1、行波、简谐波形成和波函数、波长1

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20
纵 波 的 形 成
§20-3 简谐波的波函数 波长
一、平面简谐波
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · ·· ·
简谐波——简谐振动在各向同性、无吸收的、 无限大线性弹性介质中传播所形成波，称为平 面简谐波，简称谐波。
比较：
k
角频率 波数
2 时间内的整周期数目 时间 2 空间内的整波长数目 空间

T
2 k
2
波具有时间和空间上的周期性。
波长 周期 频率

f
2
三、谐波方程的物理意义
1.振动方程与波函数的区别 x A cos(t 0 )
振动方程是时间 t 的函数
x f (t )
· · · · u · · · · · · · o· · · · · · · · · · · · · · · P · x · · · · · · x 回忆：振动方程 y A cost 0 中，哪
个部分代表振动状态？ 相位 所以P点在t 时刻的相位与O点在 t - t 时刻相位相同
本次课结束
作业：练习题20.5和20.6
回忆波数： k
y t 3T / 4

2



u
x
四、沿X轴正、负向传播的谐波方程
X轴正向
y A cos （t kx)
用-u代换上面的u即得
X轴负向
y A cos （t kx)
五、周期、波长
时间上的周期性 谐波具有 空间上的周期性
T 2

uT
六、波速、相速
波是振动状态的传播 考察某振动状态
x
P
u
· · · · · · · · · · · o· · · · · · · · · · · · · · · P · x ·· · ·· ·
x
已知点O的振动传播到P点所需时间为 t ,
u
x t u P点的振动比O点的振动落后 t 时间，即：
O点在t 时刻的振动与P点在t + t 时刻的振动 相同。 或者说P点在t时刻的振动与O点在t - t 时刻 的振动相同。
第20章 波动
1. 机械波产生的条件
A
振源A振动通过 弹性力传播开去
振源 弹性介质
2. 电磁波
只需振源
可在真空中传播 3. 物质波 物质的固有性质
真空
机械波的传播
§18－1 行 波
一. 行波的产生 1.产生条件: 波源(扰动)、媒质。 y
2.现象: 当手向上抖动一 次,扰动沿橡皮绳 传x) const.
将其全微分 有关系式
dt kdx 0
由速度的定义得出重要关系
dx 相位传播速度 u （相速） dt k
六、波动中的几个概念 1.波线
波的传播方向为波线。
波线
波面
波 前
2.波面
振动相位相同的各点组成 的曲面，用同一个波函数 表示。
二、简谐波的波函数
任意时刻任意位置处的质点的振动方程就是 所求谐波方程。
1. 波源处在原点， 其振动方程为
y A cos(t 0 )
2. 波速u 水平向右传播。
· · · · · · · · · · · o· · · · · · · · · · · · · · · · x ·· · ·· ·
波面
平面波
3.波前
某一时刻波动所达到最前方的各 点所连成的曲面。
波线
波 前
球面波
例20.1：一列简谐波以波速 u沿 x轴正向传播，波长为 。已知
在 x0 4 处的质元的振动表达式为 y x0 A cos t 试写出波函 数,并 在同一张坐标图中画出 t T 和 t T / 4 时的波图。
这种扰动的传播就叫行波。 抖动一次的扰动叫脉冲,脉冲的传播就叫脉冲波。
二.行波的种类
（1）横波
特征：
质点振动方向垂直波的传播方向 交替出现波峰和波谷
（2）纵波
纵波的形成
传播方向
特征： 质点振动方向平行于波的传播方向
交替出现稀疏和稠密
波速
水表面 的波既 非横波 又非纵
波
结论:
(1)波动的形成需要有两个条件: 振动源、传播媒质; (2)任何复杂的振动都可以看成是简谐振动的合成, 因此,一般形式的波都可以看成是简谐波的合成; (3)通过弹性介质中质点的相互作用, 将振动源的能 量在弹性介质中传播。 （4）不管是横波还是纵波，都只是扰动的传播， 介质本身并没有沿着波的传播方向移走。而是每 个质元在各自平衡位置附近的振动。
例20.2 一条长线用水平力张紧，其上产生一列简谐横波 向左传播，波速为20m/s。在t＝0时它的波形曲线如图所 示。 （1）求波形的振幅、波长和波的周期 （2）按图设x轴方向写出波函数 （3）写出质点振动速度表达式
思考题18.1 设某时刻横波波形曲线如图 所示，试分别用箭头表示出图中A，B， C，D，E，F，G，H，I等质点在该时 刻的运动方向，并画出经过1/4周期后 的波形曲线。
§20-2 简谐波的形成过程
横 波 的 形 成
· · · · · · · · ·t = 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · ·t = T/4 · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · t = T/2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · t = 3T/4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · t=T · · · · · ·· ·
波动方程是时间和空间 的函数。表示波线上任 一（所有）质点在任意 （所有）时刻离开各自 平衡位置的位移。
y f ( x ,t )
x y A cos t 0 u
y
o
x 0
t
2 .当
x x0（常数）时，
y
o
x /4
x0 y A cos t 0 u
P点的振动方程
y A cost t 0
谐波方程为
x y A cos t 0 u
x y A cos t 0 u
① ②

x 2 , y A cos2 t 0 u
x 其中， (t ) 0 为x处质点在t时刻的相，其速度为： u dx u 即：波速等于相速。 dt 波函数具有空间周期性：
y x x
x x x x A cos (t ) A cos[（t ) ] u u u
若 x / u n 2 (x 2u / ) 二质点同相振动，定义相邻两质点距离为波长
y
o
t0
x
表示 t0 时刻介质中所有质点离开 各自平衡位置的位移，介质中不 同的点振动相位和状态不同。 x1 和x2点的振动相位差为 2 x2 x1 x / k
y
o
t T /4
x
y t T /2
o o x

即相距一个波长的任意两点 同相 —— 波动的空间周期性。
中哪???t相位?0cos??ayt?t所以p点在t时刻的相位与o点在时刻相位相同时刻相位相同p点的振动方程谐波方程为???????????????t?0cos?uxay?????0cos?????ttay2???????????????????t?0cos?uxay??????????????t?02??cos?uxay0??????uxt其中为x处质点在t时刻的相其速度为

定义波数
2u
表示简谐波函数具有空间周期性。 可见，
x y A cos t 0 u
k：2 长度内的整波长数目

Tu

u

2

k
有如下推导公式：
y A cos(t kx 0 )
t x y A cos2 0 T
t
y x /2
t
2 o A cos t x0 0
即距O点x处的质点在不同时 刻离开平衡位置的位移—— 振动方程。P点的相比O点落 后 2x0 /
o
y x 3 / 4
t
3.当 t t0（常数）时，
x 2 y A cos t0 A cos( t0 x) u