线性代数知识点总结第一章

a ii a i2
、
a ii 把表达式 a ii 822 - a i2 a 2i 称为
a 2i
a i2 所确定的二阶行列式，并记作 a 22
对二元方程组
a
i1
a
i2
D i
b i b 2
a
i2
a
ii D
a
2i
a
b i
3l 2
a
ii bi D i _ b 2
a
22 … D 2 a 2i b 2
D
a ii a i2
，X ^ D -
a ii a i2
a
2i
a
22
a
2i
a
22
对三元方程组
线性代数知识点总结
第一章 行列式
第一节：二阶与三阶行列式
二三阶行列式的计算：对角线法则
注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。

利用行列式计算二元方程组和三元方程组： a 11
x a 2
x 2
= b 1
a ?i X| ' a 22 X 2 =
b j
即D =
a
ii a 2i
a
i2
a
22
=6£22 — a^a zi .结果为一个数。

冋理，把表达式
Ci a 22a 33
+ a i2a 23a 3i +a i3a 2〔a 32 — a ii a 23a 32 — a i2a 2〔a 33 — 3i3a 22a 3i,称为由数
a
ii a i2 a i3 a
ii
a
i2
a
i3
表a ?i
a 22 a 23 所确定的三阶行列式，记作
a 2i
a 22 a 23 。

a
3i
a
32
a
33
a
3i
a
32
a
33
a ii a i2 a i3
即a 2i
a 22 a 23 = a ii a 22a 33
*a i2a 23a 3i +a i3a 2i a 32 —aii a 23a 32 — ai2a 2i a 33 — ai3a 22a 3i.
a
3i
a
32
a
33
a
21 a
i2
a
22
a
22
a
21
'a i3X 3
则x 口
=bi
a ii X i Q2X 2 a 2i
a ii a
i2
a
i3
a
2i a22a 23
a 3i a
32
a
33
设D二
a
11
a i2
定义：n 阶行列式D 工
a
21 a
22
III
III
a 1 n
a
2n
等于所有取自不同行、 不同列的n 个元素的乘积
a
n1
a
n2
a
nn
逆序数决定。

D =
a
11
a
22
川
III
a 1 n
a
2n
tS"
a 11a 22|lbnn 二可卍?？川a ..也可简记为
det a ij ，其中a ij 为行列式
（i ，j 元）。

a
11
a
i2
根据定义，有D 二
III III a 1n
a
2n
'
-1“诙“知％2川孤
Pl P2“IPn
a
n1
a
n2
III
a
n n
第二节：全排列及其逆序数
全排列：把n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列（或排列）。

n 个不同的元素的所有排列的总数，通常用
P n （或A n ）表示。

（课本P5）
逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，
即前面的数大于后
面的数，那么称它们构成一个逆序」个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。

________ 排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列； 逆序数为偶数的排列称为偶排列。

（课本
P5）
计算排列逆序数的方法：
方法一：分别计算出排在1,2,）||,n_ 1,n 前面比它大的数码之和即分别算出 1,2,）||,n_ 1,n
这n 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。

方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和， 即算出排列中每个元素的 逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。

（课本上没有）
第三节：n 阶行列式的定义
a 1 p,a 2pj l| a np n 的代数和，其中P 1 P 2…P n 是1 , 2 ,…，n 的一个排列，每一项的符号由其
b 1 a 12 a 13
a 11
b i a 13
a
11 a 12 b
1
D1 =
b 2
a
22
a 23 5 D 2 =
a
21
b 2 a 23
,D 3 =
a 21 a 22
b 2
b 3 比2
a
33
為
b 3
a
33
a
31
a
32
b s
则x
D 1 ,X 2 D 2 ,X
3 : D 3 。

（课本上没有）
D D
D
注意：以上规律还能推广到 n 元线性方程组的求解上。

说明：
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程
推论1 ：上，
F 三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积 a
i1
厲2
a
22
III
III
a i n a
2n
=-1
' ' a ii a 22 llgnn
-a i1
a
2^ I a nn
a
nn
推论2:主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积, 以其副对角线上各元的乘积。

副对角行列式的值等于
~1~~乘
定义
厲2
III a 1 n 记D =
a 21
■*
a 22
1 i ■
III
■* i ¥
a 2n
■ h F
a n1
a n2
a nn
a
11 a 21
III a n1 f T a
12 a
22 III a n2 ,D =
■* ■*
I i R * i
■
■
a
1n
a
2n
卅
a
nn
组的需要而定义的；
2、 n 阶行列式是n!项的代数和；
3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 n 个元素的乘积
4、a ip 1
a2pj||a n p n
的符号为（-1 j ，t 的符号等于排列 pm,…P n 的逆序数
5、一阶行列式a = a 不要与绝对值记号相混淆。

第四节：行列式的性质 D 的转置行列式。

性质1 行列式与它的转置行列式相等。

说明
行列式中行与列具有同等地位，因此凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立。

性质2互换行列式的两行 r--仃或列G 「q ，行列式变号。

推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。

性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k （r j k ），等于用数k 乘此行列 式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到 D 的外面；
推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则
D=0。

即 =肾’2 I" 'n ， ，行列式D T
称为行列式
性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零. 性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则
性质6
行列式的值不变。

的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去,
定理
a
ii
a 2i n 阶行列式 D = +
%川am
a
22川
等于它的任意一行（列）的各元素与其对应
计算行列式常用方法： ①利用定义；②利用运算 A - k 「i 把行列式化为上三角形行列式，从
而算得行列式的值。

说明
行列式中行与列具有同等的地位，行列式的6个性质凡是对行成立的对列也同样成
第五节 行列式按行（列）展开
余子式 在n 阶行列式中，把元素 a j 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的 n-1阶行列 式叫做元素a j 的余子式，记作M y 。

代数余子式
记 代=（—1 ［勺抽耳，叫做元素a j 的代数余子式。

引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除（i , j ）（i, j ）元外a ij 都为零，那么这 行列式等于a ij 与它的代数余子式的乘积，即 D =a j A j 。

的代数余子式的乘积之和，即 D =a i1A i1 - a i2A i2 • 11（ a in A in ，
(i - 1,2j 11, n)或 D - a i j A i j
a 2j A 2j 川 a nj A nj ， (j - 1,2j 11, n)。

a n
a 12
III 佝 +a*) III a 1n
=
a
21
■r
a
22
q q
III ®i +a ；i ) *
HI a
2n
■
r
a
n1
R
a
n2
III ♦
(a ni +a ；i ) III a
nn
a 1
a
12
III 4i ill^n
a
n a 12
III
IlWn a 2 1 a 22 III a 2i
川a 2n + a 21 a 22
III a 2i Il|a 2n III III III III HI
III III HI III III a n 1 a n2 III a ni III a nn
a n1 a n2
III a ni 111
a
把行列式的某一列（行）
D 扩展
范德蒙德（Vandermonde ）行列式D n
a
n1
a
2n
1 1 III 1 X X 2
III X n
2
X
1 + +
2 X
2
i III ■
+ 2
X n r h
+ n -4
X
R n 斗
X
■ III r
nd
X
n
二 i 【(为-X j ) n ._i 习
_1
展开定理推论
a
ii
a
i2卅a in
n阶行列式D =
a
21
a
22III a2n
■r
■r q q■r r r
的任意行（列）的各元素与另
a
n1
a
n2卅a nn
行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即
a
i1 A s1 a
i2
A
s2 | I (
a
in 福
=°(i = s)或a ij A|t * a2 j A2t * | 1 * a nj A” = 0( j t )。