推荐学习K12九年级数学下册 专题突破讲练 几何体的三视图试题 (新版)青岛版

几何体的三视图
几何体的三视图
1. 位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图（1）所示。

2. 大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则。

如图（2）所示。

方法归纳：物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放。

三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础。

总结：
1. 理解三视图所反映物体的长、宽、高的关系。

2. 能利用三视图的知识解决一些实际问题。

例题1有一个骰子，它的三种放法如图所示，那么这三种放法的下底面上的点数的和是（）
A. 10
B. 12
C. 14
D. 18
①②③
解析：与1点相邻的面有4个，从图①②③可以看出2点、3点、4点、5点都与1点相邻，所以与1点相对面上是6点，再根据类似的方法确定其它面上的点数。

答案：由①②③可知1点与2、3、4、5点都相邻，1点的对面是6。

由①②可知，4点与1、2、5点相邻，它的对面是3点，则2点的对面是5点。

图①②③下底面上的点数分别为5、3、6，所以这三种放法的下底面上的点数之和为5＋3＋6＝14。

点拨：这种题重点考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力。

解答此类问题的基本规律是依靠相邻面的关系推出相对面的关系。

例题2一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为1dm的正方体在课桌上摆成如图所示的形式，然后把露出的表面都涂上不同的颜色，那么被他涂上颜色部分的面积为多少？
解析：美术老师将这个立体模型露出的表面涂上颜色，除了下面不能涂以外，其他的五个方位（上、左、右、前、后）都要涂上颜色，但各正方体重合的部分不涂颜色。

答案：这个模型的主视图如图（1）所示，它的面积是6dm2，其它的三个侧面的视图和它一样，故侧面积是6dm2×4＝24dm2；这个模型的俯视图如图（2）所示，它的面积是3dm2×3＝9dm2。

所以涂上颜色的总面积是24dm2＋9dm2＝33dm2。

点拨：本题利用画三视图的方法求立体图形的表面积是非常巧妙的，特别是求这些正方体向上的面的面积时，其实是运用了平移的思想将需要涂颜色的面拼成了一个大的正方形。

我们可以得到这样一个规律：从上、左、右、前、后所看到的视图的面积就是需要涂颜色的面积。

画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图。

满分训练三棱柱的三视图如图所示，△EFG中，EF＝8cm，EG＝12cm，∠EGF＝30°，则AB的长为多少cm？
解析：根据三视图的对应情况可得出，△EFG 中FG 边上的高即为AB 的长，进而求出即可。

答案：过点E 作EQ⊥FG 于点Q ，由题意可得出：EQ ＝AB ，∵EG＝12cm ，∠EGF＝30°，∴EQ＝AB ＝EGsin30°＝12×1
2
＝6（cm ）。

点拨：此题主要考查了由三视图解决实际问题，根据已知得出FQ ＝AB 是解题关键。

（答题时间：30分钟）
一、选择题
1. 下列几何体中，主视图相同的是（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ①④
D. ②④
2. 过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面截去一个三棱锥所得到的几何体如图所示，它的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图为（）
A. B. C. D.
4. 如果用表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示三个立方体叠加，那么下图由6个立方体叠成的几何体的主视图是（）
A B C
二、填空题
5. 如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是__________。

6. 如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值是__________
**7. 如图所示，立方体的六个面上标着连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这六个数的和为__________。

**8. 如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图①中，共有1个小立方体，
其中1个看得见，0个看不见；如图②中，共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中，共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；……，则第⑥个图中，看得见的小立方体有__________个。

三、解答题
*9. 由7个相同的小立方体搭成的几何体如图所示， （
1）请画出它的三视图。

（2）请计算它的表面积。

（棱长为1）
*10.
（1）一个透明的玻璃正方体内镶嵌了一条铁丝（如图1所示），请指出右边的两个图是从正方体的哪个方向看到的视图；（2）如图2所示，粗线表示嵌在玻璃正方体内的一根铁丝，请画出该正方体的主视图、左视图和俯视图。

**11. 如图所示，长方体ABCD －A′B′C′D′长、宽、高分别为a ，b ，c 。

用它表示一个蛋糕，横切两刀，纵切一刀，再立切两刀，可分成2×3×3＝18块大小不一的小长方体蛋糕，这18块小蛋糕的表面积之和是多少？
c
**12. 图甲是用3个小立方体构成的，图乙是用9个图甲组成的立方体，如果从图乙的底面看，可能有多少种不同的连接方式？
1. B 解析：圆柱的主视图是长方形，圆锥的主视图是三角形，长方体的主视图是长方形，球的主视图是圆，故选B。

2. B 解析：所给图形的俯视图是B选项所给的图形。

3. A 解析：从左面看易得第一层有3个正方形，第二层最左边有一个正方形，故选A。

4. B 解析：从正面看，左边一列有两个正方体，但是上下两层，不叠加，中间一列有三个正方体，右边一列是一个正方体，故选B。

5. 左视图解析：若1个小正方体的侧面面积是1，那么其左视图的面积是3，主视图的面积是5，俯视图的面积是5，所以三种视图中面积最小的是左视图。

6. 6 解析：把此图折成正方体，2与6相对，3与4相对，1和5相对，相对面上数字之和的最小值是6。

7. 39 解析：根据题意这六个数中的四个数分别是4、5、6、7。

若6与4相对，则与5相对的数是5，不符合题意；当6与5相对时同样不符合题意，所以6必与7相对，此时6＋7＝4＋9＝5＋8，这六个数是4、5、6、7、8、9，其和为39。

8. 91 解析：每个图中的小立方体的个数分别是13，23，33，…，所以第⑥个图中小立方体的个数是63＝216；看不见的小立方体个数，图①有0个，图②有1，图③有8个，分别是（1－1）3，（2－1）2，（3－1）3，…，所以图⑥中看不见的小立方体个数是（6－1）3＝125。

所以图⑥中看得见的小立方体有216－125＝91（个）。

9. 解：（1）如图所示：
（2）从正面看，有5个面，从后面看有5个面，从上面看，有5个面，从下面看，有5个面，从左面看，有3个面，从右面看，有3个面，中间空处的两边两个正方形有2个面，∴表面积为（5＋5＋3）×2＋2＝26＋2＝28。

10. 解：（1）俯视图；主视图（注意不是左视图，此正方体是透明的）；（2）
11. 解：横切两刀，与ABCD面积相同的面有2×3＝6个；纵切一刀，与AA'B'B面积相同的面有
2×2＝4个；立切两刀，与AA'D'D面积相同的面有2×3＝6个。

那么这18块小蛋糕的表面积之和就是以上各面面积之和。

由题意得，这18块小蛋糕的表面积之和＝2×3×ab＋2×2×ac＋2×3×bc ＝6ab＋4ac＋6bc。

12. 解：有6种可能。