11.1 排列、组合

它们的区分在于:分类计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中 任一种方法都可以完成这件事;分步计数原理与分步有关,各个步骤相 互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成了. 3.排列 (1)定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一 列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列数定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个
高考数学（浙江专用）
11.1 排列、组合
考点清单
考点 排列、组合
考向基础 1.分类计数原理、分步计数原理 (1)完成一件事有n类办法,各类办法相互独立,每类办法中又有多种不同 的方法,则完成这件事的不同方法数是各类不同方法种数的和,这就是 分类计数原理. (2)完成一件事,需要分成n个步骤,每一步的完成有多种不同的方法,则 完成这件事的不同方法种数是各步骤的不同方法数的乘积,这就是分步 计数原理. 2.分类计数原理与分步计数原理都涉及完成一件事的不同方法的种数.
(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略; (10)构造模型的策略. 例 (202X浙江新高考调研卷二(镇海中学),16)现安排甲、乙等5人参加 3个运动项目,要求甲、乙两人不能参加同一个项目,每个项目都必须有 人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方法种数为
.
解析
解法一:按(3,1,1)分组,有
而2≤c-b≤6,故需减去c-b=1和c-b=7的集合的个数. 若c-b=1,则有以下情形: b=2,c=3时,集合的个数为1;b=3,c=4时,集合的个数为2; b=4,c=5时,集合的个数为3;b=5,c=6时,集合的个数为4; b=6,c=7时,集合的个数为5;b=7,c=8时,集合的个数为6; b=8,c=9时,集合的个数为7.集合的总个数为1+2+3+4+5+6+7=28. 若c-b=7,则只有a=1,b=2,c=9,集合的个数为1. 所以集合A的个数为84-28-1=55. 答案 55
种不同的安排方法.(用数字作答)
解析 我们将5位老师看成5个不同的盒子,其中数学老师分别为1,2号
盒子,英语老师分别为3,4号盒子,化学老师为5号盒子,A,B,C,D,E看成5个
不同的小球.
先将5个球放入5个盒子中,满足盒子非空,且A不能放入1,2号盒子,B不能
放入3,4号盒子,C,D不能放入5号盒子.
号)(有
C12
×
C12
×
A
2 2
种放法),此时考虑A.若A放入4号,B有2种选择,若A放入
5号,则B只能放入2号,有
C12
×
C12
×A
2 2
×(2+1)=24种放法.
综上,由分类加法计数原理知,共有32种满足条件的安排方法.
评析 对于人员安排问题,我们总是可以抽象成取球模型,在具体的处
理过程中,我们一定要优先考虑特殊元素或特殊位置.
都分出胜负,每队赢的概率都为0.5,并且每队赢的场数各不相同,则不同
结果的种数为
;其概率为
.
解析 ∵4支足球队两两比赛,每场比赛都分出胜负,每队赢的概率都为
0.5,并且每队赢的场数各不相同,∴4队比6场,只考虑胜场,且各不相同,4
支球队赢的场数分别为0,1,2,3,∴共有A44 =4×3×2×1=24种结果.其概率P
答案 32
方法技能
方法 排列组合综合问题的解题方法
(1)特殊元素优先安排的策略; (2)合理分类与准确分步的策略; (3)排列、组合混合问题先选后排的策略; (4)正难则反、等价转化的策略; (5)相邻问题捆绑处理的策略; (6)不相邻问题插空处理的策略; (7)定序问题除法处理的策略; (8)分排问题直排处理的策略;
=
A
4 4
×0.56=
3 8
.
答案 24; 3
8
考向二 组合问题 例2 (202X浙江“七彩阳光”联盟期中,17)设集合A={a,b,c},其中a,b,c ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},若a,b,c满足a<b<c,且2≤c-b≤6,则集合A的个数为
.
解析 解法一: ∵a<b<c,2≤c-b≤6,∴c≥4. 当c=4时,a=1,b=2,则集合A的个数为 C22 =1; 当c=5时,a,b∈{1,2,3},则集合A的个数为 C32 =3; 当c=6时,a,b∈{1,2,3,4},则集合A的个数为 C24=6; 当c=7时,a,b∈{1,2,3,4,5},则集合A的个数为 C52=10; 当c=8时,a,b∈{1,2,3,4,5,6},则集合A的个数为 C62=15; 当c=9时,a,b∈{1,2,3,4,5,6,7},且a=1,b=2时,不符合,则集合A的个数为 C721=20. 故总共有1+3+6+10+15+20=55. 解法二:从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取三个不同的数组成集合A,共有 C39 =84个.
=③
(n m)!
.规定0!=1.
4.组合 (1)定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合数定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合 的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用④ Cmn 表示.
(3)计算公式:Cmn
考向三 排列组合综合问题
例3 (202X浙江嵊州第一学期期末质检,16)某学校要安排2位数学老
师、2位英语老师和1位化学老师分别担负高三.由于某种原因,数学老师不担负A班的
班主任,英语老师不担负B班的班主任,化学老师不担负C班和D班的班
主任,则共有
数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用①
A
m n
表示.
(3)排列数公式:
A
m n
=②
n(n-1)…(n-m+1)
.
(4)全排列:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个
全排列,Ann =n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1=n!.于是排列数公式写成阶乘情势为
n!
A
m n
为了方便起见,我们对C,D分类讨论:
若C,D恰好放入1,2号盒子(有
A
2 2
种放法),此时B可放入5号盒子(有1种放
法),剩余的A,E任意放置(有
A
2 2
种放法),由分步乘法计数原理知,共有
A
2 2
×
1×
A
2 2
=4种放法;若C,D恰好放入3,4号盒子,同样也有4种放法;若C,D恰有
一个放入1,2号盒子(不妨设放入1号),一个放入3,4号盒子(不妨设放入3
=
A
m n
A
m m
=⑤
5.组合数的性质
n(n 1)(n m 1) m(m 1)1
(1)Cmn =⑥
Cnm n
;(2)
= Cm n1
Cmn
+
Cm1 n
.
=
n! m!(n
m)!
.由于0!=1,所以C0n
=1.
考向突破
考向一 排列问题
例1 (202X浙江9+1高中联盟期中,14)4支足球队两两比赛,若每场比赛
C35
A
3 3
-C13
A33
=42种方法;按(2,2,1)分组,有
C52C32 2!
A33 -C32
A33 =72种方法,故共有114种安排方法.
解法二:甲参加的项目有3人,则方法种数为C32 A33=18;甲参加的项目有2
人,这时乙参加的项目组合有3种,则方法种数为C13 C13 A33 =54;甲参加的项
目只有1人,这时乙参加的项目组合有7种,则方法种数为C17 A33=42.综上,
由分类加法计数原理知,共有114种安排方法满足上述要求.
答案 114