高考数学压轴专题人教版备战高考《坐标系与参数方程》易错题汇编含答案解析

【最新】数学《坐标系与参数方程》试卷含答案
一、13
1．
已知直线:2x l y t
⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），抛物线C 的方程2
2,y x l =与C 交于12,P P ，则点
()0,2A 到12,P P 两点距离之和是（ ）
A
．4 B
．2(2+
C
．4(2
D
．8+
【答案】C 【解析】 【分析】
先写出直线的标准参数方程，再代入y 2＝2x ，利用直线参数方程t 的几何求解. 【详解】
将直线l
参数方程化为2122x y t ''⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
(t′为参数)，代入y 2＝2x ，得t′2＋4(2
＋16＝0，
设其两根为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2
， t 1′t 2′＝16>0.
由此知在l 上两点P 1，P 2都在A(0，2)的下方， 则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2
． 故答案为C 【点睛】
(1)本题主要考查直线的参数方程和t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 过定点()00,P x y 、倾斜角为α的直线的参数方程00x x tcos y y tsin α
α
=+⎧⎨
=+⎩（t 为参数）.当动点A 在定点()00,P x y 上方时,0,||t t PA >=且. 当动点B 在定点
()00,P x y 下方时,0,|t t PB =-且.(3)解答本题不能直接把参数方程代入圆的方程，一定
要化成标准形式，才能利用参数方程t 的几何意义解答.
2．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中
取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是1
3x t y t =+⎧⎨=-⎩
（t 为参数），圆C 的极坐标方程
是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）
A
B
．
C
D
．【答案】D 【解析】
【分析】
先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长. 【详解】
由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4， 圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，
圆心到直线l 的距离d =，
直线l 被圆C 截得的弦长为= 【点睛】
(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式
||AB =.
3．在极坐标系中，已知圆C 经过点6P π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，，圆心为直线sin 4πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
轴的交点，则圆C 的极坐标方程为 A ．4cos ρθ= B ．4sin ρθ=
C ．2cos ρθ=
D ．2sin ρθ=
【答案】A 【解析】 【分析】
求出圆C 的圆心坐标为（2，0），由圆C 经过点6P π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，得到圆C 过极点，由此能求
出圆C 的极坐标方程． 【详解】
在sin 4πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
中，令0θ=，得2ρ=， 所以圆C 的圆心坐标为（2，0）. 因为圆C 经过点6P π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，，
所以圆C 的半径2r ==，
于是圆C 过极点，
所以圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. 故选A 【点睛】
本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．
4．已知曲线C 的极坐标方程为：2cos 4sin ρθθ=-，P 为曲线C 上的动点，O 为极点，则PO 的最大值为（ ）
A ．2
B ．4
C D ．【答案】D 【解析】 【分析】
把极坐标方程变成直角坐标方程，通过最大距离d r =+求得答案。

【详解】
因为2cos 4sin ρθθ=-，所以22cos 4sin ρρθρθ=-， 22
24x y x y +=-，即
22
(-1）+（y+2）5x =。

圆心为（1，-2），半径r =O 到圆上的最大距离，
等于点O 到圆心的距离d 加上半径r ，且d ==
，所以PO
的最大值为D 。

【点睛】
本题主要考查已知点与圆上一点的最大距离的求法。

5．直线34100x y ++=和圆25cos 15sin x y θ
θ=+⎧⎨=+⎩
的位置关系是（ ）
A ．相切
B ．相离
C ．相交但不过圆心
D ．相交且过圆心
【答案】C 【解析】 【分析】
将圆的参数方程25cos ()15sin x y θ
θθ=+⎧⎨
=+⎩
为参数化成圆的普通方程，则可得其圆心，和半径r ，再用点到直线的距离公式求出圆心到直线34100x y ++=的距离d ,再将距离d 与圆的
半径r 比大小即可解. 【详解】
解：由25cos 15sin x y θθ
=+⎧⎨=+⎩，得圆的普通方程为()()22
2125x y -+-=，
∴圆的圆心为()2,1，半径=5r ．
圆心到直线的距离4d =
=.
∵0d r <<，∴直线与圆相交但不过圆心． 故选：C ． 【点睛】
考查圆的参数方程化普通方程，考查直线和圆的位置关系，运用了点到直线的距离公式.
点到直线距离公式：点()00,P x y 到直线:0l Ax By C ++=
的距离为：
d =.
6．已知点(),x y 在圆22()(23)1x y -=++上，则x y +的最大值是( ) A ．1 B ．1- C
1 D
．1-
【答案】C 【解析】 【分析】
设圆上一点()2,3P cos sin αα+-,则1x y sin cos αα+=+-,利用正弦型函数求最值,即可得出结论 【详解】
设2
2
(2)(3)1x y -++=上一点()2,3P cos sin αα+-,
则231114x y cos sin sin cos πααααα⎛
⎫+=++-=+-=+-≤ ⎪⎝
⎭,
故选：C 【点睛】
本题考查圆的参数方程的应用,考查正弦型函数的最值
7．已知点()30A -,
，()0,3B ，若点P 在曲线1cos sin x y θ
θ=+⎧⎨=⎩
（参数[]0,2θπ∈）上运
动，则PAB △面积的最小值为（ ） A ．
92
B
．C
．62
+ D
．62
-
【答案】D 【解析】 【分析】 化简曲线1cos sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩成直角坐标,再将面积最小值转换到圆上的点到直线AB 的距离最小
值求解即可. 【详解】
由曲线1cos sin x y θθ
=+⎧⎨=⎩（参数[]0,2θπ∈）知曲线是以()1,0为圆心,1为半径的圆.
故直角坐标方程为：()2
211x y -+=.
又点()30A -,
,()0,3B 故直线AB 的方程为30x y -+=.
故当P 到直线AB 的距离最小时有PAB △面积取最小值. 又圆心()1,0到直线AB 的距离为
d =
=
故
P 到直线AB 的距离最小值为1h =.故PAB △面积的最小值为
()
1116222S AB d =
⋅=⨯=-
. 故选：D 【点睛】 本题主要考查了参数方程化直角坐标的方法与根据直线与圆的位置关系求最值的问题.属于中等题型.
8．设x 、y 满足223412,x y +=则2x y +的最大值为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．6
【答案】C 【解析】 【分析】
由2
2
3412x y +=得出22
143
x y +=，表示椭圆，写出椭圆的参数方程，利用三角函数求
2x y +的最大值.
【详解】
由题可得：22
143x y
+=则2cos (x y θθθ=⎧⎪⎨
=⎪⎩
为参数）
， 有22cos x y θθ+=+
142con θθ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
4sin 6πθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
. 因为1sin 16πθ⎛⎫
-≤+
≤ ⎪⎝
⎭
， 则： 44sin 46πθ⎛⎫
-≤+
≤ ⎪⎝
⎭
， 所以2x y +的最大值为4. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查与椭圆上动点有关的最值问题，利用椭圆的参数方程，转化为三角函数求最值.
9．椭圆3cos (4sin x y θ
θθ
=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( )
A
．
4 B
C
．
2
D
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】
椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩
的标准方程为22
1916x y +=，所以
.
所以e
＝
4
. 故答案为A 【点睛】
(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，2
2
2
,.c c a b e a
=-=
10．已知(,)P x y
是椭圆sin x y α
α⎧=⎪⎨=⎪⎩
上任意一点，则点P
到40x --=的距离的最
大值为（ ） A
．
42
+ B
．2
C
．
42
- D
．2
【答案】A 【解析】 【分析】
设点,sin )P αα，求得点P
到直线的距离为d =
数的性质，即可求解. 【详解】
由题意，点(),P x y
是椭圆x y sin α
α⎧=⎪⎨
=⎪⎩
上任意一点，
设点,sin )P αα，
则点P
到直线40x --=的距离为
d==
当cos()1
4
π
α+=-时，距离d
A.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应
用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点,sin)
Pαα，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
11．在极坐标系中，曲线4sin
6
π
ρθ⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
关于（）
A．直线
3
π
θ=对称B．直线
6
π
θ=对称C．点2,
6
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
对称D．极点对称
【答案】A
【解析】
【分析】
由4sin
6
π
ρθ⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
，得直角坐标方程：22
20
x x y
-+-=
，圆心为(，又
因为直线
3
π
θ=
即：y=
过点(，由此便可得出答案.
【详解】
由曲线4sin
6
π
ρθ⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
，即：24sin
6
π
ρρθ⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
，又因为
cos
sin
x
y
ρθ
ρθ
=
⎧
⎨
=
⎩
，化简得曲线
的直角坐标方程：22
20
x x y
-+-=
，故圆心为( .
又因为直线
3
π
θ=,
直角坐标方程为：y=
，直线y=
过点(，故曲线关于
直线
3
π
θ=对称
故选：A.
【点睛】
本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.
12．把曲线1
2cos
2sin
x
C
y
θ
θ
=
⎧
⎨
=
⎩
：（θ为参数）上各点的横坐标压缩为原来的
1
4
，纵坐标压缩为
原来的
4
，得到的曲线2C 为 A ．2
2
1241x y +=
B ．2
2
4413
y x +=
C ．2
2
13
y x +=
D ．22344x y +=
【答案】B 【解析】
根据题意，曲线C 2：
12θ x cos y θθ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（为参数），
消去参数，化为直角坐标方程是2
2
4413
y x +=
故选B ．
点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，经常用到公式：
22221
cos sin 1,1tan cos θθθθ
+=+=
.不要忘了参数的范围.
13．在极坐标系中，圆cos()3
πρ=θ+的圆心的极坐标为（ ）
A ．1(,)2
3
π-
B ．1(,
)23
π
C ．(1,)3
π
-
D ．(1,)3
π
【答案】A 【解析】
由圆cos()3
πρ=θ+
，化为21(cos )22ρρθθ=-
，∴22122
x y x y +=-，
化为221
1()(44
x y -+=，
∴圆心为1
(,4
，半径r=12． ∵tan α
=3
π-
， ∴圆cos()3
πρ=θ+的圆心的极坐标为1(,)2
3
π-． 故选A ．
14．已知曲线2cos :2sin x C y θθ=⎧⎨
=⎩（θ为参数）和直线:x t l y t b =⎧⎨=+⎩
（t 为参数，b 为实数），若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b 等于（ ）
A B ．
C ．0
D ．【答案】D 【解析】 【分析】
求出曲线C 与直线的直角坐标方程，根据题意推出圆心到直线的距离为1，列出等式求解即可. 【详解】
利用同角三角函数的基本关系可得曲线C 的直角坐标方程为2
2
4x y +=，圆的半径为2， 消去参数t 可以得到直线l 的直角坐标方程为y x b =+. 依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，
只要满足圆心到直线的距离为1
1=，解得b =
故选：D 【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，属于基础题.
15．已知点 A 是曲线2cos ρθ=上任意一点，则点 A 到直线sin()46
π
ρθ+=的距离的最
大值是（ ） A ．
9
2
B ．
72
C ．
52
D ．5
【答案】A 【解析】 【分析】
将极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出圆心到直线的距离即可 【详解】
2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，化为222x y x +=
配方为：()2
211x y -+= 可得圆心为()1,0，半径1r =
直线sin()46
π
ρθ+
=1
sin cos 42
θρθ+=
可得直角坐标方程为：80x +-=
则点 A 到直线sin()46
π
ρθ+
=的距离的最大值为：
9
12
+=
故选：A 【点睛】
极坐标的相关问题一般是将极坐标方程转化为直角坐标方程处理.
16．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3
π
θ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积
为（ ）
A ．
14
B C D ．
13
【答案】B 【解析】 【分析】
求出直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，直线3
π
θ=
与直线
cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,3
πρ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
，然后利用三角形的面积公式
121sin 23S π
ρρ=
可得出结果. 【详解】 设直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，则1cos 01ρ=，得11ρ=. 设直线3
π
θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,
3πρ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，
则22cos
sin
13
3π
π
ρρ+=，即22112ρρ+=，得21ρ=. 因此，三条直线所围成的三角形的面积为
)
1211
3sin 11232
24
S πρρ=
=⨯⨯⨯
=
， 故选：B. 【点睛】
本题考查极坐标系中三角形面积的计算，主要确定出交点的极坐标，并利用三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
17．已知实数x ，y 满足2212
x y +≤，则2222
267x y x y x +-++-+的最小值等于
（ ）
A
．5
B
．7 C
- D
．9-
【答案】D
【解析】
【分析】
设x θ=
，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．
【详解】 因为实数x ，y 满足2212
x y +„，
设x θ=，sin y θ=，
222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-
+2|cos 8|θθ-+，
22cos 8(cos 100θθθ-+=-->Q 恒成立，
222222|2||67|sin cos 899x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--… 故则2222|2||67|x y x y x +-++-+
的最小值等于9-
故选：D ．
【点睛】
本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
18．椭圆22
:1169
x y C +=上的点P 到直线:34180l x y ++=的距离的最小值为( ) A
．185+ B
．165- C
．185- D
．165
+ 【答案】C
【解析】
【分析】
设点P 的坐标为()4cos ,3sin θθ，其中[)0,2θ∈π，再利用点到直线的距离公式和三角函数的有界性，即可得答案.
【详解】
设点P 的坐标为()4cos ,3sin θθ，其中[)0,2θ∈π，
则点P 到直线l
的距离12cos 12sin 185d θθ++==
1818455
πθ⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=≥，当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，等号成立. 因为[)0,2θ∈π，所以54πθ=
. 所以当54πθ=
时，d
取得最小值185
-. 故选：C.
【点睛】
本题考查椭圆参数方程的应用、点到直线距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意点的参数设法及三角函数的有界性运用.
19．椭圆22
1164
x y +=
上的点到直线20x y +-=的最大距离是（ ） A ．3
B
C
．D
【答案】D
【解析】
【分析】 设椭圆22
1164
x y +=上的点P （4cosθ，2sinθ
），由点到直线20x y +=的距离公式，计算可得答案．
【详解】 设椭圆22
1164
x y +=上的点P （4cosθ，2sinθ） 则点P
到直线20x y +=的距离
=，
max d ==，故选D ．
【点睛】
本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．
20．已知曲线C
：2
{x y a =
=+
（t 为参数），(1,0)A -，(1,0)B ，若曲线C 上存在点P 满足0AP BP ⋅=u u u r u u u r ，则实数a 的取值范围为（ ） A
．,22⎡
-⎢⎣⎦ B ．[]1,1- C
．⎡⎣ D ．[]2,2-
【答案】C
【解析】
曲线C 化为普通方程为:y x a =+,由0AP BP u u u r u u u r ⋅=，可得点P 在以AB 为直径的圆221x y +=上,又P 在曲线C 上,即直线与圆存在公共点,故圆心()0,0到y x a =+的距离小于等于半径1,根据点到直线的距离公式有
1≤,
解得a ≤≤故选C.。