商环与环同态基本定理

, 如果 为偶数, 则
,如
. 所以
这是一个仅有两个元素的域.
二、环同态的核的定义与性质
定义 2 设 为环 到 的同态, 称集合 为同态 的核.
命题
设 为环 到 的同态, 则 为 的理想.
证明 (1) 任给
,,
,
所以,
.
,
所以,
. 同理可证,
. 所以, 为 的理想.
三、环同态基本定理
定理 3.6.1 设 R R 是一个环同态满射,令 I Ker .那么
2．商环的定义
定义 1 环 称为环 关于理想 的商环.
如 为交换环, 则 也是交换环.
如 有单位元, 则 也有单位元, 且
.
定义1 设 R 为任意一个环，而 I R .那么 R I , 称 作 R 关于理想 I 的剩余类环(也叫商环或 差环),其中 R I 中 每个元素叫作模 I 的剩余类. 例 1 设 R Z 为整数环,而使 I 6Z {6n | n Z} 那么
从定理 3 的证明中可知:除了(ⅱ)需要 是满环同态外,其余情况都不需要
是满射这个条件.
五、 整环的商域
（一）商域的概念 定义 1
设 是一个域, 是 的子环. 如果对任意的 , 使得 , 则称 为 的商域.
只有无零因子的交换环才可能有商域. 由一个环得到一个域的第二种方法---商域 例 4 的商域就是 . 例 5 域 的商域就是它本身.
R I Z6 {[0],[1],[2],[3],[4],[5]} 就是我们已经熟悉的“模 6 剩余类环”——这是整数的剩余类环..
例 2 设 为大于 1 的正整数, 则 商环
即商环
就是模 的剩余类环.
例 3 设 为高斯整环, 试确定
为 的理想, 从而有 .
解
从而, 对任意的 为奇数, 则
。
, 存在
例 6 求高斯整环 的商域.
解设 又因为任给
, 则 为域.
,因
, 故存在
,
. 于是
而
,
, 所以 为 的商域.
, 使得
例 7 设 为域, 为 上的未定元, 则 的商域为
称域 为 上的有理分式域.
设 为 的商域, 则任给
,
, 方程
在 中都有解.
（二）商域的构造
设 为整环. 下面由 出发, 构造 的商域.
当
时, 即 与 都是 的商域, 则有恒等同构
故由前定理知:
.
这说明, 从同构的观点看, 的商域是唯一的.
类似地可以证明, 当 为无零因子的交换环, 且 不为零 时, 也有商域（见张禾瑞《近世代数基础》119 页定理 1）.
习题课 习题 1 在 中规定
证明：1.证 为加群
（1）封闭 （2）结合律成立
, 使得
.
证明 令
，则
(1) 如果
,则
,故
这说明, 为 到 的映射.
(2) 任给 , 则
. 于是
.
即
；
(3) 任给
所以, 为环同态.
(4) 设
, 如果
因为 为同构, 所以
,即
,则
.
.故
. 故 为单同态.
(5) 任给
,
,则
, 则 为同构, 故存在
, 使得
，所以, 为满同态.
由此知: 为同构: :
.
(4) 乘法对加法满足分配律.
在前一节中我们已知,当 I 是环 R 的理想时,仅对加法而言知 IR ,得到加法商 群 R I {[a] | R}，其中群 R I 中运算为[a] [b] [a b] ，每个元素 a 都叫做 I 的一个剩余类环且[a] [b] 当且仅当 a b I .
定理 3.6.2 设 R 是一个环而 I R ,那么必有环同态 : R R I . 使得 是满同态且核 Ker I .称这样的 为环的自然同态.
证明 令 : R R I ,其中(a) [a] ,显然 是个满射.而且
a,b R ，有
(a b) [a b] [a] [b] (a) (b) (ab) [ab] [a][b] (a)(b) 所以 R～R I .至于 Ker I 是显然的.
上述定理 1 和定理 2 通称为环同态基本定理.同时表明:环 R 的 任何商环 R I 都是 R 的同态象.而环 R 的任何同态象实质上只能是 R 的一个商环.与群同态类似,我们还可以得到一些与群同态相平行
的一些结果.
四、环同态的性质传递问题 定理 3.6.3 设 : R R 是环同态映射,那么
证明 在 F 里
ab1 b1a a b
有意义。作 F 的子集
a,b R,b 0
Q

所有
a b

Q 显然是 R 的一个商域。证毕。
a,b R,b 0
（三）商域的同构唯一性定理
定理 3.6.6
设 与 为两个整环, 与 分别为它们的商域. 如果 :
, 则存在域的同构 :
于是在 内,
所以,
由此知, 为 的商域.
综上，我们得到
定理 3.6.5 每一个没有零因子的交换环 D 都是一个域 Q
的子环；且
，这里
。
说明 ：
1、一个有两个以上的元的没有零因子的交换环至
少有一个商域；
2、假定 R 是一个有两个以上的元的环，F 是一
个包含 R 的域，那么 F 包含 R 的一个商域。
设
, 规定
则"+", "." 为的代数运算, 且关于这两个运算构成域.
5. 由 构作一个包含 的域 令
则 为单同态. 从而由环的扩张定理, 存在 的扩环 , 使得 . 因 为域, 所以 也是域, 这里
, 6. 对任意的
(i) 如果 , 则
.
(ii) 如果 x F (D) ，则
,
, . 那么在 内,
第 21 讲
第 三 章 环与域
§6 商环与环同态基本定理
一、 商环的定义与性质
1 商环的构造： 设 为环， 为 的理想.
(1)
(2) 的加法与乘法:
,
,
.
则 关于如上所定义的运算构成环.
说明 要证明 为环, 必须证明下列几点:
(1) "+"和"."为 的代数运算.
(2)
为交换群.
(3) 乘法满足结合律.
（1）加法
结合律成立。
零元为
的负元
（2）乘法
结合律成立。 （3）分配律成立
2. 有单位元
3. 乘法的交换律成立
4. 无零因子
习题 4 证明：一个至少有两个元而且没有零因子的有限环
是一个除环。
证明：只要证
是一个群
（1） 无零因子，说明 对乘法封闭
（2）结合律成立 （3） 无零因子从而消去律成立。 满足消去律。
习题 9 一个环 的非空子集 叫做 的一个左理想，假如 （i） （ii） 你能不能在有理数域 上的 矩阵环里找到一个不是理想的左理想？ 解：考虑有理数域 上的 矩阵
是 的子环， 是 的左理想。
习题二十一
1.设 N 是环 R 到环 R 的同态满射 的核.证明:
是同构映射 N=0.
2. 设 R 是有单位元的整环(可换,无零因子).证明:

(a,b Q)
的方阵作成的集合.证明：对普通加法与乘法来说，R 与 R 同构且 R 是一个域.
5. 设 R 为环， NR. 证明： 1） R N 中的理想都具有形状 K N ，其中 K 是 R 的含 N 的理想； 2）在自然同态 R ~ R N 之下，R 的理想 H 的象为
的子环.又因为 是满射，所以 i (I ), i I使i (i) ，
a R, a R,使a (a) ，又因为 I R ，因此 ia I, ai I ， 从而 ia (i)(a) (ia) (I ) ， ai (a)(i) (ai) (I ) ， 故(I ) 是 R 的理想.
([a]) (a). [a] R I .
下面只需证明: [a],[b] R I , ([a][b]) ([a])([b]) .但
([a][b]) [ab] (ab) (a)(b) [a][b] .
所以 : R I R来自是环同构.即 R I R .(a)(r) S,(r)(a) S . 于是(ar) (a)(r) S, 即ar 1(s)；又(ra) (r)(a) S， 即ra 1(s)，所以 1(s) 满足吸收律. 又由(ⅲ)知， 1(s) 是 R 的子环，于是 1(s)R .
(ⅲ) a,b 1(s) ,有(a),(b) S , 从而知(a) (b),(a)(b) S , 所以(a b) (a) (b) S, 即 a b 1(s)；(ab) (a)(b) S, 即 ab 1(s) ，故 1(s) 是 R 的一个子环. (ⅳ) a 1(s), 则(a) S；r R，则(r) R .因为 SR ,所以
1. 构造集合 .
2. 在 上规定关系
当且仅当
则 " " 为 上的等价关系.
证明 (1) 由
得
.
(2) 由
得
, 从而
, 从而
.
(3) 若
,
,则
,
, 所以
, 消去 , 得
,故
.
3. 由等价关系得商集 .
记
所在的等价类为 , 即
令
则 当且仅当
说明 两等价类相等的充要条件
当且仅当
当且仅当 .
4. 规定 的加法与乘法运算
(ⅰ) I R ；
(ⅱ)
R I

R
证明 (ⅰ)对加法而言, 显然是一个加群满同态,由群的知识有 I R .
下面只需证明吸收律也成立即可.
k I,r R.那么(rk) (r)(k) (r)0 0，因此 rk I . 同
理 kr I .所以 I R .
(ⅱ)由群同态基本定理知,存在 ，使 R I R .作为群同构,其中
(ⅰ)若 S 是 R 的子环，则(S) 是 R 的子环； (ⅱ)若 I 是 R 的理想且 为满射，则(I ) 是 R 的理想； (ⅲ)若 S 是 R 的子环，则 1 (S ) 是 R 的子环； (ⅳ)若 S 是 R 的理想，则 1 (S ) 是 R 的理想.
证明 (ⅰ) a,b (S ), a,b S ，使 a (a), b (b). 所以 a b S ,于是 a b (a) (b) (a b) (S) ， 从而(S) 是 R 的子群.另外 a b (a)(b) (ab) (S) , 所以(S) 是 R 的子环. (ⅱ)因为 I R ,所以 I 是 R 的子环，从而(I ) 是 R
下面我们将说明在商加群 R I 中可以合理地引入一个乘法并使 R I ,, 做
成一环.这个乘法即前面定义的
[a][b] [ab] (或 (a I)(b I) ab I ) 现在我们来证明定义的合理性.设[a] [a' ] 且[b] [b' ] ，则 a a' I 且 b b' I ,于是 ab a'b (a a' )b I ,从而 a'b a'b' a' (b b' ) I ，所 以 [ab] [a'b'] ，即 ab a'b' I .所以定义是合理的. 很容易验证 R I , 是一个环.
1）若 char R= ,则 R 有子环与 Z 同构; 2）若 char R=p(p 是素数),则 R 有子环与 Z p 同构.
3. 设 是环 R 到环 R 的一个同态满射,K 为其同态核,N R.
4. 令 R a bi a,b Q , R 由一切形如

a b
b a
（3）零元 1， （4）负元 （5）交换律
，证明 关于 ， 成环。
2.证 对乘法为半群 （1）封闭 （2）结合律
3.分配律成立
习题 2 在 中找出适合方程 解：[1]，[4]，[11]，[14]
的一切元素。
习题 3 证明：由所有实数
（ ， 是整数）作成的集合
对于普通加法和乘法来说是一个整环。
证明： 1.证 为一个环
习题 5 假定 是模 的一个剩余类。证明：若
数都同 互素。
证明： ，设
，则
又
，则 的
习题 6 假定 是模 7 的剩余类环,在 中计算 解：上式
习题 7 证明：两个理想的交集还是一个理想。
证明：设： ， 都是环 的理想
，有
且
因为 ， 为 的理想，所以
从而
，有
且
故
为 的理想。
习题 8 找出模 6 的剩余类环的所有理想。 解：对于 明显地 与 是其理想，