优化方案高考数学(新课标全国卷Ⅰ·理科)二轮复习第一部分专题一第3讲专题强化精练提能

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优化方案高考数学(新课标全国卷Ⅰ·文科)二轮复习优化方案二轮第一部分专题五第3讲专题强化精练提能

[A 卷]1．方程x 2k ＋1＋y 2k －5＝1表示双曲线的充要条件是k ∈________．解析：易知k ＋1≠k －5.由条件得(k ＋1)(k －5)<0，解得－1<k <5. 答案：(－1，5)2．(2015·南师附中、淮阴、海门、天一开学联考)以双曲线x 24－y 212＝1的中心为顶点，右准线为准线的抛物线方程为________．解析：由题意得a 2＝4，b 2＝12，从而c ＝a 2＋b 2＝4，所以双曲线的右准线方程为x ＝a 2c ＝44＝1，从而抛物线的方程为y 2＝－4x . 答案：y 2＝－4x 3．(2015·常州期末)已知双曲线ax 2－4y 2＝1的离心率为3，则实数a 的值为________．解析：由双曲线方程ax 2－4y 2＝1，即x 21a －y 214＝1，知e 2＝1a ＋141a＝(3)2⇒a ＝8.答案：84．(2015·高考山东卷)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为ba，又直线l过右焦点F (c ，0)，则直线l 的方程为y ＝ba(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y 2b2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)，故点P 的坐标为(2a ，－3b )，代入直线方程得－3b ＝ba(2a－c )，化简可得离心率e ＝ca＝2＋ 3.答案：2＋ 35．(2015·河北邯郸一模改编)椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 2的中点在y 轴上，那么PF 2是PF 1的________倍．解析：设线段PF 2的中点为D ，则OD ＝12PF 1，OD ∥PF 1，OD ⊥x 轴，所以PF 1⊥x 轴．所以PF 1＝b 2a ＝323＝32.又因为PF 1＋PF 2＝43，所以PF 2＝43－32＝732. 所以PF 2是PF 1的7倍．答案：76．(2015·广州调研改编)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C上点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为________．解析：设向量F 1P →，F 2A →的夹角为θ.由条件知AF 2为椭圆通径的一半，即AF 2＝b 2a ＝32，则F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|·cos θ，于是F 1P →·F 2A →要取得最大值，只需F 1P →在向量F 2A →上的投影值最大，易知此时点P 在椭圆短轴的上顶点，所以F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|cos θ≤332.答案：3327．(2015·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点，若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．解析：所求的c 的最大值就是双曲线的一条渐近线x －y ＝0与直线x －y ＋1＝0的距离，此距离d ＝12＝22. 答案：228．(2015·高考浙江卷)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的另一个焦点为F 1(－c ，0)，如图，连结QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝bcx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ ，又O 为线段F 1F 的中点，所以F 1Q ∥OM ，所以F 1Q ⊥QF ，F 1Q ＝2OM .在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝MF OM ＝bc，|OF |＝c ，可解得OM ＝c 2a ，MF ＝bca ，故QF ＝2MF ＝2bc a ，QF 1＝2OM ＝2c 2a.由椭圆的定义得QF ＋QF 1＝2bc a ＋2c 2a ＝2a ，整理得b ＝c ，a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22.答案：229．(2015·南通市二模)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若以F 为圆心的圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为________．解析：圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0可以化为(x －3)2＋y 2＝4，其圆心F (3，0)，半径r ＝2.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，所以3b a 2＋b 2＝2，整理得5b 2＝4a 2.又因为b 2＝c 2－a 2，所以5(c 2－a 2)＝4a 2，所以5c 2＝9a 2，所以c 2a 2＝95，即离心率e 2＝95，e ＝355.答案：35510．若对于给定的正实数k ，函数f (x )＝kx的图象上总存在点C ，使得以C 为圆心、1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为2，则k 的取值范围是________．解析：设C ⎝⎛⎭⎫t ，k t (t ≠0)，故圆C ：(x －t )2＋(y －kt )2＝1，原题等价于∃t ∈R ，t ≠0，圆C ：(x －t )2＋(y －k t )2＝1与圆x 2＋y 2＝4相交．又CO 2＝t 2＋k 2t2，r 1＝2，r 2＝1，所以原题等价于∃t 2>0，1<t 2＋k2t 2<9，即⎩⎪⎨⎪⎧k 2>t 2－t 4，k 2<9t 2－t 4.又t 2－t 4∈⎝⎛⎦⎤－∞，14，9t 2－t 4∈⎝⎛⎦⎤－∞，814，k 2>0，所以对于任意k ，k 2>t 2－t 4都有解，所以只需k 2<814.又k >0，所以k ∈⎝⎛⎭⎫0，92. 答案：⎝⎛⎭⎫0，92 11．(2015·扬州期末)如图，A ，B ，C 是椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，BC 过椭圆M 的中心，且满足AC ⊥BC ，BC ＝2AC .(1)求椭圆的离心率；(2)若y 轴被△ABC 的外接圆所截得弦长为9，求椭圆方程．解：(1)因为BC 过椭圆M 的中心，所以BC ＝2OC ＝2OB ，又AC ⊥BC ，BC ＝2AC ，所以△OAC 是以角C 为直角的等腰直角三角形，则A (a ，0)，C ⎝⎛⎭⎫a 2，－a 2，B ⎝⎛⎭⎫－a 2，a 2，AB ＝102a ，所以⎝⎛⎭⎫a 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－a 22b2＝1，则a 2＝3b 2，所以c 2＝2b 2，e 2＝c 2a 2＝2b 23b 2＝23，e ＝63.(2)△ABC 的外接圆圆心为AB 中点P ⎝⎛⎭⎫a 4，a 4，半径为104a ，则△ABC 的外接圆为⎝⎛⎭⎫x －a 42＋⎝⎛⎭⎫y －a 42＝58a 2，令x ＝0，则y ＝a 或y ＝－a2，所以a －⎝⎛⎭⎫－a2＝9，得a ＝6， (也可以由垂径定理得⎝⎛⎭⎫104a 2－⎝⎛⎭⎫a 42＝92得a ＝6) 所以所求的椭圆方程为x 236＋y 212＝1.12．(2015·南京盐城一模)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右准线方程为x ＝4，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线经过点A ，且点F 到直线的距离为255.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)将直线绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当B ，F ，P 三点共线时，试确定直线的斜率．解：(1)由题意知，直线的方程为y ＝2(x －a )，即2x －y －2a ＝0，所以右焦点F 到直线的距离为|2c －2a |5＝255，所以a －c ＝1，又椭圆C 的右准线为x ＝4，即a 2c ＝4，所以c ＝a 24，将此代入上式解得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由(1)知B (0，3)，F (1，0)，所以直线BF 的方程为y ＝－3(x －1),联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －1），x 24＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝－335或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3(舍去)，即P ⎝⎛⎭⎫85，－335，所以直线的斜率k ＝0－⎝⎛⎭⎫－3352－85＝332.法二：由(1)知B (0，3)，F (1，0)，所以直线BF 的方程为y ＝－3(x －1)，由题知A (2，0)，显然直线的斜率存在，设直线的方程为y ＝k (x －2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －1），y ＝k （x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k ＋3k ＋3，y ＝－3kk ＋3，代入椭圆解得k ＝332或k ＝－32，又由题意知，y ＝－3k k ＋3＜0得k ＞0或k ＜－3，所以k ＝332.13．(2015·泰州市一模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．若直线PQ 斜率为22时，PQ ＝2 3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)试问以MN 为直径的圆是否经过定点(与直线PQ 的斜率无关)？请证明你的结论．解：(1)设P ⎝⎛⎭⎫x 0，22x 0，因为直线PQ 斜率为22时，PQ ＝23，所以x 20＋⎝⎛⎭⎫22x 02＝3，所以x 20＝2，所以2a 2＋1b 2＝1，因为e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22，所以a 2＝4，b 2＝2.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y22＝1.(2)以MN 为直径的圆过定点F (±2，0)．设P (x 0，y 0)，则Q (－x 0，－y 0)，且x 204＋y 202＝1，即x 20＋2y 20＝4，因为A (－2，0)，所以直线P A 方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0＋2，直线QA 方程为y ＝y 0x 0－2(x ＋2)，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0－2，以MN 为直径的圆为(x －0)(x －0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2y 0x 0＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2y 0x 0－2＝0，即x 2＋y 2－4x 0y 0x 20－4y ＋4y 20x 20－4＝0，因为x 20－4＝－2y 20，所以x 2＋y 2＋2x 0y 0y －2＝0，令y ＝0，则x 2－2＝0，解得x ＝±2，所以以MN 为直径的圆过定点F (±2，0)．14．(2015·镇江期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (1，0)，离心率为22，过F作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设AB ，CD 的中点分别为M ，N .(1)求椭圆的方程；(2)证明：直线MN 必过定点，并求出此定点坐标；(3)若弦AB ，CD 的斜率均存在，求△FMN 面积的最大值.解：(1)由题意：c ＝1，c a ＝22，则a ＝2，b ＝1，c ＝1，椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：AB ，CD 斜率均存在，设直线AB 方程为y ＝k (x －1)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－1， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 2＋2y 2－2＝0，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，将上式中的k 换成－1k ，则同理可得：N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋k 2，k 2＋k 2，如2k 21＋2k 2＝22＋k2，得k ＝±1，则直线MN 斜率不存在，此时直线MN 过点⎝⎛⎭⎫23，0，下证动直线MN 过定点P ⎝⎛⎭⎫23，0. 若直线MN 斜率存在，则k MN ＝－k1＋2k 2－k2＋k 22k 21＋2k 2－22＋k 2＝－k （3k 2＋3）2k 4－2＝32×－kk 2－1，直线MN 为y －k 2＋k 2＝32×－k k 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －22＋k 2，令y ＝0，得x ＝22＋k 2＋23×k 2－12＋k 2＝23×3＋k 2－12＋k 2＝23，综上，直线MN 过定点⎝⎛⎭⎫23，0.(3)由第(2)问可知直线MN 过定点P ⎝⎛⎭⎫23，0，故S △FMN ＝S △FPN ＋S △FPM ＝12×13⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 2＋k 2＋12×13⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 1＋2k 2＝16×|k |（3＋3k 2）（2＋k 2）（1＋2k 2）＝12×|k |（k 2＋1）2k 4＋5k 2＋2＝12×|k |＋1|k |2k 2＋5＋2k 2，令t ＝|k |＋1|k |∈[2，＋∞)，S △FMN ＝f (t )＝12×t 2（t 2－2）＋5＝12×t2t 2＋1.f ′(t )＝12×1－2t 2（2t 2＋1）2＜0，则f (t )在t ∈[2，＋∞)上单调递减，当t ＝2时f (t )取得最大值，此时S △FMN 取得最大值19，此时k ＝±1.[B 卷]1．(2015·苏锡常镇四市一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)的离心率为22，且过点⎝⎛⎭⎫1，62，过椭圆的左顶点A 作直线l ⊥x 轴，点M 为直线l 上的动点，点B 为椭圆右顶点，直线BM 交椭圆C 于P .(1)求椭圆C 的方程； (2)求证：AP ⊥OM ；(3)试问OP →·OM →是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，所以a 2＝2c 2，则a 2＝2b 2，又椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫1，62，所以1a 2＋32b 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，则椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：设直线BM 的斜率为k ，则直线BM 的方程为y ＝k (x －2)，设P (x 1，y 1)，将y ＝k (x －2)代入椭圆C 的方程x 24＋y 22＝1中并化简得：(2k 2＋1)x 2－8k 2x ＋8k 2－4＝0，解得x 1＝4k 2－22k 2＋1，x 2＝2,所以y 1＝k (x 1－2)＝－4k2k 2＋1，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－22k 2＋1，－4k 2k 2＋1.令x ＝－2，得y ＝－4k ，所以M (－2，－4k )，OM →＝(－2，－4k )．又AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－22k 2＋1＋2，－4k 2k 2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 22k 2＋1，－4k 2k 2＋1，所以AP →·OM →＝－16k22k 2＋1＋16k 22k 2＋1＝0，所以AP ⊥OM .(3)OP →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－22k 2＋1，－4k 2k 2＋1·(－2，－4k )＝－8k 2＋4＋16k 22k 2＋1＝8k 2＋42k 2＋1＝4. 所以OP →·OM →为定值4.2．(2015·苏州期末)如图，已知椭圆C ：x 212＋y 24＝1，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A (A 点在x 轴下方)，且线段AB 的中点E 在直线y ＝x 上．(1)求直线AB 的方程；(2)若点P 为椭圆C 上异于A 、B 的动点，且直线AP ，BP 分别交直线y ＝x 于点M 、N ，证明：OM ·ON 为定值．解：(1)设点E (m ，m )，由B (0，－2)得A (2m ，2m ＋2)．代入椭圆方程得4m 212＋（2m ＋2）24＝1，即m 23＋(m ＋1)2＝1，解得m ＝－32或m ＝0(舍)．所以A (－3，－1)，故直线AB 的方程为x ＋3y ＋6＝0.(2)证明：设P (x 0，y 0)，则x 2012＋y 204＝1，即y 20＝4－x 203.设M (x M ，y M )，由A ，P ，M 三点共线，即AP →∥AM →，所以(x 0＋3)(y M ＋1)＝(y 0＋1)(x M ＋3)，又点M 在直线y ＝x 上，解得M 点的横坐标x M ＝3y 0－x 0x 0－y 0＋2，设N (x N ，y N )，由B ，P ，N 三点共线，即BP →∥BN →，所以x 0(y N ＋2)＝(y 0＋2)x N,点N 在直线y ＝x 上，解得N 点的横坐标x N ＝－2x 0x 0－y 0－2.所以OM ·ON ＝2|x M －0|·2|x N －0|＝2|x M |·|x N |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪3y 0－x 0x 0－y 0＋2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2x 0x 0－y 0－2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 20－6x 0y 0（x 0－y 0）2－4＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 20－6x 0y 0x 20－2x 0y 0－x 203＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20－3x 0y 0x 203－x 0y 0＝6. 3．(2015·南师附中、淮阴、海门、天一开学联考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，右焦点F (1，0)，点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆O ：x 2＋y 2＝b 2相切于点M .(1)求椭圆C 的方程； (2)求PM ·PF 的取值范围；(3)若OP ⊥OQ ，求点Q 的纵坐标t 的值．解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，c ＝1，所以c ＝1，a ＝2，所以b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1(0＜x 0＜2)，PM ＝x 20＋y 20－3＝x 20＋3－34x 20－3＝12x 0， PF ＝2－12x 0，所以PM ·PF ＝14x 0(4－x 0)＝－14(x 0－2)2＋1，因为0＜x 0＜2，所以PM ·PF 的取值范围是(0，1)． (3)法一：①当PM ⊥x 轴时，P ⎝⎛⎭⎫3，32，Q (3，t )或(－3，t )，由OP →·OQ →＝0解得t ＝±2 3.②当PM 不垂直于x 轴时，设P (x 0，y 0)，PQ 方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0，因为PQ 与圆O 相切，所以|kx 0－y 0|k 2＋1＝3，所以(kx 0－y 0)2＝3k 2＋3，所以2kx 0y 0＝k 2x 20＋y 20－3k 2－3，又Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －y 0＋kx 0k ，t ，所以由OP →·OQ →＝0得 t ＝x 0（y 0－kx 0）x 0＋ky 0，所以t 2＝x 20（y 0－kx 0）2（x 0＋ky 0）2＝x 20（kx 0－y 0）2x 20＋k 2y 20＋2kx 0y 0＝x 20（3k 2＋3）x 20＋k 2y 20＋k 2x 20＋y 20－3k 2－3＝x 20（3k 2＋3）（1＋k 2）x 20＋（1＋k 2）⎝⎛⎭⎫3－34x 20－3k 2－3＝12，所以t ＝±2 3.法二：设P (x 0，y 0)，则直线OQ ：y ＝－x 0y 0x ，所以Q ⎝⎛⎭⎫－y 0x 0t ，t ，因为OP ⊥OQ ，所以OP ·OQ ＝OM ·PQ . 所以x 20＋y 20·y 20x 20t 2＋t 2＝3·⎝⎛⎭⎫x 0＋y 0x 0t 2＋（y 0－t ）2，所以x 20＋y 20·t 2x 20（x 20＋y 20）＝3·x 20＋y 20x 20t 2＋y 20＋t 2＝3·x 20＋y 20x 20（x 20＋t 2），所以(x 20＋y 20)t 2＝3(x 20＋t 2)，所以t 2＝3x 20x 20＋y 20－3. 因为x 204＋y 203＝1，所以y 20＝3－3x 204，所以t 2＝3x 2014x 20＝12，所以t ＝±2 3. 4．(2015·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．解：(1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k2， C 的坐标为(2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2)，且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝22（1＋k 2）1＋2k 2. 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k (x －2k 21＋2k 2)，则P 点的坐标为(－2，5k 2＋2k （1＋2k 2）)，从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）. 因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.。

高考数学二轮复习第1部分重点强化专题专题3 概率与统计专题限时集训7 回归分析、独立性检验

专题限时集训(七) 回归分析、独立性检验(对应学生用书第91页)(限时：40分钟)1．(2017·某某一模)下列说法错误的是( )【导学号：07804050】A ．回归直线过样本点的中心(x ，y )B ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量X 与Y ，随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小D ．在回归直线方程y ^＝0.2x ＋0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y ^就增加0.2个单位C [根据相关定义知选项A ，B ，D 均正确；选项C 中，对分类变量X 与Y ，随机变量K 2的观测值k 越大，对判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故C 错误．选C.]2．(2017·某某名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．如果k ＞3.841，那么有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为C ．99.5%D ．95%D [由图表中数据可得，当k ＞3.841时，有0.05的几率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有1－0.05＝0.95的几率，也就是有95%的把握认为变量之间有关系，故选D.]3．(2017·某某七市联考)广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如下表(单位：万元)：广告费x 2 3 4 5 6 销售额y2941505971由上表可得回归方程为y ^＝10.2x ＋a ^，据此模型，预测广告费为10万元时销售额约为( )【导学号：07804051】A ．101.2万元B ．108.8万元C ．111.2万元D ．118.2万元C [根据统计数据表，可得x ＝15×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，y ＝15×(29＋41＋50＋59＋71)＝50，而回归直线y ^＝10.2x ＋a ^经过样本点的中心(4,50)，∴50＝10.2×4＋a ^，解得a ^＝9.2，∴回归方程为y ^＝10.2x ＋9.2，∴当x ＝10时，y ^＝10.2×10＋9.2＝111.2，故选C.]4．(2017·某某二模)现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如图77所示的两个等高堆积条形图．图77根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的( ) A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱理科D ．样本中的女生偏爱文科D [由图2知，样本中的女生数量多于男生数量，样本中的男生、女生均偏爱理科；由图1知，样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，故选D.] 5．(2016·某某模拟)对四组不同数据进行统计，分别获得以下散点图，如果对它们的相关系数进行比较，下列结论中正确的是( )图78(1)图78(2)图78(3)图78(4)A ．r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1B ．r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3C ．r 4＜r 2＜0＜r 3＜r 1D ．r 2＜r 4＜0＜r 1＜r 3A [由给出的四组数据的散点图可以看出，图(1)和图(3)是正相关，相关系数大于0，图(2)和图(4)是负相关，相关系数小于0，图(1)和图(2)的点相对更加集中，所以相关性要强，所有r 1接近于1，r 2接近于－1，由此可得r 2＜r 4＜r 3＜r 1.故选A.] 6．(2017·某某一模)设某中学的高中女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n )，用最小二乘法近似得到回归直线方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( ) A ．y 与x 具有正线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该中学某高中女生身高为160 cm ，则可断定其体重必为50.29 kgD [因为回归直线方程y ^＝0.85x －85.71中x 的系数为0.85＞0，因此y 与x 具有正线性相关关系，所以选项A 正确；由最小二乘法及回归直线方程的求解可知回归直线过样本点的中心(x ，y )，所以选项B 正确；由于用最小二乘法得到的回归直线方程是估计值，而不是具体值，若该中学某高中女生身高增加 1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ，所以选项C 正确，选项D 不正确．]7．在用线性回归方程研究四组数据的拟合效果中，分别作出下列四个关于四组数据的残差图，则用线性回归模式拟合效果最佳的是( )ABCDC[当残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越好，拟合效果越好，对比4个残差图，易知选项C的图对应的带状区域的宽度越窄．故选C.]8．(2017·某某南城一中、高安中学第九校3月联考)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.非一线一线合计愿生452065不愿生132235合计5842100由K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，得K2＝100×45×22－20×13265×35×58×42≈9.616.参照下表，P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”C[K2≈9.616＞6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C.]二、填空题9．(2017·某某二模)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得到了下表中的实验数据，计算得回归直线方程为y ^＝0.85x －0.25.由以上信息，可得表中c 的值为________.【导学号：07804052】6 [x ＝5＝5，y ＝5＝5，代入回归直线方程，得14＋c5＝0.85×5－0.25，解得c ＝6.]10．(2017·某某百校联盟二模)已知x 、y 的取值为：从散点图可知y 与x 呈线性相关关系，且回归直线方程为y ＝1.2x ＋a ，则当x ＝20时，y 的取值为________．27．6 [由表格可知x ＝3，y ＝7.2，所以这组数据的样本点的中心是(3,7.2)，根据样本点的中心在回归直线上，得7.2＝a ^＋1.2×3，得a ^＝3.6，所以这组数据对应的回归直线方程是y ^＝1.2x ＋3.6，将x ＝20代入，得y ＝1.2×20＋3.6＝27.6.]11．(2017·某某某某五中一模)某小卖部销售某品牌的饮料的零售价与销量间的关系统计如下：已知x ，y 的关系符合回归方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20.若该品牌的饮料的进价为2元，为使利润最大，零售价应定为________元． 3．75 [x ＝3.5，y ＝40，∴a ^＝40－(－20)×3.5＝110， ∴回归直线方程为：y ^＝－20x ＋110，利润L ＝(x －2)(－20x ＋110)＝－20x 2＋150x －220， ∴x ＝15040＝3.75元时，利润最大，故答案为3.75.]12．(2017·某某三中二模)以模型y ＝c e kx(e 为自然对数的底)去拟合一组数据时，为了求出回归直线方程，设z ＝ln y ，其变换后得到线性回归方程为z ＝0.4x ＋2，则c ＝________. e 2[∵y ＝c e kx，∴两边取对数，可得ln y ＝ln(c e kx )＝ln c ＋ln e kx＝ln c ＋kx ，令z ＝ln y ，可得z ＝ln c ＋kx ， ∵z ＝0.4x ＋2， ∴ln c ＝2， ∴c ＝e 2.] 三、解答题13．(2017·某某一模)为了调查某地区成年人血液的一项指标，现随机抽取了成年男性、女性各20人组成一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得到了如图79所示的茎叶图．根据医学知识，我们认为此项指标大于40为偏高，反之即为正常．图79(1)依据上述样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列出2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系？ (2)以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机抽取成年男性、女性各2人，求此项血液指标为正常的人数X 的分布列及数学期望．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .P (K 2≥k 0)0.025 0.010 0.005 k 05.0246.6357.879正常偏高合计男性 16 4 20 女性 12 8 20 合计281240K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d ＝40×16×8－4×12220×20×28×12≈1.905＜6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为此项血液指标与性别有关系． (2)由样本数据可知，男性正常的概率为45，女性正常的概率为35.此项血液指标为正常的人数X 的可能取值为0,1,2,3,4，P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－452⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352＝4625， P (X ＝1)＝C 1245⎝⎛⎭⎪⎫1－45⎝⎛⎭⎪⎫1－352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－452C 1235·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝44625， P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫1－352＋C 1245⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45·C 1235·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－452⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝169625， P (X ＝3)＝C 1245⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452C 1235·⎝⎛⎭⎪⎫1－35＝264625， P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝144625，所以X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P462544625169625264625144625所以E (X )＝0×625＋1×625＋2×625＋3×625＋4×625＝2.8.14．(2017·某某三湘名校联盟三模)为了研究一种昆虫的产卵数y 和温度x 是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模型①：y ＝C 1x 2＋C 2与模型②：y ＝e C 3x ＋C 4作为产卵数y 和温度x 的回归方程来建立两个变量之间的关系.温度x /℃ 20 22 24 26 28 30 32 产卵数y /个6 10 21 24 64 113 322 t ＝x 2 400 484 576 676 784 900 1024 z ＝ln y1.792.303.043.184.164.735.77xtyz26692803.57错误! 错误! 错误! 错误!1157.540.430.32 0.00012其中t i ＝x 2i ，t ＝∑ni ＝1t i ，z i ＝ln y i ，z ＝∑ni ＝1z i ，附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝β^u ＋α^的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^＝∑ni ＝1u i －uv i －v∑ni ＝1u i －u2，α^＝v －β^u .图710(1)在答题卡中分别画出y 关于t 的散点图、z 关于x 的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)．图711(2)根据表中数据，分别建立两个模型下y 关于x 的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30℃时的产卵数．(C 1，C 2，C 3，C 4与估计值均精确到小数点后两位)(参考数据：e 4.65≈104.58，e4.85≈127.74，e5.05≈156.02)(3)若模型①、②的相关指数计算得分分别为R 21＝0.82，R 22＝0.96，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好.【导学号：07804053】[解] (1)画出y 关于t 的散点图，如图1；z 关于x 的散点图，如图2.图1 图2根据散点图可判断模型②更适宜作为回归方程类型． (2)对于模型①：设t ＝x 2，则y ＝C 1x 2＋C 2＝C 1t ＋C 2，其中C ^1＝∑7i ＝1t i －ty i －y∑7i ＝1t i －t2＝0.43，C ^2＝y －C ^1t ＝80－0.43×692＝－217.56，所以y ＝0.43x 2－217.56，当x ＝30时，估计温度为y 1＝0.43×302－217.56＝169.44. 对于模型②：y ＝e C 3x ＋C 4⇒z ＝ln y ＝C 3x ＋C 4，word 其中C ^3＝∑7i ＝1 z i －z x i －x∑7i ＝1x i －x2＝0.32，C ^4＝z －C ^3x ＝3.57－0.32×26＝－4.75.所以y ＝e 0.32x －4.75，当x ＝30时，估计温度为y 2＝e0.32×30－4.75＝e 4.85≈127.74. (3)因为R 21＜R 22，所以模型②的拟合效果更好．。

优化方案高考数学(新课标全国卷Ⅰ·理科)二轮复习第一部分专题一高考热点追踪(一)专题强化精练提能

1．(2015·高考山东卷)设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m >0D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0解析：选D.根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．故选D.2．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫12x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8，1]，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，0)C ．[－3，－1]D ．{－3}解析：选B.当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8，1]，当a ≤x <0时，f (x )∈⎣⎡⎭⎫－⎝⎛⎭⎫12a ，－1，所以⎣⎡⎭⎫－12a ，－1⊆[－8，－1]，－8≤－12a <－1，即－3≤a <0. 4．(2015·高考福建卷)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选C.对于选项A ，当m ＝－2时，可行域如图(1)，直线y ＝2x －z 在y 轴上的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故A 不正确；对于选项B ，当m ＝－1时，mx －y ≤0等同于x ＋y ≥0，可行域如图(2)，直线y ＝2x －z 在y 轴上的截距可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故B 不正确；对于选项C ，当m ＝1时可行域如图(3)，当直线y ＝2x －z 过点A (2，2)时在y 轴上的截距最小，z 最大为2，满足题意，故C 正确；对于选项D ，当m ＝2时，可行域如图(4)，直线y ＝2x －z 与直线OB 平行，在y 轴上的截距最小值为0，z 最大为0，不符合题意，故D 不正确．故选C.(1) (2)(3) (4)5．(2015·福州模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．⎣⎡⎭⎫12，2 C.⎣⎡⎦⎤12，2D ．[0，2]解析：选C.因为f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，所以原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|log 2a |≤1，解得12≤a ≤2，故选C.6．(2015·洛阳市统考)设函数f (x )＝x |x －a |，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，0)C ．(－∞，3]D ．(0，3]解析：选C.由题意分析可知条件等价于f (x )在[3，＋∞)上单调递增，又因为f (x )＝x |x －a |，所以当a ≤0时，结论显然成立，当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x <a ，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，a2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a 2，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以0<a ≤3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，3]．7．若关于x 的不等式ax >b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a >0的解集为________．解析：由已知ax >b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，可知a <0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a >0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45<0，所以x 2＋15x －45<0，即5x 2＋x －4<0，解得－1<x <45，故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－1，45. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，45 8．(2015·河南省洛阳市统考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知所求面积为⎠⎛－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛1e x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎪⎪⎪0－1＋e x ⎪⎪⎪10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12.答案：e －129．(2015·郑州市第二次质量预测)若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a ＋1b的值为________．解析：设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，可得a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k ，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝6k 2k －2·3k －3＝108. 答案：10810．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是函数f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据上面探究结果，计算f ⎝⎛⎭⎫12 016＋f ⎝⎛⎭⎫22 016＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0142 016＋f ⎝⎛⎭⎫2 0152 016＝________．解析：因为f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，所以f ′(x )＝x 2－x ＋3，所以f ″(x )＝2x －1.令f ″(x )＝0可得x ＝12，所以函数f (x )的拐点即对称中心为⎝⎛⎭⎫12，1.即如果x 1＋x 2＝1，则f (x 1)＋f (x 2)＝2.所以f ⎝⎛⎭⎫12 016＋f ⎝⎛⎭⎫22 016＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0142 016＋f ⎝⎛⎭⎫2 0152 016＝1 007×2＋1＝2 015. 答案：2 015 11．(2015·太原市模拟)已知函数f (x )＝(x 2－ax ＋a )e x －x 2，a ∈R . (1)若函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围； (2)若函数f (x )在x ＝0处取得极小值，求a 的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x [(x ＋2－a )e x －2]＝x e x ⎝⎛⎭⎫x ＋2－2e x －a ，x ∈R ，因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以x ＋2－2ex ≥a 在(0，＋∞)上恒成立，又函数g (x )＝x ＋2－2e x 在(0，＋∞)上单调递增，所以a ≤g (0)＝0，所以a 的取值范围是(－∞，0]．(2)由(1)得f ′(x )＝x e x ⎝⎛⎭⎫x ＋2－2e x －a ，x ∈R ，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＋2－2ex －a ＝0，即x ＝0或g (x )＝a ，因为g (x )＝x ＋2－2e x 在(－∞，＋∞)上单调递增，其值域为R ，所以存在唯一的x 0∈R ，使得g (x 0)＝a ，①若x 0>0，当x ∈(－∞，0)时，g (x )<a ，f ′(x )>0；当x ∈(0，x 0)时，g (x )<a ，f ′(x )<0，所以f (x )在x ＝0处取得极大值，这与题设矛盾．②若x 0＝0，当x ∈(－∞，0)时，g (x )<a ，f ′(x )>0；当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>a ，f ′(x )>0，所以f (x )在x ＝0处不存在极值，这与题设矛盾．③若x 0<0，当x ∈(x 0，0)时，g (x )>a ，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，g (x )>a ，f ′(x )>0，所以f (x )在x ＝0处取得极小值．综上所述，x 0<0，所以a ＝g (x 0)<g (0)＝0，所以a 的取值范围是(－∞，0)．12．(2015·山西省考前质量检测)已知函数f (x )＝x ln x . (1)试求曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程；(2)若x >1，试判断方程f (x )＝(x －1)(ax －a ＋1)的解的个数．解：(1)f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，所以f ′(e)＝2，又f (e)＝e ，所以切线方程为2x －y －e＝0.(2)方程f (x )＝(x －1)(ax －a ＋1)的解即为方程ln x －（x －1）（ax －a ＋1）x ＝0的解．设h (x )＝ln x －（x －1）（ax －a ＋1）x，x >1.则h ′(x )＝－ax 2－x －a ＋1x 2＝－（x －1）（ax ＋a －1）x 2，x >1.当a ＝0时，h ′(x )>0，h (x )为增函数，所以h (x )>h (1)＝0，方程无解．当a ≠0时，令h ′(x )＝0得x 1＝1，x 2＝1－aa.当a <0，即x 2＝1－aa <1时，因为x >1，所以h ′(x )>0，则h (x )为(1，＋∞)上的增函数，所以h (x )>h (1)＝0，方程无解．当0<a <12，即1－a a >1时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1－a a 时，h ′(x )>0，h (x )为增函数； x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1－a a ，＋∞时，h ′(x )<0，h (x )为减函数．又x →＋∞时，h (x )＝ln x －ax ＋1－ax ＋2a －1<0，h (1)＝0，所以方程有一个解．当a ≥12，即1－a a ≤1时，因为x >1，所以h ′(x )<0，h (x )为减函数，而h (x )<h (1)＝0，方程无解．综上所述，当a ∈(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞时，原方程无解；当0<a <12时，原方程有一个解．13．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，函数g (x )＝e x ，其中e 为自然对数的底数． (1)求f (x )的极值；(2)若∃x ∈(0，＋∞)，使得不等式g (x )＜x －m ＋3x成立，试求实数m 的取值范围；(3)当a ＝0时，对于∀x ∈(0，＋∞)，求证：f (x )＜g (x )－2.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x.当a ≥0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数，没有极值；当a ＜0时，f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋1a x，若x ∈⎝⎛⎭⎫0，－1a ，则f ′(x )＞0，若x ∈⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞，则f ′(x )＜0，所以f (x )只有极大值，且极大值为f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－1a －1＝－ln(－a )－1. 综上可知：当a ≥0时，f (x )没有极值；当a ＜0时，f (x )存在极大值，且当x ＝－1a时，f (x )极大＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－ln(－a )－1. (2)因为∃x ∈(0，＋∞)，使得不等式g (x )＜x －m ＋3x 成立，所以∃x ∈(0，＋∞)，使得m ＜x －e x x ＋3成立．设h (x )＝x －e x x ＋3(x ＞0)，则问题转化为m ＜h (x )max .因为h ′(x )＝1－e x ⎝⎛⎭⎫x ＋12x ，且x ＞0，所以e x ＞1.因为x ＋12x ≥2x ·12x ＝2⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝12时，等号成立，所以e x ⎝⎛⎭⎫x ＋12x ＞1，故h ′(x )＜0，所以h (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以h (x )＜h (0)＝3，所以m ＜3.(3)证明：当a ＝0时，f (x )＝ln x ，令φ(x )＝g (x )－f (x )－2＝e x －ln x －2(x ＞0)，则φ′(x )＝e x －1x.设φ′(x )的零点为x ＝t ，则e t ＝1t .因为当x ∈(0，t )时，φ′(x )＜0，当x ∈(t ，＋∞)时，φ′(x )＞0，所以φ(x )在(0，t ]上单调递减，在[t ，＋∞)上单调递增．因此φ(x )min ＝φ(t )＝e t －ln t －2＝e t －ln e －t －2＝e t ＋t －2.因为φ′(1)＝e －1＞0，φ′⎝⎛⎭⎫12＝e －2＜0，所以t ∈⎝⎛⎭⎫12，1.由于y ＝e t ＋t －2在t ∈⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数，所以φ(x )min ＝φ(t )＝e t＋t －2＞e 12＋12－2＞94＋12－2＝0，即φ(x )＞0恒成立，所以对于∀x ∈(0，＋∞)，f (x )＜g (x )－2恒成立．14．已知a ，b ∈R ，函数f (x )＝a ＋ln(x ＋1)的图象与g (x )＝13x 3－12x 2＋bx 的图象在交点(0，0)处有公共切线．(1)求函数f (x )与g (x )的解析式；(2)设不等式f (x )－m ≤g (x )对一切x ∈(－1，＋∞)恒成立，求实数m 的取值范围；(3)设－1＜x 1＜x 2，当x ∈(x 1，x 2)时，证明：f （x ）－f （x 1）x －x 1＞f （x ）－f （x 2）x －x 2.解：(1)由题意，得f ′(x )＝11＋x(x ＞－1)，g ′(x )＝x 2－x ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝g （0）＝0，f ′（0）＝g ′（0），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，所以f (x )＝ln(x ＋1)(x ＞－1)，g (x )＝13x 3－12x 2＋x .(2)不等式f (x )－m ≤g (x )可化为f (x )－g (x )≤m ，令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln(x ＋1)－13x 3＋12x 2－x (x ＞－1)，则h ′(x )＝11＋x －x 2＋x －1＝－x 31＋x .因为当x ∈(－1，0)时，h ′(x )＞0，当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间(－1，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．又h (0)＝0，因此h (x )max ＝0. 因为h (x )＝f (x )－g (x )≤m 恒成立，所以m 的取值范围是[0，＋∞)．(3)证明：当x ∈(x 1，x 2)时，因为－1＜x 1＜x 2，所以0＜x 1＋1＜x ＋1＜x 2＋1，x －x 1＞0，x －x 2＜0.①设u (x )＝(x ＋1)[f (x )－f (x 1)]－(x －x 1)，则u ′(x )＝ln(x ＋1)－ln(x 1＋1)＞0，所以函数u (x )在(x 1，x 2)上单调递增，所以u (x )＞u (x 1)＝0，即(x ＋1)[f (x )－f (x 1)]－(x －x 1)＞0. 所以f （x ）－f （x 1）x －x 1＞11＋x.②设v (x )＝(x ＋1)[f (x )－f (x 2)]－(x －x 2)，则v ′(x )＝ln(x ＋1)－ln(x 2＋1)＜0，所以函数v (x )在(x 1，x 2)上单调递减，所以v (x )＞v (x 2)＝0，即(x ＋1)[f (x )－f (x 2)]－(x －x 2)＞0. 所以f （x ）－f （x 2）x －x 2＜11＋x.综合①②，可得f （x ）－f （x 1）x －x 1＞f （x ）－f （x 2）x －x 2.。

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1．“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当a ＝0时，1>0，显然成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a <0.故ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ，等价于0≤a <1.因此，“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的充分而不必要条件．2．不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2，4]B ．[0，2)∪[4，＋∞)C ．[2，4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：选B.①当x －2＞0，即x ＞2时，不等式可化为(x －2)2≥4，所以x ≥4；②当x －2＜0，即x ＜2时，不等式可化为(x －2)2≤4，所以0≤x ＜2.3．(2015·郑州市第一次质量预测)已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x －1，x ＋3y －5≤0，那么点P 到直线3x －4y －13＝0的距离的最小值为( )A.115 B ．2 C.95D ．1 解析：选B.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线3x －4y －13＝0，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，到直线3x －4y －13＝0的距离最近的点是(1，0)．又点(1，0)到直线3x －4y －13＝0的距离等于|3×1－4×0－13|5＝2，即点P 到直线3x －4y －13＝0的距离的最小值为2，故选B.4．(2015·洛阳市监测考试)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >bC ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：选C.A ：取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B ：当c <0时，ac >bc⇒a <b ，所以B 错误；C ：因为a c 2<bc 2，所以c ≠0，又c 2>0，所以a <b ，C 正确；D ：取a ＝c＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误，故选C.5．(2014·高考重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3 D ．7＋4 3解析：选D.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎨⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3ab ≥7＋24b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab时取等号．故选D.6．(2015·合肥地区八校联考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两解，则实数k 的范围是( )A ．(－6，－2)B ．(－3，2)C.⎝⎛⎭⎫－103，－2 D ．⎝⎛⎭⎫－103，－3 解析：选C.根据可行域的图形可知，目标函数z ＝x －2y 在点(1，0)处取得最大值1，即a ＝1，在点(－1，1)处取得最小值－3，即b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3，1)上有两解，令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）>0，f （1）>0，－3<k 2<1，Δ＝k 2－4>0，⇒－103<k <－2，故选C. 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，则不等式x ＋x ·f (x )≤2的解集为________．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋x 2≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x －x 2≤2，解得0≤x ≤1或x <0，所以不等式的解集为(－∞，1]．答案：(－∞，1]8．(2015·高考山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y )⊗x ＝4y 2－x 22xy .又x >0，y >0，故x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy2xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立．答案： 29．已知O 为平面直角坐标系的原点，P ，Q 的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －25≤0，x －2y ＋2≤0，x －1≥0，则cos ∠POQ 的最小值等于________．解析：满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －25≤0，x －2y ＋2≤0，x －1≥0的平面区域如图中阴影部分所示，因为余弦函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数，所以角最大时对应的余弦值最小，由图得，当点P 与A (1，7)重合，Q 与B (4，3)重合时，∠POQ 最大．此时k OB ＝34，k OA ＝7.由tan ∠POQ ＝7－341＋7×34＝1⇒∠POQ ＝π4⇒cos ∠POQ ＝22.答案：2210．定义区间(a ，b )，[a ，b )，(a ，b ]，[a ，b ]的长度均为d ＝b －a .用[x ]表示不超过x 的最大整数，记{x }＝x －[x ]，其中x ∈R .设f (x )＝[x ]·{x }，g (x )＝x －1，若用d 表示不等式f (x )<g (x )解集区间的长度，则当0≤x ≤3时，d ＝________．解析：f (x )＝[x ]·{x }＝[x ]·(x －[x ])＝[x ]x －[x ]2，由f (x )<g (x )得[x ]x －[x ]2<x －1，即([x ]－1)·x <[x ]2－1.当x ∈[0，1)时，[x ]＝0，不等式的解为x >1，不合题意；当x ∈[1，2)时，[x ]＝1，不等式为0<0，无解，不合题意；当x ∈[2，3]时，[x ]>1，所以不等式([x ]－1)x <[x ]2－1等价于x <[x ]＋1，此时恒成立，所以此时不等式的解为2≤x ≤3，所以当0≤x ≤3时，不等式f (x )<g (x )解集区间的长度为d ＝1. 答案：111．已知函数f (x )＝2xx 2＋6.(1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)若对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围．解：(1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)因为x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x ≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号．由已知f (x )≤t对任意x >0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫66，＋∞.12．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式⎝⎛⎭⎫ax －1a (x ＋4)≤0的解集． (1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．解：(1)由－x 2－2x ＋8>0，得－4<x <2，即A ＝{x |－4<x <2}．y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，当x ＋1>0，即x >－1时，y ≥2－1＝1，此时x ＝0，符合题意；当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤－2－1＝－3，此时x ＝－2，符合题意．所以B ＝{y |y ≤－3或y ≥1}，所以A ∩B ＝{x |－4<x ≤－3或1≤x <2}．(2)由(1)可知∁R A ＝{}x |x ≤－4或x ≥2， ⎝⎛⎭⎫ax －1a (x ＋4)＝0有两根x ＝－4或x ＝1a 2.当a >0时，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－4≤x ≤1a 2，不可能有C ⊆∁R A ；当a <0时，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－4或x ≥1a 2，若C ⊆∁R A ，则1a 2≥2，所以a 2≤12，所以－22≤a <0.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－22，0.13．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x 2＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？解：(1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x －1，所以y ＝400k ＋(k ＋1)·(x 2＋x )＝400⎝⎛⎭⎫240x －1＋240x (x 2＋x )＝96 000x＋240x －160.因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x <240.故y 与x 的函数关系是y ＝96 000x＋240x －160(0<x <240)．(2)y ＝96 000x ＋240x －160≥296 000x ·240x －160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当96 000x ＝240x ，即x ＝20时等号成立，此时k ＝240x －1＝24020－1＝11.故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9 440万元．14．(2015·南昌检测)已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋bx .(1)若a ＝2b ，试问函数f (x )能否在x ＝－1处取到极值？若有可能，求出实数a ，b 的值；否则说明理由；(2)若函数f (x )在区间(－1，2)，(2，3)内各有一个极值点，试求w ＝a －4b 的取值范围．解：(1)由题意f ′(x )＝x 2＋ax ＋b ，因为a ＝2b ，所以f ′(x )＝x 2＋2bx ＋b .若f (x )在x ＝－1处取极值，则f ′(－1)＝1－2b ＋b ＝0，即b ＝1，此时f ′(x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2≥0，函数f (x )为单调递增函数，这与该函数能在x ＝－1处取极值矛盾，所以该函数不能在x ＝－1处取得极值．(2)因为函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋bx 在区间(－1，2)，(2，3)内分别有一个极值点，所以f ′(x )＝x 2＋ax ＋b ＝0在(－1，2)，(2，3)内分别有一个实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－1）>0，f ′（2）<0，f ′（3）>0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b >0，4＋2a ＋b <0，9＋3a ＋b >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b >a －1，b <－2a －4，b >－3a －9.画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，当目标函数w ＝a －4b 过N (－5，6)时，对应的w ＝－29；当目标函数w ＝a －4b 过M (－2，－3)时，对应的w ＝10.故w ＝a －4b 的取值范围为(－29，10)．。

优化方案高考数学(新课标全国卷Ⅰ·理科)二轮复习第一部分专题五第1讲专题强化精练提能

1．(2015·平顶山一模)设向量a ＝(a ，1)，b ＝(1，b )(ab ≠0)，若a ⊥b ，则直线b 2x ＋y ＝0与直线x －a 2y ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．重合解析：选B.由题意知两直线都经过点(0，0)，因为a ⊥b ，所以a ·b ＝a ＋b ＝0，所以a＝－b ，由于直线b 2x ＋y ＝0的斜率为－b 2，直线x －a 2y ＝0的斜率为1a 2，则(－b 2)·1a 2＝－1，故两直线垂直．2．直线y －1＝k (x －3)被圆(x －2)2＋(y －2)2＝4所截得的最短弦长等于( ) A. 3 B ．2 3C ．2 2D ． 5解析：选C.设圆心为C ，显然直线y －1＝k (x －3)过定点P (3，1)，在过P (3，1)的所有直线中，垂直于PC 的直线所截得的弦长最短，而|PC |＝2，所以最短弦长为222－（2）2＝2 2.故选C.3．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4B ．17－1C ．6－2 2D ．17解析：选A.两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C ′1C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.4．若实数a ，b ，c 成等差数列，点P (－1，0)在动直线ax ＋by ＋c ＝0上的射影为M ，点N (3，3)，则|MN |的最大值是( )A ．5＋ 2B ．5－ 2C ．5＋2 2D ．5－2 2解析：选A.由实数a ，b ，c 成等差数列，得2b ＝a ＋c ，与直线方程比较，得动直线ax ＋by ＋c ＝0过点Q (1，－2)．因为PM ⊥QM ，故点M 在以PQ 为直径的圆上，且圆心为(0，－1)，半径为2，故|MN |的最大值为5＋ 2.5．(2015·长沙模拟)若圆(x －a )2＋(y －a )2＝4上，总存在不同两点到原点的距离等于1，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫22，322 B.⎝⎛⎭⎫－322，－22 C.⎝⎛⎭⎫－322，－22∪⎝⎛⎭⎫22，322 D.⎝⎛⎭⎫－22，22 解析：选C.由于到原点距离等于1的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，方程为x 2＋y 2＝1，故若圆(x －a )2＋(y －a )2＝4上总存在不同两点到原点的距离等于1，即转化为两圆相交，即1<a 2＋a 2＝2|a |<3，解得a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－322，－22∪⎝⎛⎭⎫22，322. 6．(2015·黄冈模拟)已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，且|Ax 1＋By 1＋C |<|Ax 2＋By 2＋C |，则直线l ( )A ．与直线P 1P 2不相交B ．与线段P 2P 1的延长线相交C ．与线段P 1P 2的延长线相交D ．与线段P 1P 2相交解析：选B.由(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，得点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l ：Ax＋By ＋C ＝0的同侧，由|Ax 1＋By 1＋C |<|Ax 2＋By 2＋C |，得d 1＝|Ax 1＋By 1＋C |A 2＋B2<d 2＝|Ax 2＋By 2＋C |A 2＋B2，即点P 1(x 1，y 1)到直线l 的距离小于点P 2(x 2，y 2)到直线l 的距离，所以由数形结合易得，直线l 与线段P 2P 1的延长线相交．7．若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．解析：因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0，0)和(4，0)，所以设圆心为(2，m )．又因为圆与直线y ＝1相切，所以（4－2）2＋（0－m ）2＝|1－m |，所以m 2＋4＝m 2－2m ＋1，解得m ＝－32，所以圆的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝254. 答案：(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y ＋322＝2548．过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0，4)距离为2的直线方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以l 1与l 2的交点为(1，2)，直线x ＝1显然不适合．设所求直线为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，因为P (0，4)到直线的距离为2，所以2＝|－2－k |1＋k2，所以k ＝0或k ＝43. 所以直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝09．设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．解析：如图，过点M 作⊙O 的切线，切点为N ，连接ON .M 点的纵坐标为1.设∠OMN ＝θ，则θ≥45°，即sin θ≥22，即ON OM ≥22.而ON ＝1，所以OM ≤ 2. 因为M 为(x 0，1)，所以x 20＋1≤2，所以x 20≤1，所以－1≤x 0≤1，所以x 0的取值范围为[－1，1]．答案：[－1，1]10．在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析：设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求．又k AC ＝6－23－1＝2，所以直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.①又k BD ＝5－（－1）1－7＝－1，所以直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以M (2，4)．答案：(2，4)11．(2015·厦门模拟)已知点A (3，3)，B (5，2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P (1，2)． (1)若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB .而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.(2)若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝⎛⎭⎫4，52，由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.12．已知直线l ：2x ＋y ＋2＝0及圆C ：x 2＋y 2＝2y .(1)求垂直于直线l 且与圆C 相切的直线l ′的方程；(2)过直线l 上的动点P 作圆C 的一条切线，设切点为T ，求|PT |的最小值．解：(1)圆C 的方程为x 2＋(y －1)2＝1，其圆心为C (0，1)，半径r ＝1.由题意可设直线l ′的方程为x －2y ＋m ＝0.由直线l ′与圆相切可得点C 到直线l ′的距离d ＝r ，即|－2＋m |5＝1，解得m ＝2±5. 故直线l ′的方程为x －2y ＋2±5＝0. (2)结合图形可知：|PT |＝ |PC |2－r 2＝ |PC |2－1.故当|PC |最小时，|PT |有最小值．易知当PC ⊥l 时，|PC |取得最小值，且最小值即为C 到直线l 的距离，得|PC |min ＝35，所以|PT |min ＝|PC |2min －1＝255. 13．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上．又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83. 又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165. 14．已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值；(3)过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解：(1)设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0.则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2，所以PQ →·MQ →的最小值为－4.(3)由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设P A ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x －1），x 2＋y 2＝2，得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0.因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，所以可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2. 同理，x B ＝k 2＋2k －11＋k 2. 则k AB ＝y B －y A x B －x A＝－k （x B －1）－k （x A －1）x B －x A＝2k －k （x B ＋x A ）x B －x A＝1＝k OP . 所以，直线AB 和OP 一定平行．。

浙江数学理新课标《优化方案》高三专题复习攻略课件第一部分专题突破方略

第一部分热点专题各个突破
专题突方位把握高考命题动态，介绍专题复习的方法、技巧和策略，强化知识的内在联系，融会贯通，各个击破，全面提升知识的运用能力。为了让学生全面掌握大二轮复习的技巧和着重点，快捷高效地提高考生整体成绩。为此，《优化方案》丛书编委会，遍访各地名师，与一线优秀教师深入研究命题规律和趋势，精析失分原因，精心研讨每一道题型的通用解题思路和方法，快授快速高效的解题技巧，形成围绕高考，探究热点；根据考点，设置训练点；针对考卷，分析易误点；教你如何“巧”夺分的大二轮备考策略，让你的复习备考更轻松有效！

优化方案高考理数二轮总复习讲义课件第一部分专题三数列第2讲

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第二十六页，编辑于星期日：六点二十八分。
专题三数列
2．在本例条件下，若 d＜1 且 cn＝anbn，求 Dn＝c1＋c2＋… ＋cn.
解：因为 d＜1，所以 an＝19(2n＋79)，bn＝929n－1，所以 cn＝(2n＋79)29n－1，
Dn
＝
c1
＋
c2
＋
…
＋
cn
＝
(2×1
＋
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第五页，编辑于星期日：六点二十八分。
专题三数列
考点一分组转化求和
[命题角度] 分组转化求和是把数列之和分为几组，各组中根据项的不同特征利用不同的方法求和，求出各组和之后再求整体之和，考查时多以解答题形式出现主要考查：
1．周期数列的求和． 2．奇偶项分别有相同的特征的数列求和． 3．通项中含有(－1)n的数列求和．
第二十四页，编辑于星期日：六点二十八分。
专题三数列
(2)由 d>1，知 an＝2n－1，bn＝2n－1，故 cn＝22nn－－11，于是 Tn＝1＋32＋252＋273＋294＋…＋22nn－－11，① 12Tn＝12＋232＋253＋274＋…＋22nn－－13＋2n2－n 1.② ①－②可得 12Tn＝2＋12＋212＋…＋2n1－2－2n2－n 1＝3－2n2＋n 3，故 Tn＝6－22nn＋－13.
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第四页，编辑于星期日：六点二十八分。
专题三数列
2．辨明易错易混点 (1)求解{an}的前 n 项和的最值时，无论是利用 Sn 还是 an，都要注意条件 n∈N*. (2)运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的 n＋1 项中的前 n 项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时，注意要讨论代数式是否为零．

优化方案高考理数二轮总复习讲义课件第一部分高考热点追踪(三)

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专题三数列
二、数列与不等式的交汇 (2015·兰州质检)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且 a1，
a2，a5 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和，是否存在正整数 n，使得 Sn ＞60n＋800？若存在，求 n 的最小值；若不存在，说明理由．
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专题三数列
[名师点评] 求解这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确转化；对于函数的有关性质，主要利用函数的单调性或有界性来求解数列中的最值．但由于数列的通项是一类特殊的函数，所以借助函数的性质研究数列问题，一定要注意数列中的自变量只能取正整数这一特点．
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专题三数列
[名师点评] 求解此类问题的策略：一是要熟悉数列的通项公式及前 n 项和公式，二是求概率要用枚举法写出相应的基本事件，再得出符合题意的事件，从而求出概率．易错点是写基本事件时出现漏项．
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第七页，编辑于星期日：六点二十九分。
专题三数列
当 an＝4n－2 时， Sn＝n[2＋（24n－2）]＝2n2. 令 2n2＞60n＋800，即 n2－30n－400＞0，解得 n＞40 或 n＜－10(舍去)，此时存在正整数 n，使得 Sn＞60n＋800 成立，n 的最小值为 41. 综上，当 an＝2 时，不存在满足题意的 n；当 an＝4n－2 时，存在满足题意的 n，其最小值为 41.
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优化方案高考理数二轮总复习讲义课件第二部分应试高分策略(学生阅读篇)第1讲第1课时

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第二部分应试高分策略
(2014·高考北京卷)已知圆 C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和两点
A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆 C 上存在点 P，使得∠APB＝
90°，则 m 的最大值为( B )
A．7
B．6
C．5
D．4
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第二部分应试高分策略
[解析] 设 F(－c，0)，A(m，n)，则
m＋n c×（－ 3）＝－1，
3×m－2 c＋n2＝0，
解得
A2c， 23c ，代入椭圆方程中，有4ca22＋34cb22＝1，
所以 b2c2＋3a2c2＝4a2b2，所以(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，
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二、数形结合思想
第二部分应试高分策略
以形助数(数题形解)
以数辅形(形题数解)
借助形的生动性和直观性来阐借助于数的精确性和规范性及严密
述数之间的关系，把数转化为性来阐明形的某些属性，即以数
形，即以形作为手段，数作为目的的解决数学问题的数学
作为手段，形作为目的的解决
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第二部分应试高分策略
1．已知正四棱锥 S-ABCD 中，SA＝2 3，那么当该棱锥的体积
最大时，它的高为( C ) A．1
B． 3
C．2
D．3
解析：设正四棱锥 S-ABCD 的底面边长为 a(a>0)，则高 h＝

优化方案高考数学(新课标全国卷Ⅰ·理科)二轮复习第一部分专题三第1讲专题强化精练提能

1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．7解析：选B.S 2＝2a 1＋d ＝4，S 4＝4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.2．(2015·江西省质量监测)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( )A ．21B ．22C ．23D ．24解析：选C.3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .因为a k ＋1·a k <0，所以⎝⎛⎭⎫473－23k ⎝⎛⎭⎫15－23k <0，所以452<k <472，所以k ＝23，故选C. 3．(2015·洛阳市统考)设等比数列{a n }的公比为q ，则“0<q <1”是“{a n }是递减数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D.a n ＋1－a n ＝a 1q n －a 1q n －1＝a 1q n －1(q －1)，而a 1的正负性未定，故无法判断数列{a n }的单调性，因此“0<q <1”是“{a n }是递减数列”的既不充分也不必要条件．4．(2015·高考福建卷)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9 解析：选D.不妨设a >b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，所以a >0，b >0，则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝（－2）2，a －2＝2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，所以p ＝5，q ＝4，所以p ＋q ＝9. 5．(2015·洛阳市双基测试)数列{a n }满足a n －a n ＋1＝a n ·a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n，且b 1＋b 2＋…＋b 9＝90，则b 4·b 6( ) A ．最大值为99B ．为定值99C ．最大值为100D ．最大值为200解析：选B.将a n －a n ＋1＝a n a n ＋1两边同时除以a n a n ＋1，可得1a n ＋1－1a n＝1，即b n ＋1－b n ＝1，所以{b n }是公差为d ＝1的等差数列，其前9项和为9（b 1＋b 9）2＝90，所以b 1＋b 9＝20，将b 9＝b 1＋8d ＝b 1＋8，代入得b 1＝6，所以b 4＝9，b 6＝11，所以b 4b 6＝99，故选B.6．已知数列{a n }，则有( )A ．若a 2n ＝4n ，n ∈N *，则{a n }为等比数列B ．若a n ·a n ＋2＝a 2n ＋1，n ∈N *，则{a n }为等比数列C ．若a m ·a n ＝2m ＋n ，m ，n ∈N *，则{a n }为等比数列D ．若a n ·a n ＋3＝a n ＋1·a n ＋2，n ∈N *，则{a n }为等比数列解析：选C.若a 1＝－2，a 2＝4，a 3＝8，满足a 2n ＝4n ，n ∈N *，但{a n }不是等比数列，故A 错；若a n ＝0，满足a n ·a n ＋2＝a 2n ＋1，n ∈N *，但{a n }不是等比数列，故B 错；若a n ＝0，满足a n ·a n ＋3＝a n ＋1·a n ＋2，n ∈N *，但{a n }不是等比数列，故D 错；若a m ·a n ＝2m ＋n ，m ，n ∈N *，则有a m ·a n ＋1a m ·a n ＝a n ＋1a n ＝2m ＋n ＋12m ＋n ＝2，则{a n }是等比数列． 7．(2015·高考全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．解析：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．又因为S n ＝126，所以2（1－2n ）1－2＝126，所以n ＝6. 答案：68．(2015·太原市模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)，则a n ＝________．解析：因为S n ＝2a n ＋n ，①所以S n ＋1＝2a n ＋1＋n ＋1，②②－①，可得a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1＝2(a n －1)，又因为a 1＝－1，所以数列{a n －1}是以－2为首项，2为公比的等比数列，所以a n －1＝(－2)·2n －1＝－2n ，所以a n ＝1－2n .答案：1－2n9．(2014·高考广东卷)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.答案：5010．已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________．解析：令x ＝2，y ＝2n －1，则f (xy )＝f (2n )＝2f (2n －1)＋2n －1f (2)，即a n ＝2a n －1＋2n ，a n 2n ＝a n －12n －1＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，由此可得a n 2n ＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝n ·2n .答案：n ·2n11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a 1＝3，S 5－S 2＝27.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若S n ，22(a n ＋1＋1)，S n ＋2成等比数列，求正整数n 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S 5－S 2＝3a 1＋9d ＝27，又a 1＝3，则d ＝2，故a n ＝2n ＋1.(2)由(1)可得S n ＝n 2＋2n ，又S n ·S n ＋2＝8(a n ＋1＋1)2，即n (n ＋2)2(n ＋4)＝8(2n ＋4)2，化简得n 2＋4n －32＝0，解得n ＝4或n ＝－8(舍)，所以n 的值为4.12．已知α为锐角，且tan α＝2－1，函数f (x )＝2x ·tan 2α＋sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4，数列{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )．(1)求函数f (x )的表达式；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2（2－1）1－（2－1）2＝1，因为α是锐角，所以2α＝π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝1，所以f (x )＝2x ＋1. (2)因为a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，所以a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，a n ＋1＋1a n ＋1＝2(常数)，所以{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比q ＝2的等比数列，所以a n ＝2n －1.13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝3a n ＋2n .(1)求证：数列{a n －2}是等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2×3n 的前n 项和T n . 解：(1)证明：由S n ＝3a n ＋2n ，得S n ＋1＝3a n ＋1＋2(n ＋1)，以上两式相减得a n ＋1＝3a n ＋1－3a n ＋2，即a n ＋1＝32a n －1，所以a n ＋1－2＝32(a n －2)．又因为S 1＝a 1＝3a 1＋2，所以a 1＝－1，a 1－2＝－3.故数列{a n －2}是以－3为首项，32为公比的等比数列． (2)由(1)得a n －2＝－3×⎝⎛⎭⎫32n －1，所以a n ＝2－3×⎝⎛⎭⎫32n －1.所以a n 2×3n ＝13n －12n ，所以T n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13－12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝12n －12×3n －12. 14．(2015·日照模拟)若数列{b n }对于n ∈N *，都有b n ＋2－b n ＝d (常数)，则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列，如数列{c n }，若c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n －1，n 为奇数，4n －9，n 为偶数，则数列{c n }是公差为8的准等差数列．设数列{a n }满足a 1＝a ，对于n ∈N *，都有a n ＋a n ＋1＝2n .(1)求证：{a n }为准等差数列；(2)求{a n }的通项公式及前20项和S 20.解：(1)证明：因为a n ＋1＋a n ＝2n ，①所以a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋2.②由②－①得a n ＋2－a n ＝2(n ∈N *)，所以{a n }是公差为2的准等差数列．(2)已知a 1＝a ，a n ＋1＋a n ＝2n (n ∈N *)，所以a 1＋a 2＝2，即a 2＝2－a .所以由(1)可知a 1，a 3，a 5，…，成以a 为首项，2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…，成以2－a 为首项，2为公差的等差数列．所以当n 为偶数时，a n ＝2－a ＋⎝⎛⎭⎫n 2－1×2＝n －a ，当n 为奇数时，a n ＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12－1×2＝n ＋a －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋a －1，n 为奇数，n －a ，n 为偶数. S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 19＋a 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝2×1＋2×3＋…＋2×19＝2×（1＋19）×102＝200.。

优化方案高考数学(新课标全国卷Ⅰ·理科)二轮复习第一部分专题四高考热点追踪(四)专题强化精练提能

1．(2015·高考广东卷)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交解析：选D.由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行，故l 1，l 2中至少有一条与l 相交．2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )A.4π3B ．32π3C ．4πD ．16π解析：选D.如图所示，由三视图可知该几何体为圆锥，AD 为该圆锥外接球的直径，则AO ＝1，CO ＝3，由射影定理可知CO 2＝AO ·OD ，得OD ＝3，所以外接球的半径为12(AO＋OD )＝2，表面积为4π×22＝16π.3．设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a ⊥b 的一个充分条件为( )A ．a ⊥c ，b ⊥cB ．α⊥β，a ⊂α，b ⊂βC ．a ⊥α，b ∥αD ．a ⊥α，b ⊥α解析：选C.A 中，若a ⊥c ，b ⊥c ，则直线a 与直线b 可能异面，可能平行，可能垂直，所以此选项错误；B 中，若α⊥β，a ⊂α，b ⊂β，则直线a 与直线b 可能异面，可能平行，可能垂直，所以此选项错误；C 中，若a ⊥α，b ∥α，则根据线与线的位置关系可得a ⊥b ，所以C 正确；D 中，若a ⊥α，b ⊥α，则根据线面垂直的性质定理可得a ∥b .故选C.4．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )A.34 B ．32C.34 D ．1解析：选C.由图可知其侧视图为三角形，根据三视图的“高平齐”得侧视图的高为3，又由“宽相等”可知侧视图的宽度和俯视图的宽度相等，得侧视图的底为1×sin 60°＝32，所以侧视图的面积为S ＝12×32×3＝34，故选C.5．(2015·洛阳市统考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为( )A ．1B ．52C. 6 D ．2 3解析：选D.分析题意可知，该几何体为三棱锥A -BCD ，如图所示，最大面为边长为22的等边三角形，故其面积为34×(22)2＝2 3. 6．如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为( )A ．2B ．1 C. 2D ．22解析：选C.由题意知，球心在侧面BCC 1B 1的中心O 上，BC 为截面圆的直径，所以∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆圆心N 位于BC 的中点，同理△A 1B 1C 1的外接圆圆心M 是B 1C 1的中点．设正方形BCC 1B 1边长为x ，Rt △OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x2，OC 1＝R ＝1(R 为球的半径)，所以⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫x 22＝1，即x ＝2，则AB ＝AC ＝1，所以S 矩形ABB 1A 1＝2×1＝ 2.7.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则正视图中a 的值为________．解析：由三视图知，该几何体为四棱锥，其中四棱锥的底面为边长为a 和3的长方形，四棱锥的高为4，所以该四棱锥的体积V ＝13×3a ×4＝24，所以a ＝6. 答案：6 8．(2015·高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V ＝13π×12×1×2＋π×12×2＝83π.答案：83π9．(2015·南昌市调研测试卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知，该几何体是正三棱柱的一部分，如图所示，其中底面三角形的边长为2，故所求的体积为34×22×2－13×34×22×1＝533. 答案：53310．(2015·宿州二模)如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，△AED 、△EBF 、△FCD 分别沿DE 、EF 、FD 折起，使A 、B 、C 三点重合于点A ′，若四面体A ′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为________．解析：由题意知DF ＝5，A ′E ＝A ′F ＝1，A ′D ＝2，以A ′E 、A ′F 、A ′D 为棱，建立一个长方体，则体对角线长为2R ＝12＋12＋22(R 为球的半径)，R ＝62. 答案：6211．(2015·高考重庆卷) 如图，三棱锥P -ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝3，∠ACB ＝π2.D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且CD ＝DE ＝2，CE ＝2EB ＝2.(1)证明：DE ⊥平面PCD ； (2)求二面角A -PD -C 的余弦值．解：(1)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，得PC ⊥DE . 由CE ＝2，CD ＝DE ＝2，得△CDE 为等腰直角三角形，故CD ⊥DE . 由PC ∩CD ＝C ，DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线，故DE ⊥平面PCD .(2)由(1)知，△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝π4.如图，过D 作DF 垂直CE 于F ，易知DF ＝FC ＝FE ＝1.又已知EB ＝1，故FB ＝2.由∠ACB ＝π2，得DF ∥AC ，DF AC ＝FB BC ＝23，故AC ＝32DF ＝32.以C 为坐标原点，分别以CA →，CB →，CP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，P (0，0，3)，A ⎝⎛⎭⎫32，0，0，E (0，2，0)，D (1，1，0)，ED →＝(1，－1，0)，DP →＝(－1，－1，3)，DA →＝⎝⎛⎭⎫12，－1，0. 设平面P AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由n 1·DP →＝0，n 1·DA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－y 1＋3z 1＝0，12x 1－y 1＝0，故可取n 1＝(2，1，1)．由(1)可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量n 2可取为ED →，即n 2＝(1，－1，0)，从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝36，故所求二面角A -PD -C 的余弦值为36. 12．(2015·郑州市第二次质量预测)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，四边形AA 1C 1C 是边长为2的菱形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，∠A 1AC ＝60°，∠BCA ＝90°.(1)求证：A 1B ⊥AC 1；(2)已知点E 是AB 的中点，BC ＝AC ，求直线EC 1与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值．解：(1)证明：取AC 的中点O ，连接A 1O ，因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ， A 1O ⊥AC ，所以A 1O ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥BC .又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C ，所以AC 1⊥BC .在菱形AA 1C 1C 中，AC 1⊥A 1C ，所以AC 1⊥平面A 1BC ，所以A 1B ⊥AC 1.(2)以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，则A (0，－1，0)，B (2，1，0)，C (0，1，0)，C 1(0，2，3)，AB →＝(2，2，0)，BB 1→＝CC 1→＝(0，1，3)，设m ＝(x ，y ，z )是平面ABB 1A 1的法向量，则m ·AB →＝0，m ·BB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0，取z ＝－1可得m ＝(－3，3，－1)．又E (1，0，0)，所以EC 1→＝(－1，2，3)，设直线EC 1与平面ABB 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈EC 1→，m 〉|＝|EC 1→·m ||EC 1→||m |＝4214.13．(2015·高考四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)证明：直线MN ∥平面BDH ； (3)求二面角A -EG -M 的余弦值．解：图(1)(1)点F ，G ，H 的位置如图(1)所示．(2)证明：如图(1)，连接BD ，设O 为BD 的中点，连接OH ，OM ，MN . 因为M ，N 分别是BC ，GH 的中点，所以OM ∥CD ，且OM ＝12CD ，HN ∥CD ，且HN ＝12CD ，所以OM ∥HN ，OM ＝HN .所以四边形MNHO 是平行四边形，从而MN ∥OH .又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ，所以MN ∥平面BDH .(3)法一：如图(1)，连接AC ，过M 作MP ⊥AC 于P . 在正方体ABCD -EFGH 中，AC ∥EG ，所以MP ⊥EG .过P 作PK ⊥EG 于K ，连接KM ，所以EG ⊥平面PKM ，从而KM ⊥EG . 所以∠PKM 是二面角A -EG -M 的平面角．设AD ＝2，则CM ＝1，PK ＝2.在Rt △CMP 中，PM ＝CM sin 45°＝22. 在Rt △PKM 中，KM ＝PK 2＋PM 2＝322.所以cos ∠PKM ＝PK KM ＝223，即二面角A -EG -M 的余弦值为223.图(2)法二：如图(2)，以D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DH →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D -xyz .设AD ＝2，则M (1，2，0)，G (0，2，2)，E (2，0，2)，O (1，1，0)，所以GE →＝(2，－2，0)，MG →＝(－1，0，2)．设平面EGM 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·GE →＝0，n 1·MG →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，－x ＋2z ＝0，取x ＝2，得n 1＝(2，2，1)．在正方体ABCD -EFGH 中，DO ⊥平面AEGC ，则可取平面AEG 的一个法向量为n 2＝DO →＝(1，1，0)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2＋2＋04＋4＋1·1＋1＋0＝223，故二面角A -EG -M 的余弦值为223.14. (2015·石家庄市第一次模拟)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AP ＝AD ＝AB ＝2，BC ＝t ，∠P AB ＝∠P AD ＝α.(1)当t ＝32时，试在棱P A 上确定一点E ，使得PC ∥平面BDE ，并求出此时AEEP的值；(2)当α＝60°时，若平面P AB ⊥平面PCD ，求此时棱BC 的长．解：(1)法一：连接AC ，BD 交于点F ，在平面PCA 中作EF ∥PC 交P A 于E ，连接DE ，BE .因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE ，所以PC ∥平面BDE .因为AD ∥BC ，所以AF FC ＝AD BC ＝13，因为EF ∥PC ，所以AE EP ＝AF FC ＝13.法二：在棱P A 上取一点E ，使得AE EP ＝13，连接DE ，BE ，连接AC ，BD 交于点F ，因为AD ∥BC ，所以AF FC ＝AD BC ＝13，所以AE EP ＝AF FC ，所以EF ∥PC ，因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE ，所以PC ∥平面BDE .(2)取BC 上一点G ，使得BG ＝2，连接DG ，则四边形ABGD 为正方形，过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O . 连接OA ，OB ，OD ，OG ，因为AP ＝AD ＝AB ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，所以△P AB 和△P AD 都是等边三角形，因此P A ＝PB ＝PD ，所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABGD 对角线的交点，所以OG ，OB ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OG →，OB →，OP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz .则O (0，0，0)，P (0，0，1)，A (－1，0，0)，B (0，1，0)，D (0，－1，0)，G (1，0，0)，C ⎝⎛⎭⎫22t ，1－22t ，0，故P A →＝(－1，0，－1)，PB →＝(0，1，－1)，PC →＝⎝⎛⎭⎫22t ，1－22t ，－1，PD →＝(0，－1，－1)．设平面P AB 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·P A →＝0，m ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－z 1＝0，y 1－z 1＝0，不妨令x 1＝－1，可得m ＝(－1，1，1)为平面P AB 的一个法向量．设平面PCD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧22tx 2＋⎝⎛⎭⎫1－22t y 2－z 2＝0，－y 2－z 2＝0，不妨令y 2＝1，可得n ＝⎝⎛⎭⎫1－22t ，1，－1为平面PCD 的一个法向量．由m·n ＝0，解得t ＝22，即棱BC 的长为2 2.。

优化方案高考数学(新课标全国卷Ⅰ·文科)二轮复习优化方案二轮第一部分专题七第3讲专题强化精练提能

,)1．已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪f （x ）－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2，则h (x )＝⎩⎨⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.所以k 的取值范围是[1，＋∞)．2．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a ＞0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＞1化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0.当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得23＜x ＜1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2.所以f (x )＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |23＜x ＜2. (2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x ＜－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x ＞a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2＞6，故a ＞2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)．3．(2015·唐山市第一次模拟，T24)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x ＋1|.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )<3；(2)若f (x )的最小值为1，求a 的值．解：(1)因为f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎨⎧－3x ，x ≤－1－x ＋2，－1<x <12，3x ，x ≥12且f (1)＝f (－1)＝3，所以f (x )<3的解集为{x |－1<x <1}．(2)|2x －a |＋|x ＋1|＝⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x ＋1|＋⎪⎪⎪⎪x －a 2≥⎪⎪⎪⎪1＋a 2＋0＝⎪⎪⎪⎪1＋a 2，当且仅当(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x －a 2≤0且x －a 2＝0时，取等号．所以⎪⎪⎪⎪1＋a 2＝1，解得a ＝－4或0. 4．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数n 使f (n )≤m －f (－n )成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由|2x －a |＋a ≤6得|2x －a |≤6－a ，所以a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3，所以a －3＝－2，所以a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝|2x －1|＋1，令φ(n )＝f (n )＋f (－n )，则φ(n )＝|2n －1|＋|2n ＋1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧2－4n ，n ≤－124，－12<n ≤12，2＋4n ，n >12所以φ(n )的最小值为4，故实数m 的取值范围是[4，＋∞)．5．(2015·邢台市摸底考试，T24)设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －2|.(1)解不等式f (x )≥2；(2)当x ∈R ，0＜y ＜1时，证明：|x ＋2|－|x －2|≤1y ＋11－y. 解：(1)由已知可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≥2，2x ，－2＜x ＜2，－4，x ≤－2，所以，f (x )≥2的解集为{x |x ≥1}．(2)证明：由(1)知，|x ＋2|－|x －2|≤4，1y ＋11－y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋11－y [y ＋(1－y )]＝2＋1－y y ＋y 1－y≥4(当且仅当y ＝12时取等号)，所以|x ＋2|－|x －2|≤1y ＋11－y. 6．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ，得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)，得a ＋b >c ＋d . ②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |. 综上，a ＋b > c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．7．(2015·江西省质量检测，T24)已知函数f (x )＝|x －1|.(1)解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8；(2)若|a |<1，|b |<1，a ≠0，求证：f （ab ）|a |>f ⎝⎛⎭⎫b a . 解：(1)f (2x )＋f (x ＋4)＝|2x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎨⎧－3x －2，x <－3，－x ＋4，－3≤x <12，3x ＋2，x ≥12，当x <－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－103；当－3≤x <12时，－x ＋4≥8无解；当x ≥12时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2. 所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－103或x ≥2. (2)证明：f （ab ）|a |>f ⎝⎛⎭⎫b a 等价于f (ab )>|a |f ⎝⎛⎭⎫b a ，即|ab －1|>|a －b |.因为|a |<1，|b |<1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)>0，所以|ab －1|>|a －b |.故所证不等式成立．8．已知a 、b 都是实数，a ≠0，f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)若f (x )>2，求实数x 的取值范围；(2)若|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对满足条件的所有a 、b 都成立，求实数x 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x ≤1，1，1<x ≤2，2x －3，x >2，由f (x )>2得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3－2x >2或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －3>2，解得x <12或x >52. 所以所求实数x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. (2)由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得 |a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )．又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，所以f (x )≤2. 因为f (x )>2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >52，所以f (x )≤2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤52，所以所求实数x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，52.。

优化方案高考数学(新课标全国卷Ⅰ·文科)二轮复习优化方案二轮第一部分专题六第3讲专题强化精练提能

[A 卷]1．已知复数z ＝|(3－i)i|＋i 5(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为( ) A ．2－i B ．2＋i C ．4－i D ．4＋i 解析：选A.由题意知z ＝|3i ＋1|＋i ＝12＋（3）2＋i ＝2＋i ，所以z ＝2－i.2．(2015·江西省九江市第一次统考)设复数z ＝2－i 1＋i，则z 的共轭复数为( )A.12－32i B ．12＋32i C ．1－3i D ．1＋3i 解析：选B.z ＝2＋i 1－i＝（2＋i ）（1＋i ）2＝12＋32i ，故选B.3．(2015·合肥模拟)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为－4时，输入的S 0的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D.第一次循环，得S ＝S 0－21＝S 0－2，i ＝2；第二次循环，得S ＝S 0－2－22＝S 0－6，i ＝3；第三次循环，得S ＝S 0－6－23＝S 0－14，i ＝4，此时不满足i <4，输出S ＝－4，即S 0－14＝－4，所以S 0＝10，故选D.4．已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )A ．正四面体的内切球的半径是其高的12B ．正四面体的内切球的半径是其高的13C ．正四面体的内切球的半径是其高的14D ．正四面体的内切球的半径是其高的15解析：选C.原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h .类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是其高的14，故选C.5．“复数z ＝3－a ii在复平面内对应的点在第三象限”是“a ≥0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.z ＝3－a i i ＝（3－a i ）·ii ·i＝－a －3i 对应的点在第三象限，则a >0，可以判断“a >0”是“a ≥0”的充分不必要条件．6．(2015·郑州模拟)复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.z ＝m －2i 1＋2i ＝（m －2i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝m －45－2m ＋25i ，若复数z 在复平面上对应的点在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m －45>0，－2m ＋25>0，而此不等式组无解，所以复数z 在复平面上对应的点不可能在第一象限，故选A.7．(2014·高考福建卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于( )A ．18B ．20C ．21D ．40解析：选B.由题意，得S ＝0，n ＝1；S ＝0＋2＋1＝3<15，n ＝2；S ＝3＋22＋2＝9<15，n ＝3；S ＝9＋23＋3＝20，n ＝4，因为20≥15，因此输出S .故选B.8．已知某算法的流程图如图所示，若输入x ＝7，y ＝6，则输出的有序数对为( )A ．(13，14)B ．(12，13)C ．(14，13)D ．(13，12)解析：选A.执行流程图得，n ＝1，x ＝6＋1＝7，y ＝8；n ＝2，x ＝y ＋1＝9，y ＝10； n ＝3，x ＝y ＋1＝11，y ＝12； n ＝4，x ＝y ＋1＝13，y ＝14；n ＝5，循环结束，输出(13，14)，故选A.9．定义某种运算S ＝a ⊗b ，运算原理如图所示，则式子⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2tan 5π4⊗ln e －⎣⎡⎦⎤lg 100⊗⎝⎛⎭⎫13－1的值是( )A ．－3B ．－4C ．－8D ．0解析：选D.由题意可知，程序框图的运算原理可视为函数S ＝a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （b ＋1），a ≥b ，a （b －1），a <b ，所以2tan5π4⊗ln e ＝2⊗1＝4， lg 100⊗⎝⎛⎭⎫13－1＝2⊗3＝4，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan 5π4⊗ln e －⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg 100⊗⎝⎛⎭⎫13－1＝4－4＝0，故选D.10．如图是一算法的程序框图，若输出结果为S ＝720，则在判断框中应填入的条件是( )A ．k ≤6?B ．k ≤7?C ．k ≤8?D ．k ≤9?解析：选B.第一次执行循环，得到S ＝10，k ＝9；第二次执行循环，得到S ＝90，k ＝8；第三次执行循环，得到S ＝720，k ＝7.此时满足条件，故选B.11．(2015·福州地区八校联考)观察一列算式：1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4，2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第( )A ．22项B ．23项C ．24项D ．25项解析：选C.两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，所以为第24项．故选C.12．在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＝( )A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009解析：选B.通过观察得a 1＝1，a 2＝1，a 3＝－1，a 4＝2，a 5＝2，a 6＝3，a 7＝－2，a 8＝4，a 9＝3，a 10＝5，a 11＝－3，a 12＝6，…，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3＝4－1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝7＝8－1，a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝11＝12－1，…，所以a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＋a 2 016＝2 016－1＝2 015，又a 4＝2，a 8＝4，a 12＝6，…，所以a 2 016＝1 008，所以a 2 013＋a 2 014＋a 2 015＝2 015－1 008＝1 007.13．已知复数z ＝a －32i ，且z 2＝b ＋32i(a ，b ∈R )，则a ＋b ＝________．解析：由已知，得z 2＝⎝⎛⎭⎫a －32i 2＝a 2－34－3a i ＝b ＋32i ，利用复数相等的充要条件得⎩⎨⎧a 2－34＝b ，－3a ＝32，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－12，故a ＋b ＝－1.答案：－114．观察下列不等式：①12<1；②12＋16<2；③12＋16＋112<3；…；则第n 个不等式为________．解析：观察题中不等式知，分母中根号下被开方数依次是1×2；2×3；3×4；…，所以所求的不等式为12＋16＋112＋…＋1n （n ＋1）<n .答案：12＋16＋112＋…＋1n （n ＋1）<n 15．(2015·山西省质量监测)如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．解析：第一次循环后m ＝1，n ＝1；第二次循环后m ＝3，n ＝2；第三次循环后m ＝14，n ＝3；第四次循环后m ＝115，n ＝4，循环结束，输出的n 为4.答案：416．在平面几何中：△ABC 的∠ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE BE ＝ACBC.把这个结论类比到空间：在三棱锥A -BCD 中(如图)，平面DEC 平分二面角A -CD -B 且与AB相交于E ，则得到类比的结论是____________________．解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AE EB ＝S △ACDS △BCD .答案：AE EB ＝S △ACDS △BCD[B 卷]1．若复数z 满足(2－i)z ＝|1＋2i|，则z 的虚部为( )A.55 B ．55i C ．1 D ．i解析：选A.由z ＝|1＋2i|2－i ＝5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝5（2＋i ）5＝255＋55i ，可知其虚部为55. 2．用反证法证明命题：“若a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的假设为( )A ．a ，b ，c ，d 中至少有一个正数B ．a ，b ，c ，d 全都为正数C ．a ，b ，c ，d 全都为非负数D ．a ，b ，c ，d 中至多有一个负数解析：选C.用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而“a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的否定是“a ，b ，c ，d 全都为非负数”，故C 正确．3．复数z ＝1＋2i 2 0151－i 2 015(i 为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.z ＝1＋2i 2 0151－i 2 015＝1－2i 1＋i＝1－3i －22＝－12－3i 2，则z ＝－12＋3i2在复平面内对应的点在第二象限，故选B.4．(2015·山西省考前质量检测)执行如图所示的程序框图，若输入的a 的值为3，则输出的i ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.第1次循环，得M ＝100＋3＝103，N ＝1×3＝3，i ＝2；第2次循环，得M ＝103＋3＝106，N ＝3×3＝9，i ＝3；第3次循环，得M ＝106＋3＝109，N ＝9×3＝27，i ＝4；第4次循环，得M ＝109＋3＝112，N ＝27×3＝81，i ＝5；第5次循环，得M ＝112＋3＝115，N ＝81×3＝243，i ＝6，此时M <N ，退出循环，输出的i 的值为6，故选C.4题图 5题图5．如图给出的是计算12＋14＋…＋1100的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )A ．i >100，n ＝n ＋1B ．i >100，n ＝n ＋2C ．i >50，n ＝n ＋2D ．i ≤50，n ＝n ＋2解析：选C.因为12，14，…，1100共50个数，所以程序框图应运行50次，所以变量i 应满足i >50. 因为是求偶数的和，所以应使变量n 满足n ＝n ＋2，故选C.6．(2015·邢台市摸底考试)已知复数z 1＝－12＋32i ，z 2＝－12－32i ，则下列命题中错误的是( )A ．z 21＝z 2B ．|z 1|＝|z 2|C ．z 31－z 32＝1 D ．z 1，z 2互为共轭复数解析：选C.依题意，z 21＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 2＝1－34－32i ＝－12－32i ＝z 2，因此选项A 正确；|z 1|＝1＝|z 2|，因此选项B 正确；z 1＝－12－32i ＝z 2，因此选项D 正确；z 31＝z 21·z 1＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 2·⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝⎝⎛⎭⎫－12－32i · ⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝1，同理z 32＝1，因此z 31－z 32＝0，选项C 错误．综上所述，选C.7．设三角形ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：若四面体S ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体S -ABC 的体积为V ，则r ＝( ) A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 解析：选C.设四面体的内切球的球心为O ，则V ＝V O -ABC ＋V O SAB ＋V O SAC ＋V O SBC ，即V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，所以r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 8．(2015·太原质检)下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是( )A ．6B ．10C ．91D ．92解析：选B.由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出的结果为10.故选B.9.执行如图所示的程序框图，其输出结果是( ) A ．341 B ．1 364 C ．1 365 D ．1 366解析：选C.由题可设在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝4a n ＋1，即a n ＋1＋13＝4⎝⎛⎭⎫a n ＋13，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋13是以a 1＋13＝43为首项、4为公比的等比数列，a n ＋13＝43×4n －1，即a n ＝4n －13，注意到a 5＝341<500，a 6＝1 365>500，因此执行题中的程序框图，其输出结果为1 365，故选C. 10．(2015·太原市模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的a ＝( )A ．20B ．14C ．10D ．7解析：选C.依次执行程序框图中的语句，可得：①a ＝10，i ＝1；②a ＝5，i ＝2；③a ＝14，i ＝3；④a ＝7，i ＝4；⑤a ＝20，i ＝5；⑥a ＝10，i ＝6，因为当i ＝2 016时，跳出循环，而2 016＝1＋5×403，所以输出的a ＝10.11．[n ]表示不超过n 的最大整数．若S 1＝[ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3，S 2＝[ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[7 ]＋[8 ]＝10，S 3＝[9 ]＋[10 ]＋[11 ]＋[12 ]＋[13 ]＋[14 ]＋[15 ]＝21， …则S n ＝( ) A ．n (n ＋2) B ．n (n ＋3) C ．(n ＋1)2－1 D ．n (2n ＋1) 解析：选D.观察得到：S n 是从n 2开始到（n ＋1）2(不含)之前共2n ＋1个n 的和，所以S n 为n (2n ＋1)．即[n 2]＋[n 2＋1]＋[n 2＋2]＋…＋[（n ＋1）2－1]＝n (2n ＋1)．12．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25.按此规律一直取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，则在这个子数列中，第2 014个数是( )A ．3 965B ．3 966C ．3 968D ．3 969解析：选A.记该数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…为{a n }，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25、…；可知，每次取的最后一个数依次为1，4，9，16，25，…，归纳得到，每次取的最后一个数依次为12，22，32，42，…，n 2，…，即第n 次取的最后一个数为n 2.由于1＋2＋3＋…＋61＋62＋61＝2 014，所以a 2 014位于第63次取的数中倒数第三个，因为第63次取的最后一个数为632＝3 969，由组内的差为2，得a 2 014＝3 969－4＝3 965.13．(2015·常德模拟)下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：①|z |＝2；②z 2＝2i ；③z 的共轭复数为z ；④z 的虚部为－1. 其中所有正确命题的序号是________．解析：z ＝2－1＋i ＝2（－1－i ）（－1＋i ）(－1－i)＝－1－i ，|z |＝2；z 2＝2i ；z 的共轭复数为－1＋i ； z 的虚部为－1.所以正确命题的序号是②④. 答案：②④14．观察等式：sin 30°＋sin 90°cos 30°＋cos 90°＝3，sin 15°＋sin 75°cos 15°＋cos 75°＝1，sin 20°＋sin 40°cos 20°＋cos 40°＝33. 照此规律，对于一般的角α，β，有等式________．解析：根据等式的特点，分别用α，β代替两个角，并且发现tan30°＋90°2＝3，tan 15°＋75°2＝1，tan 20°＋40°2＝33，故对于一般的角α，β的等式为sin α＋sin βcos α＋cos β＝tan α＋β2.答案：sin α＋sin βcos α＋cos β＝tan α＋β215.数列{a n }满足a n ＝n ，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n ＝5，a n ＝n ，x ＝2，则输出的结果v ＝________．解析：由题意知，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5，初始值为n ＝5，x ＝2，v ＝a 5＝5，i ＝n －1＝4，执行程序框图的结果依次为v ＝5×2＋4＝14，i ＝3；v ＝14×2＋3＝31，i ＝2；v ＝31×2＋2＝64，i ＝1；v ＝64×2＋1＝129，i ＝0，此时终止循环，输出的v ＝129.答案：129 16．(2015·南昌模拟)观察下列等式： 13＋23＝1； 73＋83＋103＋113＝12； 163＋173＋193＋203＋223＋233＝39； …则当m <n 且m ，n ∈N 时， 3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝________(最后结果用m ，n 表示)．解析：由13＋23＝1，知m ＝0，n ＝1，1＝12－02；由73＋83＋103＋113＝12，知m ＝2，n ＝4，12＝42－22；由163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，知m ＝5，n ＝8，39＝82－52； …依此规律可归纳，3m ＋13＋3m ＋23＋3m ＋43＋3m ＋53＋…＋3n －23＋3n －13＝n 2－m 2.答案：n 2－m 2。

优化方案高考理数二轮总复习讲义课件第一部分专题三数列第1讲

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专题三数列
2．在本例(2)的条件下，求 a2＋a4＋a6＋…＋a2n(n∈N*)．解：由已知得 a2，a4，a6，…，a2n，构成以 a2＝1 为首项， q2＝2 为公比的等比数列，所以其前 n 项和 Sn＝a2[1－1－（qq22）n]＝11－－22n＝2n－1.
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专题三数列
所以 q＝2，所以 a2＝a1q＝14×2＝12. (2)设 bn＝2 a1an，则 bn＋1＝2a1an＋1，由于{2a1an}是递减数列，则 bn>bn＋1，即 2a1an>2a1an＋1.因为 y＝2x 是单调增函数，所以 a1an>a1an＋1，所以 a1an－a1(an＋d)>0，所以 a1(an－an－d)>0，即 a1(－d)>0，所以 a1d<0.
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方法归纳 1解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.,2 应牢固掌握等差、等比数列的性质，特别是等差数列中若“m ＋n＝p＋q，则 am＋an＝ap＋aqm，n，p，q∈N*”这一性质与求和公式 Sn＝na12＋an 的综合应用.
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专题三数列
1．设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，若SS42＝3，则SS64＝( B )
A．2
B．73
3 C.10
D．1 或 2
解析：设 S2＝k，S4＝3k，由数列{an}为等比数列，得 S2，S4 －S2，S6－S4 为等比数列，所以 S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4 ＝4k，所以 S6＝7k，S4＝3k，所以SS64＝73kk＝73，故选 B.

优化方案高考理数二轮总复习讲义课件第一部分高考热点追踪(一)

π 为矩形．那么∠P1Q1P2＝ 2 为二面角 α-l-β 的平面角，所以 α⊥β. [求解策略] 定义新符号问题一般的解题步骤是：
(1)认真审题，深刻理解新符号的内容；
(2)排除惯性，按新符号相关含义转化问题；
(3)化新为旧，转化成已有知识解决问题．
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专题一集合、常用逻辑用语、函数、不等式
同理 P，P1，P2，Q1 四点共面．所以 P，P1，P2，Q1，Q2 五点共面，且 α 与 β 的交线 l 垂直于此平面．又因为 PQ1＝PQ2，所以 Q1、Q2 重合且在 l 上，四边形 PP1Q1P2
4a－1 x> 4a .
所以
f(f(x))＝x
有四个解
0，1＋2a4a2，1＋2a2a，
4a2 1＋4a2.
又 f(0)＝0，f1＋2a2a＝1＋2a2a，
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专题一集合、常用逻辑用语、函数、不等式
f1＋2a4a2≠1＋2a4a2，f1＋4a42a2≠1＋4a42a2，
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专题一集合、常用逻辑用语、函数、不等式
三定义新符号 (1)(2014·高考浙江卷)记 max{x，y}＝xy，，xx<≥y，y，min{x，
y}＝yx，，xx≥<yy，，设 a，b 为平面向量，则( D ) A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|} C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2 D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2

优化方案高考数学(新课标全国卷Ⅰ·理科)二轮复习第一部分专题四第3讲专题强化精练提能

[A 卷]1．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O ，球面上两个点A ，B 的坐标分别为A (1，2，2)，B (2，－2，1)，则|AB |＝( )A ．18B ．12C ．3 2D ．2 3解析：选C.|AB |＝（1－2）2＋[2－（－2）]2＋（2－1）2＝18＝3 2. 2. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CD 和C 1C 的中点，则直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )A.13 B ．25C.35 D ．37解析：选B.以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)．若棱长为2，则A (2，0，0)、E (0，1，0)、D 1(0，0，2)、F (0，2，1)．所以EA →＝(2，－1，0)，D 1F →＝(0，2，－1)，cos 〈EA →，D 1F →〉＝EA →·D 1F →|EA →||D 1F →|＝－25·5＝－25.则直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为25.3．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.3010 B ．33010 C.310 D ．3310 解析：选A.建立坐标系如图，则A (1，0，0)，E (0，2，1)，B (1，2，0)，C 1(0，2，2)，BC 1→＝(－1，0，2)，AE →＝(－1，2，1)，所以cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→||AE →|＝3010.4．(2015·河南省第一次统一检测)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝4，点D 在棱BB 1上，若BD ＝3，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正切值为( )A.235 B ．43C.54 D ．23913解析：选D.取AC 的中点E ，连接BE ，如图，可得AD →·EB →＝(AB →＋BD →)·EB→＝AB →·EB →＝4×23×32＝12＝5×23×cos θ(θ为AD →与EB →的夹角)，所以cos θ＝235，sin θ＝135，tan θ＝396，又因为BE ⊥平面AA 1C 1C ，所以所求角的正切值为23913.5．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12 B ．23 C.33 D ．22解析：选B.以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设棱长为1，则A 1(0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，D (0，1，0)，所以A 1D →＝(0，1，－1)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12，设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2.所以n 1＝(1，2，2)．因为平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23.即所成的锐二面角的余弦值为23.6. 如图，三棱锥A -BCD 的棱长全相等，E 为AD 的中点，则直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.36 B ．32C.336D.12解析：选A.设AB ＝1，则CE →·BD →＝(AE →－AC →)·(AD →－AB →) ＝12AD →2－12AD →·AB →－AC →·AD →＋AC →·AB → ＝12－12cos 60°－cos 60°＋cos 60°＝14.所以cos 〈CE →，BD →〉＝CE →·BD →|CE →||BD →|＝1432＝36.7．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →·AP →的取值范围是________．解析：依题意，设BP →＝λBD 1→，其中λ∈[0，1]，DC →·AP →＝AB →·(AB →＋BP →)＝AB →·(AB →＋λBD 1→)＝AB →2＋λAB →·BD 1→＝1＋3λ·⎝⎛⎭⎫－33＝1－λ∈[0，1]，因此DC →·AP →的取值范围是[0，1]．答案：[0，1]8.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，将△ABD 沿对角线BD 折起到△A ′BD 的位置，使点A ′在平面BCD 内的射影点O 恰好落在BC 边上，则异面直线A ′B 与CD 所成角的大小为________．解析：过O 作OE ∥CD 交BD 于点E ，由题意知，A ′O ⊥OC ，A ′O⊥OE ，OE ⊥OC ，故以O 为原点，OC →，OE →，OA ′→分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则A ′(0，0，3)，B (－1，0，0)，C (3，0，0)，D (3，2，0)，所以A ′B →＝(－1，0，－3)，CD →＝(0，2，0)，A ′B →·CD →＝0，所以A ′B →⊥CD →，故异面直线A ′B 与CD 所成角的大小为90°.答案：90°9．(2015·合肥市质量监测)在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若BC ⊥AC ，∠BAC ＝π3，AC ＝4，点M 为AA 1的中点，点P 为BM 的中点，Q 在线段CA 1上，且A 1Q ＝3QC ，则异面直线PQ 与AC 所成角的正弦值为________．解析：由题意，以C 为原点、以AC 边所在直线为x 轴、以BC 边所在直线为y 轴、以CC 1边所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．设棱柱的高为a ，由∠BAC ＝π3，AC＝4，得BC ＝43，所以A (4，0，0)，B (0，43，0)，C (0，0，0)，A 1(4，0，a )，B 1(0，43，a )，C 1(0，0，a )，M ⎝⎛⎭⎫4，0，a 2，P ⎝⎛⎭⎫2，23，a 4，Q ⎝⎛⎭⎫1，0，a 4.所以QP →＝(1，23，0)，CA →＝(4，0，0)．设异面直线QP 与CA 所成的角为θ，所以cos θ＝|QP →·CA →||QP →||CA →|，由|QP →·CA →|＝1×4＋23×0＋0×0＝4，|QP →|·|CA →|＝13×4＝413，得cos θ＝44 13＝1313. 由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin 2θ＝1213，所以sin θ＝±23913，因为异面直线所成角的正弦值为正，所以sin θ＝23913即为所求．答案：2 391310．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别为BB 1、CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为________．解析：以A 为坐标原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫1，0，12， F ⎝⎛⎭⎫12，1，0，D 1(0，1，1)．所以A 1E →＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12，A 1D 1→＝(0，1，0)．设平面A 1D 1E 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E →＝0，n ·A 1D 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12z ＝0，y ＝0.令z ＝2，则x ＝1，所以n ＝(1，0，2)．又A 1F →＝⎝⎛⎭⎫12，1，－1，所以点F 到平面A 1D 1E 的距离为 d ＝|A 1F →·n ||n |＝⎪⎪⎪⎪12－25＝3510.答案：351011．(2015·南平模拟)如图所示，在多面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，上、下两个底面A 1B 1C 1D 1和ABCD 互相平行，且都是正方形，DD 1⊥底面ABCD ，AB ∥A 1B 1，AB ＝2A 1B 1＝2DD 1＝2a .(1)求异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值；(2)已知F 是AD 的中点，求证：FB 1⊥平面BCC 1B 1.解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2a ，0，0)，B (2a ，2a ，0)，C (0，2a ，0)，D 1(0，0，a )，F (a ，0，0)，B 1(a ，a ，a )．(1)因为AB 1→＝(－a ，a ，a )，DD 1→＝(0，0，a )，所以cos 〈AB 1→，DD 1→〉＝AB 1→·DD 1→|AB 1→|·|DD 1→|＝33，所以异面直线AB 1与DD 1所成角的余弦值为33. (2)证明：因为BB 1→＝(－a ，－a ，a )，BC →＝(－2a ，0，0)，FB 1→＝(0，a ，a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧FB 1→·BB 1→＝0，FB 1→·BC →＝0，所以FB 1⊥BB 1，FB 1⊥BC .因为BB 1∩BC ＝B ，所以FB 1⊥平面BCC 1B 1. 12．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，其边长为2，E 为棱DD 1的中点，F 为对角线DB 的中点．(1)求证：平面CFB 1⊥平面EFB 1；(2)求异面直线EF 与B 1C 所成角的余弦值； (3)求直线FC 1与平面B 1CA 所成角的正弦值．解：(1)证明：因为F 为DB 的中点，则CF ⊥BD ，又CF ⊥D 1D ，BD ∩D 1D ＝D ，所以CF ⊥平面BB 1D 1D ，因为CF ⊂平面CFB 1，所以平面CFB 1⊥平面EFB 1.(2)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，E (0，0，1)，F (1，1，0)，B 1(2，2，2)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)．所以EF →＝(1，1，－1)，B 1C →＝(－2，0，－2)．所以异面直线EF 与B 1C 所成角的余弦值为|cos 〈B 1C →，EF →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－23×（－2）2＋（－2）2＝0.(3)由(1)知CF ⊥EF ，由(2)知EF ⊥B 1C ，又B 1C ∩CF ＝C ，B 1C ，CF ⊂平面B 1CA ，所以EF ⊥平面B 1CA .所以EF →是平面B 1CA 的法向量．因为FC 1→＝(－1，1，2)，所以cos 〈FC 1→，EF →〉＝EF →·FC 1→|EF →||FC 1→|＝－23，所以直线FC 1与平面B 1CA 所成角的正弦值为23. 13．(2015·淮南市监测考试)如图，已知四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝P A ＝2，E 是BC 的中点．(1)求异面直线AE 与PC 所成的角； (2)求二面角D -PC -A 的平面角的余弦值．解：(1)如图所示，以A 点为原点建立空间直角坐标系A -xyz ，则B (2，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，2)．故E (1，1，0)，AE →＝(1，1，0)，PC →＝(0，2，－2)，cos 〈AE →，PC →〉＝AE →·PC →|AE →|·|PC →|＝12，即〈AE →，PC →〉＝60°，故异面直线AE 与PC 所成的角为60°.(2)在四边形ABCD 中，因为AB ＝AC ＝2，AB ⊥AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ＝45°，因为AD ∥BC ，所以∠DAC ＝∠ACB ＝45°，又AD ⊥CD ，所以AD ＝CD ＝2，所以D (－1，1，0)，又C (0，2，0)，所以CD →＝(－1，－1，0)，PC →＝(0，2，－2)．设n ＝(x ，y ，z )是平面PCD 的法向量，则CD →⊥n ，PC →⊥n ，即CD →·n ＝0，PC →·n ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，2y －2z ＝0，令x ＝－1，得y ＝1，z ＝1，即n ＝(－1，1，1)，|n |＝3，又AB ⊥平面P AC ，所以AB →＝(2，0，0)是平面P AC 的一个法向量，所以cos 〈AB →，n 〉＝AB →·n |AB →|·|n |＝－33，即二面角D -PC -A 的平面角的余弦值为33. 14．(2015·福州地区八校联考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，AB ＝2BC ＝4，BF ＝CF ＝AE ＝DE ，EF ＝2，EF ∥AB ，AF ⊥CF .(1)若G 为FC 的中点，证明：AF ∥平面BDG ； (2)求平面ABF 与平面BCF 夹角的余弦值．解：(1)证明：连接AC 交BD 于O 点，则O 为AC 的中点，连接OG ，因为点G 为FC 的中点，所以OG ∥AF .因为AF ⊄平面BDG ，OG ⊂平面BDG ，所以AF ∥平面BDG . (2)取AD 的中点M ，BC 的中点Q ，连接MQ ，则MQ ∥AB ∥EF ，所以M ，Q ，F ，E 共面．作FP ⊥MQ 于P ，EN ⊥MQ 于N ，则EN ∥FP 且EN ＝FP . 连接EM ，FQ ，因为AE ＝DE ＝BF ＝CF ，AD ＝BC ，所以△ADE 和△BCF 全等，所以EM ＝FQ ，所以△ENM 和△FPQ 全等，所以MN ＝PQ ＝1，因为BF ＝CF ，Q 为BC 中点，所以BC ⊥FQ ，又BC ⊥MQ ，FQ ∩MQ ＝Q ，所以BC ⊥平面MQFE ，所以PF ⊥BC ，所以PF ⊥平面ABCD .以P 为原点，PM 为x 轴，PF 为z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则A (3，1，0)，B (－1，1，0)，C (－1，－1，0)，设F (0，0，h )，则AF →＝(－3，－1，h )，CF →＝(1，1，h )．因为AF ⊥CF ，所以AF →·CF →＝0，解得h ＝2.设平面ABF 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， AF →＝(－3，－1，2)，BF →＝(1，－1，2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AF →＝0，n 1·BF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 1－y 1＋2z 1＝0，x 1－y 1＋2z 1＝0，令z 1＝1，得x 1＝0，y 1＝2，得一个法向量n 1＝(0，2，1)．同理得平面BCF 的一个法向量为n 2＝(－2，0，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝15×5＝15，所以平面ABF 与平面BCF 夹角的余弦值为15.[B 卷]1．(2015·南宁市第二次适应性测试)如图所示多面体中，AD ⊥平面PDC ，ABCD 为平行四边形，E 为AD 的中点，F 为线段BP 上一点，∠CDP ＝120°，AD ＝3，AP ＝5，PC ＝27.(1)试确定点F 的位置，使得EF ∥平面PDC ；(2)若BF ＝13BP ，求直线AF 与平面PBC 所成的角的正弦值．解：(1)取线段BP 的中点F ，取PC 的中点O ，连接FO ，DO ，因为F ，O 分别为BP ，PC 的中点，所以FO 綊12BC .因为四边形ABCD 为平行四边形，ED ∥BC ，且DE ＝12BC ，所以FO ∥ED 且ED ＝FO ，所以四边形EFOD 是平行四边形，所以EF ∥DO .因为EF ⊄平面PDC ，DO ⊂平面PDC ，所以EF ∥平面PDC .(2)以DC 为x 轴，过D 点作DC 的垂线为y 轴，DA 为z 轴建立空间直角坐标系．在△PDC 中，由PD ＝4，PC ＝27，∠CDP ＝120°，及余弦定理，得CD ＝2，则D (0，0，0)，C (2，0，0)，B (2，0，3)，P (－2，23，0)，A (0，0，3)，设F (x ，y ，z )，则BF →＝(x －2，y ，z －3)＝13BP →＝⎝⎛⎭⎫－43，233，－1，所以F ⎝⎛⎭⎫23，233，2. AF →＝⎝⎛⎭⎫23，233，－1.设平面PBC 的法向量n 1＝(a ，b ，c )， CB →＝(0，0，3)，PC →＝(4，－23，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CB →＝0，n 1·PC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3c ＝0，4a －23b ＝0，令b ＝1，可得n 1＝⎝⎛⎭⎫32，1，0.cos 〈AF →，n 1〉＝AF →·n 1|AF →||n 1|＝6 2135，所以直线AF 与平面PBC 所成的角的正弦值为6 2135.2．(2015·开封市质量监测)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝1，点E ，F 分别为AB 和PD 的中点．(1)求证：直线AF ∥平面PEC ；(2)求PC 与平面P AB 所成角的正弦值．解：(1)证明：作FM ∥CD 交PC 于M ，连接ME . 因为点F 为PD 的中点，所以FM ＝12CD .所以AE ＝12AB ＝FM ，所以AEMF 为平行四边形，所以AF ∥EM ，因为AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ，所以直线AF ∥平面PEC .(2)连接DE ，因为∠DAB ＝60°，所以DE ⊥DC .如图所示，建立直角坐标系，则P (0，0，1)，C (0，1，0)， E ⎝⎛⎭⎫32，0，0，A⎝⎛⎭⎫32，－12，0，B ⎝⎛⎭⎫32，12，0，所以AP →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，1，AB →＝(0，1，0)．设平面P AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．因为n ·AB →＝0，n ·AP →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－32x ＋12y ＋z ＝0，y ＝0，取x ＝1，则z ＝32，所以平面P AB 的一个法向量为n ＝⎝⎛⎭⎫1，0，32. 因为PC →＝(0，1，－1)，设向量n 与PC →所成的角为θ，所以cos θ＝n ·PC →|n ||PC →|＝－3274×2＝－4214，所以PC 与平面P AB 所成角的正弦值为4214.3．(2015·九江市第一次统考)如图所示，在长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝λAD ＝λAA ′(λ>0)，E ，F 分别是A ′C ′和AD 的中点，且EF ⊥平面A ′BCD ′.(1)求λ的值； (2)求二面角C -A ′B -E 的余弦值．解：以D 为原点，DA ，DC ，DD ′分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设AA ′＝AD＝2，则AB ＝2λ，D (0，0，0)，A ′(2，0，2)，D ′(0，0，2)，B (2，2λ，0)，C (0，2λ，0)，E (1，λ，2)，F (1，0，0)．(1)EF →＝(0，－λ，－2)，D ′A ′→＝(2，0，0)，A ′B →＝(0，2λ，－2)，因为EF ⊥D ′A ′，EF ⊥A ′B ，所以EF →·D ′A ′→＝0，EF →·A ′B →＝0，即－2λ2＋4＝0，所以λ＝ 2.(2)设平面EA ′B 的一个法向量为m ＝(1，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A ′B →＝0，m ·A ′E →＝0，因为A ′B →＝(0，22，－2)，A ′E →＝(－1，2，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧22y －2z ＝0，－1＋2y ＝0，所以y ＝22，z ＝1，所以m ＝⎝⎛⎭⎫1，22，1. 由已知得EF →为平面A ′BC 的一个法向量，又EF →＝(0，－2，－2)，所以cos 〈m ，EF →〉＝m ·EF →|m |·|EF →|＝－1－212＋⎝⎛⎭⎫222＋12×02＋（－2）2＋（－2）2 ＝－3102×6＝－155. 又二面角C -A ′B -E 为锐二面角，所以二面角C -A ′B -E 的余弦值为155. 4．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝30°，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示．(1)求证：AE ⊥平面BCD ；(2)求二面角A -DC -B 的余弦值；(3)在线段AF 上是否存在点M 使得EM ∥平面ADC ？若存在，请指明点M 的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD .又在△ABD 中，AE ⊥BD 于E ，AE ⊂平面ABD ，所以AE ⊥平面BCD .(2)由(1)结论AE ⊥平面BCD 可得AE ⊥EF .由题意可知EF ⊥BD ，AE ⊥BD .如图，以E 为坐标原点，分别以EF ，ED ，EA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E -xyz .不妨设AB ＝BD ＝DC ＝AD ＝2，则BE ＝ED ＝1，AE ＝3，BC ＝23，EF ＝33，则E (0，0，0)，D (0，1，0)，B (0，－1，0)，A (0，0，3)，F ⎝⎛⎭⎫33，0，0，C (3，2，0)，DC →＝(3，1，0)，AD →＝(0，1，－3)．由AE ⊥平面BCD 可知平面CDB 的一个法向量EA →＝(0，0，3)．设平面ADC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝0，n ·AD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝0，y －3z ＝0，令z ＝1，则y ＝3，x ＝－1，所以n ＝(－1，3，1)．所以cos 〈n ，EA →〉＝EA →·n |EA →|·|n |＝55，所以二面角A -DC -B 的余弦值为55. (3)设AM →＝λAF →，其中λ∈[0，1]．由于AF →＝⎝⎛⎭⎫33，0，－3，所以AM →＝λAF →＝λ⎝⎛⎭⎫33，0，－3，其中λ∈[0，1]，所以EM →＝EA →＋AM →＝⎝⎛⎭⎫33λ，0，（1－λ）3，令EM →·n ＝0，得33λ－(1－λ)3＝0，解得λ＝34∈[0，1]，所以在线段AF 上存在点M 使得EM ∥平面ADC ，且AM AF ＝34.。

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1．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则tan α＝( )A.43 B ．34C ．－34D ．±34解析：选B.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，所以sin α＝－35，显然α在第三象限，所以cos α＝－45，故tan α＝34. 2．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( )A ．π，1B ．π，2C ．2π，1D ．2π，2解析：选A.f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以最小正周期为T ＝2π2＝π，振幅A ＝1.3．(2015·邢台市摸底考试)先把函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4时，函数g (x )的值域为( )A.⎝⎛⎦⎤－32，1 B ．⎝⎛⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－32，32 D ．[－1，0) 解析：选A.依题意得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4时，2x －5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6∈⎝⎛⎦⎤－32，1，此时g (x )的值域是⎝⎛⎦⎤－32，1，选A.4．(2015·山西省第三次四校联考)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π2⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值时x 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π－π6，k ∈ZB.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π－π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π－π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π－π3，k ∈Z解析：选B.因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π2＝sin(ωx ＋φ)，由题图可知T 4＝7π12－π3＝π4，所以ω＝2ππ＝2.又由题图得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，即2×π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝2k π－π6，k∈Z ，又|φ|＜π2，所以φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝－π2＋2k π，k ∈Z ，得x ＝k π－π3，k ∈Z ，所以y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＝k π－π3，k ∈Z ，故选B.5．关于函数y ＝sin|2x |＋|sin 2x |，下列说法正确的是( )A ．是周期函数，周期为πB ．关于直线x ＝π4对称C ．在⎣⎡⎦⎤－π3，7π6上的最大值为 3D ．在⎣⎡⎦⎤－π2，－π4上是单调递增的解析：选D.由题意，函数的图象如图所示：由图象可知，此函数不是周期函数，关于x ＝0对称，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，7π6上的最大值为2，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π4上是单调递增的．6．(2015·长沙模拟)已知函数①y ＝sin x ＋cos x ，②y ＝22sin x cos x ，则下列结论正确的是( )A ．两个函数的图象均关于点⎝⎛⎭⎫－π4，0成中心对称图形B ．两个函数的图象均关于直线x ＝－π4成轴对称图形C ．两个函数在区间⎝⎛⎭⎫－π4，π4上都是单调递增函数D ．两个函数的最小正周期相同解析：选C.令f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g (x )＝22sin x cos x ＝2sin 2x .对于A 、B ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－2≠0，所以A 、B 都不正确．对于C ，由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π(k ∈Z )，又由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )，得g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )，易知C 正确．对于D ，f (x )的最小正周期为2π，g (x )的最小正周期为π，D 不正确．故选C.7．(2014·高考江苏卷)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．解析：由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝cos π3，因为0≤φ<π，所以φ＝π6.答案：π68．(2015·山西省质量检测)已知f 1(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫32π＋x cos x ，f 2(x )＝sin x sin(π＋x )，若设f (x )＝f 1(x )－f 2(x )，则f (x )的单调递增区间是________．解析：由题知，f 1(x )＝－cos 2x ，f 2(x )＝－sin 2x ，f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，令2x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )．答案：⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z )9．已知角φ的终边经过点P (1，－1)，点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点．若|f (x 1)－f (x 2)|＝2时，|x 1－x 2|的最小值为π3，则f ⎝⎛⎭⎫π2＝________．解析：结合三角函数图象，可知函数的最小正周期为2π3，则ω＝3，因为角φ的终边经过点P (1，－1)，所以不妨取φ＝－π4，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin 5π4＝－22.答案：－2210．(2015·郑州市双基过关考试)已知函数f (x )＝sin(x －π)，g (x )＝cos(x ＋π)，有以下命题：①函数y ＝f (x )g (x )的最小正周期为π；②函数y ＝f (x )g (x )的最大值为2；③将函数y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象；④将函数y ＝f (x )的图象向左平移π2个单位后得到y ＝g (x )的图象．其中正确命题的序号是________．解析：因为f (x )＝sin(x －π)＝－sin x ，g (x )＝cos(x ＋π)＝－cos x ，所以y ＝f (x )g (x )＝(－sin x )(－cos x )＝12sin 2x ，所以函数y ＝f (x )g (x )的最小正周期为2π2＝π，最大值为12，故①对，②错；将函数y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位后得到y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos x 的图象，故③错；将函数y ＝f (x )的图象向左平移π2个单位后得到y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－cos x 的图象，故④对．答案：①④11．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝sin x －23·sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x －3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－ 3.12．设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．解：(1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＋a ，则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时f (x )单调递增，即k π－38π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )为f (x )的单调递增区间．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，π4≤2x ＋π4≤7π12，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1.所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2. 由2x ＋π4＝k π＋π2得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .13．(2014·高考湖北卷)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？解：(1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18.故在10时至18时实验室需要降温．14．已知定义在区间⎣⎡⎦⎤－π，3π2上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，当x ≥π4时，f (x )＝－sin x .(1)作出y ＝f (x )的图象；(2)求y ＝f (x )的解析式；(3)若关于x 的方程f (x )＝a 有解，将方程中的a 取一确定的值所得的所有解的和记为M a ，求M a 的所有可能的值及相应的a 的取值范围．解：(1)y ＝f (x )的图象如图所示．(2)任取x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π4，则π2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2，因函数y ＝f (x )图象关于直线x ＝π4对称，则f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，又当x ≥π4时，f (x )＝－sin x ，则f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝－cos x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，π4，－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2.(3)当a ＝－1时，f (x )＝a 的两根为0，π2，则M a ＝π2；当a ∈⎝⎛⎭⎫－1，－22时，f (x )＝a 的四根满足x 1<x 2<π4<x 3<x 4，由对称性得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 4＝π，则M a ＝π；当a ＝－22时，f (x )＝a 的三根满足x 1<x 2＝π4<x 3，由对称性得x 3＋x 1＝π2，则M a ＝3π4；当a ∈⎝⎛⎦⎤－22，1时，f (x )＝a 两根为x 1，x 2，由对称性得M a ＝π2.综上，当a ∈⎝⎛⎭⎫－1，－22时，M a ＝π；当a ＝－22时，M a ＝3π4；当a ∈⎝⎛⎦⎤－22，1∪{－1}时，M a ＝π2.。

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[A卷]1．如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是()解析：选D.先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D正确，故选D.2．下列命题中，错误的是()A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形解析：选B.根据棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．3．如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是()解析：选C.此几何体的侧视图是从左边往右看，故其侧视图应为C.4．(2014·高考陕西卷)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A．4πB．3πC．2πD．π解析：选C.由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.5．(2015·高考全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B.如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，所以(5π＋4)r 2＝16＋20π，所以r 2＝4，r ＝2，故选B.6．如图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选A.根据给定的三视图可知，该几何体对应的直观图是一个长方体和四棱锥的组合体，所以几何体的体积V ＝3×2×1＋13×3×2×x ＝10，解得x ＝2.故选A.7. 如图，水平放置的三棱柱的侧棱长为1，且侧棱AA 1⊥平面A 1B 1C 1，正视图是边长为1的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图面积为( )A ．2 3B ． 3 C.32D ．1解析：选C.由直观图、正视图以及俯视图可知，侧视图是宽为32，长为1的长方形，所以面积S ＝32×1＝32.故选C. 8．(2015·开封模拟)一平面截一球得到直径为2 5 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm ，则该球的体积是( )A ．12π cm 3B ．36π cm 3C ．646π cm 3D ．108π cm 3 解析：选B.因为球心和截面圆心的连线垂直于截面，由勾股定理得，球半径R ＝22＋（5）2＝3，故球的体积为43πR 3＝36π(cm 3)．9．(2015·石家庄市第一次模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．64B ．72C ．80D ．112解析：选B.由三视图可知该几何体是一个组合体，下面是一个棱长为4的正方体；上面是一个三棱锥，三棱锥的高为3.故所求体积为43＋13×12×4×4×3＝72.10．正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为 3，D 为BC 中点，则三棱锥AB 1DC 1的体积为( )A ．3B ．32C ．1D ．32解析：选C.由题意可知AD ⊥BC ，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面DB 1C 1，又AD＝2sin 60°＝3，所以V A B 1DC 1＝13AD ·S △B 1DC 1＝13×3×12×2×3＝1，故选C.11．(2015·武汉二模)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8，8解析：选B.由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83. 12．(2015·南昌市第一次模拟)如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P -BCD 的正视图与侧视图的面积之比为( )A ．1∶1B ．2∶1C ．2∶3D ．3∶2解析：选A.根据题意，三棱锥P -BCD 的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高，侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高，故三棱锥P -BCD 的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.13．已知某组合体的正视图与侧视图相同(其中AB ＝AC ，四边形BCDE 为矩形)，则该组合体的俯视图可以是________(把正确的图的序号都填上)．解析：几何体由四棱锥与四棱柱组成时，得①正确；几何体由四棱锥与圆柱组成时，得②正确；几何体由圆锥与圆柱组成时，得③正确；几何体由圆锥与四棱柱组成时，得④正确．答案：①②③④14．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长是10 cm ，则圆锥的母线长为________ cm.解析：作出圆锥的轴截面如图，设SA ＝y ，O ′A ′＝x ，利用平行线截线段成比例，得SA ′∶SA ＝O ′A ′∶OA ，则(y －10)∶y ＝x ∶4x ，解得y ＝403.所以圆锥的母线长为403cm.答案：40315．如图是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知，该几何体是棱长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球，所以长方体的体积为2×2×1＝4，半球的体积为12×43π×13＝2π3，所以该几何体的体积是4－2π3. 答案：4－2π316.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1EDF 的体积为________．解析：因为B 1C ∥平面ADD 1A 1，所以F 到平面ADD 1A 1的距离d 为定值1，△D 1DE 的面积为12D 1D ·AD ＝12，所以V D 1EDF ＝V F D 1DE ＝13S △D 1DE ·d ＝13×12×1＝16.答案：16[B 卷]1．一个锥体的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )解析：选C.根据三视图中“正俯长一样，侧俯宽一样，正侧高一样”的规律，C 选项的侧视图宽为32，不符合题意，故选C. 2．(2015·邢台市摸底考试)已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为1的正方形，如图所示，则该几何体的体积为( )A.16 B ．13C.23 D ．56解析：选D.依题意得，题中的几何体是从棱长为1的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中截去三棱锥A ′ABD 后剩余的部分，因此该几何体的体积等于13－13×⎝⎛⎭⎫12×12×1＝56，选D. 3．如图甲所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由底面半径为1 cm 和半径为3 cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图乙水平放置时，液面高度为20 cm ，当这个几何体如图丙水平放置时，液面高度为28 cm ，则这个简单几何体的总高度为( )A ．29 cmB ．30 cmC ．32 cmD ．48 cm解析：选A.设这个简单几何体的总高度为h ，图乙简单几何体上面没有充满水的高度为x ，图丙简单几何体上面没有充满水的高度为y ，则⎩⎪⎨⎪⎧πx ＝9πy ，x ＋20＝y ＋28⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1，所以h ＝29.4．(2014·高考湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r ＝12×(6＋8－10)＝2.因此选B.5．(2015·高考山东卷)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3 B ．4π3 C.5π3D ．2π 解析：选C.过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C. 6．(2015·芜湖市质量监测)已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)可得这个几何体的体积是( )A.43cm 3 B ．83cm 3C ．3 cm 3D ．4 cm 3解析：选B.由三视图可知该几何体是一个底面为正方形(边长为2)、高为2的四棱锥，如图所示．由四棱锥的体积公式知所求几何体的体积V ＝83cm 3.7．(2015·郑州市第一次质量预测)某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为( )A ．32B ．327C ．64D ．647解析：选C.依题意，题中的几何体是三棱锥P -ABC (如图所示)，其中底面ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ，P A ⊥平面ABC ， BC ＝27，P A 2＋y 2＝102，(27)2＋P A 2＝x 2，因此xy ＝x 102－[x 2－（27）2]＝x128－x 2≤x 2＋（128－x 2）2＝64，当且仅当x 2＝128－x 2，即x ＝8时取等号，因此xy 的最大值是64，选C.8．(2015·山西省第三次四校联考)在半径为10的球面上有A ，B ，C 三点，如果AB ＝83，∠ACB ＝60°，则球心O 到平面ABC 的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选C.设A ，B ，C 三点所在圆的半径为r ，圆心为P .因为∠ACB ＝60°，所以∠APB ＝120°.在等腰三角形ABP 中，AP ＝43sin 60°＝8，所以r ＝8，所以球心O 到平面ABC 的距离为102－82＝6，故选C. 9．(2015·山西省考前质量检测)某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为( )A.152 B ．6＋ 3 C.32＋3 3 D ．4 3解析：选A.侧视图由一个矩形和一个等腰三角形构成，矩形的长为3，宽为2，面积为3×2＝6.等腰三角形的底边为3，高为3，其面积为12×3×3＝32，所以侧视图的面积为6＋32＝152，故选A. 10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A ．5＋ 3B ．5＋2 3C ．4＋2 2D ．4＋2 3解析：选A.该几何体的直观图如图．表面积S ＝1×1＋12×1×1×2＋2×12×(1＋2)×1＋12×6×2＝5＋3，所以选A.11．(2015·洛阳市高三年级统考)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．200πB ．150πC ．100πD ．50π解析：选D.由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去一个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为5、4、3，所以其外接球半径R 满足2R ＝42＋32＋52＝52，所以该几何体的外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫5222＝50π，故选D.12．在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为侧棱PC 上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )A ．AD ⊥平面PBC ，且三棱锥D -ABC 的体积为83B ．BD ⊥平面P AC ，且三棱锥D -ABC 的体积为83C ．AD ⊥平面PBC ，且三棱锥D -ABC 的体积为163D ．BD ⊥平面P AC ，且三棱锥D -ABC 的体积为163解析：选C.由正视图可知，P A ＝AC ，且点D 为线段PC 的中点，所以AD ⊥PC .由侧视图可知，BC ＝4.因为P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥BC .又因为BC ⊥AC ，且AC ∩P A ＝A ，所以BC ⊥平面P AC ，所以BC ⊥AD .又因为AD ⊥PC ，且PC ∩BC ＝C ，所以可得AD ⊥平面PBC ，V D ABC ＝13×⎝⎛⎭⎫12P A ×S △ABC ＝163. 13. 如图，三棱锥V -ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为________．解析：设三棱锥V -ABC 的底面边长为a ，侧面VAC 边AC 上的高为h ，则ah ＝43，其侧视图是由底面三角形ABC 边AC 上的高与侧面三角形VAC 边AC 上的高组成的直角三角形，其面积为12×32×43＝33.答案：3314．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．解析：设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，则r 1r 2＝32.由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2，则h 1h 2＝23，所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝32. 答案：3215．(2015·洛阳市统考)已知点A ，B ，C ，D 均在球O 上，AB ＝BC ＝6，AC ＝23，若三棱锥D -ABC 体积的最大值为3，则球O 的表面积为________．解析：由题意可得，∠ABC ＝π2，△ABC 的外接圆半径r ＝3，当三棱锥的体积最大时，V D ABC ＝13S △ABC ·h (h 为D 到底面ABC 的距离)，即3＝13×12×6×6h ⇒h ＝3，即R ＋R 2－r 2＝3(R 为外接球半径)，解得R ＝2，所以球O 的表面积为4π×22＝16π.答案：16π16．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：作出三视图所对应的几何体(如图)，底面ABCD 是边长为2的正方形，SD ⊥平面ABCD ，EC ⊥平面ABCD ，SD ＝2，EC ＝1，连接SC ，则该几何体的体积为V ＝V S ABCD ＋V S BCE ＝13×4×2＋13×12×2×1×2＝103. 答案：103。

优化方案高考数学(新课标全国卷Ⅰ·文科)二轮复习优化方案二轮第一部分专题一第1讲专题强化精练提能

[A 卷]1．(2015·高考浙江卷改编)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥3}，Q ＝{x |2<x <4}，则P ∩Q ＝________．解析：P ＝{x |x 2－2x ≥3}＝{x |(x －3)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－1}，所以P ∩Q ＝{x |x ≥3或x ≤－1}∩{x |2＜x ＜4}＝{x |3≤x ＜4}，即P ∩Q ＝[3，4)．答案：[3，4)2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是____________．答案：任意一个无理数，它的平方不是有理数3．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________________．解析：命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以应填“若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3”．答案：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 4．(2015·无锡模拟)下列命题中真命题的序号是________．①∃x ∈R ，x ＋1x＝2；②∃x ∈R ，sin x ＝－1；③∀x ∈R ，x 2>0；④∀x ∈R ，2x >0解析：对于①x ＝1成立，对于②x ＝3π2成立，对于③x ＝0时显然不成立，对于④，根据指数函数性质显然成立．答案：①②④5．已知集合A ＝{z ∈C |z ＝1－2a i ，a ∈R }，B ＝{z ∈C ||z |＝2}，则A ∩B ＝________．解析：A ∩B 中的元素同时具有A ，B 的特征，问题等价于|1－2a i|＝2，a ∈R ，解得a ＝±32.故A ∩B ＝{1＋3i ，1－3i}．答案：{1＋3i ，1－3i}6．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，实数a 的取值范围是________．解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，⎩⎨⎧a <0Δ＝4a 2＋12a ≤0.得－3≤a <0；所以－3≤a ≤0. 答案：－3≤a ≤0 7．(2015·南京调研)设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：因为A ＝{x |y ＝f (x )}＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}＝(－1，1)，∁R A ＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)，则u ＝1－x 2∈(0，1]，所以B ＝{y |y ＝f (x )}＝{y |y ≤0}＝(－∞，0]，∁R B ＝(0，＋∞)，所以题图阴影部分表示的集合为(A ∩∁R B )∪(B ∩∁R A )＝(0，1)∪(－∞，－1]．答案：(0，1)∪(－∞，－1]8．已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎝⎛⎭⎫12x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩(∁R B )＝________．解析：A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，所以A ∩(∁R B )＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2}＝{x |0≤x <2或x >4}．答案：{x |0≤x <2或x >4}9．若∃θ∈R ，使sin θ≥1成立，则cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6的值为________．解析：由题意得sin θ－1≥0.又－1≤sin θ≤1，所以sin θ＝1.所以θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．故cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12.答案：1210．(2015·宿迁模拟)l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线；q ：l 1，l 2不相交，则p 是q 的________条件．解析：由l 1，l 2是异面直线，可得l 1，l 2不相交，所以p ⇒q ；由l 1，l 2不相交，可得l 1，l 2是异面直线或l 1∥l 2，所以q ⇒/p .所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件．答案：充分不必要11．给出以下三个命题：①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________．(填序号)解析：在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝sin B ⇔a ＝b ⇔A ＝B .故填②. 答案： ② 12．(2015·南京模拟)下列说法正确的序号是________．①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”； ②“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件； ③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题；④命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＜0”解析：命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以①不正确．由x ＝－1，能够得到x 2－5x －6＝0，反之，由x 2－5x －6＝0，得到x ＝－1或x ＝6，所以“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，所以②不正确．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，所以其逆否命题也为真命题，所以③正确．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，所以④不正确．答案：③ 13．若命题“∀x ∈[－1，1]，1＋2x ＋a ·4x <0”是假命题，则实数a 的最小值为 __________．解析：变形得a <－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋14x ＝－⎝⎛⎭⎫12x ＋122＋14，令t ＝12x ，则a <－⎝⎛⎭⎫t ＋122＋14，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，所以f (t )＝－⎝⎛⎭⎫t ＋122＋14在⎣⎡⎦⎤12，2上是减函数，所以[f (t )]min ＝f (2)＝－⎝⎛⎭⎫2＋122＋14＝－6，又因为该命题为假命题．所以a ≥－6，故实数a 的最小值为－6. 答案：－614．(2015·高考福建卷改编)“对任意x ∈(0，π2)，k sin x cos x ＜x ”是“k ＜1”的________条件．解析：令f (t )＝sin t －t ，则f ′(t )＝cos t －1≤0恒成立，所以f (t )＝sin t －t 在[0，π]上是减函数，f (t )≤f (0)＝0，所以sin t <t (0<t <π)．令t ＝2x ，则sin 2x ＜2x (0<x <π2)，所以2sin x cos x <2x ，所以sin x cos x <x .当k <1时，k sin x cos x <x ，故必要性成立；当x ＝π3时，k sin 2x <2x 可化为k <2×π3sin2π3＝43π9，而43π9>43，取k ＝43，不等式成立，但此时k >1，故充分性不成立．答案：必要而不充分[B 卷]1．命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为__________．答案：若a ≤b ，则2a ≤2b －12．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是__________________．答案：存在一个能被2整除的数不是偶数3．满足条件{1}⊆M ⊆{1，2，3}的集合M 的个数是________．解析：满足条件{1}⊆M ⊆{1，2，3}的集合M 有{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，共4个．答案：44．若a 、b 为实数，则 “0<ab <1”是“b <1a”的________条件．解析：0<ab <1，a 、b 都是负数时，不能推出b <1a；同理b <1a也不能推出0<ab <1.答案：既不充分也不必要 5．满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}，且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是________．解析：由M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}可知a 1∈M ，a 2∈M ，a 3∉M ，则M 有{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 4}两个．答案：26．下列命题中，真命题是__________________．(填序号) ① ∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数； ② ∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数； ③ ∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数； ④ ∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数．解析：当m ＝0时，函数f (x )＝x 2(x ∈R )是偶函数，①是对的．此外，∀m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都不是奇函数，因此排除②，④.若m ＝1，则函数f (x )＝x 2＋x (x ∈R )既不是奇函数也不是偶函数，因此排除③.答案：①7．期中考试，某班数学优秀率为70%，语文优秀率为75%，则上述两门学科都优秀的百分率至少为________．解析：根据韦恩图可知70%＋75%－1＝45%. 答案：45%8．已知命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增；命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若P ∨Q 是真命题，实数a 的取值范围为______．解析：因为命题P ：函数y ＝log a (1－2x )在定义域上单调递增，所以0<a <1. 又命题Q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立，所以a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）<0，即－2<a ≤2.因为P ∨Q 是真命题，所以a 的取值范围是－2<a ≤2.答案：－2<a ≤29．(2015·扬州模拟)已知a 、b ∈R ，集合A ＝{a ，a ＋b ，1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b ，b a ，0，且A ⊆B ，B ⊆A ，则a －b 的值为______．解析：因为A ⊆B ，B ⊆A ，所以A ＝B .因为a ≠0，所以a ＋b ＝0，即a ＝－b ，所以ba＝－1，所以b ＝1，a ＝－1，所以a －b ＝－2. 答案：－210．函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：① 函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；② 指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；③ 若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④ 在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中真命题是________．(填序号)解析：对于①，若f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＝±x 2，不合题意；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．答案：②③④11．已知集合A ＝{y |y ＝－2x ，x ∈[2，3]}，B ＝{x |x 2＋3x －a 2－3a >0}．若A ⊆B ，则实数a 的取值范围为____________________________________．解析：由题意有A ＝[－8，－4]，B ＝{x |(x －a )(x ＋a ＋3)>0}．① 当a ＝－32时，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ，x ≠－32，所以A ⊆B 恒成立；② 当a <－32时，B ＝{x |x <a 或x >－a －3}．因为A ⊆B ，所以a >－4或－a －3<－8，解得a >－4或a >5(舍去)，所以－4<a <－32；③ 当a >－32时，B ＝{x |x <－a －3或x >a }．因为A ⊆B ，所以－a －3>－4或a <－8(舍去)，解得－32<a <1.综上，当A ⊆B 时，实数a 的取值范围是(－4，1)．答案：(－4，1) 12．（2015·常州模拟）A 、B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }．若A＝{x |y ＝x 2－3x }，B ＝{y |y ＝3x }，则A ×B ＝________．解析：A ＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B ＝(0，＋∞)．A ∪B ＝R ，A ∩B ＝[3，＋∞)．所以A ×B ＝(－∞，3)．答案：(－∞，3)13．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 011∈[1]； ②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a 、b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中正确结论的序号是________．答案：①③④14．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|m 2≤（x －2）2＋y 2≤m 2，x 、y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m＋1，x 、y ∈R }．若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．解析：若m ＜0，则符合题意的条件是：直线x ＋y ＝2m ＋1与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，则|2－2m －1|2≤|m |，解得2－22≤m ≤2＋22，与m <0矛盾；若m ＝0，则符合题意的条件应是点(2，0)在区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x ＋y ≤1内，显然矛盾．若m >0，则当m 2≤m 2，即m ≥12时，集合A 表示一个环形区域，且大圆半径不小于12，即直径不小于1，集合B 表示一个带形区域，且两直线间距离为22，所以当直线x ＋y ＝2m 与x ＋y ＝2m ＋1中至少有一条与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，即可符合题意，即有|2－2m |2≤|m |或|2－2m －1|2≤|m |，解得2－22≤m ≤2＋ 2.因为12＞2－22，所以综上所述，实数m 的取值范围是12≤m ≤2＋ 2. 答案：⎣⎡⎦⎤12，2＋2。

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1．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(4，2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )A.3 B ．± 3C ．±9D ．9解析：选D.由幂函数f (x )＝x α过点(4，2)可得4α＝22α＝2，所以α＝12，所以f (x )＝x 12＝x ，故f (m )＝m ＝3⇒m ＝9.2．已知f (x )＝a x 和g (x )＝b x 是指数函数，则“f (2)>g (2)”是“a >b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由已知可得a ，b >0且a ，b ≠1，充分性：f (2)＝a 2，g (2)＝b 2，由f (2)>g (2)知，a 2>b 2，再结合y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，可知a >b ，故充分性成立；必要性：由题可知a >b >0，构造h (x )＝f （x ）g （x ）＝a x bx ＝⎝⎛⎭⎫a b x ，显然a b >1，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增，故h (2)＝a 2b2>h (0)＝1，所以a 2>b 2，故必要性成立．故选C. 3．(2015·河北省五校联盟质量监测)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选C.因为c ＝5－12＝15<12，a ＝log 32＝ln 2ln 3<ln 2＝b ，a ＝log 32>log 33＝12，所以c <a <b ，故选C.4．(2015·郑州模拟)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米，那么，此人( ) A ．可在7秒内追上汽车B ．可在9秒内追上汽车C ．不能追上汽车，但期间最近距离为14米D ．不能追上汽车，但期间最近距离为7米解析：选D.车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7.当t ＝6时，d 取得最小值为7.故选D.5．函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x的图象交点的横坐标所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4)解析：选B.令f (x )＝ln(x ＋1)－1x ，因为f (2)＝ln 3－12>0，f (1)＝ln 2－1<0，又函数f (x )在(1，2)上的图象是一条连续不断的曲线，所以函数f (x )在区间(1，2)内有零点，此零点即函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x的图象交点的横坐标． 6．(2015·邢台市摸底考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－21－x ，x ≥1，x 3－3x ＋2，x <1，则方程2f (x )＝1的根的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.依题意，由2f (x )＝1得f (x )＝12.当x ≥1时，f (x )＝1－21－x ＝12，解得x ＝2；当x <1时，f (x )＝x 3－3x ＋2＝12，x 3－3x ＋32＝0.记g (x )＝x 3－3x ＋32，则g ′(x )＝3x 2－3，当x <－1时，g ′(x )>0，当－1<x <1时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，－1)上是增函数，在区间(－1，1)上是减函数，且g (－1)＝72，g (1)＝－12，因此g (x )在区间(－∞，1)上有2个零点．故方程2f (x )＝1的根的个数为3，选C.7．(2014·高考安徽卷)⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________．解析：⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝⎝⎛⎭⎫23－3＋log 31＝278＋0＝278. 答案：2788．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为________．解析：函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g (x )＝f (x )－e x 有2个零点．答案：29．已知函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝ln x －x －a 的零点即关于x 的方程ln x －x －a ＝0的实根，将方程化为ln x ＝x ＋a ，令y 1＝ln x ，y 2＝x ＋a ，由导数知识可知当两曲线相切时有a ＝－1.若函数f (x )＝ln x －x －a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)10.如图，线段EF 的长度为1，端点E ，F 在边长不小于1的正方形ABCD 的四边上滑动，当E ，F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 的周长为l ，其围成的面积为S ，则l －S 的最大值为________．解析：设正方形的边长为a (a ≥1)，当E ，F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 的轨迹如图，是由半径均为12的四段圆弧与长度均为a －1的四条线段围成的封闭图形，周长l ＝π＋4(a －1)，面积S ＝a 2－π4，所以l －S ＝－a 2＋4a ＋5π4－4(a ≥1)，由二次函数的知识得，当a ＝2时，l －S 取得最大值5π4.答案：5π4 11．已知函数y ＝lg(－x 2＋x ＋2)的定义域为A ，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)(x ∈A )的值域为B .(1)若a ＝2，求A ∪B ；(2)若A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫12，2，求a 的值．解：(1)依题意知A ＝{x |－x 2＋x ＋2>0}，即A ＝(－1，2)．若a ＝2，则y ＝a x ＝2x ∈⎝⎛⎭⎫12，4，即B ＝⎝⎛⎭⎫12，4，所以A ∪B ＝(－1，4)． (2)由A ＝(－1，2)，知①当a >1时，B ＝⎝⎛⎭⎫1a ，a 2，若A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫12，2，则必有⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝12，a 2≥2，所以a ＝2； ②当0<a <1时，B ＝⎝⎛⎭⎫a 2，1a ，若A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫12，2，则必有a 2＝12，即a ＝22，此时B ＝⎝⎛⎭⎫12，2，A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫12，2，不符合题意，故a ＝22舍去．综上可知a ＝2.12．(2015·铜陵模拟)已知f (x )＝|2x －1|＋ax －5(a 是常数，a ∈R )．(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)如果函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎨⎧3x －6，x ≥12，－x －4，x <12. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x －6≥0，解得x ≥2；由⎩⎪⎨⎪⎧x <12，－x －4≥0，解得x ≤－4. 所以f (x )≥0的解集为{x |x ≥2或x ≤－4}．(2)由f (x )＝0，得|2x －1|＝－ax ＋5.作出y ＝|2x －1|和y ＝－ax ＋5的图象，观察可以知道，当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y ＝f (x )有两个不同的零点．故a 的取值范围是(－2，2)．13．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？解：(1)当0<x ≤100时，p ＝60；当100<x ≤600时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x .所以p ＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0<x ≤100，62－0.02x ，100<x ≤600.(2)设利润为y 元，则当0<x ≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ；当100<x ≤600时，y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ，0<x ≤100，22x －0.02x 2，100<x ≤600.当0<x ≤100时，y ＝20x 是单调递增函数，当x ＝100时，y 最大，此时y max ＝20×100＝2 000；当100<x ≤600时，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6 050，所以当x ＝550时，y 最大，此时y max ＝6 050.显然6 050>2 000.所以当一次订购550件时，该厂获得利润最大，最大利润为6 050元．14．(2015·合肥模拟)已知函数f (x )＝e x －m －x ，其中m 为常数．(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，求m 的取值范围；(2)当m >1时，判断f (x )在[0，2m ]上零点的个数，并说明理由．解：(1)f ′(x )＝e x －m －1，令f ′(x )＝0，得x ＝m .故当x ∈(－∞，m )时，e x －m <1，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，e x －m >1，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以当x ＝m 时，f (m )为极小值，也是最小值．令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1，即若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，则m 的取值范围是(－∞，1]．(2)由(1)知f (x )在[0，2m ]上至多有两个零点，当m >1时，f (m )＝1－m <0.因为f (0)＝e －m >0，f (0)f (m )<0，所以f (x )在(0，m )上有一个零点．因为f (2m )＝e m －2m ，令g (m )＝e m －2m ，因为当m >1时，g ′(m )＝e m －2>0，所以g (m )在(1，＋∞)上单调递增，所以g (m )>g (1)＝e －2>0，即f (2m )>0.所以f (m )·f (2m )<0，所以f (x )在(m ，2m )上有一个零点．故f (x )在[0，2m ]上有两个零点．。