用自旋波理论研究各向异性反铁磁体磁性质

用自旋波理论研究各向异性反铁磁体磁性质
物理与电子工程学院物理学（师范）专业2009级胡珊珊
指导教师胡爱元
摘要：对物质的磁性现象的研究一直都在引起人们的广泛注意，人们为了研究其物理机制，发展了许多不同的实验和理论方法。

本文中我们从微扰自旋波理论入手，选择一个各向异性结构，再对其哈密顿量进行多步变换从而使其对角化,最终推导出各向异性反铁磁体内能，零点能，比热容的表达式，并做简单分析。

关键词：自旋波理论；各向异性；海森堡反铁磁
Abstract：The study of the magnetic effects of the substance have been caused human widespread attention. In order to study the physical machine System, Scientists has developed many different experiments and theoretical methods. In this paper, we use the perturbative spin-wave theory to select an anisotropic structure,then multi-step transformation resulting its diagonalization of the Hamiltonian and deriving the expression of anisotropic antiferromagnetic magnon energy, zero-point energy, specific heat capacity, and study it.
Key words：spin wave; Heisenberg antiferrimagnet; Anisotropic
1 绪论
磁学是关于固体性质的研究中最古老的分支学科之一。

举世闻名的中国古代指南针的出现，表明我国早就对物质的磁性有所认识并加以利用。

指南针的发明，推动了航海事业的发展，也为研究地磁三要素创造了条件。

后来，我国指南针传入欧洲，到16世纪，欧洲出现了航海罗盘。

随着越来越多的人知道了磁，人们对磁的奇特表现很是好奇并做了许多研究工作。

丹麦物理学家奥斯特1820年发现了电流的磁效应。

19世纪中期，安培提出了分子电流的观点，建立了关于磁性介质
的最初理论。

法拉第在新的发现面前，重做了已有的实验，并提出新的研究课题——既然电可以产生磁，为什么磁不可以产生电呢？他开始了磁生电的研究。

经过10年的艰苦努力，在大量实验的基础上，发现了电磁感应现象及其所遵循的规律。

爱因斯坦1905年建立的狭义相对论，第一次把两种自然力——电力与磁力统一起来。

近代随着电子计算机的发明，新的磁性材料不断涌现出来。

人类的科学技术及物质生产活动与电与磁已密不可分。

随着新的磁现象的发现，磁的更深刻的本质的揭露，磁的应用也将展现出新的局面。

随着磁的应用日益的广泛，对磁体性质的研究也就具有了更大的意义，同时对磁性质的研究也是固体物理学研究的一个重要方面。

我们知道，固体物理学中的自旋晶格系统有铁磁体，反铁磁体，以及铁氧体[1]。

对它们的性质的研究一直再进行。

之前的专家学者对它们的研究多针对的是各向同性的结构，对于各向异性结构的自旋晶格系统的研究则没有太多涉及[1]。

所以本文将要选择自旋晶格系统的一种，即反铁磁，研究其各向异性结构对其磁性质的影响。

通过研究我们会进一步体会到物质结构对物体性质的影响，同时更加深刻地认识反铁磁。

本文研究各向异性反铁磁体磁性质的过程主要分为两步：
第一步是选择拟采用的海森堡哈密顿量[1]，通过多部变换使其对角化。

第二步是利用第一步中已经完成对角化的哈密顿量进行分析推导，从而得到各向异性反铁磁体的内能，零点能，以及比热容的表达式，进而分析其性质，得出结论。

2 哈密顿量对角化
2.1 各向异性反铁磁哈密顿量的表达
我们知道在低温下，反铁磁的低激发态是以自旋波的形式出现的[2]，所以在研究其性质时首先研究自旋间相互作用性质和哈密顿量的形式。

因为海森堡哈密顿量可表示为：
,.i j i j
H J S S =∑ (1)
我们根据反铁磁体的电子自旋取向的不同，将反铁磁体的晶格分成a ,b 两个
子格，设每个子格中的自旋数为2
N
，总的磁离子数为N,再结合所选择的各向异性
结构的特定情况，则H 用a ,b 两个子格的自旋算符可表示为[3]：
,().x x y y z z
ai bj ai bj ai bj i j
H J S S S S S S η=++∑ (2)
这里的ai S 是代表a 格子中i 格点上的自旋，我们设a 的量子化轴沿z +方向。

bj S 代表b 格子中j 格点上的自旋，我们设b 的量子化轴沿z -方向。

η表示各向异性参数。

由于,,x y S S S S +-都可以用表示成如下关系：
,,
,.
x y x y
ai ai ai ai ai ai x y x y bj
bj bj bj
bj bj
S S iS S S iS S
S iS S
S iS +-+
- =+ =- =+ =- (3)
所以可推出：
11(),(),2211(),().22x
y ai ai ai ai ai ai x y bj bj bj bj bj bj S S S S S S i
S S S S S S i
+-+-+-+-
=
+ =-=+ =-
(4)
将（4）带入（2）式整理得：
,11[()()].44
z z ai bj ai bj ai bj ai bj ai bj i j
H J S S S S S S S S S S ηη+--+++--
+-=+
+++∑ (5) 2.2 霍斯坦因-普利马科夫变换
接下来就需要对（5）式进行对角化，首先需要作霍斯坦因-普利马科夫变换[4]。

变换需要引入：
子格a 的产生及湮灭算符：
,.z ai ai ai ai ai ai ai S a S a S S a a +-++
===- (6)
对于子格b ，,S S +-的作用将颠倒，应定义：
,.z bj bj bj bj bj bj bj S a S a S a a S ++-+===- (7)
对于处于低温的低激发态，平均值<a a +
>比2S 小得多，所以（6）式和（7）
式近似到一阶项可得：
,,,,,.z ai i ai i ai i i z bj
j
bj
j bj
j j
S S S S a a S S S b b S +-++++-+= = =-= = =- (8)
将（8）式代入（5）式并且忽略式中的四次项得：
2,11[()()()]22
j j i i i j i j i j i j i j
H J Sb b S a a S S a b a b S a b a b ηη++++++
+-=-++
+++ .∑ (9) 然后利用j i δ=+，以及i
N Z δ
==∑∑，（Z 是指最紧邻格点数）对（9）式进行
化简整理得：
2,1()[
()2
1()]2
i i j j i j i j i
j
i j
i j i j H NZS J ZJS a a b b JS a b a b a b a b η
η++++++
+=-++++- +
+ .∑∑∑ (10)
2.3 坐标空间变换到动量空间
为对（10）式须要继续对角化，首先应将其由坐标空间变换到动量空间，应做空间傅里叶变换，即：
12121
2
3434
3
4
,,,.
ik i ik i i k i k k k ik i ik i j k j
k k k a e a a e a b e b b e
b ⋅-⋅++-⋅⋅+
+
=
==
= (11)
将（11）式整理后代入（10）式，利用j i δ=+和
''(),1
i k k i
k k e N
λ
δ--⋅=∑可整理得到：
21()[(21)()].
2k k k k k k k
k k k
k k k k k k k k k k k k H NZS J ZJS a a b b JZS a b a b a b a b ηγηγγγ+
+++++
--+=-+++- +++∑∑∑∑∑∑ (12)
这里1
,()ik ik ik k e e e Z δδδδδδ
γ∙∙-∙=
=∑∑∑。

由于（12）式中哈密顿量中含有,k k b b +
--，使得直接对角化比较困难，所以引
入如下的一个Boson 场的宇称变换算子[5]：
()
2
,().2
k k k k k
i b b b b k k k k k
P e
S b b b b π
π
++--
-++-∑= =-
-∑ (13)
这样()k k b b +
--和()k k b b +存在如下变换关系：
11
,k k k k b Pb P b Pb P -++---= = . (14) 将（14）式代入（12）式，则含有k b -和k b +
-部分的项可以化为：
111[].2part k k k k k k
H JZS
a P
b P a Pb P η
γ+-+--=+∑ (15) 利用对易关系式：
1111
1
1
[,],[,]k k k k k k b P b P P b b P b P P b +-+--+--- =- =-. 可得到:
111111[,],[,].
k k k k k k b P b P P b b P b P P b +-+--+---=+=+
则（15）式可以化为：
111[[,][,]].2part k k k k k k k k k k
H JZS
a b a b a P b P a P b P η
γ+++-+--=+++∑ (16) 上式利用了关系式：11PP -= 。

因为（16）式中含有对易的部分可以分别展开， 由此，part H 可表示成：
,11()[(22![,])].
n m part
k k k k k k k k k k k k m n n m k k k k i H JZS a b a b PS a b a b a b n a b b b S ηπγ++
+++-++-----=+++- -∑∑ (17)
因为（17）式（n ，m ）的求和范围为1m n ≤-，(0,)n =∞。

从而可以看出，为了保持H 的厄密性[6]，必须存在如下的对称关系：
,k
k k k b b b b ++
--= = . (18) 如果k k b b -≠，则[,]0k k b b +-=。

同理，也可以得：
,.k k k k a a a a ++--= = （19） 考虑到上述关于Boson 算符(,,,)k k k k a a b b +
+的对称性，从（12）式不难得到如下的结
果：
21()[()
21()].
2
k k k k k k k k k k k k
k k k k H NZS J ZJS a a b b JZS a b a b a b a b ηγη+
+++++
+=-++++- ++∑∑∑ (20)
2.4 两个正则变换 2.4.1 第一个正则变换
由于（20）式中仍存在非对角项，还须继续变换。

这里首先根据中系数的对
称性，进行变换，引入变换算符：
),),),),k k k k k k k k k k k k c a b c a b d a b d a b ++
++++=
+ =+=- =
-
(21)
),),),).k k k k k k k k k k k k a c d a c d b c d b c d +
+
+++
+=
+ =+=- =
- (22)
由（20）和（22）式可推出：
2[1(1)][1(1)]2
2
(1)().
4k
k
k k k k
k
k
k k k k k k k k k k
H JS ZN JSZ c c JSZ d d JZS c c d d c c d d γγηηηγ+
+++
++=-++
-+-
-+ ++++∑∑∑ (23)
2.4.2 第二个正则变换
由于(23)式中仍存在非对角项，须要继续进行对角化，首先应采用玻戈留玻夫变换[7]：
11112222,,
,.k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k c c c c d d d d αμναμνβμνβμν++++++
=+ =+=+ =+
(24) 因为由（24）式中存在关系：22111k k μν-=，22
221k k μν-=
所以可得：
11112222,,
,.k k k k k k k k k k k k k k k k k k
k k c v c v d d μααμααμβνβμβνβ+++
+
++=- =-=- =- (25)
由（23）式，（25）式可推出哈密顿量可表示为：
2221111222222{[1(1)]()(1)}2
{[1(1)]()(1)}2
k
k k k k k k k k
k
k k k k k k k
k
H JS ZN JSZ JSZ γημνγημνααγημνγημνββ++
=- ++
-+-+ +-
-+-+∑∑ (26)
2
21111(1){()[1(1)]}()42
k k
k k k k k k k k k
JSZ γηγμνημναααα+++++-+-+∑
22
2222223121122(1){()[1(1)]}()42[(1)][1(1)]2
2(1)(1)
.
22k k
k k k k k k k k k
k
k
k k
k
k
k k k k k k k k
JSZ JSZ X JSZ JZS JZS γηγμνημνββββγγηνηνηηγμνγμν++
+ ++---+ ++
-+-
-++ --∑∑∑∑∑
为了使H 对角化，非对角项()k k k k αααα+++和()k k k k ββββ+++的系数应为0。

即：
2
21111(1){()[1(1)]}0,42
k k
k k k k k
JSZ γηγμνημν++-+-=∑ (27) 22
2222(1){()[1(1)]}0.42
k k
k k k k k
JSZ γηγμνημν++---=∑ (28) 此处（27）和（28）式的参数还应满足：
2222
11221, 1.k k k k μνμν-=-= (29)
联立上面(27),(28)和（29）四个方程，解四个未知数：1122,,,k k k k μνμν 解得：
221122
2211
[1[12
211[1[122k
k
k k
μνμν+
+--
==--==- (30) 将（30）式代入（26）式得：
222
121122().k k k k k k k k k k k
H JS ZN ωααωββνωνω++=-++--∑ (31)
这里：
122
22222
12(1)(1)[],[].
22
k k k k k k k k JSZ JSZ A A ωωγηγηωω+-====++=-=- (32)
所以可以得到：
(1)(1)
22
k k JSZ JSZ γηγη++==， (33)
3 分析各向异性反铁磁体磁性质：
接下来我们将分析各向异性反铁磁体的内能，零点能以及比热容的解析
表达式。

3.1 各向异性反铁磁体内能：
因为内能E H =<>，结合式（31）以及在任意温度时有[8]：
1
.1
B k k k k T e ω
κααββ++<>=<>=
-
可推出系统内能为：
222
121122[
(1)].2
2
k k
k k k k k
E JS ZN coth
ωωβω
νωνω+=-+---∑ (34)
当1η=
，由上式可推出21
B k
T E e κ=-
相符合[1]，也说明我们的分析是正确的。

3.2 各向异性反铁磁的基态（即温度趋于0时的内能）
因为当温度趋于0时有：1
,01
B B T T e ω
κωκ-远大于于是
趋于。

所以有：
2
120()2222k k k k
k
A A E JS ZN ωω+-≈-+-+-+∑ (35)
即基态能为：
2022}.k JZS E JS ZN =-+∑ （36）
当1η=，
可以得到202}.2k
JZS
E JS ZN =-+∑同样与固体物理中的结果[1]相符合。

3.3 各向异性反铁磁的热容
由比热容E
C T
∂=∂以及式（34），可推出：
122
2
()
.(1)B B T
k k k
B T e
C T e ω
κω
κωωωκ =+-∑ (37)
当1η=，同样可以得到与李正中版固体物理中相同的结果[1]。

4 结论：
本文从微扰自旋波理论入手，选择一个各向异性的海森堡反铁磁模型，再对其哈密顿量进行多步变换从而使其对角化,最终推导出各向异性反铁磁体内能，零点能以及比热容的解析表达式。

从推算出的结果中，我们看到：内能,零点能以及比热容的表达形式中都含有各向异性参数。

这就表明各向异性参数对反铁磁体磁性质的影响是非常明显的，若各向异性参数变化，则各向异性反铁磁磁性质也会发生相应的变化。

因此，各向异性参数对反铁磁体的磁性质的影响是非常大的。

参考文献:
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