高中数学5.4几个著名的不等式5.4.1柯西不等式知识导航学案苏教版选修4-5
高中数学5.4几个著名的不等式5.4.2排序不等式知识导航学案苏教版选修4-5(2021学年)
高中数学5.4 几个著名的不等式５．4．2 排序不等式知识导航学案苏教版选修4-５编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(高中数学 5.４几个著名的不等式5．４.2 排序不等式知识导航学案苏教版选修4-５）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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5.4.2 排序不等式自主整理1．设两组实数a1，ａ2,…，ａｎ与b１,b2，…,ｂｎ，且a1≤a2≤…≤a n,ｂ１≤b2≤…≤bｎ，则___＿＿__＿_________为同序和,_＿＿__＿___________为反序和．２．设c1,c2,…，ｃn为b1，b２,…,bｎ的任意一个排列，a１c1+a2ｃ２＋…+a n c n为乱序和,则和数a1c1+a2c２+…+aｎｃn在ａ1,a2，…,a n与b1,b2,…,b n同序时最大，反序时最小，即___＿＿_＿____＿_______＿_＿,当且仅当___________＿＿______＿__或___＿______＿__＿________时成立。
高手笔记排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：同序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注重是怎样的“次序”，较为简单的两种是“同序和"与“反序和",而乱序和也就不按“常理”的顺序了。
排序不等式中等号成立的条件是a１=ａ2=…=a n或b１=b2=…=b n，这一点不难理解，它是我们解决某些问题的关键,要记住．名师解惑怎样理解排序不等式的证明?剖析：课本对排序不等式的证明过程和方法,用了“探究——猜想——检验-—证明"及由特殊到一般的思维过程和发现过程,这是探索新知识、新问题常用到的基本方法,对于数组涉及到的“排序”及“乘积”的问题，出现了两种特殊的顺序“同序"和“反序”，其他为乱序,自然要对它们进行比较,但由于乱序情况较多较复杂,不可能一一验证、证明，所以课本采用了“逐步调整法”,就像日常生活中班级排队一样,逐个调整,每次调整对调一组数都保证了调整后的和不小于调整前的和。
苏教版高中数学选修4-5：5.4 几个著名的不等式 复习课件
3．已知 a>0，b>0，c>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c 的最 小值为 4.
(1)求 a＋b＋c 的值． (2)求14a2＋19b2＋c2 的最小值．
解：(1)∵f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a ＋b|＋c，
当且仅当－a≤x≤b 时，等号成立， 又 a>0，b>0，∴|a＋b|＝a＋b. ∴f(x)的最小值为 a＋b＋c. 又已知 f(x)的最小值为 4，∴a＋b＋c＝4.
5.4 几个著名的不等式 复习课件
专题一 利用柯西不等式证明不等式
• [考情分析] • 由于柯西不等式是用综合法证明不等式的重要依
据，因此柯西不等式的考查常出现在用综合法证 明含有幂，根式的和、积、商的不等式中．高考 一般在选考题中考查．
[高考冲浪] 1．(2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数， 且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，求证：ac＋bd≤8.
3．已知 a1，a2，…，an 都是正实数，且 a1＋a2＋…＋an＝ 1.
求证：a1＋a21 a2＋a2＋a22 a3＋…＋an－a12n＋－1 an＋an＋a2n a1≥12.
证明：左边＝a1＋a21 a2＋a2＋a22 a3＋…＋an－a12n＋－1 an＋an＋a2n a1＝[(a1 ＋ a2) ＋ (a2 ＋ a3) ＋ … ＋ (an － 1 ＋ an) ＋ (an ＋
定理：若 a1，a2，…，an 为正数，
则a1＋a2＋n …＋an≥ n a1a2…an
，
等号当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时成立．
1．求函数 y＝4x－2－94x(x＞12)的最小值． 解：y＝4x－2－94x＝4x＋4x－9 2＝4x－2＋4x－9 2＋2， ∵x＞12，∴4x－2＞0，∴y≥2 9＋2＝8， 当且仅当 4x－2＝4x－9 2时，“＝”成立． 故所求函数的最小值为 8.
高中数学第二章几个重要的不等式1柯西不等式学案北师大版选修4-5(2021学年)
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§１柯西不等式1.认识简单形式的柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义.２．会证明一般形式的柯西不等式，并能利用柯西不等式来解决有关问题.１．简单形式的柯西不等式(1）定理1(二维形式的柯西不等式的代数形式)：对任意实数a,ｂ，c,d,有（a2＋ｂ2)(c2+ｄ２)≥＿_______＿＿________，当向量_____＿__＿＿＿＿＿_与向量__＿＿________＿_＿_共线时，等号成立.(2)简单形式的柯西不等式的向量形式：设α=(a,ｂ),β=(c,d)是平面上任意两个向量，则_＿＿_＿＿≥|α·β｜，当向量(a，b)与向量(c,d)共线时,等号成立．（1)二维形式的柯西不等式的推论:①(a＋b）（c+d)≥(＼ｒ(ac)＋错误!）2（a,b，c，d为非负实数);②ａ２＋ｂ2·c2+ｄ2≥|ac+bd｜(a,ｂ，c,d∈Ｒ)；③错误!·错误!≥|ac｜+|bｄ｜（a,b,c，ｄ∈R).(2）二维形式的三角不等式:①错误!+错误!≥错误!（x１,y１,x2,y2∈Ｒ);②推论:＼r(x1-x３2＋y1－y32)+错误!≥错误!(x１,ｘ2,ｘ3,ｙ1,y２，ｙ3∈R).【做一做１-1】已知不等式(x＋y)错误!≥9对任意的正实数x，y恒成立,则正实数a的最小值为( )．A.２ B．4 C.6 D．８【做一做1-2】已知x+２ｙ=１,则ｘ2+y2的最小值为＿_______.2.一般形式的柯西不等式（1）定理２：设a1,a2，…,aｎ与b1,ｂ2,…，ｂｎ是两组实数，则有(a错误!＋a错误!＋…＋a错误!）＿＿__＿＿__＿____＿_＿__≥(ａ1ｂ１+ａ2b２＋…＋ａｎb n)2,当向量___＿＿________＿与向量(b1,b2，…,ｂn)共线时,等号成立．（２)推论(三维形式的柯西不等式)：设a1,a２，a3,b１，b2，ｂ3是两组实数，则有（a错误!+ａ错误!＋a错误!)(b错误!＋b错误!＋ｂ错误!）≥________＿__＿＿_＿＿.当向量(ａ１,a2,a3)与向量(b1，b２，b3）共线时“=＂成立.【做一做2-1】设a＝(１，0,－2),ｂ＝(x,ｙ，z)，若ｘ２＋y2＋z2＝16,则a·b的最大值为________．【做一做2－２】已知x，y,z∈Ｒ＋,且ｘ＋y＋ｚ=1，则x2＋y2＋z2的最小值是( ).A.错误!Ｂ.错误! C.错误!D．错误!答案:1．（１)（ac＋ｂd）2(ａ，b) (c，d）（2)｜α||β|【做一做１－1】B 由柯西不等式可求出（x＋y）错误!≥错误!2＝（１＋错误!）２，当ｘ=1,y ＝错误!时,（x＋ｙ)错误!能取到最小值（错误!+1)2,故只需（1+错误!)2≥9，即a≥4即可.【做一做1－2】错误!解析:∵1=x+2y,∴1＝（ｘ＋２ｙ)２≤（１+22)(x2＋y２)．当且仅当x=错误!,ｙ＝错误!时，取等号，∴（x2+y2)mｉn=1５．2.(1）(b错误!＋b错误!＋…+ｂ错误!) （ａ1,a2，…，a n)(２)(a1b1+ａ２ｂ２+a3b３)2【做一做2－1】4＼r(5) 由题知，a·ｂ＝ｘ-２z，由柯西不等式知［１2＋02＋(-2)2]（x2+y２＋ｚ2)≥(x＋０-2ｚ)2，当且仅当向量a与b共线时“=”成立，∴５×16≥(x-2z)２,∴－4错误!≤ｘ-2ｚ≤4错误!，即-４错误!≤a·b≤4错误!.故a·ｂ的最大值为4错误!.【做一做２-2】B 根据柯西不等式，有x2+y2+z2=错误!（１2+12＋１２)·(x2＋y2+ｚ2)≥错误!（1×x+1×y＋1×ｚ）２＝错误!（ｘ＋y＋ｚ）2＝错误!.当且仅当1ｘ＝错误!=错误!,即x＝y＝z=错误!时等号成立．1.对柯西不等式的理解剖析:柯西不等式的几种形式,都涉及对不等式的理解与记忆，因此,二维形式的柯西不等式可以理解为由四个有顺序的数来对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，如基本不等式是由两个数来构造的,但怎样构造要仔细体会．(ａ2+b2）(c2＋ｄ２)≥(aｃ＋ｂd）2，（a２＋b2)(ｄ2+c2）≥（ad+ｂc)2,谁与谁组合、联系，要有一定的认识.“二维”是根据向量的个数来说的，在平面上一个向量有两个量:横纵坐标，因此“二维”就要有四个量，还可以认为是四个数组合成的一种不等关系．2．一般形式的柯西不等式的应用剖析：我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题，但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在数学式子中,数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致，然后应用解题．3．“１”的利用剖析：数字“１”的利用非常重要,为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往能达到某些用字母所代表的数或式子所不能达到的作用．这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契,即不因为“形式”的影响而不会用柯西不等式.题型一利用柯西不等式证明不等式【例1】已知3x2+2y2≤6,求证：2x＋y≤11．分析：将不等式2ｘ＋y≤错误!的左边凑成柯西不等式的形式,然后证明.反思:为了利用柯西不等式,将２ｘ+y平方，这一运算技巧是证明不等式的关键.【例2】已知正数a,b,c满足ａ＋b＋ｃ=1.证明a3＋b3＋c３≥＼ｆ（a2＋ｂ2+ｃ2,３）．分析：如何构造两组数，利用柯西不等式是关键．反思:在本题中,ａ,ｂ，ｃ的指数的变化是关键，要根据柯西不等式的需要进行适当的变形.题型二利用柯西不等式求最值【例3】设x ,ｙ，z ∈Ｒ,且错误!+错误!+错误!＝１.求ｘ+y +ｚ的最大值和最小值. 分析：根据柯西不等式的需要给式子进行变形,注意等价性.反思：当式子中有根号、平方等形式时,经常用柯西不等式来解决． 答案：【例1】证明：由柯西不等式,得（２x ＋ｙ）2≤［(3ｘ)２+（＼ｒ(2)y ）2]错误!＋错误!＝（3ｘ２＋2y 2)错误!≤6×错误!＝１1． 于是２ｘ＋y ≤11.当且仅当错误!＝错误!，即错误!=错误!时等号成立． 【例2】证明：利用柯西不等式,有31313133322222222222222222()()[()()()]()a b c a a b b c c a b c a b c ≤++++＋＋＝＋＋3333332=()()=()()a b c a b c a b c a b c ++++++++，又∵a ２+b ２＋c 2≥ab ＋bc +ca ,在此不等式两边同乘以２，再加上a 2+ｂ２+c 2,得(a +b ＋ｃ)2≤3(a 2＋b 2＋c 2).∴(a ２+b 2+c 2)２≤(a 3+b 3＋c 3)·3(a 2+b 2+c ２)，∴ａ3＋b 3＋c 3≥＼f （a ２+b 2+c 2，３).当且仅当a ＝b ＝c ＝＼f(１,3）时等号成立．【例3】解：根据柯西不等式,知[42+（＼r(5)）2＋22］错误!≥错误!＋错误!·错误!+２·错误!2,当且仅当错误!=错误!=错误!，即x ＝错误!，y =-１,ｚ＝错误!或ｘ＝-错误!，y ＝-3,ｚ＝错误!时等号成立．∴25×1≥(x +y +z -2）2. ∴｜x +ｙ＋z －2｜≤5, ∴-3≤x +y +ｚ≤7，即ｘ＋y ＋z 的最大值为7,最小值为－3.１设x ,ｙ,m ，n >０，且错误!+错误!=1，则u =x +ｙ的最小值是（ ).A ．（错误!+错误!)２ Ｂ．错误! C.错误! D ．(m ＋n )22若ａ,ｂ∈R ，且a 2+b 2=10,则ａ-ｂ的取值范围为( )． A.［-2错误!,2错误!] Ｂ．[-２错误!,2错误!] Ｃ．［-10,错误!］ D ．[－错误!,错误!] 3函数ｙ＝21－x +2ｘ+1的最大值为_＿＿__＿__.4设ｘ1,x 2，…,ｘｎ为正数，求证：(x 1+x 2＋…＋x n )·错误!≥n 2. 答案:1．A 根据柯西不等式,得ｘ+y =（ｘ+ｙ）错误!≥错误!2=(错误!+错误!）2,当且仅当＼f （x,m )＝错误!时，等号成立,这时u 取最小值为(错误!＋错误!)2．２.Ａ 解析：由柯西不等式知（a 2+b ２）［12+(-1)2]≥(a －b ）2, 当且仅当ａ=错误!，b =-错误!或a =-错误!，b =错误!时等号成立，∴10×２≥(a －b )2,∴－2＼ｒ（5)≤ａ－b ≤２错误!．３．3 利用柯西不等式进行变形,得到[(错误!）２+12］[(错误!错误!)2＋(错误!)２]≥(2错误!＋＼r （2x +1)）２,即3×3≥(２1-x ＋错误!）２，当且仅当x =０时等号成立,∴2错误!＋错误!≤3．4．证明：由柯西不等式,得（ｘ1＋x2＋…＋ｘｎ)错误!≥(１+1＋…＋１错误!2,即(x1＋ｘ2+…+xｎ)错误!≥ｎ2.以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。
苏教版高二数学选修4-5 5.4.1 柯西不等式 学案
5.4.1 柯西不等式自主整理柯西不等式(1)代数形式:设a 、b 、c 、d 均为实数,则_______________,当且仅当ad=bc 时取“=”.(2)向量形式:设α、β为平面上的两个向量,则_______,当且仅当两个向量方向相同或相反时取“=”.(3)三角形不等式:设x 1、y 1、x 2、y 2、x 3、y 3为任意实数,则+-+-221221)()(y y x x 232232)()(y y x x -+-≥________________.向量表示:设α、β、γ为平面上的向量,则____________,当且仅当向量α-β与β-γ同向时取“=”.(4)一般形式:设n 为大于1的自然数,a i 、b i (i=1,2,…,n)为任意实数,则______________. 当且仅当nn a b a b a b === 2211时取“=”(当a i =0时,约定b i =0,i=1,2,…,n). (5)在n 个实数a 1,a 2,…,a n 和为定值S 时,它们的平方和不小于21S n ,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,平方和取最小值21S n. 高手笔记1.柯西不等式可由基本不等式推证,其形式比较整齐、优美.因用到的字母较多,不易记忆,可联想其几何意义(即向量形式)就比较好理解了,由α·β=｜α｜｜β｜cos α≤｜α｜·｜β｜,所以只需记住向量数量积定义即可.2.记忆三角形不等式时只需记住三角形中两边之和大于第三边及平面内两点间的距离公式即可写出,注意联想记忆.3.柯西不等式的几种形式间是等价的,但要注意结构形式的变化对数值的要求,对“=”取到的条件要从推导过程中 理解.名师解惑对柯西不等式的理解剖析:柯西不等式的几种形式,都涉及对不等式的理解与记忆,因此,柯西不等式可以理解为四个有顺序的数对应的一种不等关系或构造的一个不等式,如基本不等式是由两个数 构造的(a 2+b 2)(12+12)≥(a+b)2,但怎样构造要仔细体会,(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2,(a 2+b 2)(d 2+c 2)≥(ad+bc)2,谁与谁组合联系,要根据需要.柯西不等式取“=”的条件,可以多方面联系 记忆,如(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2,取“=”的条件是“ad=bc”,有点像a 、b 、c 、d 成等比数列时ad=bc 的结论.柯西不等式的向量形式中,α·β≤｜α｜·｜β｜取“=”的条件是β=0或存在实数k,使α=k β,我们可以从向量的数量积的角度 理解记忆.讲练互动【例1】设a,b,c,d,m,n 都是正实数,P=cd ab +,Q=nd m b ncma ++,试确定P 与Q 的大小.分析:从结构上观察,被开方数为(ma+nc)(n d m b +),可用柯西不等式. 解:∵m、n 、a 、b 、c 、d 为正数, ∴(ma+nc)(nd m b +) =［(ma )2+(nc )2］·［(m b )2+(nd )2］ ≥(∙ma nd nc m b ∙+)2 =(cd ab +)2,即Q≥P,当且仅当mb nc nd ma ∙=∙时取“=”. 绿色通道解答问题时注意观察式子的结构是否符合柯西不等式的形式,并构造不等式. 变式训练1.已知不等式(x+y)(ya x +1)≥9对于任意正实数x 、y 恒成立,求正实数a 的最小值. 解:设z=(x+y)(x 1+y a ),不等式(x+y)(x 1+ya )≥9对于任意的正实数x 、y 恒成立,等价于z min ≥9,∵x、y 、a∈R +, ∴z=(x+y)(x 1+ya ) =［(x )2+(y )2］［(x 1)2+(ya )2］ ≥(ya y x x ∙+∙1)2=(1+a )2. ∴z min =(1+a )2. ∴(1+a )2≥9. ∴1+a ≥3,即a≥4.∴a 的最小值为4.【例2】已知a 、b∈R ,求证:(a 4+b 4)(a 2+b 2)≥(a 3+b 3)2.分析:虽然可以作乘法展开上式的两边,然后再比较它们,但是如果注意到不等式的两边形式与柯西不等式的一致性,可以避免繁杂的运算.证明:根据柯西不等式有(a 4+b 4)(a 2+b 2)≥(a 2·a+b 2·b)2=(a 3+b 3)2.绿色通道在证明不等式时,要观察不等式的结构,若联系经典不等式,既可以启发证明思路,又可以简化运算.变式训练2.已知a 、b∈R ,求证:(a 4+b 4)(a 2+b 2)≥a 2b 2(a+b)2.证明:由柯西不等式,得(a 4+b 4)(a 2+b 2)=(a 4+b 4)(b 2+a 2)≥(a 2b+b 2a)2=［ab(a+b)］2=a 2b 2(a+b)2.【例3】求函数y=x x -+-5324的最大值.分析:利用不等式求函数的最值,通常设法在不等式一边得到一个常数,并寻找不等式取“=”的条件.这个函数的解析式是两部分的和,若能化为ac+bd 的形式就可利用柯西不等式进行平方合并求最值.解:函数的定义域为［2,5］且y>0.y 2=(x x -+-5324)2≤(42+32)［(2-x )2+(x -5)2］=25×3, ∴y≤35,当且仅当x -54=23-x 时等号成立,即x=2598时取“=”,y 取最大值35. 绿色通道学会观察函数的结构,并构造不等式,注意柯西不等式的等号成立的条件,弄清谁是a 、b 、c 、d.变式训练3.求函数y=x x -+-101的最大值.解法一:函数的定义域为［1,10］,且y>0, y=1×1-x +1×x -10≤2211+×2)10()1(22=-+-x x ×3=23, 当且仅当x x -=-101,即x=211时取max =23.解法二:函数的定义域为［1,10］,且y>0.y 2=(x x -+-101)2=x-1+10-x+2)10)(1(x x -- =9+2)10)(1(x x --≤9+(x -1)+(10-x)=18.∴y≤23,当且仅当x-1=10-x 时,即x=211时,取“=”,y max =23. 【例4】已知a 、b 、c 、d 、e 、f 是不全相等的正数,求证:a 2+b 22+d 2+e 2+f 2>ab+bc+cd+de+ef+fa.分析:上式两边的结构比较整齐,左边为平方和,右边为顺序乘积的和,可由柯西不等式证明.证明:∵(a 2+b 2+c 2+d 2+e 2+f 2)2=(a 2+b 2+c 2+d 2+e 2+f 2)(b 2+c 2+d 2+e 2+f 2+a 2)≥(ab+bc+cd+de+ef+fa)2,又∵a、b 、c 、d 、e 、f 是不全相等的正数,∴上面“=”取不到.∴a 2+b 2+c 2+d 2+e 2+f 2>ab+bc+cd+de+ef+fa 成立.绿色通道学会构造柯西不等式,注意观察结构和规律.变式训练4.已知a 、b 、c 、d∈R +,且a+b+c+d=1,求证:a 2+b 2+c 2+d 2≥41. 证明:∵(a 2+b 2+c 2+d 2)(12+12+12+12)≥(a×1+b×1+c×1+d×1)2=(a+b+c+d)2=1, 即4(a 2+b 2+c 2+d 2)≥1,∴a 2+b 2+c 2+d 2≥41成立.。
高中数学选修4-5教案 第三讲 柯西不等式与排序不等式 一 二维形式的柯西不等式
一 二维形式的柯西不等式（1）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a b a b +>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥二、讲授新课：1. 教学柯西不等式：① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+.→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a =2||n c d =+∵ m n ac bd ∙=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴ …..证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即…..③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？222||c d ac bd +≥+ 或 222||||c d ac bd +≥+ 222c d ac bd +≥+.④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤.即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）→ 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形）2. 教学三角不等式：① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业：教材P 37 4、5题.二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+≥2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y ?要点：利用变式22||ac bd c d ++. 二、讲授新课：1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y =分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→ 变式：y = → 推广：(,,,,,)y b c d e f x a b c d e f R+=-∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值.解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 讨论：其它方法 （数形结合法）2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b ++≥.3. 练习：① 已知,,,x y a b R +∈，且1a b x y+=，则x y +的最小值. 要点：()()a b x y x y x y+=++=…. → 其它证法 ② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.三、巩固练习：1. 练习：教材P 37 8、9题2. 作业：教材P 37 1、6、7题。
苏教版高中数学选修4-5-5.4.1 柯西不等式-教学案设计
柯西不等式【教学目标】①认识二维形式的柯西不等式的三角形式②柯西不等式的一些简单应用【教学重点】①认识二维形式的柯西不等式的几种形式②运用柯西不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的联系，经过恰当变形，以经典不等式为依据得出具体问题中的不等关系【教学难点】运用柯西不等式证明不等式【教学过程】柯西不等式【学习目标】1．认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义； 2．二维柯西不等式的应用【学习重难点】二维形式柯西不等式的应用【学习过程】一、知识梳理1．柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd +++。
当且仅当 时， 等号成立。
2． 二维柯西不等式的变式： 变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac dc b a ++⋅+ 或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈；变式30. 若1122,,,x y x y R ∈【达标检测】1.若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥。
2.求函数y =1．已知321x y +=，求22x y +的最小值。
【合作交流】4422332 ,()()()1a b a b a b a b ++≥+已知为实数,证明例*11,,b 1,42a b R a a b∈+=+≥设求证例3y =求函数例【变式训练】1．已知321x y +=，求22x y +的最小值。
2．函数的最大值是。
【学习小结】你有什么收获？写下你的心得。
5.4.柯西不等式-苏教版选修4-5不等式选讲教案
5.4.柯西不等式-苏教版选修4-5 不等式选讲教案1. 教学目标本节课主要讲解柯西不等式的概念和应用，让学生能够掌握该不等式的证明方法和具体应用技巧，提高学生的不等式解题能力，同时增强学生的数学思维能力和创造力。
2. 教学重点和难点教学重点：•熟悉柯西不等式的定义和基本性质；•掌握柯西不等式的多种证明方法；•能够熟练运用柯西不等式解决实际问题。
教学难点：•理解柯西不等式的概念和证明；•掌握柯西不等式在实际问题中的应用。
3. 教学准备•讲义；•黑板、彩色粉笔；•计算器。
4. 教学步骤第一步：引入柯西不等式•讲师可以通过分发讲义或黑板绘图等形式将柯西不等式的概念引入，让学生理解柯西不等式的定义和意义；•通过实例引导学生思考和探究柯西不等式的应用。
第二部：讲解柯西不等式•讲师介绍柯西不等式的多种证明方法，如几何证明、代数证明、向量证明等；•讲解柯西不等式的基本性质，如在等号成立时的特殊情况等。
第三步：练习柯西不等式•讲师根据实际情况，设计一些例题，供学生同步练习；•学生在课堂上结合柯西不等式的性质和应用技巧，尝试独立解决问题。
第四步：总结和归纳•讲师对学生在练习中遇到的难点进行总结和讲解；•讲师对课上所学知识进行总结和归纳，帮助学生深入理解和记忆柯西不等式及其应用。
5. 作业布置•在课下，学生需要根据课上所学知识，独立完成一些关于柯西不等式的例题；•对于学生中存在成绩较好的同学，可以布置更为复杂的题目，培养其解决问题的能力。
6. 教学反思•教师应该在授课前认真准备，熟悉柯西不等式的概念和具体应用技巧，注重课堂互动；•在教学过程中，要充分调动学生学习的积极性，引导学生自主思考和解决问题；•在课后，要及时总结和回顾课上所学知识，帮助学生深刻理解柯西不等式，提高他们的数学思维能力。
运用柯西不等式求最大(小)值 学案 高中数学选修4-5 苏教版
5.5.2 利用柯西不等式求最大(小)值自主整理1.柯西不等式:(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2,当且仅当_____________时取“=”.2.柯西不等式一般形式:∑∑==n i n i i i b a 1122≥(∑=n i i i b a 1)2,当且仅当_____________时取“=”.高手笔记1.在n 个实数a 1,a 2,…,a n 的和为定值S 时,它们的平方和不小于21S n ,即∑=n i i a 12≥n 1(∑=n i i a 1)2= 21S n ,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时平方和取最小值21S n. 2.利用柯西不等式求最值时,注意“=”成立的条件,并会构造定值,学会拼凑.名师解惑如何用柯西不等式求函数的最值?剖析:利用柯西不等式求函数的最值时,往往不能直接应用,而是需要对数学式子的形式进行改变,拼凑出与柯西不等式相似的结构才能应用.因而适当变形是我们应用柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在数学式子中,数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母顺序,以便能使其形式一致起来,然后应用.讲练互动【例1】已知|x|≤1,|y|≤1,求2211x y y x -+-的最大值.分析:本题中的数学式子为2211x y y x -+-,而(1-y 2)与y 2和为1,(1-x 2)与x 2和为1,可用柯西不等式求得.解:(2211x y y x -+-)2≤［x 2+(1-x 2)］［y 2+(1-y 2)］=1,∴最大值为1.绿色通道通过观察式子结构与柯西不等式相对照构造定值,弄清谁是a,b,c,d.若用x 2与y 2合并就不易求出.变式训练1.设a 、b 、c>0且acos 2θ+bsin 2θ=c,求a cos 2θ+b sin 2θ的最大值.解:(a cos 2θ+b sin 2θ)2=［a cosθ·cosθ+bsinθ·sinθ］2≤［(a cosθ)2+(b sinθ)2］(cos 2θ+sin 2θ)=acos 2θ+bsin 2θ=c, ∴a cos 2θ+b sin 2θ≤c ,最大值为c .【例2】求y=x x 21234-++的最大值.分析:本题中出现的都是根式,可由柯西不等式转为平方把根号去掉,但要注意构造定值. 解:∵(x x 21234-++)2=(x x 42234-++)2≤［12+(2)2］［(34+x )2+(x 42-)2］=3(4x+3+2-4x)=15,∴y max =15.绿色通道利用柯西不等式求函数的最值时要注意构造定值,特别是系数如何确定,需要仔细体会. 变式训练2.求函数f(x)=x x -+-126的最大值.解:∵(x x -+-126)2≤(12+12)(x-6+12-x)=12,∴f(x)的最大值为3212=.【例3】已知a 、b ∈R +,a+b=2,求b b a a -+-2222的最小值. 分析:观察不等式的结构,求函数的最小值,需出现(a 2+b 2)(c 2+d 2),而且还必须使ac+bd 为定值,可以把bb a a -+-2222看作“a 2+b 2”,那么“c 2+d 2”就可以为(2-a)+(2-b). 解:∵a 、b ∈R +,a+b=2,∴2-a>0,2-b>0且2-a+2-b=2. ∵［b b a a -+-2222］［(2-a)+(2-b)］≥(b bb a a a -∙-+-∙-2222)2=(a+b)2=4, ∴b b a a -+-2222≥2.∴bb a a -+-2222的最小值为2. 绿色通道注意柯西不等式的方向问题,若求bb a a -+-2222的最小值,这时需要看作一个因子,再找另一个因子,使构造为定值.变式训练3.设x+y=1,x≥0,y≥0,求x 2+y 2的最小值.解:∵(x 2+y 2)(12+12)≥(x+y)2=1,∴x 2+y 2≥21. ∴x 2+y 2的最小值为21. 【例4】已知2x+3y+4z=10,求x 2+y 2+z 2的最小值.分析:本题构造(x 2+y 2+z 2)·(22+32+42),用柯西不等式解答.解:∵(2x+3y+4z)2≤(x 2+y 2+z 2)(22+32+42)且2x+3y+4z=10,∴x 2+y 2+z 2≥29100. ∴x 2+y 2+z 2的最小值为29100. 变式训练4.已知a 、b 、c 、d ∈R +,且a+b+c+d=7, 求72523212+++++++d c b a 的最大值.解:∵(72523212+++++++d c b a )2≤［(2a+1)+(2b+3)+(2c+5)+(2d+7)］(12+12+ 12+12)=［2(a+b+c+d)+16］×4=120,∴(72523212+++++++d c b a )2≤120.又∵a 、b 、c 、d ∈R +, ∴72523212+++++++d c b a 的最大值为302.。
数学选修4-5 5.4几个著名的不等式单元测试 含解析 精
单元测试一、选择题(每题5分,共60分) 1.设α、β是两个向量,则|α·β|≤|α|·|β|中“=”成立的充要条件是( )A.β=0或α=0B.β=0或存在实数k,使α=k βC.α≠0且存在实数k,使β=k αD.存在实数k,使α=k β 解析：根据柯西不等式,可知等号成立的条件为β=0或存在实数k 使α=k β. 答案：B2.函数y=2x x -+-613的最大值为( )A.3221 B.3663C.221D.663 解析：y 2=(x x -+-6132)2=(x x 31831132-∙+-)2≤［22+(31)2］［(13-x )2+(x 318-)2］=313×17, ∴y≤36633221=. 答案：B3.若m=ka,n=λb,k≠λ,则A=2222n m b a +++与B=22)()(n b m a -+-的大小关系是( )A.A≥BB.A≤BC.A ＞BD.A ＜B解析：A 2=a 2+b 2+m 2+n 2+))((22222n m b a ++,B 2=a 2+b 2+m 2+n 2-2(am+bn), ∵(a 2+b 2)(m 2+n 2)≥(am+bn)2,∴))((2222n m b a ++≥|am+bn|.∴A 2＞B 2.(∵k≠λ) 答案：C4.若|a+c|＜b,则( )A.|a|＜|b|-|c|B.|a|＞|c|-|b|C.|a|＞|b|-|c|D.|a|＜|c|-|b|解析：∵b ＞|a+c|≥|c|-|a|, ∴|a|＞|c|-|b|. 故B 正确. 答案：B5.若0＜b ＜a,d ＜c ＜0,则下列各不等式必成立的是…( )A.a+c ＞b+dB.a-c ＞b-dC.ac ＞bd Ddb c a > 解析：由不等式性质,可知a+c ＞b+d. 答案：A6.若实数x 、y 满足xy>0,且x 2y=2,则xy+x 2的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:∵xy>0,由xy+x 2=222x xy xy ++≥323243222413413)2(3⨯==y x x xy =3, 知最小值为3,当且仅当2xy =x 2时等号成立. ∵xy>0,∴x=2y=1时,取“=”. 答案:C7.若x 2+y 2=1,则xcos α+ysinα的取值范围为( )A.［-1,1］B.［0,1］C.［-2,2］D.［0,2］ 解析：(xcosα+ysinα)2≤(x 2+y 2)(cos 2α+sin 2α)=1, ∴-1≤xcosα+ysinα≤1. 答案：A8.设a>b>c,n ∈N *,且b a -1+c b -1≥ca n -恒成立,则n 的最大值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:∵a>b>c,∴a-b>0,a-c>0,b-c>0.∴b a -1+c b -1≥ca n -, 即n≤cb cb b a b ac b b a c b c a b a c a --+-+--+-=--+-- =2+cb ba b a c b --+--恒成立. 由cb ba b a c b c b b a b a c b --∙--≥--+--2=2, ∴n≤2+2=4. 答案:C9.y=xx x +++132(x ＞0)的最小值是( )A.23 B.-2+23 C.-1-23D.-1+23解析：y=13)1(132+++=+++x x x x x -1≥32-1,当且仅当x+1=13+x 即x=-1+3时等号成立. 答案：D10.已知4x 2+5y 2=y,那么x 2+y 2的最大值是…( )A.41 B.161 C.254 D.251解析：由4x 2+5y 2=y,得1001)101(80122-+y x =1. ∴x 2+y 2的最大值在椭圆短轴端点(0,51)处取得,为251.答案：D11.在△ABC 中,设其各边长为a 、b 、c,外接圆半径为R,则(a 2+b 2+c 2)(CB A 222sin 1sin 1sin 1++)的最小值为( ) A.6R B.2R C.36R 2 D.4R 2 解析：根据柯西不等式,得(a 2+b 2+c 2)(CB A 222sin 1sin 1sin 1++)≥(C c B b A a sin sin sin ++)2,又由正弦定理,得C cB b A a sin sin sin ===2R, ∴(a 2+b 2+c 2)(CB A 222sin 1sin 1sin 1++)≥(6R)2=36R 2. 答案：C12.设λ是实数,对任意实数x 、y 、z,恒有(x 2+y 2+z 2)2≤λ(x 4+y 4+z 4)成立,则λ的取值范围是( ) A.［3,+∞) B.［3,1］ C.［9,+∞) D.［3,9］ 解析：由柯西不等式,得(12+12+12)(x 4+y 4+z 4)≥(x 2+y 2+z 2)2, ∴(x 2+y 2+z 2)2≤3(x 4+y 4+z 4)≤λ(x 4+y 4+z 4), ∴λ≥3. 答案：A二、填空题(每题4分,共16分) 13.已知x 、y 、z ∈R +,且zy x 321++=1,则x+2y +3z 的最小值是____________.解析：由柯西不等式,得2)33221()32)(321(z z y y x xz y x z y x +∙+∙≥++++=9,又∵x 1+zy 32+=1, ∴x+32z y +≥9. 答案：914. 已知x ∈R +,有不等式x+x 1≥2,x+24x=2x +2x +24x ≥3…,由此启发我们可以推广为x+n xa≥n+1(n ∈N *),则a=_______________. 解析:由x+x 1≥2,x+224224x x x x++=≥3,x+433333333)3(433333xx x x x x x ∙≥+++==4….∴a=n n,x+1)()1(+∙+≥++++=n n nnn n n n xn n x n x n n x n x n x x n =n+1.答案:n n15.使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值的x 、y 值分别为____________. 解析：由(12+22+12)［(y-1)2+(3-x-y)2+(2x+y-6)2］≥［y-1+2(3-x-y)+2x+y-6］2=1, ∴(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2≥61. 当且仅当6213211-+=--=-y x y x y 时等号成立,即x=25,y=65.答案：65,25 16.若a 、b 、c 都为正数,则a 3+b 3+c 3____________a 2b+b 2c+c 2a(填＞,＜,≥,≤). 解析：设0≤a≤b≤c,则a 2≤b 2≤c 2.由顺序和≥乱序和,得a 3+b 3+c 3≥a 2b+b 2c+c 2a, 当且仅当a=b=c 时取“等号”. 答案：≥三、解答题(共74分)17.(12分)已知正数x 、y 、z 满足x+y+z=xyz,且不等式xz z y y x +++++111≤λ恒成立,求λ的范围.解：由二元均值不等式及柯西不等式,得x z z y y x +++++111≤zxyz xy 212121++ =21(zy x yz y x x z y x z ++++++++)≤23))(111(21222=++++++++++z y z y z y x x z y x z . 故λ的取值范围是［23,+∞). 18.(12分) 已知a 、b 、c ∈R +,且a+b+c=1,求证:b a +1+c b +1+a c +1≥29. 分析:由已知条件a+b+c=1,而不等式中含有a+b,b+c,c+a 等量. ∴可将等式a+b+c=1,化为进行代换.证明:∵a 、b 、c ∈R +,且a+b+c=1, ∴(a+b)+(b+c)+(c+a)=2. ∴［(a+b)+(b+c)+(c+a)］［b a +1+cb +1+ac +1］≥⨯+++3))()((3a c c b b a 31113ac c b b a +∙+∙+=9. ∴b a +1+c b +1+a c +1≥29成立. 19.(12分)设a 、b 、c 为正数,且a+b+c=1,求证:(a+a 1)2+(b+b1)2+(c+c 1)2≥3100.证明：左边=31 (12+12+12)［(a+a 1)2+(b+b1)2+(c+c 1)2］≥31［1·(a+a 1)+1·(b+b 1)+1·(c+c 1)］2=31［1+(a 1+b1+c 1)］2=31［1+(a+b+c)(a 1+b 1+c 1)］2≥31［1+(cc bb aa 111∙+∙+∙)2］2=3100)91(312=+. 20.(12分)已知函数f(x)=22348124x x x x -+++-,求当x 为何值时,函数有最大值?解：f(x)=22)23(4251)23(4--+--x x , 令t=(x 23-)2≥0,则函数变为F(t)=t t -+-42514, ① 定义域为t ∈［41,425］,F(t)=t t -+-425412≤30)42541()14(=-+-∙+t t , 当且仅当414252-=-t t , 即t=20101514101=⨯时取“=”.此时x=1050515±.21.(12分) 求y=4sin 2xcosx 的最值. 分析:∵sin 2x+cos 2x=1,∴可构造“和”为定值,求出值域.需先求出y 2的值域,再求y 的范围. 解:y 2=16sin 4xcos 2x=16sin 2xsin 2xcos 2x=64×x xx 222cos 2sin 2sin ∙∙ ≤64×3222)3cos 2sin 2sin (xxx ++ =64×(31)3=2764. ∴398938≤≤-y . ∴最大值为398,最小值为938-. 22.(14分)设P 为锐角△ABC 内任意一点,P 点到三边BC 、CA 、AB 的距离分别为PD 、PE 、PF,试求BD 2+CE 2+AF 2的最小值.解：设BC=a,CA=b,AB=c,BD=x,CE=y,AF=z,如图,连结PA 、PB 、PC.由勾股定理,得(x 2+PD 2)+(y 2+PE 2)+(z 2+PF 2)=PB 2+PC 2+PA 2 =(c-z)2+PF 2+(a-x)2+PD 2+(b-y)2+PE 2. ∴x 2+y 2+z 2=(a-x)2+(b-y)2+(c-z)2, 即ax+by+cz=21(a 2+b 2+c 2), ① 由柯西不等式,得ax+by+cz≤222222z y x c b a ++∙++. ②由①②,得222222z y x c b a ++∙++≥21(a 2+b 2+c 2). ∴x 2+y 2+z 2≥41(a 2+b 2+c 2),当且仅当x=λa,y=λb,z=λc 时等号成立. 将它们代入①式,得λ=21.∴当x=2a ,y=2b ,z=2c ,即P 为△ABC 的外心时,BD 2+CE 2+AF 2达到最小值41(a 2+b 2+c 2).。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-5 5.5.2 运用柯西不等式求最大（小）值》
“巧用柯西不等式解决最值问题〞的教学设计本讲的编写意图不是详细的介绍经典不等式及其证明方法，而是更希望能通过分析和解决问题，讨论经典不等式的简单应用，提高学生运用重要数学结论进行推理论证的能力，即在理解重要数学结论的根底上，能够发现面临的具体问题与重要数学结论之间的内在联系，并善于利用这样的联系，应用重要数学结论及其所反映的数学思想方法解决具体问题。
本讲是学生继学习均值不等式之后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着重要的作用，稳固了前面证明不等式及求最值的根本方法，是从特殊到一般的研究过程。
本节教学的核心是二维形式及三维形式的柯西不等式的简单应用。
通过创设情境提出问题，然后探索解决问题的方法，培养学生独立思考能力和逻辑推理能力及数形结合能力。
教学过程：柯西不等式〔一般式〕：设是实数，那么，当且仅当或存在一个实数，使得时，等号成立二维形式：设是实数，那么，当且仅当时等号成立证明：〔当且仅当时取得等号〕命题得证三维形式：设是实数，那么，当且仅当或存在一个实数，使得时，等号成立证明：〔当且仅当，即时取等号〕命题得证典型例题例1、，那么的最大值是解:由柯西不等式得：〔当且仅当时取得等号〕即的最大值是2跟踪训练1假设对于所有的正数，均有，那么实数的最小值是解：即例2、假设函数，那么的最大值是解：该函数的定义域是，且由柯西不等式，得〔当且仅当，即时取等〕跟踪训练2假设函数，那么的最大值是解析：例3、假设，那么的最小值是解：〔当且仅当，即时取得等号〕即变式1假设加条件，那么的值是解：〔当且仅当，即时取得等号〕变式2 、假设加条件，那么的值是解：〔当且仅当，即时取得等号〕变式3 、那么的最小值是解析:变式4假设，那么实数的最小值和最大值分别是解：即例4、对于，当非零实数满足，且使最大时，的最小值为解：又即〔当且仅当，即时取得等号〕，此时当，即时，跟踪训练三假设实数满足，那么的最大值是解析：〔法一〕根本不等式即〔法二〕三角换元令，那么〔法三〕柯西不等式。
苏教版高二数学选修4-5 5.4.1.柯西不等式教案
5.4.1． 柯西不等式学习目标展示1．了解柯西不等式的各种形式（代数形式、向量形式、一般形式等）；2．学会应用柯西不等式证明不等式，能简单应用柯西不等式解题； 3．能够构造条件，创造符合柯西不等式的形式，证明不等式.知识要点扫描1.柯西不等式的代数形式设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2.其中等号当且仅当ad =bc 时成立.2.柯西不等式的向量形式（几何意义）设α，β为平面上两个向量，则|α||β|≥|βα⋅|.其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反时成立.3.三角形不等式等号当且仅当向量与同向时成立.4.柯西不等式的一般形式设n 为大于1的自然数，a i ，b i ，（i =1，2，3，…，n ）为任意实数，则∑=ni i a 12∑=ni ib12≥∑=ni i i b a 12)(5.柯西不等式的推论在n 个实数a 1，a 2，…，a n 的和为定值S 时，它们的平方和不小于21S n，当且仅当a 1=a 2=…=a n 时，平方和取最小值21S n.此推论是后面学习利用柯西不等式求最值时的主要依据，这里只证明该结论，具体的应用将在后面学习.典型例题赏析例1 你能想到几种证明柯西不等式的证明方法？请给出至少三种证明方法. 证法1 (比较法) ∵(a 2+b 2)(c 2+d 2)-(ac +bd )2=a 2c 2+b 2c 2+a 2d 2+b 2d 2-a 2c 2-2abcd -b 2d 2=(bc -ad )2≥0∴(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2.想一想 什么是分析法、综合法,能用这两种方法来证吗?点拨 分析法是从欲证的不等式出发,分析使之成立的条件,把需证的不等式转化为判定这些条件是否具备的问题.实质是执果索因.综合法是:利用某些已证过的不等式为基础,再运用不等式的性质推导出欲证的不等式.实质是由因导果.证法2（换元法） 观察 不等式的特征，其中含有a 2+b 2、c 2+d 2,采用什么方法来证?点拨 用三角代换.令a =r 1cos α、b =r 1sin α;c =r 2cos β、d =r 2sin β. 则 (ac +bd )2=( r 1r 2cos αcos β+ r 1r 2sin αsin β)2=2221r r cos 2(α-β)≤2221r r =(a 2+b 2)(c 2+d 2). 证法3（构造法1：构造点到直线的距离） 将不等式变形为:2222d c ba bd ac +≤++.观察 上式左边与什么公式相似?点拨 与点到直线的距离公式类似.你能利用它来证题吗?事实上,不等式的左边是点P(c ,d )到直线ax +by =0的距离,而右边是点P 到原点O(0,0)的距离,如图所示,由直角边不大于斜边可证.证法4（构造法2：构造恒正的二次函数）把三个式子a 2+b 2、c 2+d 2、ac +bd 看成整体,想象不等式:(ac +bd )2- (a 2+b 2)(c 2+d 2)≤0.与什么式子相似?点拨 它与二次函数的判别式相似,你能以它为判别式构造一条二次函数吗?设 f (x )=(a 2+b 2)x 2+2(ac +bd )x +(c 2+d 2),研究一下该函数的性质,问题有何进展? f (x )=(ax +c )2+(bx +d )2≥0,且二次项系数a 2+b 2>0 所以,由Δ≤0可以得证.例2设a 、b 、c 为正数且各不相等.求证：c b a a c c b b a ++>+++++9222 . 分析：∵a 、b 、c 均为正，∴只需证：9]111)[(2>+++++++ac c b b a c b a . 而)()()()(2a c c b b ad b a +++++=++，又2)111(9++=，)111)](()()[( )111)((2ac c b b a a c c b b a ac c b b a c b a ++++++++++=+++++++ 证明：9)111(2=++≥又a 、b 、c 各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。
苏教版高中数学选修知识导学_几个重要不等式_不分层
几个重要不等式 ： ：【学习目标】1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，学会柯西不等式的简单应用.2.用向量递推的方法讨论排序不等式，学会排序不等式的简单应用.3.了解数学归纳法的原理、使用范围和基本步骤，会用数学归纳法证明一些简单问题.4.会用数学归纳法证明贝努利不等式.5.通过对上述重要不等式的分析、证明和简单应用，提高学生分析问题的能力、推理论证的能力和运用已知数学结论解决问题的能力. 【要点梳理】要点一：柯西不等式1．二维形式的柯西不等式 代数形式（定理1）对任意实数a b c d ，，，，则()()()22222+a bcd ac bd ++≥.（当且仅当向量()a b ，与向量()c d ，共线，即ad bc =时，等号成立）. 向量形式：设αβ，是平面上任意两个向量，则αβαβ≥.（当且仅当向量α与向量β共线时，等号成立）。
三角形式:对任意实数a b c d ，，，≥（当且仅当ad bc =时，等号成立.） 证明：()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值几何背景：如图，在三角形OPQ 中，θ=∠QOP d c Q b a P ),,(),,(，则 ,,2222d c OQ b a OP +=+=.)()(22d b c a PQ -+-=2222222cos dc b a bdac +⋅++=θ或.))(()(cos 222222d c b a bd ac +++=θ 因为1cos 02≤≤θ，所以，1))(()(22222≤+++d c b a bd ac ，于是 22222)())((bd ac d c b a +≥++要点诠释：（1）柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示； （2）定理1的变形：若a 、b 、c 、d 222+c d ac bd +≥，（当且仅当向量()a b ，与向量()c d ，共线，即ad bc =时，，等号成立）2. 一般形式的柯西不等式定理2 设12n a a a ，，，与12n b b b ，，，是两组实数，则()()()222222212121122n n n n aa ab a a a b a b a b ++++≥+++，当且仅当向量()12n a a a ，，，与向量()12n b b b ，，，共线时，等号成立。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-5 5.4.1 柯西不等式》
柯西不等式【教学目标】（一）知识技能：1、掌握柯西不等式的基本形式和特点，了解相关背景知识；2、会用参数配方法和基本不等式法证明柯西不等式，体会证明的思想方法；3、能用柯西不等式解决一些较简单的问题，提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
（二）思想方法： 配凑思想 构造思想【重点难点】：重点：柯西不等式的几种形式难点：柯西不等式的应用【课前预习】1、柯西不等式的向量形式是： 。
2、柯西不等式的代数形式是： 。
3、柯西不等式的一般形式是： 。
【题组引入】题组： （1）已知222212121,1,a a b b +=+=求证：11221a b a b +≤； （2）已知22222212121,1,n n a a a b b b +++=+++=求证：11221n n a b a b a b +++≤； （3）已知()222222221212,,0n n a a a M b b b N M N +++=+++=>>，根据上面的证法，你可以得到什么结论呢？请大胆证明。
【教学过程】一、柯西不等式一般形式（定理4）：注：（1） 柯西不等式的二维形式（定理1）：（2） 柯西不等式的二维形式向量证明（定理2）；回忆已经证明的一个结论：课时训练P74训练3：已知,,,,a b c d R ∈在其中令12122323,,,a x x b y y c x x d y y =-=-=-=-，你能得到什么结论：________________________________________________________________________________________________________;并指出其几何意义（定理3，三角不等式）。
二、柯西不等式的应用：例一：1、已知,,,a b x y 是正数，且1a b +=，求证：()()ax by bx ay xy ++≥2、若,,a b c 为正数，且1a b c ++=变式训练1、设*n N ∈...变式训练2、已知12,,...,n a a a 为实数，求证：222212121...(...)n n a a a a a a n+++≥+++挑战自我1、已知()12121111,,,0n n a a a a a a +++=>，求12323n a a a na ++++的最小值。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-5 5.4.1 柯西不等式》5
课题：二维柯西不等式教学设计教学目标:1．掌握二维柯西不等式的代数形式、向量形式和三角不等式．2．掌握柯西不等式的一般形式．3．能利用柯西不等式解决不等式证明和最值问题．教学重点:理解并掌握柯西不等式及其推广形式．教学难点:柯西不等式在证明不等式和求最值中的应用．教学过程:课堂探究一、复习准备：提问：二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a b a b +≥>>及几种变式 二、教学过程探究1：证明不等式：a 2＋b 2c 2＋d 2≥ac ＋bd 2分析一：比较法证明；分析二：分析法证明．设计意图：通过课前自主预习，复习回顾不等式的证明方法，让学生初步认识柯西不等式的代数形式定理1 柯西不等式：若a ，b ，c ，d 为实数，则 a 2＋b 2c 2＋d 2≥ac ＋bd 2 ，当且仅当 ad ＝bc 时，等号成立．问题①：在柯西不等式中，取等号的条件可以写成错误!＝错误!吗？分析：不可以．当b ·d ＝0时，柯西不等式成立，但错误!＝错误!不成立．设计意图：体会柯西不等式的广泛性和一般性②讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法三：综合法222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+ 要点：展开→配方证法四：函数法设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即…设计意图：开拓学生思维。
③讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？222||c d ac bd +≥+ 或222||||c d ac bd+≥+ac bd +巩固练习：已知122=+b a ，122=+y x ，求证：by ax +1．分析：直接使用柯西不等式证明．设计意图：熟悉柯西不等式的结构特征及简单应用探究2：设在平面直角坐标系xOy 中有向量),(),,(d c b a ==βα，|α||β|与|α·β|的大小关系如何设计意图：找到柯西不等式的几何意义定理2 柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则 |α||β|≥|α·β| ，当且仅当 α和β共线平行 时，等号成立应用一：证明不等式,b 为实数,求证：a 4 b 4 a 2 b 2≥ a 3 b 32, b 都是正实数,且a b =1,求证:设计意图：熟悉柯西不等式在证明不等式中的应用（1）分析：根据形式直接使用柯西不等式．证明：由柯西不等式得 )]()()[())((2222222244b a b a b a b a ++=++≥222)(b b a a ⋅+⋅233)(b a += （2）分析：将yx 11+与y x +相乘，再利用柯西不等式． 证明：))(11(2111y x y x y x ++=+≥2)11(212=+y y x x114a b+≥应用二：求最值设计意图：熟悉柯西不等式在求最值中的应用探究3：设R d c b a ∈,,,，求证：2222d c b a +++≥22)()(d b c a +++，等号当且仅当ad ＝bc 时成立．分析：两边平方后用分析法证明设计意图：进一步体会柯西不等式的应用，为引入三角形不等式做铺垫定理3 三角形不等式：设1，2，3，1，2，3∈R ，那么错误!＋错误!≥错误!问题：三角形不等式的几何意义是什么？分析：三角形的两边之和大于第三边，等号成立时三点共线．三、课堂小结1．二维柯西不等式的代数形式，向量形式，三角形式的结构特征．2．应用柯西不等式证明不等式和求最值时注意等号成立的条件．3．使用柯西不等式时的转化与化归思想．四、课堂检测.12.122的最小值，求已知y x y x +=+.434.222的最值，求已知y x y x -=+.2101-5y .3的最大值求函数x x -+=→→→→→→→→→≥+γαγββαγβα---：为平面上的向量，证明，，巩固练习：设.y =1.求函数222,,,8, 24,:444 4, 4, 4.333x y z R x y z x y z x y z ∈++=++=≤≤≤≤≤≤2.已知且 求证3. ≥求证。
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5.4.1 柯西不等式
自主整理
柯西不等式
(1)代数形式:设a、b、c、d均为实数,则_______________,当且仅当ad=bc时取“=”.
(2)向量形式:设α、β为平面上的两个向量,则_______,当且仅当两个向量方向相同或相反时取“=”.
(3)三角形不等式:设x1、y1、x2、y2、x3、y3为任意实数,则
≥________________.
向量表示:设α、β、γ为平面上的向量,则____________,当且仅当向量α-β与β-γ同向时取“=”.
(4)一般形式:设n为大于1的自然数,a i、b i(i=1,2,…,n)为任意实数,则______________. 当且仅当时取“=”(当a i=0时,约定b i=0,i=1,2,…,n).
(5)在n个实数a1,a2,…,a n和为定值S时,它们的平方和不小于,当且仅当a1=a2=…=a n 时,平方和取最小值.
高手笔记
1.柯西不等式可由基本不等式推证,其形式比较整齐、优美.
因用到的字母较多,不易记忆,可联想其几何意义(即向量形式)就比较好理解了,由α·β=｜α｜｜β｜cosα≤｜α｜·｜β｜,所以只需记住向量数量积定义即可.
2.记忆三角形不等式时只需记住三角形中两边之和大于第三边及平面内两点间的距离公式即可写出,注意联想记忆.
3.柯西不等式的几种形式间是等价的,但要注意结构形式的变化对数值的要求,对“=”取到的条件要从推导过程中来理解.
名师解惑
对柯西不等式的理解
剖析:柯西不等式的几种形式,都涉及对不等式的理解与记忆,因此,柯西不等式可以理解为四个有顺序的数对应的一种不等关系或构造的一个不等式,如基本不等式是由两个数来构造的(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2,但怎样构造要仔细体会,(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,(a2+b2)(d2+c2)≥(ad+bc)2,谁与谁组合联系,要根据需要.柯西不等式取“=”的条件,可以多方面联系来记忆,如(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,取“=”的条件是“ad=bc”,有点像a、b、c、d成等比数列时ad=bc的结论.柯西不等式的向量形式中,α·β≤｜α｜·｜β｜取“=”的条件是β=0或存在实数k,使α=kβ,我们可以从向量的数量积的角度来理解记忆.
讲练互动
【例1】设a,b,c,d,m,n都是正实数,P=,Q=,试确定P与Q 的大小.
分析:从结构上观察,被开方数为(ma+nc)(),可用柯西不等式.
解:∵m、n、a、b、c、d为正数,
∴(ma+nc)()
=［()2+()2］·［()2+()2］
≥()2
=()2,
即Q≥P,当且仅当时取“=”.
绿色通道
解答问题时注意观察式子的结构是否符合柯西不等式的形式,并构造不等式.
变式训练
1.已知不等式(x+y)()≥9对于任意正实数x、y恒成立,求正实数a的最小值.
解:设z=(x+y)(+),不等式(x+y)(+)≥9对于任意的正实数x、y恒成立,等价于
z min≥9,
∵x、y、a∈R+,
∴z=(x+y)(+)
=［()2+()2］［()2+()2］
≥()2=(1+)2.
∴z min=(1+)2.
∴(1+)2≥9.
∴1+≥3,即a≥4.
∴a的最小值为4.
【例2】已知a、b∈R,求证:(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3)2.
分析:虽然可以作乘法展开上式的两边,然后再比较它们,但是如果注意到不等式的两边形式与柯西不等式的一致性,可以避免繁杂的运算.
证明:根据柯西不等式有(a4+b4)(a2+b2)≥(a2·a+b2·b)2=(a3+b3)2.
绿色通道
在证明不等式时,要观察不等式的结构,若联系经典不等式,既可以启发证明思路,又可以简化运算.
变式训练
2.已知a、b∈R,求证:(a4+b4)(a2+b2)≥a2b2(a+b)2.
证明:由柯西不等式,得(a4+b4)(a2+b2)=(a4+b4)(b2+a2)≥(a2b+b2a)2=［ab(a+b)］2=a2b2(a+b)2.
【例3】求函数y=的最大值.
分析:利用不等式求函数的最值,通常设法在不等式一边得到一个常数,并寻找不等式取“=”的条件.这个函数的解析式是两部分的和,若能化为ac+bd的形式就可利用柯西不等式进行平方合并求最值.
解:函数的定义域为［2,5］且y>0.
y2=()2≤(42+32)［()2+()2］=25×3,
∴y≤,当且仅当=时等号成立,即x=时取“=”,y取最大值.
绿色通道
学会观察函数的结构,并构造不等式,注意柯西不等式的等号成立的条件,弄清谁是a、b、c、d.
变式训练
3.求函数y=的最大值.
解法一:函数的定义域为［1,10］,且y>0,
y=1×+1×≤××3=,
当且仅当,即x=时取“=”,y max=.
解法二:函数的定义域为［1,10］,且y>0.
y2=()2
=x-1+10-x+2
=9+2
≤9+(x-1)+(10-x)=18.
∴y≤,当且仅当x-1=10-x时,即x=时,取“=”,y max=.
【例4】已知a、b、c、d、e、f是不全相等的正数,求证:a2+b2+c2+d2+e2+f2>ab+bc+cd+de+ef+fa.
分析:上式两边的结构比较整齐,左边为平方和,右边为顺序乘积的和,可由柯西不等式证明.证明:∵(a2+b2+c2+d2+e2+f2)2
=(a2+b2+c2+d2+e2+f2)(b2+c2+d2+e2+f2+a2)
≥(ab+bc+cd+de+ef+fa)2,
又∵a、b、c、d、e、f是不全相等的正数,
∴上面“=”取不到.
∴a2+b2+c2+d2+e2+f2>ab+bc+cd+de+ef+fa成立.
绿色通道
学会构造柯西不等式,注意观察结构和规律.
变式训练
4.已知a、b、c、d∈R+,且a+b+c+d=1,求证:a2+b2+c2+d2≥.
证明:∵(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)≥(a×1+b×1+c×1+d×1)2=(a+b+c+d)2=1, 即4(a2+b2+c2+d2)≥1,
∴a2+b2+c2+d2≥成立.。