x a x =++，把已知条件代入得
解之得
所以
22()1 1.17510.5431p x x x =++。

解2：由插值基函数公式 代入插值公式得 即
22()1 1.17510.5431p x x x =++。

3、设f(x)=x 4，试利用拉格朗日插值余项定理写出以－1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式。

解：记三次插值多项式为p(x)，由插值余项定理 所以， 思考：
用插值多项式公式直接求插值多项式与本题求出的多项式比较一下。

4、已知sin0.32=0.314 567,sin0.34=0.333 487,sin0.36=0.352 274，用抛物线插值计算sin0.3367。

解：sin0.3367＝0.330 374。

5、设l k (x)(k=0,1,2,…,n)是n+1个互异节点x 0,x 1,x 3,…x n 上的n 次基本插值多项式，证明下面的恒等式成立
证明： 由拉格朗日插值定理，以x 0,x 1,x 2,…x n 为插值节点，对y=f(x)=x m 作n 次插值，插值多项式为
0()()n
n i i i p x l x y ==∑，
而 y i =x i m , 所以
同时，插值余项 所以 结论得证。

指出：本题说明，任何次数不超过n 的多项式的n 次拉格朗日插值多项式就是它本身。

我们也可以证明：
()1n
i i l x ==∑。

6、设x 0,x 1,x 2,…x n 是任意给定的n+1个互异节点，证明 f(x)=a 0+a 1x+…＋a n x n 关于这组节点的n 次插值多项式p n (x)就是f(x)。

证明：记n 次插值多项式为p n (x)，由插值余项定理 所以()()n p x f x =。

补充题（二）
1、令010,1x x ==，写出()x y x e -=的一次插值多项式，并估计误差。

2
12,===求
3、证明对任意的x R ∈，都有0()1n
i i l x =≡∑，其中(),(0,1,2,
,)i l x i n =定义为
4、(a)设有多项式2()53f x x x =-+，取插值节点为－2，－1，0，1，2，试求f(x)的拉格朗日插值多项式4()P x ，它与f(x)关系如何。

(b) ()n P x 表示函数f(x)在互异节点012,,,,n x x x x 上的n 次拉格朗日插值多项式。

证明如果f(x)
是()m m n ≤次多项式，则()()n P x f x ≡。

5、设2()[,]f x C a b ∈（具有二阶连续导数），且f(a)=f(b)=0，证明：
6、以－0.1,0.15,0.2为插值节点，
计算()f x =2()P x ，比较2()P x 与f(x)，看上题结果是否适用于本题。

分析与解答
1、解：记010,1x x ==，则
01011,y e y e --===。

由线性插值公式，()x y x e -=的以010,1x x ==为插值节点的一次插值多项式为
1()1(1)p x e x -=+-。

因为
所以，插值余项为 所以
01
0101
()max max (1)
2111248x r x e x x e ξξ-≤≤≤≤-≤
-=⨯⨯=。

2、解：将已知的插值条件代入抛物线插值多项式得 ＝10.7228
记()y x =，显然， 因为 所以
3、分析：关于插值基函数(),(0,1,2,
,)i l x i n =的性质的证明，在考虑证明方法时，应该从对函
数进行插值入手，通过耐心地推证或巧妙地选取被插值函数，获得所需要的结论。

由拉格朗日插值多项式的结构，本题的被插值函数显然应当取为f(x)=1。

证明：由拉格朗日插值定理，以x 0,x 1,x 2,…x n 为插值节点，对()1y f x =≡作n 次插值，插值多
项式为
0()()n
n i i i p x l x y ==∑，
而 y i =1 所以
同时，插值余项 所以 结论得证。

4、(a)解：由 得 所以
可见，求出的插值多项式就是被插值函数本身。

指出：可以用余项定理直接求。

(b)证明：记n 次插值多项式为()n P x ，
01()()m m f x a a x a x m n =++
+≤，
由插值余项定理 所以()()n P x f x ≡。

5、分析：本题要证的结论是()f x 与()f x ''的关系，而用泰勒展开的方法难以奏效。

因为用泰勒展开，不外乎在a,b 或者使得()0f x '=的点处展开，但这些点处的展开式都不能直接得到()f x 与
()f x ''的关系式。

在本节我们讨论多项式插值问题，而且又有条件f(a)=f(b)=0，容易想到，如果用线性插值，线性插值函数只能为0，且误差为1
()()()2!
f x a x b ξ''--，直接把()f x 与()f x ''联系起来，有可能得出结果。

证明：以a 、b 为节点进行插值，得
因为()()x a x b --在1
()2x a b =+处取得最大值，故
得证。

6、解：由 得 下略。

实际上本题错误，因为－0.15不能开平方，即求不出0y 。

因本题是课本原题，故进行上述分析。