历届国际数学竞赛试题

历届国际数学竞赛试题
历届国际数学竞赛试题
历届国际数学竞赛试题
求证(21n 4)/(14n 3) 对每个自然数n都是最简分数。

2.
√2；(b)A=1；(c)A=2。

3. a
试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平
均值。

5.
、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交
于M、N，
(a.)
当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。

6.
找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数
字的平方和。

2.
√(1
2x))2
3.
已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。

5.
求XY中点的轨迹；
b.
一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落
在圆锥的底
面上。

令V1 为圆锥的体积，V2 为圆柱的体积。

(a). 求证：V1
不等于V2 ；
(b). 求V1/V2
的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。

7.
设a、b是常数，解方程组
x y z =
a; x2 y2 z2 =
b2; xy=z2
并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？
2.
解方程cosx - sinx = 1, 其中n是一个自然数。

4. P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC 于E，PC交AB于F，求
证AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。

5
三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C 在p的同一侧。

在p上任意取三个点A', B', C'，A'', B'', C''设分别是边AA', BB', CC'
的中点，O是三角形A''B''C''的重心。

问，当A',B',C'变化时，O 的轨迹是什
么？
nn
第4届IMO
1.
试找出满足下列不等式的所有实数x：
√(3-x)- √(x 1) > 1/2.
3.
解方程cosx
cos2x cos3x = 1。

5.
一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为r，求证这两个圆的
圆心的距离是√(R(R-2r))。

7.
222
第5届IMO
1.
给定一点A及线断BC，设空间中一点P使得存在线段BC 上有一点X满足角
在一个n边形中，所有内角都相等，边长依次是a1 >= a2 >= ... >= an，
求证：所有边长都相等。

4.
求证
cos pi/7 - cos 2pi/7 cos
3pi/7 = 1/2.
6.
求证不存在正整数n 使得2n 1 能被7 整除。

2.
a2(b c - a)
b2(c a - b) c2(a b - c)
十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信。

在他们的信上一共讨论有三个
不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：这些人当中至少有三个人他们所
讨论的话题是一样的。

5.
四面体ABCD的中心是D0 ，分别过A、B、C作DD0 的平行线，这些线分别交
平面BCD、CAD、ABD于点A0、B0、C0，求证：ABCD 的体积是A0B0C0D0的三分之
一；再问如果D0 为三角形ABC内的任意一点，结果是否仍然成立？
试找出所有位于区间[0, 2pi] 的x使其满足
2 cos x
如下方程组的系数aij ，
a11x1 a12 x2 a13 x3 =
a21x1 a22x2
a23x3 = 0
a31x1 a32x2
a33x3 = 0
满足：
a. a11、a22、a33 是正数，其余是负数；
b.
四面体ABCD被平行于AB、CD边的一个平面分割成两部分，并且该平面到
AB
四个实数它们中的任何三个的乘积再加上第四个数都等于2，求出这四个
数的所有可能值。

5.
平面上给定了n>2个点，任何两点之间都有线断相连，这些线断长度中的
最大值被定义为这个点集的直径，求证：长度为直径的线断
至多有n条。

第8届IMO
1.
的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1。

又已知在所有恰好答对一
题的参赛者中，有一半没有答对A。

请问有多少学生只答对B？
2.
求证：从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其他点
到各顶点距离之和。

4.
1/sin 2x 1/sin
4x ... 1/sin 2nx = cot x - cot 2nx.
5. ai （i=1,2,3,4）是互不相同的实数，解方程组（i=1,2,3,4）|ai - a1| x1 |ai - a2|
x2 |ai - a3| x3 |ai - a4| x4 = 1。

6.
、CLK之中至少有一个的面积小于活等于三角形ABC的四分之一。

第9届IMO
1.
≤cos A √3 sin A.
2.
3. k, m, n 是自然数且m k 1 是一个大于n 1 的素数，令cs = s(s 1)，
求证
(cm 1 - ck)(cm 2 - ck) ... (cm n - ck)
可被乘积c1c2 ... cn整除。

4.
），试构造出满足此条件的面积最大的三角形ABC。

5. a1, ... , a8 是不全为0的实数，令cn = a1n a2n ... a8n ( n = 1,
2,
3, ... )。

6.
三角形，它的边长为连续整数，有一个角是另外一个角的两倍。

2.
3. a, b, c 是不全为0的实数。

x1, x2, ... , xn 是满足下述方程组的未知数：
axi2 bxi c = xi
1, 对于i=1,2,...,n-1；
axn2 bxn c = x1；
若设M= (b - 1)2 - 4ac ，求证：
a.
若M=0，则方程组恰有一解；
c.
求证任何四面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角
形的三边。

5.
对任何自然数n，试计算下式的值
[(n 1)/2] [(n
2)/4] [(n 4)/8] ... [(n 2k)/2k
1] ...
其中[x]表示不超过x 的最大整数。

第11届IMO
1.
令f(x) =
cos(a1 x) 1/2 cos(a2 x) 1/4
cos(a3 x) ... 1/2n-1 cos(an x),
其中ai 是实数常量，x是实数变量。

现已知f(x1) = f(x2) = 0，求证x1 - x2 是π的整数倍。

3. 对每一个k = 1, 2, 3 4, 5，试找出a>0 应满足的充要条件使得存在一个四面体，其中k个边长均为a，其余6-k 个边的长度均为1。

4. 以AB为直径的半圆弧，C是其上不同于A、B的一点，D是C 向AB作垂线的垂足。

K1 是三角形ABC的内切圆，圆K2 与CD、DA 以及半圆都相切，圆K3 与CD、DB及
半圆相切。

求证：圆K1、K2 、K3 除AB外还有一条公切线。

5. 平面上已给定了n>4个点，无三点共线。

求证至少有(n-3)(n-4)/2 个凸四边形，其顶点都是已给点集中的点。

6. 给定实数x1, x2, y1, y2,
z1, z2, 满足x1 > 0, x2 > 0, x1y1 > z12, x2y2
> z22，求证：
8 1 1 ≤
(x1 x2)(y1 y2)
- (z1 z2)2 x2y2 - z22 x1y1 - z12
并给出等号成立的充分必要条件。

第12届IMO
1. M 是三角形ABC的边AB上的任何一点，r、r1、r2 分别是三角形ABC、AMC、BMC的内切圆的半径，q 是AB 外旁切圆的半径（即与AB边相切，与CA、CB的延长线上相切的圆），类似的，q1、q2分别是AC、BC外旁切圆的圆心。

求证：r1r2q = rq1q2。

2. 已知0 ≤xi 0, xn-1 > 0。

如果a>b，xnxn-1 (x0)
是数A在a进制下的表示、也是B在b进制下的表示，则xn-1xn-2...x0 表示了A'在a进制下的表示、B'在b进制下的表示。

求证：A'B
∑(1 - ak-1/ak)/√ak
其中求和是k从1到n。

a.
设c满足0≤c c成立。

4. 试找出所有的正整数n 使得集合n, n 1, n 2, n 3, n 4, n
5 可被分拆成两个子集合，每个子集合的元素的乘积相等。

平面上给定100个点，无三点共线，求证：这些点构成的三角形中至多70% 是锐角三角形。

第13届IMO
1. 令En = (a1 - a2)(a1 - a3) ...
(a1 - an) (a2 - a1)(a2 - a3) ... (a2 - an)
... (an - a1)(an - a2) ... (an - an-1). 求证
En >= 0 对于n=3或5成立，而对于其他自然数n>2不成立。

2. 凸多边形P1 的顶点是A1, A2, ... , A9，若将顶点A1 平移至Ai 时则P1 平移成了多边形Pi ，求证P1, P2, ... , P9 之中至少有两个具有一共同内点。

四面体ABCD的所有面都是锐角三角形，在线段AB上取一内点X，现在BC上取内点Y，CD上取内点Z，AD上内点T。

求证：
a.
如果∠DAB ∠BCD ＝∠CDA ∠ABC，则有无穷多最短路径XYZTX，它们
的长度是2AC sin(k/2)，其中k=∠BAC ∠CAD ∠DAB。

5. 对任何自然数m ，求证存在平面上一有限点集S，满足：对S 中的每一个点A，存在S中的恰好m 个点与A 的距离为单位长。

6. 设A = (j),其中i, j = 1, 2, ... , n，是一个方阵，元素aij 都是非负整数。

若i、j使得aij = 0，则第i行和第j列的元素之和大于或等于n。

求证：该方阵中所有元素之和
大于或等于n2/2。

第14届IMO
1.
设n>4，求证每一个圆内接四边形都可以分割成n 个圆内接四边形。

3. m,n是任意非负整数，求证下式是一整数。

(2m)!(2n)!
m!n!(m n)!
，
又已知 f 不恒等于0且|f(x)|
6.
1. OP1, OP2, ... , OP2n 1 是平面上的单位向量，其中点P1, P2, ... , P2n 1 都是位于通过点O的一条直线的同一侧，求证|OP1 ... OP2n 1| >= 1.
2. 问能否在空间中找到一个不共面的有限点集M使得，对M中的任何两点A、B，都可以再在M中寻找到两点C、D，
而直线AB、CD是不相同的并且是互相平行的。

3.
一个士兵需要在一个等边三角形的区域内探测有没有地雷，他的扫雷器的半径是三角形高的一半，士兵从三角形的一个定点出发，试问如果要完成任务且使行程最短他应该走什么样的路径？
5. G是具有下述形式且非常值的函数的集合：
f(x) = ax b，其中a,b,x都是实数。

并且已知G具有这些性质：
如果f,g都属于G，则fg(x) = f(g(x)) 也属于G；
-1?
对任何f属于G，存在一个实数xf 使得f(xf)
= xf成立。

求证：存在实数M 使得f(M)=M对所有G中的函数f都成立。

6. a1, a2, ... , an 是正实数，实数q 满足0
a. ai
b. q
c. b1 b2
... bn
第16届IMO
1. 三个玩家玩游戏。

在三张扑克牌上分别写上一个正整数，并且每张牌上的数都不相同。

在每一轮游戏中都是随机的把卡片分给这些
玩家，然后每个玩家拿到所分得卡片上数目的筹码。

当游戏进行时，玩家手上的筹码自然是越来越多。

假设游戏至少进行了两轮以上。

在最后一轮结束时，第一个玩家有筹码20个，第二个玩家有10个，第三个玩家有9个。

又已知在最后一轮游戏中第三个玩家拿到的是最大数目的
筹码。

试问，在第一轮游戏中哪个玩家收到了中间数量的筹码？
2.
试证明对任意非负整数n，下式都不能被5整除：
∑C(2n 1,2k 1)23k，
上式中的求和是k从0到n，符号C(r,s) 表示二项式系数
r!/(s!(r-s)!)。

4. 沿着一个8 x 8 象棋盘（黑白相间）中的线将其分割成p个不相交的长方形，使得每个长方形内的黑白小方格的数目一样，并且每个长方形中小方格的数量也都不一样多。

求出所有可能p值中的最大值；并对这样的最大值求出所有可能的分法（即求出那些长方形的大小）。

5. a,b,c,d是任意实数，判定下式的所有可能值：
a/(a b d) b/(a b
c) c/(b c d) d/(a c d)
设P(x) 是一个指数d>0的整系数多项式，n是P(X)=1或-1的不同整根的个数，则有
n
2
第17届IMO
1. 已知x1 >= x2 >=
... >= xn, 以及y1 >= y2 >= ... >= yn 都是实数，求证
若z1 ,z2 ,...,zn 是yi 的任意排列则有
∑(xi-yi)2
上式中左右两边的求和都是i从1到n。

2. 令a1 =1，存在无穷多个an 可以写成an = rai saj的形式，其
中r，s是正实数且j > i。

3. 任意三角形ABC的边上，向外作三角形ABR,BCP，CAQ，使角CBP、角CAQ都是45度，角BCP、角ACQ都是30度，角ABR、角BAR都是15度。

求证角QRP是直角并且QR=RP。

4.。