专题06 平面向量-2020年高考数学(文)二轮专项习题练 (解析版)

C
B 专题06 平面向量
第十三讲 平面向量的概念与运算
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅰ)在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r
A ．3144
AB AC -u u u
r u u u r B ．
1344
AB AC -u u u
r u u u r C ．3144
AB AC +u u u
r u u u r
D ．1344
AB AC +u u u
r u u u r
A 【解析】通解 如图所示，
11111()()22222
=+=+=⨯++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
EB ED DB AD CB AB AC AB AC 3144=-u u u
r u u u r AB AC ．故选A ． 优解 111()222
=-=-=-⨯+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r EB AB AE AB AD AB AB AC
3144
=-u u u
r u u u r AB AC ．故选A ． 2．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
B 【解析】2
(2)22(1)3⋅-=-⋅=--=a a b a a b ，故选B
3．(2018天津)在如图的平面图形中，已知1OM =，2ON =，120MON ∠=o
，2BM MA =u u u u r u u u r
，
2CN NA =u u u r u u u r ，则·BC OM u u u r u u u u r 的值为
N
M
O
C
B
A
A ．15-
B ．9-
C ．6-
D ．0
C 【解析】由2BM MA =u u u u r u u u r ，可知||2||BM MA =u u u u r u u u r ，∴||
3||
BA MA =u u u r
u u u r ． 由2CN NA =u u u r u u u r ，可知||2||
CN NA =u u u r u u u
r ，∴||3||CA NA =u u u r u u u r ，故||||
3||||BA CA MA NA ==u u u r u u u r
u u u r u u u r ，
连接MN ，则BC MN ∥，且||3||BA MN =u u u r u u u u r ，∴33()BC MN ON OM ==-u u u r u u u u r u u u r u u u u r
，
2
3()3()BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r 23(||||cos120||)6ON OM OM =-=-o
u u u r u u u u r u u u u r ．故选C ．
4．设非零向量a ，b 满足||||+=-a b a b 则
A ．⊥a b
B ．||||=a b
C ．∥a b
D ．||||>a b
A 【解析】由+=-a b a b 两边平方得，222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，即0⋅=a b ，则⊥a b ，故选A ． 5．设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
A 【解析】因为,m n 为非零向量，所以||||cos ,0⋅=<><m n m n m n 的充要条件是
cos ,0<><m n ．因为0λ<，则由λ=m n 可知,m n 的方向相反，,180<>=o m n ，所以cos ,0<><m n ，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”可推出“0⋅<m n ”；而0⋅<m n 可推出cos ,0<><m n ，但不一定推出,m n 的方向相反，从而不一定推得“存在负数λ，使得λ=m n ”，
所以“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分而不必要条件．
6．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使
得EF DE 2=，则AF BC ⋅u u u r u u u r
的值为
A ．85-
B ．81
C ．41
D ．811 B 【解析】设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，∴11()22D
E AC b a ==-u u u r u u u r r r ，33()24
DF DE b a ==-u u u r u u u r r r
，
1353()2444
AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r ，
∴253531
44848
AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r r r r ，故选B.
7
．已知向量1(,
22
BA =uu v
,1
),22BC =uu u v 则ABC ∠= A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°
A
【解析】由题意得112222cos 11||||
BA BC ABC BA BC +⋅∠===⨯⋅u u u r u u u r u u
u r u u u r ，所以30ABC ∠=o ，故选A ．
8．(2018浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为
3
π
，向量b 满足2430-⋅+=b e b ，则||-a b 的最小值是
A
1
B
1
C ．2
D
．2
A 【解析】解法一 设O 为坐标原点，OA =u u u r a ，(,)O
B x y ==u u u r
b ，=(1,0)e ，
由2
430-⋅+=b e b 得2
2
430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，所以点B 的轨迹是以(2,0)C 为圆
心，l 为半径的圆．因为a 与e 的夹角为
3
π
，所以不妨令点A
在射线y =(0x >)上，如图，
数形结合可知min ||||||1CA CB -=-=u u u r u u u r
a b ．故选A ．
解法二 由2
430-⋅+=b e b 得2
2
43()(3)0-⋅+=-⋅-=b e b e b e b e ．
设OB =u u u r b ，OE =u u u r e ，3OF =u u u r e ，所以EB -=u u u r b e ，3FB -u u u r b e =，
所以0EB FB ⋅=u u u r u u u r
，取EF 的中点为C ．则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．
设OA =u u u r a ，作射线OA ，使得3
AOE π
∠=，所以|||(2)(2)|-=-+-≥a b a e e b
|(2)||(2)|||||1CA BC ---=-u u u r u u u r
a e e
b ．故选A ．
9．如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，
记1I OA OB =⋅u u u r u u u r ，2·
I OB OC u u u r u u u r ＝，3·I OC OD u u u r u u u r
＝，则
O
A
B
C
D
A ．1I <2I <3I
B ．1I <3I <2I
C ．3I < 1I <2I
D ．2I <1I <3I
C 【解析】如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，
易得AO AF <，而90AFB ∠=o
，∴AOB ∠与COD ∠为钝角，AOD
∠与BOC
∠为锐角．根据题意
12()I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA -=⋅-⋅=⋅-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
||||cos 0OB CA AOB ∠<u u u r u u u r ，∴12I I <，同
理23I I >．做AG BD ⊥于G ，又AB AD =．∴OB BG GD OD <=<，而OA AF FC OC <=<，
∴||||||||OA OB OC OD ⋅<⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
，而cos cos 0AOB COD ∠=∠<，∴OA OB OC OD ⋅>⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，即13I I >，
∴312I I I <<，选C ．
10．已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP =u u u r ,PM MC =u u u u r u u u u r ，则2
||
BM u u u u r 的最大值是 A ．
443 B ．449
C ．43637+
D ．
433237+
B 【解析】建立平面直角坐标系如图所示，
则((0,3)B C A ，则点P 的轨迹方程为22
(3)1x y +-=．
设(,)P x y ，00
(,)M x y ，则02x x =，02
y y =，代入圆的方程得
220031(()24x y -
+
-=，所以点M 的轨迹方程为2231(()24
x y -+-=，
它表示以3,)22为圆心，以1
2
为半径的圆，
所以max 17||22
BM =
=
u u u u r
，所以2max 49||4BM =u u u u r ． 11．在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形ΑΒCD 是平行四边形，()1,2ΑΒu u u r =-，()2,1ΑD u u u r
=，
则ΑD ΑC u u u r u u u r ⋅= A ．5 B ．4 C ．3 D ．2
A 【解析】由(3,1)AC A
B AD =+=-u u u r u u u r u u u r ，得(2,1)(3,1)5AD A
C ⋅=⋅-=u u u r u u u r
．
12．已知点,,A B C 在圆2
2
1x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2,0)，则||PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r
的
最大值为
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
B 【解析】由题意，A
C 为直径，所以24PA PB PC PO PB PB ++++==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，已知B 为(1,0)-时，4PB
+u u u r
取得最大值7，故选B ．
13．已知向量(1,2),(,1)a b m ==-r r ，且()a a b ⊥+r
r r ，则m =（ ）
A ．-1
B ．-2
C ．-3
D ．-4
【答案】C 【解析】(1,1)a b m +=+r r ，因为()a a b ⊥+r r r ，所以()0a a b ⋅+=r r r ，解得3m =-.故选：C
14．已知平面向量
()()
2,1,2,4a b ==r r
，则向量a r 与b r
的夹角的余弦值为（ ）
A ．35
B ．45
C ．35-
D ．45-
【答案】B 【解析】由
()()
2,1,2,4a b ==r r
，
得
a b ==r r
.设向量a r 与b r
的夹角为θ，
则
84
105cos θ=
==
．故选：B ． 15．若向量(4,2)a =r ，(6,)b k =r ，若//a b r r
，则(k = )
A ．12-
B ．12
C ．3-
D ．3
【答案】D 【解析】解：根据题意，向量(4,2)a =r ，(6,)b k =r ，若//a b r r ，则有426k ⨯=⨯，
解得3k =；故选：D ．
16．已知
()
1,2a =r
，
()
1,0b =r
，则
2a b +=
r r （ ）
A ．5
B ．7
C ．5
D ．25
【答案】C 【解析】()()()
221,21,03,4a b +=+=r r
Q ，因此，
222345
a b +=+=r r
.故选：C.
二、填空题
17．(2018全国卷Ⅲ)已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若()2+c a b P ，则λ=_．
1
2
【解析】2(4,2)+a b =，因为(1,)λ=c ，且(2)+∥c a b ， 18．(2018北京)设向量(1,0)=a ，(1,)m =-b ，若()m ⊥-a a b ，则m =_______．
1-【解析】依题意m -a b =(1,)m m +-，根据向量垂直的充要条件可得
1(1)0()0m m ⨯++⨯-=，所以1m =-．所以124λ⨯=，即12
λ=
． 19．已知向量(1,2)=-a ，(,1)m =b ．若向量+a b 与a 垂直，则m =__．
7【解析】∵(1,3)m +=-a b ，∴()=0+⋅a b a 所以(1)230m --+⨯=，解得7m =． 20．已知向量(2,3)=-a ，(3,)m =b ，且⊥a b ，则m = ． 2【解析】由题意0⋅=a b ，所以2330m -⨯+⨯=，即2m =．
21．在△ABC 中，60A ∠=︒，AB =3，AC =2．若2BD DC =u u u r u u u r ，AE AC AB λ=-u u u r u u u r u u u r
（λ∈R ），且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r ，
则λ的值为 ．
311
【解析】0
32cos603AB AC ⋅=⨯⨯=u u u r u u u r ，1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,则
12212()()34934333333
AD AE AB AC AC AB λλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，311λ=．
22．已知向量(2,6)=a ，(1,)λ=-b ，若a ∥b ，则λ= ．
3-【解析】由∥a b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-
23．如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC u u u r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OC u u u r
的夹角为α，且tan 7α=，
OB uuu r 与OC u u u r 的夹角为45o。

若OC u u u r =m OA u u u r +n OB uuu r （m ，n ∈R ），则m n += ．
3【解析】由tan 7α=
可得sin 10
α=
，cos 10α=，由OC u u u r =m OA u u u r +n OB uuu r
得22OC OA mOA nOB OA
OC OB mOB OA nOB
⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，即cos(45)45cos(45)m n m n ααα⎧=++⎪=++o o o
cos 45)()(1cos(45))m n αα+=+++o o
所以3102102
m n +===所以3m n +=． 24．设向量(,1)x x =+a ，(1,2)=b ，且⊥a b ，则x = ．
23
-【解析】因为(,1),(1,2),x x =+=⊥a b a b ，所以2(1)0x x ++=，解得2
3x =-．
25．已知向量(,4)m =a ，(3,2)=-b ，且a ∥b ，则m =____．
6-【解析】由题意2120m --=，所以6m =-．
26．(2018上海)在平面直角坐标系中，已知点(10)A -，，(2,0)B ，E ，F 是y 轴上的两个动点，
且||2EF =u u u r
，则AE BF ⋅u u u r u u u r
的最小值为______．
3-【解析】设(0,)E t ，(0,2)±F t ，所以(1,)(2,2)⋅=⋅-±u u u r u u u r
AE BF t t
222(2)22(1)3=-+±=±-=±-t t t t t ，当1=±t 时，AE BF ⋅u u u r u u u r
取得最小值3-．
27．已知点P 在圆22=1x y +上，点A 的坐标为(2,0)-，O 为原点，则AO AP ⋅u u u r u u u r
的最大值为_______．
6【解析】||||cos ||||2(21) 6.AO AP AO AP AO AP θ⋅=⋅≤⋅≤⨯+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
所以最大值是6．
28．已知向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，则||||++-a b a b 的最小值是 ，最大值是 ．
4,,a b r r
的夹角为θ，由余弦定理有：
a b -==r r
，
a b +==r r
则：
a b a b ++-=r r r r
令54cos 54cos y x x =
++-，则[]221022516cos 16,20y θ=+-∈，
据此可得：()
()
max
min
2025,164a b a b
a b a b
++-==++-==r r r r
r r r r
，
即a b a b ++-r r r r
的最小值是4，最大值是25.
29．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2
2
50x y +=上，若20PA PB ⋅u u u r u u u r
≤，
则点P 的横坐标的取值范围是 ．
[52,1]-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅u u u r u u u r
≤，得250x y -+≤，
O
52
52
2x-y+5=0N
M
y
x
B
A
如图由250x y -+≤可知，P 在¼MN
上， 由22
250
50x y x y -+=⎧⎨
+=⎩
，解得(1,7)M ，(5,5)N --，所以P 点横坐标的取值范围为[52,1]-． 30．已知向量,a b ，||1=a ，||2=b ，若对任意单位向量e ，均有||||6+„
ae be ，则⋅a b 的最大值
是 ．
7【解析】由1⋅=a b ，||1,||2==a b 可得两向量的夹角为60o ，建立平面直角坐标，可设(1,0)=a ，(1,3)=b ，(cos ,sin )θθ=e ，则|||||cos ||cos 3sin |θθθ⋅+⋅=++≤a e b e
|cos ||cos |3|sin |3|sin ||cos |7θθθθθ++=+≤，所以||||⋅+⋅a e b e 的最大值为7．
31．过点(1,3)P 作圆2
2
1x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，则PA PB ⋅=u u u r u u u r
．
32
【解析】在平面直角坐标系xOy 中，作出圆22
1x y +=及其切线,PA PB ，如图所示，
连结,OA OP ，由图可得||||1OA OB ==，||2OP =，||||3PA PB ==u u u r u u u r
，
6APO BPO π
∠=∠=，则,PA PB u u u r u u u r 的夹角为3
π
，
所以3||||cos 32
PA PB PA PB πu u u r u u u r u u u r u u u r ⋅==．
32．已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），则m n -的值为______．
3-【解析】由题意得：29,282,5,3m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-．
三、解答题
33．已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈．
（1）若∥a b ，求x 的值；
（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．
【解析】（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，∥a b ，所以3sin x x =．
若cos 0x =，则sin 0x =，与2
2
sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan x =． 又[0,]x π∈，所以56
x π=
．
（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6
f x x x x x x =⋅=⋅==+a b .
因为[0,]x π∈，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()62
x -≤+≤
. 于是，当ππ
66x +
=，即0x =时，()f x 取到最大值3；
当π6x +=π，即5π6
x =时，()f x 取到最小值-。