2020版高考理科数学突破二轮复习新课标 教师用书：第1讲 三角函数的图象与性质

3cos
x＝－cos
2x－3cos
x ＝ 1 － 2cos2x － 3cos
x＝－

2cos

x＋342＋187，因为
cos
x∈[－1，1]，所以当
cos
x＝1
时，f(x)取得最小值，f(x)min
＝－4.
答案：－4
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
9
[明考情] 1．高考对此部分内容的命题主要集中在三角函数的定义、图象与性质，主要考查 图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变 换交汇命题． 2．主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下．
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
29
3．(2019·蓉城名校第一次联考)若将函数 g(x)图象上所有的点向左平移π6 个单位长
π 3
个单位长度即得函数
f(x) 的 图 象 ， 故
f(x) ＝
sin3×2x－π3
－16π
＝sin6x－16π
.故选

B.
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
27
2．函数 y＝sin ω x(ω>0)的部分图象如图所示，点 A、B 是最高点，点 C 是最低点， 若△ABC 是直角三角形，则 ω 的值为( )
第二部分 高考热点 分层突破
专题一 三角函数与解三角形
第1讲 三角函数的图象与性质
数学
第二部分 专题一 三角函数与解三角形
1
01
做高考真题 明命题趋向
02
研考点考向 破重点难点
03
练典型习题 提数学素养
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
2
[做真题]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若 x1＝π4 ，x2＝3π4 是函数 f(x)＝sin ω x(ω＞0)两个相邻的 极值点，则 ω＝( )
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
16
(2)图象变换 y＝sin x向左（φ平>移0）―|φ或―|个→向单右位（φ<0）y＝sin(x＋φ)
纵坐标变为横原坐―来标 ―的→不A变（A>0）倍y＝Asin(ωx＋φ)．
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
17
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
22
所以 θ＝π3 ，f(x)＝2sin2x＋π3 .
【答案】
(1)C
(2)2sin2x＋π3

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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
23
(1)函数表达式 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 的确定方法
A．y＝2sin2x＋π4

B．y＝2sin2x＋π3

C．y＝2sin2x－π4

D．y＝2sin2x－π3

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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
5
解析：选 D.函数 y＝2sin2x＋π6 的周期为π ，所以将函数 y＝2sin2x＋π6 的图象向 右平移π4 个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为 y＝2sin2x－π4 ＋π6 ＝ 2sin2x－π3 .故选 D.
A．2
B.32
C．1
1 D.2
解析：选 A.依题意得函数 f(x)的最小正周期 T＝2ωπ ＝2×3π4 －π4 ＝π ，解得 ω＝
2，选 A.
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
3
2．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知 sin α－cos α＝43，则 sin 2α＝( )
则sicnoαs＋α＋2cπo4s
＝ α
22（sincoαs＋α－2cosisnαα）＝
22（ta1n－αt＋an2α）＝
2－2×1 4＝－2
2.故选 C.
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
14
3．(2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 的顶点为坐标原点，始
13
2．已知 sin(5π －α)＝3sin3π2 ＋α，则sicnoαs＋α＋2cπo4sα＝(
)
22 A. 5
－2 B. 5
C．－2 2
D．－ 2
解析：选 C.由 sin(5π －α)＝3sin3π2 ＋α，得 sin α＝－3cos α，所以 tan α＝－3，
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
11
同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，csions αα＝tan α. 诱导公式：在kπ2 ＋α，k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
12
[考法全练]
1．若 sinπ2 ＋α＝－35，且 α∈π2 ，π ，则 tan(π －α)＝(
字母
确定途径
说明
A
由最值确定
B
由最值确定
A＝最大值－2 最小值
最大值＋最小值
B＝
2
由函数的
利用图象中最高、最低点或图象与 x 轴交点
ω
周期确定
的横坐标确定周期
由图象上的
代入图象上某一个已知点的坐标，表示出 φ
φ
特殊点确定
后，利用已知范围求 φ
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
即
π Asin 4＝Fra bibliotek2，解得 A＝2.
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
20
故 f(x)＝2sin 2x. 所以 f3π8 ＝2sin3π4 ＝ 2. 故选 C.
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
21
(2)由题图可知 A＝2，则 f(x)＝2sin(2x＋θ)． 因为 f(a)＝f(b)＝0，所以 fa＋2 b＝2， 则 sin(a＋b＋θ)＝1，a＋b＋θ＝π2 ＋2kπ ，k∈Z. 由 f(a＋b)＝ 3得 sin[2(a＋b)＋θ]＝ 23， 2(a＋b)＋θ＝π3 ＋2kπ ，k∈Z，或 2(a＋b)＋θ＝2π3 ＋2kπ ，k∈Z， 所以 θ＝2π3 ＋2kπ 或 θ＝π3 ＋2kπ ，k∈Z，又|θ|＜π2 ，
A．－79
B．－29
C.29
D.79
解析：选 A.将 sin α－cos α＝43的两边进行平方，得 sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝196，
即 sin 2α＝－79，故选 A.
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
4
3．(2016·高考全国卷Ⅰ)将函数 y＝2sin2x＋π6 的图象向右平移14个周期后，所得图 象对应的函数为( )
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
6
4．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅱ)若 f(x)＝cos x－sin x 在[0，a]是减函数，则 a 的
最大值是( )
π
π
A. 4
B. 2
3π C. 4
D．π
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
7
解析：选 C.法一：f(x)＝cos x－sin x＝ 2cosx＋π4 .当 x∈[0，a]时，x＋π4 ∈
)
A.43
B.23
C．－23
D．－43
解析：选 A.由 sinπ2 ＋α＝cos α＝－35，且 α∈π2 ，π ，得 sin α＝ 1－cos2α＝45，
4 所以 tan(π －α)＝－tan α＝－csions αα＝－－535＝43.
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
π 4
，a＋π4
，所以结合题意可知，a＋π4
≤π
，即
a≤3π4
，故所求
a
的最大值是3π4
.
故选 C.
法二：f′(x)＝－sin x－cos x＝－
2sinx＋π4
.于是，由题设得
f′(x)≤0，即
sinx＋π4

≥0 在区间[0，a]上恒成立．当 x∈[0，a]时，x＋π4 ∈π4 ，a＋π4 ，所以 a＋π4 ≤π ，
即 a≤3π4 ，故所求 a 的最大值是3π4 .故选 C.
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
8
5．(2019·高考全国卷Ⅰ)函数 f(x)＝sin2x＋3π2 －3cos x 的最小值为________．
解
析
：
f(x)＝
sin
2x＋3π2

－
2α＝－2245. 答案：－2245
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
15
三角函数的图象与解析式(综合型) [知识整合]
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图 设 z＝ωx＋φ，令 z＝0，π2 ，π ，3π2 ，2π ，求出 x 的值与相应的 y 的值，描点、 连线可得．
)
A．－2
B．－ 2
C. 2
D．2
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
18
(2)(2019·蓉城名校第一次联考)已知函数 f(x)＝Asin(2x＋θ)A＞0，|θ |＜π2 的部分 图象如图所示，f(a)＝f(b)＝0，f(a＋b)＝ 3，则 f(x)＝________．
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
19
【解析】 (1)因为函数 f(x)为奇函数，且|φ|＜π ，
所以 φ＝0.
又 f(x)的最小正周期为π ，
所以2ωπ ＝π ，解得 ω＝2.所以 f(x)＝Asin 2x.
由题意可得 g(x)＝Asin x，gπ4 ＝ 2，
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
25
[对点训练]
1．(2019·广州市调研测试)将函数 y＝f(x)的图象向左平移π3 个单位长度，再把所得
图象上所有点的横坐标伸长到原来的
2
倍得到
y＝sin3x－16π
的图象，则

f(x)＝
()
A．sin32x＋16π

π A. 2
π C. 3
π B. 4 D．π
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
28
解析：选 A.由已知得△ABC 是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，所以12|AB|＝ymax －ymin＝1－(－1)＝2，即|AB|＝4，而 T＝|AB|＝2ωπ ＝4，解得 ω＝π2 ，故选 A.

B．sin6x－16π


C．sin32x＋13π


D．sin6x＋13π


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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
26
解析：选
B.由题设知，先将函数
y＝sin3x－16π
的图象上所有点的横坐标缩短到原

来的
12 ，
再
将所
得图
象
向右
平移
边与
x
轴的正半轴重合，终边交单位圆
O
于点
P(a，b)，且
a＋b＝75，则
cos2α＋π2

的值是________．
解析：由三角函数的定义知 cos α＝a，sin α＝b，所以 cos α＋sin α＝a＋b＝75，所以
(cos α＋sin α)2＝1＋sin 2α＝4295，所以 sin 2α＝4295－1＝2245，所以 cos2α＋π2 ＝－sin
[典型例题]
(1)(2019·高考天津卷)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω ＞0，|φ |＜π )是
奇函数，且 f(x)的最小正周期为π ，将 y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来
的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为 g(x)．若 gπ4 ＝ 2，则 f3π8 ＝(
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第二部分 专题一 三角函数与解三角形
10
三角函数的基本问题(基础型) [知识整合]
三角函数：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sin α＝y， cos α＝x，tan α＝xy.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四 余弦．
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24
(2)三角函数图象平移问题的处理策略 ①看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方 向的关键点． ②看移动方向：移动的方向一般记为“正向左，负向右”，看 y＝Asin(ωx＋φ)中 φ 的正负和它的平移要求． ③看移动单位：在函数 y＝Asin(ωx＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿 x 轴方向的， 所以 ω 和 φ 之间有一定的关系，φ 是初相，再经过 ω 的压缩，最后移动的单位是ωφ.