方差分析F检验

F值
总变异 310.0
31
组间 163.5
3
54.5 10.48
组内 146.5
28
5.2
.
36
5 确定P值
依椐组间自由度 υ1=3
组内自由度
υ2=28
查F界值表
0.01水平 F(3,28)=4.59 本例F=10.48> F(0.01) 故P<0.01
判断结果 拒绝H0, 接受H1 结论:不同季节湖水氯化物含量的均数差别 有高度显著性(P<0.01)
ni
C (各组样本含量相等)
本例各组样本含量相等.故
109 .86 SS组间= (17.91 )2(15.39 )2(13.91 )2(12.39 )2 8
=11130.3-10966.8=163.5
.
33
(4) 求组内变异的离均差平方和(SS组内)
SS组内=SS总-SS组间=310-163.5=146.5 或 SS组内=∑(ni-1)Si2=∑SSi
16.9
20.1
16.7
16.2
21.2
19.6
14.8
159.3 131.9 129.3 592.4 (∑X)
8 19.91
3231.95
8 16.49 2206..27
8 16.16
2114.11
32 18.51
11276.84
(N)
_
( X)
(∑X2) 8
方差分析的统计量为F值(均方比)
F=MS(组间) / MS误差(组内) (单因素方差分析)
.
3
第一节 方差分析的原理、条件及应用
.
4
方差——均方差——离均差平方和/自由度,用MS表示
MS(方差):是标准差的平方
标准差S=
( x x )2 n 1
标准差S2 =SS 即离均差平方和
MS (xx)2 n1
MS 表示变异程度 MS大------变异大 MS小-------变异小
.
5
一 方差分析的原理
.
34
4 列方差分析表
变异来源 SS
自由度
MS
F值
总变异 ∑X2-C N-1
组间 组内
( xij ) 2 k-1
( jxij ) 2
i j ni
-C i
ni
SS总-SS组 N-k
间
SS
SS 组间
组间
k k 11
SSSS
组 组内
间
NN k k
MS
MS
MS
MS
组间
组间
组内
组内
.
35
本例方差分析表
变异来源 SS 自由度υ MS
(19.1-19.91)2+……+(21.2-19.91)2=59.9
j
❖ 秋季=
_
= (X3j X3)2
(18.9-16.49)2+……+(19.6-16.49)2=31.6
j
❖ 冬季=
(X4j X4)2 =
(19.0-16.16)2+……+(14.8-16.16)2=24.3
j
本例SS组内=30.8+59.9+31.6+24.3=146.6
14.8
15.2
16.6
13.1
18.4
14.2
16.9
20.1
16.7
16.2
21.2
19.6
14.8
159.3 131.9 129.3 592.4
(∑X)
8 19.91
3231.95
8 16.49 2206..27
8 16.16
2114.11
32 18.51
11276.84
(N)
_
(X )
(∑X2) 17
将全部观察值的变异(总变异)按设计需要分为两 个或多个组成部分,然后按变异来源进行分析. 总变异分为： ①处理因素(变异的一个来源)——MS组间
即一个处理因素是一个变异来源,两个或多个 处理因素是变异的两个或多个来源. ②误差(个体变异)——即余下的变异------MS组内
.
6
例:欲分析不同季节对湖水氯化物含量的影响, 某年度某湖不同季节湖水氯化物含量测定结果 如下,试比较不同季节湖水氯化物含量差别有 无显著性?
.
12
○例 如观察四种降脂药对4组动物动脉粥样硬化斑块 的影响，比较不同药物对动脉粥样硬化形成大小有 否影响。
处理
配伍
按体 Ⅰ 重高 Ⅱ 低分 Ⅲ
为四 Ⅳ
组
A(安妥明)
#### #### #### ####
B(降脂甲方) C(降脂乙方) D(降脂丙方)
#### #### #### ####
#### #### #### ####
MS组内=SS组内/k-1 (组数-1) =163.5/4-1=54.5
.
24
由以上结果看出: SS总=SS组间+SS组内
=146.6+163.5=310.1
将上式移项 SS组内=SS总-SS组间 算出SS总及SS组间,可求出SS组内 以后计算可简化.
.
25
4 计算F值
F=MS组间/MS组内=54.5/5.2=10.48
下表为:不同季节湖水氯化物含量(ng/L)
.
16
Xij
i
ni
Xi
X 2ij i
春
22.6 22.8 21.0 16.9 24.0 21.9 21.5 21.2 171.9 8 21.49 3724.5
夏秋冬
19.1
18.9
19.0
22.8
13.6
16.9
24.5
17.2
17.6
18.0
15.1
注 MS组间>MS组内 如果MS组间<MS组内.那么季节影响不值注意.
.
26
5 确定自由度
υ(分子) 组间自由度υ1=k-1=4-1=3 υ(分母) 组内自由度υ2=N-k=32-4=28
.
27
6 确定P值
查附表 F值表 F0.01(3,28)=4.59 本例F=10.48> F0.01(3,28) 故P<0.01
.
18
分析 如处理无作用(季节无影响),则各样本均数来自同一个整体 即 组内、组间方差都是总体方差的估计值. MS组内≈MS组间≈σ2(总体均方) 均方比 F=MS组间/MS组内≈1 认为多组样本均数差异是抽样误差所致。
如处理有作用(季节有作用)则各均数不取自同一整体.
MS组间≠MS组内 且MS组间受两因素影响(个体变异+处理因素)
SS组内指每个季节内部各观察值与每组均数
( X
i )之差的平方和
2
SS组内 (Xij Xi)
ij
春
夏
秋冬
21.49 19.91 16.49 16.16
.
22
❖ 春季 =
(X1j X1)2
=
(22.6-21.49)2+……+(21.2-21.49)2=30.8
j
❖ 夏季=
=
(X2j X2)2
分析上表结果有三个变异 1 总变异 32次测定湖水氯化物含量不尽相同。
原因是：①季节影响；
②误差作用（个体差异） 2 组内变异
同一季节中8次测定值不尽相同。 原因：不是由于季节影响，是由于误差（个体因素造 成） 3 组间变异 各季节湖水氯化物含量均数不尽相同。 原因 : 季节对湖水氯化物含量影响，也包括误差。
.
7
Xij
i
ni
Xi
X 2ij i
春
22.6 22.8 21.0 16.9 24.0 21.9 21.5 21.2 171.9 8 21.49 3724.5
夏秋冬
19.1
18.9
19.0
22.8
13.6
16.9
24.5
17.2
17.6
18.0
15.1
14.8
15.2
16.6
13.1
18.4
14.2
MS组间＞MS组内
F值＞1
认为多组样本差异是由处理因素所致。
方差分析也称F检验. F值=均方比。
F值是方差分析的统计量,可查F界植表,得到P值,按所取检验水准
作统计判断。
.
19
（三）分析步骤
❖ 求SS(总变异) ❖ 求SS组间 、 MS组间 ❖ 求SS组内 、 MS组内
.
20
1 求总变异的离均差平方和(SS总)
**本例需用内插法求
.
28
内插法:
由 F0.01(3,20)=4.94 F0.01(3,30)=4.51 求F0.01(3,28)
F0.01(3,28)=4.94-(28-20)/(30-20)×(4.94-4.51)=4.59
结论：不同季节的湖水氯化物含量不同。 注：因上述过程易理解，但计算繁杂， 实际工作中用下列简化方法。
(1)求校正值(C)
C=
( X
N
)2 =(592.4)2/32=10966.8
(2) 求总变异的离均差平方和(SS总)
SS总=∑X2-C=11276.8-10966.8=310
.
32
(3)求组间变异的离均差平方和
( Xij ) 2
SS组间= i
i
ni
- C (各组样本含量不等)
(Xij)2
SS组间= i
组内均方MS组内= SS组内/Nk(自由)度
=146.6/32-4=5.2 N为测定值总个数, k为组数.
.
23
3 组间变异的离均差平方和(SS组间)及均方(MS组间)
❖
SS组间指各季节氯化物含量的均数(
X
)i 与总均数(
X)的
平方和
SS组间=
2
ni (xi X)
i
(ni为每组有n个观察值)
本例SS组内=8(21.49-18.51)2+8(19.91-18.51)2+8(16.4918.51)2+8(16.61-18.51)2=163.5
_
SS总(x i j X)2
ij
Xij表示第i组第j个观察值。
求32个观察值中每一观察值与总均数之差的平方 和。
总均数SS总=(22.6-18.51)2+ (22.8-18.51)2+……(16.2-18.51)2+
(14.8-18.51)2=310.0
.
21
2 求组内变异的离均差平方和(SS组内)及均 方(MS组内)
❖ 两因素：既按治疗前后不同时间，又按不同 患者的病程或年龄分组，叫两因素分析。
.
11
例：针刺降压观察，将高血压分为三期（Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ），观察不同药物(A药、B药、C药、D药) 对血压影响：
（药A） （药B） （药C） （药D）
Ⅰ
血压值
Ⅱ
Ⅲ
由此分析药物对哪一期高血压降效应最好，且反映出什么 药物降压效果最明显。
第十七章 方差分析(F检验)
.
1
总结 单因素多组样本均数方差分析基本思路
（１）从总变异中分出组间变异和组内变异。
（２）将组间变异和组内变异进行比较，若组间变异
大于组内变异，且超过一定界值范围，可认为多组样本
均数的差异是由处理因素造成的,若两者差异不大，或
组间变异小于组内变异，可认为多组样本均数的差异是
.
37
取检验水平作统计判断.
.
9
二 方差分析的应用
1 两个或多个样本均数的比较(多个样本均数差 别的显著性检验)
2 回归方程的假说检验. 3 方差齐性检验。 4 分析两因素或多因素、多水平有交互作用资
料的分析。
.
10
关于单因素与两因素方差分析
❖ 单因素：如果将研究的季节、病种、时间等 称为“因素”，仅按不同季节、不同病种、 不同药物或治疗时间分组称单因素分组。
由抽样误差造成的，处理因素不起多大作用。
（３）F检验只能说明4组总的有无差别，欲知每两
组之间差别用q检验.
（４）方差不齐时,用变量变换成正态后再作F检验.
.
2
概述
方差分析——变异数分析(analysis of variance)与t 检 验一样,都属于参数统计. (参数统计——由样本指标估计总体指标。) 与t检验的差别： t 检验-----适用于两组试验计量资料处理. 方差分析-----适用于多组资料样本均数比较
.
29

五 简化方法计算步骤
1 检验假说 H0 各季节的湖水氯化物含量的均数相等
μ1=μ2=μ3=μ4 H1：各总体均数不等或不全等。
α=0.05
.
30
2 列计算表(前表的下半部分)
分别算出各季节的
Xi j
i
ni
_
Xi
x2ij
i
及这四个值的合计项
∑X n
X
X 2
.
31
3 计算离均差平方和(SS)
误差的均方(组内均方)——个体差异
处理因素的均方(组间均方)——处理因素+个体因素
○若处理因素有作用,则组间均方应大于组内均方.
即MS组间>MS误差, F=MS组间/MS组内>1 ○若处理因素不起作用,各样本均来自同一整体.
即MS组间≈MS误差, 则 F=MS组间/MS组内≈1 F值是方差分析的统计量,可查F界值表,求得F值,按所
#### #### #### ####
.
13
三 方差分析的条件
1 独立性 各随机样本相互独立。 2 随机性 各样本均是随机样本。 3 正态性 各样本均来自正态分布的整体。 （各因素每一水平的重复数椐均服从正态分 布。） 4 一致性 各处理组总体方差相等。
.
14
四 方差分析的基本思想
（一）方差分析的基本思想
1 从总变异中分出组间和组内变异,并用数量表 示变异程度。
2 将组间变异和组内变异进行比较，如两者差 别不大，说明处理因素影响不大，如两者相 差较大，且组间变异比组内变异大得多，说 明处理因素影响为主。
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15
（二）变异分析
○例:欲分析不同季节对湖水氯化物含量的影响, 某年度某湖不同季节湖水氯化物含量测定结 果如下,试比较不同季节湖水氯化物含量差别 有无显著性?