2-1等式性质与不等式性质-22-23学年高一上学期数学人教A版(19)必修第一册

y)．
2.1 等式性质与不等式性质（第2课时）
问题4：请你回忆一下，等式都有哪些性质？
性质1：如果a=b,那么b=a.
性质2：如果a=b,b=c,那么a=c.
性质3：如果a=b,那么a ± c=b ± c.
类比等式的性质，你
能猜想出不等式的性
质，并加以证明吗？
性质4：如果a=b,那么ac=bc.
文字语言：不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式
同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原
不等式反向．
问题：不等式的两边同乘一个数，为何要分类讨论？
性质4：如果 a＞b， c>0 ， 那么 ac ＞bc;
如果 a>b， c<0 ， 那么 ac < bc．
注：
1. 该性质不能逆推,如ac>bc
加法单调性
1 .此性质可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相
加,即两个或两个以上的同向不等式两边分别相加,所得不
等式与原不等式同向.
.
性质5：如果a＞b，c>d ， 那么a+c ＞b+d.
加法单调性
2.两个同向不等式只能两边同时分别相加,而不能两边同时
分别相减.
3.该性质不能逆推,如a+c>b+d
性质5：如果a=b,c ≠0,那么
a b
.
c c
你能归纳一下等式基本性质蕴含哪些思想方法吗？
1、2“相等关系自身的特点”和
3、4、5“相等关系对运算保持不变”.
性质1：如果a ＞ b，那么b ＜a;
如果b ＜a，那么a >b．
对称性
即： a ＞ b b ＜a;
文字语言：不等式两边互换后,再将不等号改变方向,
40.
问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不
等关系吗？
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f
应不少于2.5%，蛋白质的含量 p 应不少于2.3%；
解：
≥2.5%，
由题意，得
2.3%.
≥
用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：
①审题．
通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求
y(y≥0)人,则关于工资x,y满足的不等关系是(
)
A.5x+4y<200
B.5x+4y≥200
C.5x+4y=200
D.5x+4y≤200
答案：D
1
1
2.若 A= 2 +3 与 B= +2,则 A 与 B 的大小关系是(
A.A>B
B.A<B
C.A≥B
1
1


解析：由于 A-B= 2 +3所以 A>B,故选 A.
ab
1 1
1
1
于是 a •
. 即
b•
b a
ab
ab
c c
由c<0,得 .
a b
a＋b c＋d
1．若 bc－ad≥0，bd>0，求证： b ≤ d .
小试牛刀
1. 给出下列结论：
①若 ac>bc，则 a>b；
②若 a<b，则 ac2<bc2；
1 1
③若 < <0，则 a>b；
a b
④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d；
“>”、“<”、“≥”、“≤”
连接两个数或代数式，以表示它
们之间的不等关系，含有这些符
不等式
号的式子，叫做__________.
问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不
等关系吗？
（1）某路段限速40 km/h；
解：
≤
设在该路段行驶的汽车的速度为 v km/h，“限速40
km/h”就是 v 的大小不能超过40，于是0 ＜v
所得不等式与原不等式等价
练习1.与m≥(n-2)2等价的是(
A.m<(n-2)2
B.(n-2)2≥m
).
C.(n-2)2≤m
D.(n-2)2<m
答案:C
-19-
性质2：如果a ＞b， b ＞ c,那么a ＞ c.
即： a ＞ b，b ＞ c a ＞ c．
传递性
分析：若要证明a>c，只需要证明a−c >0
的不等关系是( C )
A．x＋y>120
B．x＋y<120
C．x＋y≥120
D．x＋y≤120
[解析] 由题意可得x＋y≥120，故选C．
问题3：如何比较两个式子的大小关系？
a＞b
b< a
关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：
如果 − 是正数，那么a＞b；
如果 − 等于0，那么a=b；
如果 − 是负数，那么a＜b. 反过来也对.
比较大小关系
运算
研究差值符号
作差法：比较两个实数（式子）大小关系的方法.
正数
负数
等于 0
a－b>0
a－b<0
a－b＝0
例1：比较 + + 和( + )( + )的大小关系.
分析：若要比较两者的大小，只需比较它们的差与0的关系.
2.ac>bc⇒a>b,c>0或a<b,c<0.
a>b.
乘法法则
性质4：如果 a＞b， c>0 ， 那么 ac ＞bc;
乘法法则
如果 a>b， c<0 ， 那么 ac < bc．
变形：
1）a≥b,c>0⇒ac≥bc
2）a≥b,c<0⇒ac≤bc
3）a<b,c>0⇒ac<bc
4）a<b,c<0⇒ac>bc
.
a>b,c>d.
乘法单调性
性质6：如果 a＞b>0， c>d>0 ， 那么 ac ＞bd;
.
证明: ∵a>b>0,c>0,∴ac>bc.
∵c>d>0,b>0,∴bc>bd.
∴ac>bd.
.
.
乘法单调性
性质6：如果 a＞b>0， c>d>0 ， 那么 ac ＞bd;
.
猜想：如果 a＞b，c>d ，那么 ac ＞bd是否正确；
⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd.
③
其中正确结论的序号是______.
解析
①当 c>0 时，由 ac>bc⇒a>b，当 c<0 时，由 ac>bc⇒a<b，故①错．
②当 c≠0 时，由 a<b⇒ac2<bc2，当 c＝0 时，由 a<b⇒
/ ac2<bc2，故②错．
1 1
1
1
③∵a<b<0，∴a<0，b<0，∴ab>0，∴a·ab<b·ab，即 b<a，∴a>b，
即： a ＞ b，b ＞ c a ＞ c．
变形：
1）a≥b, b≥c⇒a≥c;
2）a<b, b<c⇒a<c;
3）a≤b, b≤c⇒a≤c
传递性
性质3：如果a ＞b,那么a+c ＞b+c.
加法法则
文字语言：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式
与原不等式同向．
由性质3可得
a+b>c a b (b) c (b) a c b
1
6.设 a∈R 且 a≠0，比较 a 与 的大小．
a
解：5. x2＋y2＋1－2(x＋y－1)
＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2
＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，
∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．
5.比较 x2＋y2＋1 与 2(x＋y－1)的大小；
1
6.设 a∈R 且 a≠0，比较 a 与 的大小．
a
1
解： 由 a－ ＝
a
a2 - 1
a
1
当 a＝±1 时，a＝ ；
a
1
当－1＜a＜0 或 a＞1 时，a＞ ；
a
1
当 a＜－1 或 0＜a＜1 时，a＜ .
a
当堂练习
1.完成一项装修工程,请木工需付工资每人500元,请瓦工需付工
资每人400元,现有工人工资预算20 000元,设木工x(x≥0)人,瓦工
联系a − b >0,b − c>0
a − c=(a − b)+(b − c)>0
证明：由两个实数大小关系的基本事实知:
a b a b 0
(a b) (b c) 0 a c 0 a c
b c bc 0
性质2：如果a ＞b， b ＞ c,那么a ＞ c.
量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至
多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．
②列不等式（组）：
分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，
将各约束条件用不等式表示．
练习．某工厂在招标会上，购得甲材料x t，乙材料y t，若维持工
厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120 t，则x、y应满足
e
e
2、已知 a>b>0，c<d<0，e<0，求证：
>
.
a－c b－d
α＋β α－β
π
π
3、已知－ ≤α<β≤ ，求
，
的范围．
2
2
2
2
[分析]
π
π
π
π
π
π
由－2≤α<β≤2可知，－2≤α<2，－2<β≤2，α<β.
α＋β α－β
π
π
3、已知－ ≤α<β≤ ，求
，
的范围．
2
2
2
2
5.比较 x2＋y2＋1 与 2(x＋y－1)的大小；
.
.
乘法单调性
性质6：如果 a＞b>0， c>d>0 ， 那么 ac ＞bd;
.
.
1. 这一性质可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不
等式两边分别相乘,这就是说,两个或更多个两边都是正数的同
向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.
.
乘法单调性
性质6：如果 a＞b>0， c>d>0 ， 那么 ac ＞bd;
.
.
2.a>b>0,c<d<0⇒ac<bd;
a<b<0,c<d<0⇒ac>bd.
3.该性质不能逆推,如ac>bd
.
a>b,c>d.
乘法单调性
追问：如果性质6中a=c，b=d ，你有何新的结论？
.
2
2
如果 a＞b>0，那么 a b
性质7：如果 a＞b>0，那么 a n b n
.
.
∈ ∗, ≥ 2
(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；
(4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：
作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．
前面，我们利用完全平方公式得到了一类重要
不等式：
a,b R ，a + b ≥ 2ab
2
2
．此不Biblioteka 式称为重要不等式当且仅当 a b时，等号成立.
人教A版 必修 第一册
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
2.1 等式性质与不等式性质（第1课时）
问题1：常见的不等关系有哪些？你能用文字语言和符号
语言表述吗？
不等关系与不等式
文字语言
符号语言
不等于
≠
大于
＞
小于
＜
大于或等于（不小于）
≥
≤
小于或等于（不大于）
我们用数学符号“≠”、
由性质3，得a+c ＞b+c，b+c > b+d ;
由性质2，得 a+c > b+d
.
性质5：如果a＞b，c>d ， 那么a+c ＞b+d.
变形：
1）a<b,c<d⇒a+c<b+d
2）a≥b,c≥d⇒a+c≥b+d
3）a≤b,c≤d⇒a+c≤b+d
.
加法单调性
性质5：如果a＞b，c>d ， 那么a+c ＞b+d.
请同学们观察这个不等式，它的左边是两个数
的平方的和，右边是这两个数的乘积的2倍．
比较数或式子的大小
已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．
解：
∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，
∴(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝－2xy(x－y)＞0，
∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋
c c
例：已知a＞b>0， c<0 ， 求证： .
a b
.
c c
1 1
分析：要证明 ，因为c<0，所以可以先证明 ，
a b
a b
c c
.
利用已知a＞b>0和性质3，即可证明
a b
c c
例：已知a＞b>0， c<0 ， 求证： .
a b
.
1
证明：因为a＞b>0，所以 ab 0, 0
解： + + − ( + )( + )
= + + − ( + + )
=2>0 ，
∴ + + ＞( + )( + ).
比较两个实数(或代数式)大小的步骤
(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；
(2)变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；
性质3：如果a ＞b,那么a+c ＞b+c.
加法法则
文字语言：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式
与原不等式同向．
变形：
1）a<b ⇒ a+c <b+c
2）a≤b ⇒ a+c ≤b+c
3）a≥b ⇒ a+c ≥b+c
性质4：如果 a＞b， c>0 ， 那么 ac ＞bc;
乘法法则
如果 a>b， c<0 ， 那么 ac < bc．
故③正确．
④∵c>d，∴－c<－d，又 a>b，两不等式不等号的方向不同，不能相加，
∴a－c>b－d 错误．
a>b>0
0>a>b
⇒ac>bd，
⇒ac<bd，
⑤
c>d>0
0>c>d
a>b>0
0>a>b
⇒
⇒
但
/ ac>bd，
/ ac>bd.