山东省威海市高三数学上学期期末考试理新人教B版

高三理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页．考试时间120分钟．满分150分．答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.复数z 满足1i z z ⋅=+，则z = （A ）1+i （B ）1i - （C ）122i -- （D ）122
i + 【答案】C
由1i z z ⋅=+得(1)1i z -=，所以11111
1(1)(1)222
i i z i i i i ++=
===----+-，选C.
2.已知R 为全集，{|(1)(2)0}A x x x =-+≤,则R C A = （A ）{|21}x x x <->或 （B ）{|21}x x x ≤-≥或 （C ）{|21}x x -<< （D ）{|21}x x -≤≤ 【答案】C
因
为
{|(A x x x =-+≤，所以
{|(1)(2)0}{(1)(2)0}{21}R A x x x x x x x x =-+>=-+<=-<<ð，选C.
3.已知(1,2),2(3,1)a a b =-=，则a b ⋅=
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】D
因为(1,2),2(3,1)a a b =-=，所以2(3,1)2(1,2)(3,1)(1,3)
b a =-=-=-，所以(1,2)(1,3)1235a b ⋅=⋅-=-+⨯=，选D.
4.有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图估计，样本数据在[
)8,10内的频数为
（A ）38 （B ）57 （C ）76 （D ）95 【答案】C
样本数据在[
)8,10之外的频率为(0.020.050.090.15)20.62+++⨯=，所以
样本数据在[)8,10内的频率为10.620.38-=，所以样本数据在[
)8,10的频数为
0.3820076⨯=，选
C. 5.{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和， 77521a S ==，，则10S =
（A ）40 （B ）35 （C ）30 （D ）28
【答案】A
设公差为d ，则由775
21a S ==，得1777()2a a S +=，即17(5)
212
a +=，解得11a =，所以716a a d =+，所以2
3
d =。

所以1011091092101040223S a d ⨯⨯=+=+⨯=，选A.
6.函数()sin(2),(||)2
f x x π
ϕϕ=+<向左平移
6π个单位后是奇函数，则函数()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值为
（A ）2-
（B ）12- （C ）12 （D ）2
【答案】A
函数()s i n (2),(||)2
f x x
π
ϕϕ=+<向左平移6π个单位后得到函数为
()sin[2()]sin(2)663
f x x x ππ
π
ϕϕ+=++=++，因为此时函数为奇函数，所以
,3
k k Z π
ϕπ+=∈，所以,3
k k Z π
ϕπ=-
+∈。

因为||2
π
ϕ<
，所以当0k =时，3
π
ϕ=-
，
所以()sin(2)3
f x x π
=-。

当02
x π
≤≤
，所以223
3
3x π
π
π-
≤-
≤
，即当233
x ππ
-=-时，
函数()sin(2)3f x x π
=-
有最小值为sin()3π-= A. 7.已知三个数2,8m ，构成一个等比数列，则圆锥曲线
22
12
x y m +=的离心率为
（A ）
2 （B （C ）2（D ）2
【答案】C
因为三个数2,8m ，构成一个等比数列，所以2
2816m =⨯=，即4m =±。

若4m =，则圆锥曲线方程为
22
142x y +=，此时为椭圆，其中2224,2,422a b c ===-=，
所以2,a c ==，离心率为c e a ==。

若4m =-，则圆锥曲线方程为
22124y x -=，此
时为双曲线，其中2222,4,426a b c ===+=，所以,a c =，离心率为
c e a =
== C.
8.若直线y kx =与圆2
2
(2)1x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，则,k b 的值分别为 （A ）1
,42
k b =
=-（B ）1,42k b =-=（C ）1,42k b ==（D ）1,42k b =-=-
【答案】A
因为直线y kx =与圆2
2
(2)1x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对
称，则y kx =与直线20x y b ++=垂直，且20x y b ++=过圆心，所以解得
1
,42
k b ==-，选A.
9.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积不可能是
（A ）1 （B ）1.5 （C ）2 （D ）3 【答案】D
由三视图可知，该几何体时一个侧面和底面垂直的的三棱锥，
，其中底面三角形BAC 为直径三角形，
PA ABC ⊥,2AB =,4PC =,设,04AC x x =<<,则PA =,所以三
棱锥的体积为2211116823233263
x x x +⨯⨯=≤⨯==，当且仅
当x =28,x x ===82
233
=，所以该三棱锥的体积不可能是3，选D.
10.已知函数()f x 的定义域为(32,1)a a -+，且(1)f x +为偶函数，则实数a 的值可以是
（A ）
2
3
（B ）2 （C ）4 （D ）6 【答案】B
因为函数(1)f x +为偶函数，所以(1)(1)f x f x -+=+，即函数()f x 关于
1x =对称，所以区间(32,1)a a -+关于1x =对称，所以
321
12
a a -++=，即2a =，所以
选B.
11.从0,1,2,3,4,5,六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位奇数，有多少种取法
（A ）72 （B ）84 （C ）144 （D ）180
【答案】B
若不选0，则有21332336C C A =，若选0，则有12112
2322248C C C C A =，所以共有
483684+=种，所以选B.
12.对于函数()f x ，如果存在锐角θ使得()f x 的图象绕坐标原点逆时针旋转角θ，所得曲线仍是一函数，则称函数()f x 具备角θ的旋转性，下列函数具有角
4
π的旋转性的是
（A ）y = （B ）ln y x = （C ）1
()2
x y = （D ）2y x = 【答案】C
设直线y x b =+，要使()f x 的图像绕坐标原点逆时针旋转角
4
π
，所得曲线
仍是一函数，则函数y x b =+与()f x 不能有两个交点。

由图象可知选C.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 注意事项：
1． 请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置．书写的答案如需
改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．
2． 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效． 3． 第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 8
(2x 的展开式中，常数项为___________. 【答案】7
展开式的通项公式为48883
18
81()((1)()22k k k k k k k
k x T C C x ---+==-，由
4803k -
=，解得6k =，所以常数项为226781
(1)()72
T C =-=。

14.
10
(2)x e x dx -=⎰
____________________.
【答案】2e -
12100
(2)()2x x e x dx e x e -=-=-⎰。

15.已知0x >，则
24
x
x +的最大值为_________________. 【答案】
14
因为
2
144x x x x
=++，又0x >
时，44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =取等号，所以1
1044x x
<
≤+，即24x x +的最大值为14。

16.已知||
|lg |,0()2
,0
x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则函数2
2()3()1y f x f x =-+的零点的个数为_______个.
【答案】5
由2
2()3()10y f x f x =-+=解得()1f x =或1
()2
f x =。

若()1f x =，当0x >时，由lg 1x =，得lg 1x =±，解得10x =或110
x =。

当0x ≤时，由21x
=得0x =。

若1
()2f x =
，当0x >时，由1lg 2x =，得1lg 2x =±
，解得x
x =0
x ≤时，由1
22
x
=
得1x =-，此时无解。

综上共有5个零点。

三、解答题（本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为c b a ,,，,A B 为锐角且B A <
，sin 5
A =
， 3
sin 25
B =.
（Ⅰ）求角C 的值；
（Ⅱ）若1b c +=，求c b a ,,的值. 18．（本小题满分12分）
为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．
（Ⅰ）求出上表中的,,,,x y z s p 的值；
（Ⅱ）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序.已知高一·二班有甲、乙两名同学取得决赛资格.
①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位、乙不在最后一位的概率；
②记高一·二班在决赛中进入前三名的人数为X ，求X 的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分）
已知数列{}n a ，15a =-，22a =-，记()A n =12n a a a ++
+，23()B n a a =+
1n a ++
+，()C n =342+n a a a +++
（*N n ∈）,若对于任意*N n ∈，()A n ，()B n ，()
C n 成等差数列.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 求数列{}||n a 的前n 项和. 20.（本小题满分12分）
三棱锥P ABC -,底面ABC 为边长为的正三角形，平面PBC ⊥平面ABC ，
2PB PC ==,D 为AP 上一点，2AD DP =，O
（Ⅰ）求证DO ∥面PBC ； （Ⅱ）求证：BD AC ⊥；
（Ⅲ）设M 为PC 中点，求二面角M BD O --的余弦值.
21.（本小题满分13分）
已知函数32
()f x ax bx =+在点(3,(3))f 处的切线方程为122270x y +-=，且对任意的
[)0,x ∈+∞，()ln(1)f x k x '≤+恒成立.
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求实数k 的最小值； （Ⅲ）求证：111
1ln(1)223
n n
+
+++
<++（*N n ∈）. 22.（本小题满分13分）
C
B
已知圆的方程为224x y +=，过点(2,4)M 作圆的两条切线，切点分别为1A 、2A ,直线
12A A 恰好经过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右顶点和上顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设AB 是椭圆122
22=+b y a x （)0>>b a 垂直于x 轴的一条弦，AB 所在直线的方程为
(||x m m a =<且0),m P ≠是椭圆上异于A 、B 的任意一点，直线AP 、BP 分别交定直线
m
a x l 2
:=于两点Q 、R ，求证4OQ OR ⋅>.
高三理科数学参考答案 一、选择题
C C
D C A ,A C A D B , B C 二、填空题
13. 7 14. 2e - 15. 1
4
16. 5 三、解答题
17.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵A
为锐角，sin 5A =
∴cos A = --------------2分 ∵B A <
，sin A =
<，∴45B < --------------3分 ∵3sin 25B =
，∴4
cos 25
B ==
∴cos B =
,sin B =分
cos cos()cos cos sin sin 2C A B A B A B =-+=-+==-
∴135C = --------------6分
（Ⅱ）由正弦定理
sin sin sin a b c
k A B C
=== --------------8分
∴2
b c k +=
，解得k =分
∴1,a b c === --------------12分 18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意知，0.18,19,6,0.12,50x y z s p ===== --------------3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，参加决赛的选手共6人， --------------4分
①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件A ，
则511454446
6+7
()10
A A A A P A A == 所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为
7
10
. --------------6分 ②随机变量X 的可能取值为0,1,2 --------------7分
2434661
(0)5A A P X A ===，
111423346
63
(1)5
C A A A P X A ===, 2434661
(2)5A A P X A ===， --------------10分
随机变量X 的分布列为：
--------------11分
因为 131
012=1555
EX =⨯
+⨯+⨯， 所以随机变量X 的数学期望为1. --------------12分
19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）根据题意()A n ，()B n ，()C n 成等差数列
∴()+()2()A n C n B n = --------------2分 整理得2121253n n a a a a ++-=-=-+=
∴数列{}n a 是首项为5-，公差为3的等差数列 --------------4分 ∴53(1)38n a n n =-+-=- --------------6分 （Ⅱ）38,2
||38,3n n n a n n -+≤⎧=⎨
-≥⎩
--------------8分
记数列{}||n a 的前n 项和为n S .
当2n ≤时，2(583)313
222
n n n n S n +-=
=-+ 当3n ≥时，2(2)(138)313
714222
n n n n S n -+-=+
=-+ 综上，22313
222
31314322
n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩ --------------12分
20.（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）连结AO 交BC 于点E ，连结PE .
O 为正三角形ABC 的中心，∴2AO OE =, 且E 为BC 中点.又2AD DP =，
∴DO ∥PE , --------------2
DO ⊄平面PBC ，PE ⊂平面PBC
∴DO ∥面PBC ． --------------4（Ⅱ）
PB PC =,且E 为BC 中点, ∴PE BC ⊥,
又平面PBC ⊥平面ABC ，
∴PE ⊥平面ABC , --------------5由（Ⅰ）知，DO ∥PE ， ∴DO ⊥平面PBC ,
∴DO AC ⊥ --------------6连结BO ,则AC BO ⊥,又DO BO O =,
∴AC ⊥平面DOB ,∴AC BD ⊥．--------------8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，,,EA EB EP 两两互相垂直，且E 为BC 中点，所以分别以,,EA EB EP 所在直线为
,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则
C
x
21
(3,0,0),(0,0,1)(1,0,),(0,(0,)
322
A B P D C M-
，------------9分
∴
3312
(0,,),(1,)
223
BM DB
=-=-
-
设平面BDM 的法向量为(,,)
n x y z
=，则
2
3
31
22
n DB x z
n BM y z
⎧
⋅
=-+-=
⎪⎪
⎨
⎪⋅=-+=
⎪⎩
，
令1
y=
，则(3,1
n =-． --------------10分
由（Ⅱ）知AC⊥平面D B O,
∴(3
AC=-为平面D
B O的法向量，
∴cos,
31
||||3
n AC
n AC
n AC
⋅
<>===，
由图可知，二面角M BD O
--的余弦值为
31
． --------------12分21. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）将3
x=代入直线方程得
9
2
y=-，∴
9
279
2
a b
+=-① --------------1分
2
()32,(3)6
f x ax bx f
''
=+=-，∴2766
a b
+=-② --------------2分
①②联立，解得
11
,
32
a b
=-=
∴32
11
()
32
f x x x
=-+ --------------3分（Ⅱ）2
()=
f x x x
'-+，∴2ln(1)
x x k x
-+≤+在[)
0,
x∈+∞上恒成立；
即2ln(1)0
x x k x
-++≥在[)
0,
x∈+∞恒成立； --------------4分
设2
()ln(1)
g x x x k x
=-++，(0)0
g=，
∴只需证对于任意的[)
0,
x∈+∞有()(0)
g x g
≥ --------------5分
[)
2
21
()21,0,
11
k x x k
g x x x
x x
++-
'=-+=∈+∞
++
设2
()21
h x x x k
=++-，
1）当=18(1)0
k
∆--≤，即
9
8
k≥时，()0
h x≥，∴()0
g x
'≥
()g x 在[)0,+∞单调递增，∴()(0)g x g ≥ --------------6分
2）当=18(1)0k ∆-->，即98k <
时，设12,x x 是方程2210x x k ++-=的两根且12x x < 由1212
x x +=-，可知10x <， 分析题意可知当20x ≤时对任意[)0,x ∈+∞有()(0)g x g ≥；
∴10,1k k -≥≥，∴918
k ≤< --------------7分 综上分析，实数k 的最小值为1. --------------8分 （Ⅲ）令1k =，有2ln(1),x x x -+≤+即2ln(1)x x x ≤++在[)0,x ∈+∞恒成立；
--------------9分 令1x n
=，得221111ln(1)ln(1)ln n n n n n n ≤++=++- --------------11分 ∴22222211111111(ln 2ln1)(ln 3ln 2)(ln(1)ln )
2323111=1ln(1)231111ln(1)1223(1)12ln(1)2ln(1)n n n n
n n
n n n
n n n ++++≤+++++-+-+++-++++++<++++++⨯⨯-=-++<++∴原不等式得证. --------------13分 22. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ） 观察知，2x =是圆的一条切线，切点为1(2,0)A ， --------------1分 设O 为圆心，根据圆的切线性质，12MO A A ⊥， --------------2分 所以12112
A A MO k k =-=-， --------------3分 所以直线12A A 的方程为1(2)2y x =-
-. --------------4分 线12A A 与y 轴相交于(0,1)，依题意2,1a b ==， --------------5分
所求椭圆的方程为2
214
x y += --------------6分 （Ⅱ） 椭圆方程为2
214
x y +=，设),,(00y x P ),,(n m A ),,(n m B -
则有2200440x y +-=，22
440m n +-= --------------7分 在直线AP 的方程)(0
0m x x m y n n y ---=-中，令4x m =，整理得 2000(4)(4).()
Q m y mx n y m m x -+-=- ① 同理，2000(4)(4).()
R m y mx n y m m x ---=- ② --------------9分 ①⨯②，并将220011,4y x =-22114
n m =-代入得 R Q y y ⋅22222
00220(4)(4)()
m y mx n m m x ---=- =222220022011(4)(1)(4)(1)44()m x mx m m m x -⋅-
+-⋅--=220220(4)()()
m m x m m x ---=22(4)m m -. --------------11分 而24416,,Q R Q R OQ OR y y y y m m m
⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2221212=1+m m m + --------------12分 ∵||2m <且0m ≠，∴22
1204,3m m <<> ∴4OQ OR ⋅> --------------13分。