3-7质点系的动量定理

t2 v v I 外 = ∫ F外力dt t1
当系统所受合外力为零时， 当系统所受合外力为零时，即F外=0时，系统的 时 动量的增量为零， 动量的增量为零，即系统的总动量保持不变
v 若: F外 = 0
v n v P＝∑ m i v i = 恒矢量
i =1
v n v P＝∑ m i v i = 恒矢量 :是矢量式 应用时写成分量式 是矢量式,应用时写成 是矢量式 应用时写成分量式
三种 情况 （1）不受外力 ）不受外力; （2）受外力 外力矢量和为零 ）受外力,外力矢量和为零 （3）内力远远大于外力 ） (打击,碰撞,爆炸等) 打击,碰撞,爆炸等)
分动量守恒: 分动量守恒
动量守恒可在某一方向上成立。 合外力不为零, 动量守恒可在某一方向上成立。 合外力不为零, 但若沿某一方向合外力为零, 但若沿某一方向合外力为零,则该方向的动量守恒
r r r ∆p = 0 − m0 (v0 i + 2 gh j )
分析：这是由于外力 车厢的反作用力和重力共同作用的 分析：这是由于外力---车厢的反作用力和重力共同作用的 结果。在煤陆续到达车厢后速度变为零这一极短时间内， 结果。在煤陆续到达车厢后速度变为零这一极短时间内， 车厢反作用力为一冲力， 车厢反作用力为一冲力，与它相比重力可以忽略不计
一、关于质点系
几个相互作用的质点组成质点系 系统所受的力分为外力和内力 系统所受的力分为外力和内力
外力: 外力
系统外的物体作用于 系统内各质点的力
内力: 内力:
系统内各质点之间的 相互作用力
注:
系统的内力对于系统内的每一质点均属于外力 系统内的所有内力总是由一对对的 作用力和反作用力组成 对于系统: 对于系统
v v0
v v v v人→地 = v人→车＋v车→地
x
v' v v v = u +υ v v = vi − u i
(m1 + m2 )v0 = m1v − m2u (m1 + m2 )v0 = m1v + m2 (−u + v0 ) (m1 + m2 )v0 = m1v + m2 (−u + v)
质点系动量守恒定律的解题步骤： 质点系动量守恒定律的解题步骤：
v3
x
− v 1 + v 3 cos θ = 0 − v 2 + v 3 sin θ = 0
得：tan θ =
v2 v1 = 60 80 = 0.75,
v1
O
θ
所以 θ = 37 °
-1 2
v2
-1
v3 =
v1 cos θ
=
80 cos 37
o
m ⋅ s = 1.0 × 10 m ⋅ s
v v g 0 = v b 0 = 0 m b = 2 m g 则 p0 = 0 初始速度 v 推开后速度 v g = 2 v b 且方向相反 则 p = 0
推开前后系统动量不变
v v p = p0
r [例题 如图表示传送带以水平速度 v 0 将煤卸 例题1]如图表示传送带以水平速度 例题
入静止车厢内。 入静止车厢内。每单位时间内有质量为 m0 的 煤卸出，传送带顶部与车厢底板高度差为 ， 煤卸出，传送带顶部与车厢底板高度差为h， 开始时车厢是空的，不考虑煤堆高度的改变 开始时车厢是空的，不考虑煤堆高度的改变. 求煤对车厢的作用力. 求煤对车厢的作用力
t1
t2
t1 t2
v F1
v v F21 F12 m2
v F2
m1
t2 v v v v v v v v ∫ (F1＋ F2 )dt＋∫ (F12＋ F21 )dt = (m1v1 + m2v2 ) − (m1v10 + m2v20 ) t1
作用在两质点组 t1 成的系统的合外 t v v v v v v (F1＋F2 )dt = (m1v1 + m2v2 ) − (m1v10 + m2v20 ) 力的冲量等于系 ∫ 统动量的增量。 统动量的增量。 t
i =1
Fx = 0, Px = ∑ mi vix = C x F y = 0, Py = ∑ mi viy = C y
说明
动量守恒是指系统的总动量的矢量和不变， 动量守恒是指系统的总动量的矢量和不变， 而不是指某一个质点的动量不变。 而不是指某一个质点的动量不变。 守恒的条件： 守恒的条件：系统所受的合外力为零
v 若F外 ≠ 0，但Fx = 0
Px = ∑mivix = Cx
动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。 最普遍
动量守恒中， 动量守恒中，系统内所有物体的速度 都是相对于同一惯性参照系的
相对运动： 相对运动： A B C 研究对象 运动参照系 地面
2.质点系的动量定理的表示形式 2.质点系的动量定理的表示形式 回顾质点的动量定理 v v 质点动量定理的微分形式 质点动量定理的微分形式 dP = Fdt
v v t2 v P2 − P1＝ ∫ F dt
t1
质点动量定理的积分形式 质点动量定理的积分形式
质点系动量定理的两种表示形式
d( ∑
t2
r r p i ) = ( ∑ Fi ) dt
[解]把单位时间内落入车厢的煤视作质点系， 解 把单位时间内落入车厢的煤视作质点系 把单位时间内落入车厢的煤视作质点系， 并建立直角坐标系Oxy. 并建立直角坐标系 到达车厢前一瞬间， 到达车厢前一瞬间，煤的速度
x y O
r r v = v0i +
r 2 gh j
到达车厢后速度为零. 到达车厢后速度为零 则质点系动量的改变量为： 则质点系动量的改变量为：
x y O
r r ′ F N 2 = − m 0 gt j
煤作用于车厢的力等于上面两力之和，即 煤作用于车厢的力等于上面两力之和，
r r r r r FN = FN1 + FN 2 = m0 v0 i + m0 ( gt + 2 gh ) j
二.质点系的动量守恒定律 v v v 质点系的动量定理: 质点系的动量定理 I 外＝P－P0v Βιβλιοθήκη v vA→C = vA→B＋vB→C
v 的人,平板车以速度 质量为m1的平板车上站立着一质量为 m2 的人 平板车以速度v 0
v 向左奔跑 求此时车的速度 v 对车以速度 u 向左奔跑,求此时车的速度v v u
o
答案: 答案 (m1 + m2 )v0 = m1v + m2u
向右运动, 原来人站在车上不动,突然发生意外情况 突然发生意外情况,此人立即相 向右运动 原来人站在车上不动 突然发生意外情况 此人立即相
质点系动量的改变量为： 质点系动量的改变量为：
r r r ∆p = 0 − m0 (v0 i + 2 gh j )
与时间无关， 与时间无关，所以车厢的反作用 力是一个恒力 x y
O
于是单位时间内车厢对煤的冲量
r r ′ FN 1 ⋅ 1 = ∆ p
r r = − m0 (v0 i + 2 gh j )
2 1
v v Q ∫ (F12＋F21 )dt = 0
t2
t1
质点系的动量定理
二质点组成的系统 推 广 多个质点组成 的系统
t2
t2
v v v v ∫ (F1＋F2 )dt = P − P0
t1
v v v ∫ ∑ F外力dt = P − P0
t1
作用在系统的合外力的冲量等于系统动量的增量， 作用在系统的合外力的冲量等于系统动量的增量， 质点系的动量定理
1．选好系统，分析要研究的物理过程； 选好系统，分析要研究的物理过程； 2．进行受力分析，判断守恒条件； 进行受力分析，判断守恒条件； 3．确定系统的初动量与末动量； 确定系统的初动量与末动量； 4．建立坐标系，列方程求解； 建立坐标系，列方程求解； 5．必要时进行讨论。 必要时进行讨论。
角发射一炮弹，炮车质量为M， 例1：炮车以 α 角发射一炮弹，炮车质量为 ，炮弹质 量为m，炮弹出口速度 出口速度为 （相对炮车） 量为 ，炮弹出口速度为v（相对炮车） 炮车反冲速度V（炮车与地面磨擦力忽略不计） 求：炮车反冲速度 （炮车与地面磨擦力忽略不计） 炮车与炮弹为一系统， 解：炮车与炮弹为一系统， 在水平方向动量守恒
i
质点系动量定理的微分形式 质点系动量定理的微分形式 质点系动量定理的积分形式 质点系动量定理的积分形式
v v v ∫ ∑ F外力dt = P − P0
t1
v v v I 外＝P－P0
注意
内力不改变质点系的动量 内力不改变质点系的动量 不改变质点系 内力改变单个质点的动量 内力改变单个质点的动量 改变单个质点
y
υ2
v
'
m
υ1
M x
v
解：滑块和物体组成的系统在水平方向所受合外力为 ， 滑块和物体组成的系统在水平方向所受合外力为0， 所以系统动量守恒 所以系统动量守恒
Mυ1 + m(υ1 − υ 2 x ) = 0
'
即：Mυ1 + m(υ1 − υ 2 cos θ ) = 0
'
∴ ( M + m)υ1 = mυ 2 cos θ
v I内 = 0
一. 质点系的动量定理
P 表示质点系在时刻 t 的动量
r r P = ∑mivi
i
问题: 问题:
系统从P 系统从P状态 思路: 思路
v Q状态 ∆P = ?
v 叠加 对每个质点讨论 ∆P= ? i
二质点组成的系统 推广
v 质点系 ∆P= ? i
多质点组成的系统
质点系动量定理的推导思路 二质点组成的系统 推 广
r r r Q u = v +V
u x = v cos α − V
由动量守恒定律（对地） 由动量守恒定律（对地）
− MV + m(v cos α − V ) = 0
x
m 反冲速度： 反冲速度 V = v cos α m+M
u V
α
v
例2：教参93页例3 教参93页例 页例3
m
M
的斜面放在光滑的平面上， 例2：长为 ，质量为 的斜面放在光滑的平面上， ：长为l，质量为M的斜面放在光滑的平面上 质量为m的物体由斜面顶端无摩擦地滑到底端 的物体由斜面顶端无摩擦地滑到底端， 质量为 的物体由斜面顶端无摩擦地滑到底端， 求滑块后退的距离？ 求滑块后退的距离？
所以煤落到车厢时煤对车厢的冲力为
r r r r ′ FN1 = − FN1 = ( m0v 0 i + m0 2 gh j )
所以煤落到车厢时煤对车厢的冲力为
r r r r ′ FN1 = − FN1 = ( m0v 0 i + m0 2 gh j )
已到达车厢的煤处于静止状态， 已到达车厢的煤处于静止状态， 车厢将施一支持力与作用于煤的 重力平衡。 重力平衡。 取煤到达空车厢时为计时起点， 取煤到达空车厢时为计时起点， 车厢对煤的支持力
m1
r f12
r f21
两个质点在外力及 内力作用下如图所示： 内力作用下如图所示：
r F 1
r F 2
m2
多个质点组成 的系统
一. 质点系的动量定理
1、两个质点的情况 t2 v v v v m 1： (F1＋ F12 )dt = m 1 v1 − m 1 v10 ∫
v v v v m 2 : ∫ (F2＋ F21 )dt = m 2 v 2 − m 2 v 20
'
υ2
v
'
m
υ1
M
'
v
Q ( M + m)υ1 = mυ 2 cos θ
( M + m ) ∫ υ1 dt = m cos θ ∫ υ 2 dt
' 0 0 t t
( M + m ) S = m cos θ l
m cos θ l S= M +m
例 3：一原先静止的装置炸裂为质量相等的三块 已 ：一原先静止的装置炸裂为质量相等的三块, 知其中两块在水平面内各以80 知其中两块在水平面内各以 m⋅s−1 和60 m⋅s−1 的速率 沿互相垂直的两个方向飞开。求第三块的飞行速度。 沿互相垂直的两个方向飞开。求第三块的飞行速度。 设碎块的质量都为m， 解：设碎块的质量都为 ， y 建立如图所示的坐标系 根据动量守恒定律得