2.5.2 圆与圆的位置关系 导学案正文

2.5.2 圆与圆的位置关系
【学习目标】
1.能描述圆与圆的位置关系.
2.能根据给定两圆的方程判断两个圆的位置关系.
◆ 知识点 圆与圆的位置关系
1.两圆的位置关系主要包括:外离、 、 、 和内含.
2.两圆的位置关系的判断:
(1)代数法:已知圆C 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0(D 12+E 12-4F 1>0),圆C 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0(D 22+E 22
-4F 2>0),
由{x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0,x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0,消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,则要求出方程组的解进行判断),计算判别式Δ的值,按下表中判断标准进行判断.
(2)几何法:两圆的半径分别为r 1,r 2,计算两圆的圆心距d ,按下表中判断标准进行判断. (3)判断标准:
位置关系 外离
外切
相交
内切
内含
图示
公共点个数 0 1
2
1 0 Δ的值 Δ<0
Δ=0
Δ<0 d 与r 1,r 2 的关系
d= r 1+r 2
d< |r 1-r 2|
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两圆的方程联立,若方程组有两个解,则两圆相交. ( )
(2)若两个圆没有公共点,则两圆一定外离. ( )
(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;反之也成立. ( ) (4)当两圆的方程组成的方程组无解时,两圆一定外离.
( )
◆ 探究点一 两圆位置关系的判断及应用
例1 (1)已知圆C 1:x 2+y 2-2x+4y+4=0和圆C 2:4x 2+4y 2-16x+8y+19=0,则这两个圆的公切线的条数为
( )
A .1或3
B .4
C .0
D .2
(2)已知圆O1:(x+1)2+(y-1)2=1与圆O2:(x-3)2+(y+2)2=r2(r>0)相内切,则r= ( )
A.4
B.5
C.6
D.√13
变式 (1)若圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-2mx+m2-m=0外切,则实数m的值为( )
A.-1
B.1
C.1或4
D.4
(2)已知圆C1:x2+y2=m2(m>0)与圆C2:x2+y2-2x-4y-15=0恰有两条公切线,则实数m的取值范围
是.
◆探究点二两圆公共弦问题
例2 (1)已知圆C1:x2+(y-2)2=5和C2:(x+2)2+y2=5交于A,B两点,则|AB|=( )
A.√3
B.2√3
C.√23
D.2√23
(2)已知圆O1:x2+y2=1与圆O2:x2+y2-2x+2y+F=0(F<1)相交所得的公共弦的长为√2,则圆O2的半径r=
( )
A.1
B.√3
C.√5或1
D.√5
变式已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程;
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
[素养小结]
解决两圆公共弦问题的方法如下:
(1)当两圆相交时,利用两圆方程相减,可得公共弦所在直线的方程;
(2)在由半径、弦心距、弦长的一半为三边边长的直角三角形中,利用勾股定理可求弦长;
(3)根据公共弦的中垂线过两圆圆心,可得公共弦的中垂线所在直线的方程.
◆探究点三圆与圆的位置关系的综合问题
例3 (1)(多选题)在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(0,2),圆C:(x-a)2+y2=1.若圆C上存在点M,使得|MA|2+|MB|2=12,则实数a的值可能是( )
A.-1
B.0
C.1+2√2
D.-2
(2)已知圆C与两圆C1:x2+(y+4)2=1,C2:x2+(y-2)2=1均外切,求圆C的圆心的轨迹方程.
变式已知线段AB的端点B的坐标是(6,5),端点A在圆C1:(x-4)2+(y-3)2=4上运动.
(1)求线段AB的中点P的轨迹C2的方程;
(2)设圆C1与曲线C2的两个交点为M,N,求线段MN的长.
[素养小结]
1.圆与圆的位置关系的综合问题常见的类型有公切线问题、公共弦问题、轨迹问题等,要注意利用图形的几何性质优化思路、减少运算量.
2.圆与圆的位置关系问题有时需要通过建立适当的平面直角坐标系,求得满足条件的动点的轨迹方程,从而得到动点的轨迹,通过研究它的轨迹方程与圆的方程的关系,判断所得的轨迹与圆的位置关系.。