2017_2018学年高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法学案含解析新人教A版选修2_2

2．2.1综合法和分析法
综合法
阅读下列证明过程，回答问题．
π
(2x＋4)的一个周期．
求证：π是函数f(x)＝sin
πππ 证明：因为f(x＋π) [2x＋＋4]＝sin(2x＋2π＋4)＝sin(2x＋4)＝f(x)，所
＝sin
π 以由周期函数的定
(2x＋4)的一个周期．
义可知，π是函数f(x)＝sin
问题1：本题的条件和结论各是什么？
π
(2x＋4)；结论：π是f(x)的一个周期．
提示：条件：f(x)＝sin
问题2：本题的证明顺序是什么？
提示：从已知利用诱导公式到待证结论．
1．综合法的定义
利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
2．综合法的框图表示
P⇒Q1 Q1⇒Q2 Q2⇒Q3 Q n⇒Q
―→―→―→…―→
(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)
综合法的特点
(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条
件．
(2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一步
一步完成命题的证明.
分析法
阅读下列证明过程，回答问题．
求证：6＋7≥22＋ 5.
证明：要证原不等式成立，只需证( 6＋7)2≥(22＋5)2，即证2 42≥240，该式显然
成立，因此原不等式成立．
1
问题1：本题证明从哪里开始？
提示：从结论开始．
问题2：证明思路是什么？
提示：寻求每一步成立的充分条件．
1．分析法的定义
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
2．分析法的框图表示
Q⇐P1 P1⇐P2 P2⇐P3 得到一个明显
―→―→―→…―→
成立的条件
分析法的特点
(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找
使结论成立的充分条件．
(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等.
综合法的应用
已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.
∵a，b，c是正数，∴b2＋c2≥2bc，
∴a(b2＋c2)≥2abc.①
同理，b(c2＋a2)≥2abc，②
c(a2＋b2)≥2abc.③
∵a，b，c不全相等，
∴b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，a2＋b2≥2ab三式中不能同时取到“＝”，
∴①②③式相加得
a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.
综合法的证明步骤
(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；
(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．
特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．
2
4 1
已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：＋≥9.
a b
证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，
4 1 4a＋b a＋b4b a4b a4b a
∴＋＝＋＝4＋＋＋1＝5＋＋≥5＋2 ×＝5＋4＝9.当且仅
a b a b a b a b a b
4b a
当＝，即a＝2b时“＝”成立.
a b
分析法的应用
2
设a，b为实数，求证：a2＋b2≥(a＋b)．
2
当a＋b≤0时，∵a2＋b2≥0，
2
∴a2＋b2≥(a＋b)成立．
2
当a＋b>0时，
用分析法证明如下：
2 要证a2
＋b2≥(a＋b)，
2
2
只需证( a2＋b2)2≥[a＋b]2，
2
1
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.
2
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
2
∴a2＋b2≥(a＋b)成立．
2
综上所述，不等式得证．
分析法的证明过程及书写形式
(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．
(2)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．
在锐角△ABC中，求证：tan A tan B＞1.
sin A sin B
证明：要证tan A tan B＞1，只需证＞1.
cos A cos B
∵A，B均为锐角，
3
∴cos A＞0，cos B＞0.
即证sin A sin B＞cos A cos B，
即cos A cos B－sin A sin B＜0，
只需证cos(A＋B)＜0.
∵△ABC为锐角三角形，
∴90°＜A＋B＜180°，
∴cos(A＋B)＜0，因此tan A tan B＞1.
综合法和分析法的综合应用
已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
法一：(分析法)
要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，
1 1 3
即证＋＝，
a＋b b＋c a＋b＋c
a＋b＋c a＋b＋c
只需证＋＝3，
a＋b b＋c
c a
化简，得＋＝1，
a＋b b＋c
即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，
所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.
因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，
所以B＝60°，
a2＋c2－b2 1
所以cos B＝＝，
2ac 2
即a2＋c2－b2＝ac成立，
∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立．
法二：(综合法)
因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，
所以B＝60°.
由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2ac cos 60°，
所以c2＋a2＝ac＋b2.
两边加ab＋bc，得
c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
两边同时除以(a＋b)(b＋c)，得
c a
＋＝1，
a＋b b＋c
4
c
a
所以
(
＋1)＋
(
＋1)
＝3，
a ＋b
b ＋c
1
1
3
即 ＋ ＝ ， a ＋b b ＋c a ＋b ＋c
所以(a ＋b )－
1＋(b ＋c )－
1＝3(a ＋b ＋c )－
1.
综合法与分析法的适用范围
(1)综合法适用的范围：
①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等； ②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型． (2)分析法适用的范围：
分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题．
设 a ，b ∈(0，＋∞)，且 a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2. 证明：法一：(分析法) 要证 a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2成立，
即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )成立． 又因 a ＋b ＞0，
故只需证 a 2－ab ＋b 2＞ab 成立， 即需证 a 2－2ab ＋b 2＞0成立， 即需证(a －b )2＞0成立．
而依题设 a ≠b ，则(a －b )2＞0显然成立． 由此命题得证． 法二：(综合法)
a ≠
b ⇔a －b ≠0⇔(a －b )2＞0⇔a 2－2ab ＋b 2＞0
⇔a 2－ab ＋b 2＞ab . ∵a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b ＞0，
(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )， ∴a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.
5
4.综合法、分析法的综合应用
(12分)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数y＝f(x＋1)的图象与f(x)的图象关于y轴
对称．
1
(x＋2 )为偶函数．
求证：f
6
1 1
已知 a ≥－ ，b ≥－ ，a ＋b ＝1，求证： 2a ＋1＋ 2b ＋1≤2 2.
2 2
证明：要证 2a ＋1＋ 2b ＋1≤2 2，只需证 2(a ＋b )＋2＋2 2a ＋1· 2b ＋1≤8. 因为 a ＋b ＝1，即证 2a ＋1· 2b ＋1≤2. 1 1
因为 a ≥－ ，b ≥－ ，所以 2a ＋1≥0,2b ＋1≥0， 2 2
2a ＋1＋2b ＋1 2a ＋b ＋1
所以 2a ＋1· 2b ＋1≤ ＝ ＝2，
2 2
即 2a ＋1· 2b ＋1≤2 成立，因此原不等式成立．
1．“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；
②a >b 与 a <b 及 a ＝b 中，至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中正确判断的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选 C 由于 a ，b ，c 不全相等中含有 a ≠b ≠c 这种情况，所以③错误，①②都正 确．
2．欲证不等式 3－ 5＜ 6－ 8成立，只需证( ) A ．( 3－ 5)2＜( 6－ 8)2 B ．( 3－ 6)2＜( 5－ 8)2 C ．( 3＋ 8)2＜( 6＋ 5)2 D ．( 3－ 5－ 6)2＜(－ 8)2
解析：选 C 要证 3－ 5＜ 6－ 8成立，只需证 3＋ 8＜ 6＋ 5成立，只需证( 3＋ 8)2 ＜( 6＋ 5)2成立．
3．已知 a ，b ，c 为正实数，且 a ＋b ＋c ＝1，
1
1 1
求证：
(－1 )(－1 )(－1 )≥8.
a
b
c
证明过程如下：
∵a ，b ，c 为正实数，且 a ＋b ＋c ＝1，
1 b ＋c 1 a ＋c 1 a ＋b
∴ －1＝ ＞0， －1＝ ＞0， －1＝ ＞0，
a a
b b
c c 1 1
1
b ＋
c a ＋c a ＋b 2 bc ·2 ac ·2 ab
∴
(－1 )(－1 )(－1 )＝
·
·
≥
＝8， a
b
c
a
b c
abc
7
当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．
这种证法是________(填“综合法”或“分析法”)．
解析：本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法．
答案：综合法
a2＋b2 a2＋b2
4．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋
2 2
b2≥2ab，也就是证________，即证________．由于________显然成立，因此原不等式成立．
a2＋b2 a2＋b2
解析：用分析法证明≥ab的步骤为：要证≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，
2 2
也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.
由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
答案：a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥0
a b
5．已知a＞0，b＞0，求证：＋≥a＋b.(要求用两种方法证明)
b a
a b a b a－b
证明：法一：(综合法)因为a＞0，b＞0，所以＋－a－b＝(－b)＋(－a)＝
b a b a b
b－a 1 1 a－b2a＋b
＋a ＝(a－b)·(－a)＝≥0，
b ab
a b
所以＋≥a＋b.
b a
a b
法二：(分析法)要证＋≥a＋b，只需证a a＋b b≥a b＋b a，即证(a－b)( a－
b a
b)≥0.因为a＞0，b＞0，所以a－b与a－b符号相同，不等式(a－b)( a－b)≥0成立，所
以原不等式成立．
一、选择题
1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有()
A．2个B．3个
C．4个D．5个
解析：选C①②③⑤正确．
2．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2 时，都有f(x1)＞f(x2)”
的是()
1
A．f(x)＝B．f(x)＝(x－1)2
x
C．f(x)＝e x D．f(x)＝ln(x＋1)
8
1 1
解析：选A本题就是找哪一个函数在(0，∞＋)上是减函数，A项中，f′(x)＝(x)′＝－
x2 1
＜0，∴f(x)＝在(0，＋∞)上为减函数．
x
1 1
3．设a＞0，b＞0，若3是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为()
a b
A．8 B．4
1
C．1 D.
4
解析：选B3是3a与3b的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a＋b＝3⇒a＋b＝1，因为a＞0，b＞0，a＋b 1 1 1 1 a＋b 1 1
所以ab≤＝⇒ab≤，所以＋＝＝≥＝4.
2 2 4 a b ab ab 1
4
4．A，B为△ABC的内角，A>B是sin A>sin B的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选C若A>B，则a>b.
a b
又∵＝，
sin A sin B
∴sin A>sin B.
若sin A>sin B，则由正弦定理得a>b，
∴A>B.
5．已知f(x)＝a x＋1,0＜a＜1，若x1，x2∈R，且x1≠x2，则()
f x1＋f x2x1＋x2
A. 2 ≤f( 2 )
f x1＋f x2x1＋x2
B. ＝f 2 )
2 (
f x1＋f x2x1＋x2
C. ≥f 2 )
2 (
f x1＋f x2x1＋x2
D. 2 ＞f( 2 )
f x1＋f x2ax1＋1＋ax2＋1
解析：选D因为x1≠x2，所以＝＞＝a
ax1＋1·ax2＋1
2 2
x1＋x2 x1＋x2
2 (
＋1＝f 2 )，
f x1＋f x2x1＋x2 所
以＞f.
2 ( 2 )
二、填空题
6．命题“函数f(x)＝x－x ln x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－
9
x ln x取导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上
是增函数”应用了________的证明方法．
解析：该证明过程符合综合法的特点．
答案：综合法
7．如果a a＋b b＞a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．
解析：a a＋b b＞a b＋b a
⇔a a－a b＞b a－b b
⇔a( a－b)＞b( a－b)
⇔(a－b)( a－b)＞0
⇔( a＋b)( a－b)2＞0，故只需a≠b
且a，b都不小于零即可．
答案：a≥0，b≥0且a≠b
1 π3π
8．已知sin θ＋cos θ＝且≤θ≤，则cos 2θ＝________.
5 2 4
1 1 24 π3π
解析：因为sin θ＋cos θ＝所，以1＋sin 2θ＝所，以sin 2θ＝－.因为≤θ≤，
5 25 25 2 4
3π 所
以π≤2θ≤，
2
7
所以cos 2θ＝－1－sin22θ＝－.
25
7
答案：－
25
三、解答题
sin2α－βsin β
9．求证：2cos(α－β)－＝.
sin αsin α
证明：要证原等式成立，只需证：
2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，
左边＝2cos(α－β)sin α－sin
＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α
＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α
＝sin β＝右边．
所以等式成立．
10．设f(x)＝ln x＋x－1，证明：
3
(1)当x＞1时，f(x)＜(x－1)；
2
10
9x－1
(2)当1＜x＜3时，f(x)＜.
x＋5
3 1 1 3
证明：(1)记g(x)＝ln x＋x－1－(x－1)，则当x＞1时，g′(x)＝＋－＜0.
2 x 2 x 2
3 又因为
g(1)＝0，故g(x)＜0，即f(x)＜(x－1)．
2
9x－1
(2)记h(x)＝f(x)－，
x＋5
1 1 54
则h′(x)＝＋－
x
2 x x＋52
2＋x54 x＋5 54
＝－＜－
2x x＋5 2 4x x＋52
x＋53－216x
＝.
4x x＋52
令p(x)＝(x＋5)3－216x，则当1＜x＜3时，p′(x)＝3(x＋5)2－216＜0，因此p(x)在(1,3) 内单调递减．又因为p(1)＝0，则p(x)＜0，故h′(x)＜0，
因此h(x)在(1,3)内单调递减．又因为h(1)＝0，
9x－1
则h(x)＜0，故当1＜x＜3时，f(x)＜.
x＋5
11。