河北省石家庄市二十八中学2025届数学九上期末考试试题含解析

河北省石家庄市二十八中学2025届数学九上期末考试试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如果将抛物线2
32y x =+向右平移1个单位，那么所得新抛物线的顶点坐标是（ ）
A ．(1,2)--
B ．(1,2)-
C ．(1,2)
D ．(1,2)- 2．如图，在平面直角坐标系中，将OAB ∆绕着旋转中心顺时针旋转90︒，得到CD
E ∆，则旋转中心的坐标为（ ）
A ．()1,4
B ．()1,2
C ．()1,1
D ．()1,1- 3．下列计算正确的是（ ）
A 835=
B ．3333+=
C 2462=
D ．2(32)7= 4．若反比例函数y=
k x 图象经过点（5，-1），该函数图象在（ ） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限
5．已知一元二次方程22530x x -+=，则该方程根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．两个根都是自然数
D ．无实数根 6．已知O 的半径为5，点O 的坐标为()0,0，点P 的坐标为()3,4，则点P 与O 的位置关系是（ ）
A ．点P 在O 外
B ．点P 在O 上
C ．点P 在O 内
D ．不能确定
7．将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的（ ）
A ．16倍
B ．8倍
C ．4倍
D ．2倍
9．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，对角线AC 、BD 交于点O 有以下四个结论其中始终正确的有（ ）
①AOB COD ∆∆∽； ②AOD ACB ∆∆∽；③::DOC AOD S S DC AB ∆∆=； ④AOD BOC S S ∆∆=
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．已知33,33a b =+=-，则22a ab b -+的值是（ ）
A ．32
B ．33
C ．32±
D ．18
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．观察下列各数：0，3，8，15，24，……按此规律写出的第10个数是______，第n 个数是______．
12．如图，已知直线y ＝﹣x +2分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与双曲线y ＝
k x
交于E ，F 两点，若AB ＝2EF ，则k 的值是_____．
13．如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺△ABC 的两个顶点A 、B 分别在OX ，OY 上移动，其中AB=10，那么点O 到顶点A 的距离的最大值为_____．
14．抛物线2y (x 1)3=-++与y 轴交点坐标为______.
15．如图，⊙O 与矩形ABCD 的边AB 、CD 分别相交于点E 、F 、G 、H ，若AE+CH=6，则BG+DF 为_________．
16．（2016辽宁省沈阳市）如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°
，AB =AC ，BC =20，DE 是△ABC 的中位线，点M 是边BC 上一点，BM =3，点N 是线段MC 上的一个动点，连接DN ，ME ，DN 与ME 相交于点O ．若△OMN 是直角三角形，则DO 的长是______．
17．现有5张正面分别标有数字0，1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使得关于x 的一元二次方程2220x x a -+-=有实数根，且关于x 的分式方程11222ax x x
-+=--有整数解的概率为 ． 18．为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，每盒价格由原来的60元降至48.6元．若平均每次降价的百分率是x ，则关于x 的方程是________ ．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，∠ABC ＝60°．点P 是边BC 上一动点，作△PAB 的外接圆⊙O 交BD 于E ．
（1）如图1，当PB ＝3时，求PA 的长以及⊙O 的半径；
（2）如图2，当∠APB ＝2∠PBE 时，求证：AE 平分∠PAD ；
（3）当AE 与△ABD 的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O 的半径．
20．（6分）如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE BC ∥，EF AB ∥，:1:3AD AB =.
（1）当5DE =时，求FC 的长；
（2）设AD a =，CF b =，那么FE =__________，EA =__________（用向量a ，b 表示）
21．（6分）如图，已知ABO ∆，点A 、B 坐标分别为(2,4)-、(2,1)-．
（1）把ABO ∆绕原点O 顺时针旋转90︒得11A B O ∆，画出旋转后的11A B O ∆；
（2）在（1）的条件下，求点A 旋转到点1A 经过的路径的长．
22．（8分）某苗圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆植人3株时，平均每株盈利3元．在同样的栽培条件下，若每盆增加1株，平均每株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利为10元，且每盆植入株数尽可能少，每盆应植入多少株？
23．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线243y ax ax a =-+．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)当0a >时，设抛物线与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 左侧)，顶点为C ，若ABC ∆为等边三角形，求a 的值；
(3)过(0,)T t (其中12t -≤≤)且垂直y 轴的直线l 与抛物线交于,M N 两点．若对于满足条件的任意t 值，线段MN 的长都不小于1，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．
24．（8分）在平面直角坐标系中，已知5AO AB ==，(6,0)B .
（1）如图1，求sin AOB ∠的值.
（2）把OAB ∆绕着点B 顺时针旋转，点O 、A 旋转后对应的点分别为M 、N .
①当M 恰好落在BA 的延长线上时，如图2，求出点M 、N 的坐标.
②若点C 是OB 的中点，点P 是线段MN 上的动点，如图3，在旋转过程中，请直接写出线段CP 长的取值范围.
25．（10分）如图，△ABC 中，AC =BC ，CD ⊥AB 于点D ，四边形DBCE 是平行四边形.
求证：四边形ADCE 是矩形.
26．（10分）如图，已知10AB =，以AB 为直径作半圆O ，半径OA 绕点O 顺时针旋转得到OC ，点A 的对应点为C ，当点C 与点B 重合时停止．连接BC 并延长到点D ，使得CD BC =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AD ，AC ． （1）AD =______；
（2）如图，当点E 与点O 重合时，判断ABD ∆的形状，并说明理由；
OE 时，求BC的长；
（3）如图，当1
（4）如图，若点P是线段AD上一点，连接PC，当PC与半圆O相切时，直接写出直线PC与AD的位置关系．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据抛物线的平移规律得出平移后的抛物线的解析式，即可得出答案．
【详解】解：由将抛物线y=3x2+2向右平移1个单位，得
y=3（x-1）2+2，
顶点坐标为（1，2），
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
2、C
【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上，由图形可知，线段OC 与BE 的垂直平分线的交点即为所求．
【详解】∵OAB ∆绕旋转中心顺时针旋转90°后得到CDE ∆，
∴O 、B 的对应点分别是C 、E ，
又∵线段OC 的垂直平分线为y=1，
线段BE 是边长为2的正方形的对角线，其垂直平分线是另一条对角线所在的直线，
由图形可知，线段OC 与BE 的垂直平分线的交点为（1，1）．
故选C ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质及垂直平分线的判定．
3、C
【分析】根据二次根式的加减法对A 、B 进行判断；根据二次根式的除法法则对C 进行判断；根据完全平方公式对D 进行判断．
【详解】A 、原式＝A 选项错误；
B 、3B 选项错误；
C ＝2，所以C 选项正确；
D 、原式＝＝D 选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4、D
【解析】∵反比例函数y=k x
的图象经过点（5，-1）， ∴k=5×（-1）=-5＜0，
∴该函数图象在第二、四象限．
故选D ．
5、A
【详解】解:∵a=2，b=-5，c=3，
∴△=b2-4ac=（-5）2-4×2×3=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A．
【点睛】
本题考查根的判别式，熟记公式正确计算是解题关键，难度不大．
6、B
【分析】根据题意先由勾股定理求得点P到圆心O的距离，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，来判断出点P 与⊙O的位置关系．
0,0，
【详解】解：∵点P的坐标为（3，4），点O的坐标为()
∴由勾股定理得，点P到圆心O的距离= 22
+=，
345
∴点P在⊙O上.
故选：B．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系，根据题意求出点到圆心的距离是解决本题的关键．
7、B
【分析】根据简单概率的计算公式即可得解.
【详解】一共四个小球，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球一共有12中可能，其中能组成孔孟的有2种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是.
故选B.
考点：简单概率计算.
8、A
【分析】根据正方形的面积公式：s=a2，和积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，由此解答．
【详解】解：根据正方形面积的计算方法和积的变化规律，如果一个正方形的边长扩大为原来的4倍，那么正方形的面积是原来正方形面积的4×4=16倍．
故选A．
【点睛】
此题考查相似图形问题，解答此题主要根据正方形的面积的计算方法和积的变化规律解决问题．
9、C
【分析】根据相似三角形的判定定理、三角形的面积公式判断即可．
【详解】解：∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD，①正确；
∵∠ADO 不一定等于∠BCO，∴△AOD 与△ACB 不一定相似，②错误；
∴:::DOC AOD S S CO AO DC AB ∆∆==，③正确；
∵△ABD 与△ABC 等高同底，
∴ABD ABC S S ∆∆=，
∵ABD AOB ABC AOB S S S S ∆∆∆∆-=-，
∴AOD BOC S S ∆∆=，④正确；
故选C.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
10、A
【解析】先把二次根式化简变形，然后把a 、b 的值代入计算，即可求出答案. 【详解】解：∵33,33a b == 222()a ab b a b ab -+=-+ 2(3333)(33)(33)+-+++-1293+- =32
故选：A.
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式进行化简.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、99 21n -
【分析】由题意可知已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1，进而进行分析即可求解.
【详解】解：给出的数：0，3，8，15，24，……
序列号：1，2，3，4，5，……
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1.
因此，第10个数是210199-=，第n 个数是21n -.
故第n 个数是21n -，第10个数是210199-=.
故答案为：99，21n -.
【点睛】
本题考查探索规律的问题，解决此类问题要从数字中间找出一般规律（符号或数），进一步去运用规律进行解答．
12、34
． 【分析】作FH ⊥x 轴，EC ⊥y 轴，FH 与EC 交于D ，先利用一次函数图像上的点的坐标特征得到A 点（2，0），B 点
（0，2），易得△AOB 为等腰直角三角形，则AB ＝，所以，EF ＝
12AB ，且△DEF 为等腰直角三角形，则
FD ＝DE ＝2
EF ＝1，设F 点坐标是：（t ，﹣t +2），E 点坐标为（t +1，﹣t +1），根据反比例函数图象上的点的坐标特征得到t （﹣t +2）＝（t +1）•（﹣t +1），解得t ＝12，则E 点坐标为（32，12
），继而可求得k 的值． 【详解】如图，作FH ⊥x 轴，EC ⊥y 轴，FH 与EC 交于D ，
由直线y ＝﹣x +2可知A 点坐标为（2，0），B 点坐标为（0，2），OA ＝OB ＝2，
∴△AOB 为等腰直角三角形，
∴AB ＝，
∴EF ＝12
AB ＝， ∴△DEF 为等腰直角三角形，
∴FD ＝DE ＝2
EF ＝1， 设F 点横坐标为t ，代入y ＝﹣x +2，则纵坐标是﹣t +2，则F 的坐标是：（t ，﹣t +2），E 点坐标为（t +1，﹣t +1）， ∴t （﹣t +2）＝（t +1）•（﹣t +1），解得t ＝
12， ∴E 点坐标为（32，12
）， ∴k ＝32×12＝34
． 故答案为34．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数k y x =
（k 为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ,即xy ＝k ．
13、2
【分析】
当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离的最大，则△ABC 是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】 解：∵sin 45sin AB AO ABO
=∠ ∴当∠ABO=90°时，点O 到顶点A 的距离最大．
则22．
故答案是：2．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，正确确定点O 到顶点A 的距离的最大的条件是解题关键．
14、()0,2
【分析】令x=0，求出y 的值即可．
【详解】解：∵当x=0，则y=-1+3=2，
∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，2）．
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，熟知y 轴上点的特点，即y 轴上的点的横坐标为0是解答此题的关键．
15、6
【分析】作EM ⊥BC ，HN ⊥AD ，易证得EG FH =，继而证得Rt EMG Rt HNF ≅，利用等量代换即可求得答案.
【详解】过E 作EM ⊥BC 于M ，过H 作HN ⊥AD 于N ，如图，
∵四边形ABCD 为矩形，
∴AD ∥BC ，
∴EG FH =，
∴EG FH =，
∵四边形ABCD 为矩形，且EM ⊥BC ，HN ⊥AD ，
∴四边形ABME 、EMHN 、NHCD 均为矩形，
∴ME NH =，AE=BM ，EN=MH ，ND=HC ，
在Rt EMG 和Rt HNF 中
ME NH EG FH
=⎧⎨=⎩， ∴Rt EMG Rt HNF ≅(HL ) ，
∴MG NF =，
∴6BG FD BM MG FD BM NF FD BM ND AE CH +=++=++=+=+=，
故答案为：6
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质、直角三角形的判定和性质、平行弦所夹的弧相等、等弧对等弦等知识，灵活运用等量代换是解题的关键.
16、256或5013
． 【解析】由图可知，在△OMN 中，∠OMN 的度数是一个定值，且∠OMN 不为直角. 故当∠ONM =90°或∠MON =90°时，△OMN 是直角三角形. 因此，本题需要按以下两种情况分别求解.
(1) 当∠ONM =90°时，则DN ⊥BC .
过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F .(如图)
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，
∵BC=20，
∴在Rt△ABC中，
2
cos cos4520102
2
AC BC C BC
=⋅=⋅︒=⨯=，
∵DE是△ABC的中位线，
∴
11
10252
22
CE AC
==⨯=，
∴在Rt△CFE中，
2
sin sin45525
2
EF CE C BC
=⋅=⋅︒=⨯=，5
FC EF
==.
∵BM=3，BC=20，FC=5，
∴MF=BC-BM-FC=20-3-5=12. ∵EF=5，MF=12，
∴在Rt△MFE中，
5 tan
12
EF
EMF
MF
∠==，
∵DE是△ABC的中位线，BC=20，
∴
11
2010
22
DE BC
==⨯=，DE∥BC，
∴∠DEM=∠EMF，即∠DEO=∠EMF，
∴
5 tan tan
12
DEO EMF
∠=∠=，
∴在Rt△ODE中，
525
tan10
126 DO DE DEO
=⋅∠=⨯=.
(2) 当∠MON=90°时，则DN⊥ME.
过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)
∵EF=5，MF=12，
∴在Rt△MFE中，2222
12513
ME MF EF
+=+=，
∴在Rt△MFE中，
5 sin
13
EF
EMF
ME
∠==，
∵∠DEO=∠EMF，
∴
5 sin sin
13
DEO EMF
∠=∠=，
∵DE=10，
∴在Rt△DOE中，
550
sin10
1313 DO DE DEO
=⋅∠=⨯=.
综上所述，DO的长是25
6
或
50
13
.
故本题应填写：25
6
或
50
13
.
点睛：
在解决本题的过程中，难点在于对直角三角形中直角的分类讨论；关键点是通过等角代换将一个在原直角三角形中不易求得的三角函数值转换到一个容易求解的直角三角形中进行求解. 另外，本题也可以用相似三角形的方法进行求解，不过利用锐角三角函数相对简便.
17、2 5
【详解】首先根据一元二次方程有实数解可得：4－4(a－2)≥0
可得：a≤3，
则符合条件的a有0,1,2,3四个；
解分式方程可得：x=
2
2a -
，
∵x≠2，则a≠1，a≠2，
综上所述，则满足条件的a为0和3，
则P=2 5 .
考点：(1)、概率；(2)、分式方程的解.
18、10（1﹣x）2=48.1．
【解析】试题分析：本题可先列出第一次降价后药品每盒价格的代数式，再根据第一次的价格列出第二次降价的售价的代数式，然后令它等于48.1即可列出方程．
解：第一次降价后每盒价格为10（1﹣x），
则第二次降价后每盒价格为10（1﹣x）（1﹣x）=10（1﹣x）2=48.1，
即10（1﹣x）2=48.1．
故答案为10（1﹣x）2=48.1．
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
三、解答题(共66分)
19、（1）PA O （2）见解析；（3）⊙O 的半径为2 【分析】（1）过点A 作BP 的垂线，作直径AM ，先在Rt △ABH 中求出BH ，AH 的长，再在Rt △AHP 中用勾股定理求出AP 的长，在Rt △AMP 中通过锐角三角函数求出直径AM 的长，即求出半径的值；
（2）证∠APB ＝∠PAD ＝2∠PAE ，即可推出结论；
（3）分三种情况：当AE ⊥BD 时，AB 是⊙O 的直径，可直接求出半径；当AE ⊥AD 时，连接OB ，OE ，延长AE 交BC 于F ，通过证△BFE ∽△DAE ，求出BE 的长，再证△OBE 是等边三角形，即得到半径的值；当AE ⊥AB 时，过点D 作BC 的垂线，通过证△BPE ∽△BND ，求出PE ，AE 的长，再利用勾股定理求出直径BE 的长，即可得到半径的值．
【详解】（1）如图1，过点A 作BP 的垂线，垂足为H ，作直径AM ，连接MP ，
在Rt △ABH 中，∠ABH ＝60°，
∴∠BAH ＝30°，
∴BH ＝12
AB ＝2，AH ＝AB •sin60°＝ ∴HP ＝BP ﹣BH ＝1，
∴在Rt △AHP 中，
AP
∵AB 是直径，
∴∠APM ＝90°，
在Rt △AMP 中，∠M ＝∠ABP ＝60°，
∴AM ＝AP sin 60︒，
∴⊙O ，
即PA 的长为O 的半径为
； （2）当∠APB ＝2∠PBE 时，
∵∠PBE ＝∠PAE ，
∴∠APB ＝2∠PAE ，
在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，
∴∠APB ＝∠PAD ，
∴∠PAD＝2∠PAE，
∴∠PAE＝∠DAE，
∴AE平分∠PAD；
（3）①如图3﹣1，当AE⊥BD时，∠AEB＝90°，∴AB是⊙O的直径，
∴r＝1
2
AB＝2；
②如图3﹣2，当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，∵AD∥BC，
∴AF⊥BC，△BFE∽△DAE，
∴BF
AD
＝
EF
AE
，
在Rt△ABF中，∠ABF＝60°，
∴AF＝AB•sin60°＝BF＝1
2
AB＝2，
∴2
8
，
∴EF＝
5
，
在Rt△BFE中，
BE，
∵∠BOE＝2∠BAE＝60°，OB＝OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴r＝
5
；
③当AE⊥AB时，∠BAE＝90°，
∴AE为⊙O的直径，
∴∠BPE＝90°，
如图3﹣3，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点N，延开PE交AD于点Q，在Rt△DCN中，∠DCN＝60°，DC＝4，
∴DN＝DC•sin60°＝，CN＝1
2
CD＝2，
∴PQ ＝DN ＝23， 设QE ＝x ，则PE ＝23﹣x ，
在Rt △AEQ 中，∠QAE ＝∠BAD ﹣BAE ＝30°，
∴AE ＝2QE ＝2x ，
∵PE ∥DN ，
∴△BPE ∽△BND ，
∴PE DN ＝BP BN
， ∴2323
x -＝BP 10， ∴BP ＝10﹣
533x ， 在Rt △ABE 与Rt △BPE 中，
AB 2+AE 2＝BP 2+PE 2，
∴16+4x 2＝（10﹣533
x ）2+（23﹣x ）2， 解得，x 1＝63（舍），x 2＝3，
∴AE ＝23，
∴BE ＝22AB AE +＝224(23)+＝27，
∴r ＝7，
∴⊙O 的半径为2或475
或7．
【点睛】
此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知圆的基本性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质.
20、（1）CF 10=；（2）2a -，12
b a - 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解即可．
（2）利用三角形法则求解即可．
【详解】（1）∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，
∴四边形DEFB 是平行四边形，
∴DE=BF=5，
∵AD ：AB=DE ：BC=1：3，
∴BC=15，
∴CF=BC-BF=15-5=1．
（2）∵AD ：AB=1：3，
∴22DB AD a == ，
∵EF=BD ，EF ∥BD ，
∴2FE DB a =-=- ，
∵CF=2DE ， ∴1122ED CF b == ，
∴12
EA ED DA b a =+=
- . 【点睛】
此题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21、（1）答案见解析；（2）5π． 【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）求出OA 的长，再根据弧长公式即可得出结论．
【详解】（1）11A B O ∆如图所示，
（2）由（1）图可得224+2=25AO =190AOA ∠=︒，
∴9055180
l ππ⋅⋅== 【点睛】
本题考查的是作图-旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
22、4株
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x 株，则每盆花苗有(3)x +株，得出平均单株盈利为(30.5)x -元，由题意得(3)(30.5)10x x +-=求出即可。

【详解】解：设每盆花苗增加x 株，则每盆花苗有(3)x +株，
平均单株盈利为：(30.5)x -元，
由题意得：(3)(30.5)10x x +-=．
化简，整理，2320x x -+=．
解这个方程，得11x =，2
2x =，
则314+=，235+=，
每盆植入株数尽可能少， ∴盆应植4株．
答：每盆应植4株．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数⨯平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键.
23、 (1)x=2；(3)43a ≥或83
a ≤-． 【解析】（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式，由此即可得出抛物线的对称轴；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A,B 的坐标，由（1）可得出顶点C 的坐标，再利用等边三角形的性质可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出a 值；
（3）分0a >及0a <两种情况考虑：①当0a >时，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围；②当0a <时，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围．综上，此题得解．
【详解】(1)∵()22432y ax ax a a x a =-+=--，
∴抛物线的对称轴为直线2x =．
(2)依照题意，画出图形，如图1所示．
当0y =时，2430ax ax a -+=，即()()130a x x --=，
解得：11x =，23x =．
由(1)可知，顶点C 的坐标为()2,a -．
∵0a >，
∴0a -<．
∵ABC ∆为等边三角形，
∴点C 的坐标为(2,，
∴a -=
∴3a =． (3)分两种情况考虑，如图2所示：
①当0a >时，3313122a ⎛⎫⎛⎫-⨯-≤-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：43
a ≥； ②当0a <时，3313222a ⎛⎫⎛⎫-⨯-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 解得：8
3
a ≤-．
【点睛】
本题考查了二次函数的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及解一元一次不等式.
24、（1）45;（2）①1224(,)55M ，②3724(,)55N ;（3）995
CP ≤≤ 【解析】（1）作AH ⊥OB ，根据正弦的定义即可求解；
（2）作MC ⊥OB ，先求出直线AB 解析式，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义求出M 点坐标，根据MN ∥OB ，求出N 点坐标；
（3）由于点C 是定点，点P 随△ABO 旋转时的运动轨迹是以B 为圆心，BP 长为半径的圆，故根据点和圆的位置关系可知，当点P 在线段OB 上时，CP=BP-BC 最短；当点P 在线段OB 延长线上时，CP=BP+BC 最长．又因为BP 的长因点D 运动而改变，可先求BP 长度的范围．由垂线段最短可知，当BP 垂直MN 时，BP 最短，求得的BP 代入CP=BP-BC 求CP 的最小值；由于BM>BN ，所以点P 与M 重合时，BP=BM 最长，代入CP=BP+BC 求CP 的最大值．
【详解】（1）作AH ⊥OB ，
∵5AO AB ==，(6,0)B .
∴H （3,5）
∴AH=3,AH=224AO OH -= ∴sin AOB ∠=AH AO =45
（2）由（1）得A （3,4），又(6,0)B
求得直线AB 的解析式为：y=483x -
+ ∵旋转，∴MB=OB=6,
作MC ⊥OB ，∵AO=BO ，
∴∠AOB=∠ABO
∴MC=MBsin ∠ABO=6×45=
245 即M 点的纵坐标为
245，代入直线AB 得x=125 ∴1224(,)55
M ， ∵∠NMB=∠AOB=∠ABO
∴MN ∥OB ，又MN=AB=5，
则
125+5=375
∴3724(,)55N
（3）连接BP
∵点D 为线段OA 上的动点，OA 的对应边为MN
∴点P 为线段MN 上的动点
∴点P 的运动轨迹是以B 为圆心，BP 长为半径的圆
∵C 在OB 上,且CB=12OB=3 ∴当点P 在线段OB 上时,CP=BP−BC 最短;当点P 在线段OB 延长线上时,CP=BP+BC 最长
如图3，当BP ⊥MN 时，BP 最短
∵S △NBM =S △ABO ，MN=OA=5
∴
12MN ⋅BP=12OB ⋅y A ∴BP=A OB y MN
⋅ =645⨯=245 ∴CP 最小值=245−3=95 当点P 与M 重合时，BP 最大，BP=BM=OB=6
∴CP 最大值=6+3=9
∴线段CP 长的取值范围为995
CP ≤≤.
【点睛】
此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法的运用、旋转的性质、三角函数的应用.
25、见解析.
【解析】根据等腰三角形的性质可知CD 垂直平分AB ，在根据平行四边形的性质可知EC 平行且等于AD ，由矩形的判定即可证出四边形ADCE 是矩形.
【详解】证明：∵
∴
∵在 中，
∴
∴四边形
是平行四边形 又 ∵
∴四边形
是矩形. 【点睛】
本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质、平行四边形的判定与性质，熟知矩形的判定是解题关键.
26、（1）10AD =；（2）ABD ∆是等边三角形，理由见解析；（3）BC （4）PC AD ⊥
【分析】(1)先证AC 垂直平分DB,即可证得AD=AB;
(2)先证AD=BD,又因为AD=AB,可得△ABD 是等边三角形；
(3)分当点E 在AO 上时和当点E 在OB 上时，由勾股定理列方程求解即可；
(4)连结OC,证明OC ∥AD, 由PC 与半圆O 相切，可得∠OCP=90°,即可得到PC 与AD 的位置关系.
【详解】解：（1）∵AB 为直径，
∴∠ACB=90°
, 又∵CD BC =
∴AD=AB
∴10AD =，
故答案为10；
（2）ABD ∆是等边三角形，
理由如下：∵点E 与点O 重合，∴AE BE =，
∵DE AB ⊥，∴AD BD =，
∵AD AB =，∴ AD AB DB ==，
∴ABD ∆是等边三角形；
（3）∵10AB =，∴5AO BO ==，
当点E 在AO 上时，
则4AE AO OE =-=，6BE BO OE =+=，∵10AD =，DE AO ⊥，
∴在Rt ADE ∆和Rt BDE ∆中，
由勾股定理得2222AD AE BD BE -=-，即22221046BD -=-，
解得BD =12
BC BD == 当点E 在OB 上时，同理可得22221064BD -=-，
解得BD =BC =
综上所述，BC
（4）PC AD ⊥.
如图，连结OC ，
∵PC与半圆O相切，
∴OC⊥PC,
=,
∵△ADB为等腰三角形，CD BC
∴∠DAC=∠BAC,
∵AO=OC
∴∠CAO=∠ACO,
∴∠DAC=∠ACO,
∴OC∥AD,
⊥.
∴PC AD
【点睛】
考查了圆的综合题，涉及的知识点有直角三角形的性质和圆的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．。