2025届陕西省兴平市西郊中学高三第三次模拟考试数学试卷含解析

2025届陕西省兴平市西郊中学高三第三次模拟考试数学试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数cos 23sin 20,2y x x x π⎛⎫
⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的单调递增区间是（ ） A ．06
,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．0,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．,62ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．,32ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦ 2．已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得2
19m n a a a ⋅=，则
19
m n
+的最小值为（ ）. A ．16 B ．
283
C ．5
D ．4
3．设椭圆E ：()22
2210x y a b a b
+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 、C 为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF 交
直线AC 于M ，且M 为AC 的中点，则椭圆E 的离心率是（ ） A ．
2
3
B ．
12
C ．
13
D ．
14
4．已知复数41i
z i
=+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
5．若函数3
2
()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6．已知集合2
{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则 A ．{|02}A B x x ⋂=<< B ．{|2}A B x x ⋂=< C ．{|2}A B x x ⋃=<
D ．{|12}A
B x x =-<<
7．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段
上一点.若二面角与二面角
的平面角相等，则直线
经过
的（ ）
A ．重心
B ．垂心
C ．内心
D ．外心
9．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（ ）
A ．7π
B ．6π
C ．5π
D ．4π
10．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m =，例如
112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）．
A ．21
B ．22
C ．23
D ．24
11．若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( )
A ．51-
B ．
51
2
- C ．51+
D ．
51
2
+ 12．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是
3
4
，则判断框中应填入的条件是（ ）
A ．5?i >
B ．5?i <
C ．4?i >
D ．4?i <
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件{A =抽到一等品}，事件{B =抽到二等品}，事件{C =抽到三等品}，且已知()0.65P A =，()0.2P B =， ()0.1P C =，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________
14．如图，在矩形ABCD 中，24==AD AB ，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE CE ，折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABCDE 的外接球的体积为__________.
15．如图，在△ABC 中，E 为边AC 上一点，且3AC AE =，P 为BE 上一点，且满足(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则
13
3n m
++的最小值为______．
16．双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点为()12,0F -，
点()
0,5A ，点P 为双曲线右支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的实轴长为________，离心率为________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分） [选修4
5：不等式选讲]
已知a b c d ,,,都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222111115
a b c d a b c d
+++
++++． 18．（12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，13AA =，过顶点A ，1C 的平面与棱1BB ，1DD 分别交于M ，N 两点（不在棱的端点处）.
（1）求证：四边形1AMC N 是平行四边形； （2）求证：AM 与AN 不垂直；
（3）若平面1AMC N 与棱BC 所在直线交于点P ，当四边形1AMC N 为菱形时，求PC 长. 19．（12分）在①23
16b b a =，②412b a =，③5348S S -=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的正整
数k 存在，求k 的值；若不存在，说明理由.
设正数等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，{}n a 是等差数列，__________，34b a =，12a =，35730a a a ++=，是否存
在正整数{}n b ，使得1
32k k k S S b +=++成立？
20．（12分）为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为1:4，且成绩分布在[0,60]的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中,,a b c 构成以2为公比的等比数列.
（1）求,,a b c 的值；
（2）填写下面22⨯列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？ 文科生 理科生 合计 获奖 6 不获奖 合计
400
（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为X ，求X 的分布列及数学期望.
附：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
()2P K k
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21．（12分）已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别是,,,a b c 其中2,3a c ==（1）若角A 为锐角，且3
sin 3
C =
，求sin B 的值； （2）设2()3cos 3cos f C C C C =+，求()f C 的取值范围. 22．（10分）已知{}n a 是递增的等比数列，11a =，且22a 、
33
2
a 、4a 成等差数列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2123
1
log log n n n b a a ++=
⋅，n *∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S .
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果. 【详解】
因为cos 22y x x =-2sin(
2)2sin(2)66x x π
π=-=--，由3222,262
k x k k πππ
ππ+-+∈Z ≤≤，解得5,3
6k x k k Z π
π
ππ+≤≤
+∈，即函数的增区间为5[,],36
k k k ππππ++∈Z ，所以当0k =时，增区间的一个子集为[,]32
ππ
.
故选D. 【点睛】
本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性，同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易. 2、D 【解析】
由76523a a a =+，可得3q =，由2
19m n a a a ⋅=，可得4m n +=，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.
【详解】
设等比数列公比为(0)q q >，由已知，52
5523a a q a q =+，即2
23q q =+， 解得3q =或1q =-（舍），又2
19m n a a a ⋅=，所以211111339m n a a a --⋅=，
即2233m n +-=，故4m n +=，所以
1914m n +=1919()()(10)4n m m n m n m n
++=++ 1
(1029)44
≥+=，当且仅当1,3m n ==时，等号成立. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题，涉及到等比数列的知识，是一道中档题. 3、C 【解析】
连接OM ，OM 为ABC ∆的中位线，从而OFM AFB ∆∆，且
12OF FA =，进而1
2
c a c =-，由此能求出椭圆的离心率. 【详解】
如图，连接OM ，
椭圆E ：()22
2210x y a b a b
+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，
B 、
C 为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B 在第二象限， 直线BF 交直线AC 于M ，且M 为AC 的中点
∴OM 为ABC ∆的中位线，
∴OFM
AFB ∆∆，且
1
2
OF FA =， 12
c a c ∴
=-， 解得椭圆E 的离心率13
c e a ==. 故选：C 【点睛】
本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题.
4、A 【解析】
利用复数除法运算化简z ，由此求得z 对应点所在象限. 【详解】
依题意()
()()
()41212211i i z i i i i i -=
=-=++-，对应点为()2,2，在第一象限. 故选A. 【点睛】
本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题. 5、D 【解析】
对函数求导，根据函数在3x =-时取得极值，得到()30f '-=，即可求出结果. 【详解】
因为()3
2
39f x x ax x =++-，所以()2
323f x x ax =++'，
又函数()3
2
39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，
所以()327630f a -=-+='，解得5a =. 故选D 【点睛】
本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型. 6、D 【解析】
因为2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<,2{|log 1}{|02}B x x x x =<=<<,所以
{|01}A B x x =<<,{|12}A B x x =-<<,故选D ．
7、C 【解析】
根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项. 【详解】
由图可知，ABD 选项可以围成三棱柱，C 选项不是三棱柱展开图. 故选：C
【点睛】
本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题. 8、A 【解析】
根据题意到两个平面的距离相等，根据等体积法得到，得到答案.
【详解】 二面角与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等.
故，即，两三棱锥高相等，故
，
故，故为
中点.
故选：. 【点睛】
本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 9、C 【解析】
几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，计算得到答案. 【详解】
几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为
21
322152
πππ⨯⨯+⨯=. 故选：C . 【点睛】
本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 10、C 【解析】
从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C.
11、C 【解析】
由复数的几何意义可得12z z -表示复数12z i =+，2cos sin z i αα=+对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解. 【详解】
由复数的几何意义可得，复数12z i =+对应的点为()2,1，复数2cos sin z i αα=+对应的点为()cos ,sin αα，所以
121z z -=，其中tan φ2=，
故选C 【点睛】
本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将12z z -转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型. 12、D 【解析】
首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项． 【详解】
经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，
第一次循环：11
0112122S i =+
==+=⨯，； 第二次循环：112
2132233S i =+
==+=⨯，； 第三次循环：213
3143344
S i =+
==+=⨯，， 此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ． 【点睛】
题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；
(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、0.35 【解析】
根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来． 【详解】
解：由题意知本题是一个对立事件的概率， 抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，
()0.65P A =，
∴抽到不是一等品的概率是()110.650.35P P A =-=-=，
故答案为：0.35． 【点睛】
本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题． 14、
323
π 【解析】
根据题意，画出空间几何体，设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，，并连接
AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体ABCDE 的外接球的球
心为O ，即可求得其外接球的体积. 【详解】
由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图所示，
设BE EC BC ，，的中点分别为M N O ，，， 连接AM CM AO DN NO DO OE ，，，，，，， 则OM BE ⊥，ON CE ⊥.
因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ， 所以OM ⊥平面ABE ，ON ⊥平面DEC ， 易得2OA OB OC OD OE =====，
则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径2R =， 所以几何体ABCDE 的外接球的体积为343233
V R ππ=
=. 故答案为：32
3
π. 【点睛】
本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题. 15、15 【解析】
试题分析：根据题意有3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，因为,,B P E 三点共线，所以有31m n +=，从而有
13139(3)()33m n m n n m n m n m
+=++=+++62912≥+=，所以的最小值是12315+=．
考点：向量的运算，基本不等式．
【方法点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，属于中档题目，在解题的过程中，关键步骤在于对题中条件的转化3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，根据,,B P E 三点共线，结合向量的性质可知31m n +=，从而等价于已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的最值的问题，两式乘积，最后应用基本不等式求得结果，最后再加3，得出最后的答案． 16、2 2 【解析】
设双曲线的右焦点为()22,0F ，根据1APF ∆周长为11223PF PA AF AF a ++≤++，计算得到答案. 【详解】
设双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为()22,0F .
1APF ∆周长为：11222323628PF PA AF PF a PA AF a a ++=+++≤++=+=.
当2APF 共线时等号成立，故1a =，即实轴长为22a =，2c
e a
==. 故答案为：2；2. 【点睛】
本题考查双曲线周长的最值问题，离心率，实轴长，意在考查学生的计算能力和转化能力.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、见解析 【解析】
试题分析：把不等式的左边写成()()()()222211111111a b c d a b c d a b c d ⎛⎫
⎡⎤++++++++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭
形式，利用柯西不
等式即证．
试题解析：证明：∵()()()()222211111111a b c d a b c d a b c d ⎛⎫
⎡⎤++++++++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭
2
1?1?1?1?1111a b c d a b c d a b c d ≥++++++++
()2
1a b c d =+++=，
又()()()()11115a b c d +++++++=，
∴2222111115
a b c d a b c d +++≥++++ 考点：柯西不等式
18、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）=2PC . 【解析】
（1）由平面11ABB A 与平面11DCC D 没有交点，可得AM 与1NC 不相交，又AM 与1NC 共面，所以//AM 1NC ，同理可证//AN 1MC ，得证；（2）由四边形1AMC N 是平行四边形，且1MN AC ≠，则1AMC N 不可能是矩形，所以AM 与AN 不垂直；（3）先证11Rt ABM Rt C B M ≅，可得M 为1BB 的中点，从而得出B 是PC 的中点，可得PC . 【详解】
（1）依题意1A M C N ，，，都在平面1AC 上， 因此AM ⊆平面1AC ，1NC ⊆平面1AC ， 又AM ⊆平面11ABB A ，1NC ⊆平面11DCC D ，
平面11ABB A 与平面11DCC D 平行，即两个平面没有交点， 则AM 与1NC 不相交，又AM 与1NC 共面， 所以//AM 1NC ，同理可证//AN 1MC ， 所以四边形1AMC N 是平行四边形；
（2）因为M ，N 两点不在棱的端点处，所以11MN BD AC <=， 又四边形1AMC N 是平行四边形，1MN AC ≠， 则1AMC N 不可能是矩形，所以AM 与AN 不垂直； （3）如图，延长1C M 交CB 的延长线于点P ，
若四边形1AMC N 为菱形，则1AM MC =，易证11Rt ABM Rt C B M ≅， 所以1BM B M =，即M 为1BB 的中点， 因此11
2
BM CC =
，且1//BM CC ，所以BM 是1PCC 的中位线， 则B 是PC 的中点，所以22PC BC ==. 【点睛】
本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题，和线段长的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，属中档题. 19、见解析 【解析】
根据等差数列性质及12a =、35730a a a ++=，可求得等差数列{}n a 的通项公式，由34b a =即可求得3b 的值；根据
等式1
32k k k S S b +=++，变形可得132k k b b +=+，分别讨论取①②③中的一个，结合等比数列通项公式代入化简，检
验是否存在正整数k 的值即可. 【详解】
∵在等差数列{}n a 中，3575330a a a a ++==，
∴510a =， ∴公差51
251
a a d -=
=-， ∴()112n a a n d n =+-=， ∴3
48b a ==，
若存在正整数k ，使得1
32k k k S S b +=++成立，即132k k b b +=+成立，设正数等比数列的公比为{}n b 的公比为
()0q q >，
若选①，∵2316b b a =，
∴24b =， ∴3
2
2b q b =
=， ∴2n
n b =， ∴当5k =时，满足6532b b =+成立.
若选②，∵41224b a ==，
∴4
3
3b q b ==， ∴383n n
b -=⋅，
∴23838332n n --⋅=⋅+， ∴332n -=方程无正整数解， ∴不存在正整数k 使得132k k b b +=+成立.
若选③，∵5348S S -=，
∴45
48b b +=，
∴28848q q +=， ∴260q q +-=， ∴解得2q
或3q =-（舍去），
∴2n
n b =， ∴当5k =时，满足6532b b =+成立.
【点睛】
本题考查了等差数列通项公式的求法，等比数列通项公式及前n 项和公式的应用，递推公式的简单应用，补充条件后求参数的值，属于中档题.
20、（1）0.005a =，0.01b =，0.02c =.（2）填表见解析；在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关（3）详见解析
【解析】
（1）根据频率分步直方图和,,a b c 构成以2为公比的等比数列，即可得解；
（2）由频率分步直方图算出相应的频数即可填写22⨯列联表，再用2K 的计算公式运算即可； （3）获奖的概率为20140020=，随机变量1~2,20x B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，再根据二项分布即可求出其分布列与期望.
【详解】
解：（1）由频率分布直方图可知，10()110(0.0180.0220.025)0.35a b c ⨯++=-⨯++=， 因为,,a b c 构成以2为公比的等比数列，所以 2 4 0.035a a a ++=，解得0.005a =， 所以 2 0.01b a ==，40.02c a ==. 故0.005a =，0.01b =，0.02c =.
（2）获奖的人数为0.0051040020⨯⨯=人，
因为参考的文科生与理科生人数之比为1: 4，所以400人中文科生的数量为1
400805
⨯
=，理科生的数量为40080320-=.
由表可知，获奖的文科生有6人，所以获奖的理科生有20614-=人，不获奖的文科生有80674-=人. 于是可以得到22⨯列联表如下：
2
2
400(63061474) 1.32 6.6352038080320
K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯
所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关. （3）由（2）可知，获奖的概率为
201
40020
=， X 的可能取值为0，1，2，
2
02119361(0)2020400P X C ⎛⎫⎛⎫
==⋅⋅=
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，
1
1
12
1193819(1)2020400200P X C ⎛⎫
⎛⎫==⋅⋅==
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭， 2
221191(2)2020400
P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭， 分布列如下：
数学期望为3611911
()01240020040010
E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查频率分布直方图、统计案例和离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的阅读理解能力和计算能力，属于中档题．
21、（1）9
；（2）33,22⎡+⎢⎣.
【解析】
（1）由正弦定理直接可求sin A ，然后运用两角和的正弦公式算出sin B ；
（2）化简()3232f C C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由余弦定理得22211cos 24a b c C b ab b +-⎛⎫
=
=+ ⎪⎝⎭
，利用基本不等式求出1
cos 2
C ≥
，确定角C 范围，进而求出()f C 的取值范围. 【详解】
（1）由正弦定理，得：
sin sin a c
A C
= sin 2
sin 3
a C A c ∴=
= sin sin C A ∴<，且A 为锐角
cos 33
C A ∴=
=
sin sin()sin cos cos sin 9
B A
C A C A C ∴=+=+=
（2）(
)1cos213 23sin22
222
C
f C C C C ⎫
+
=+⨯=+
⎪⎪
⎭
3
2
32
C
π
⎛⎫
=++
⎪
⎝⎭
222111
cos
242
a b c
C b
ab b
+-⎛⎫
==+≥
⎪
⎝⎭
0,
3
C
π
⎛⎤
∴∈ ⎥
⎝⎦
2
33
C+
ππ
π
⎛⎤
∴∈ ⎥
⎝⎦
，
[]
sin20,1
3
C
π
⎛⎫
∴+∈
⎪
⎝⎭
(
)33,
22
f C
⎡
∴∈+
⎢⎣
【点睛】
本题主要考查了正余弦定理的应用，基本不等式的应用，三角函数的值域等，考查了学生运算求解能力.
22、（Ⅰ）1
2n
n
a；（Ⅱ）()()
323
4212
n
n
S
n n
+
=-
++.
【解析】
（Ⅰ）设等比数列{}n a的公比为q，根据题中条件求出q的值，结合等比数列的通项公式可得出数列{}n a的通项公式；（Ⅱ）求得
111
22
n
b
n n
⎛⎫
-
⎪
+
⎝⎭
=，然后利用裂项相消法可求得
n
S.
【详解】
（Ⅰ）设数列{}n a的公比为q，由题意及11
a=，知1
q>.
2
2a、
3
3
2
a、
4
a成等差数列成等差数列，
342
32
a a a
∴=+，23
32
q q q
∴=+，
即2320
-+=
q q，解得2
q或1
q=（舍去），2
q
∴=.
∴数列{}n a的通项公式为11
1
2
n n
n
a a q--
==；
（Ⅱ）()
2123
11111
log log222
n
n n
b
a a n n n n
++
⎛⎫
===-
⎪
⋅++
⎝⎭
，
1111111111
1
232435112
n
S
n n n n
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥
-++
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
()()
1311323
221244212
3111
212
n
n
n
n n n n
⎛⎫
=-
=
⎭
+
⎛
-+
+
⎫
-=-
⎪
+++
⎝⎭⎝
++
⎪.
【点睛】
本题考查等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.。