高三北师大文科数学课时作业 第讲 平面向量的应用举例 含解析

课时作业(二十七) [第27讲 平面向量的应用举例]
(时间：45分钟 分值：100分)
基础热身
1．若向量OF 1→＝(2，2)，OF 2→
＝(－2，3)分别表示两个力F 1与F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A ．2.5 B ．4 2 C ．2 2 D ．5
2．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →
＝0，则四边形ABCD 是( ) A ．矩形 B ．菱形
C ．直角梯形
D ．等腰梯形
3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OC →＝a 1OA →＋a 200OB →
，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点)，则S 200＝( )
A ．100
B ．101
C ．200
D ．201
4．平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1，2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →
＝4，则点P 的轨迹方程是________．
能力提升 5．[2012·昆明一中一摸] 已知a ＝(m ，1)，b ＝(1，n －1)(其中m ，n 为正数)，若a·b ＝0，则1m ＋1
n
的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．8
6．[2012·石家庄质检] 在△ABC 中，∠C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2AM →
，则CM →·CA →
＝( )
A ．18
B ．3
C ．15
D ．12
7．直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M ，N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM →·ON →
(O 为坐标原点)等于( )
A ．－7
B ．－14
C ．7
D ．14 8．[2013·湖南十二校联考] 设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )
A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6
9．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )
A.π6，π3
B.2π3，π6
C.π3，π6
D.π3，π3
10．已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →
＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA
和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4
y
的最小值是________．
11．已知在平面直角坐标系中，O (0，0)，M (1，1)，N (0，1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )
满足不等式0≤OP →·OM →≤1，0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →
的最大值为________．
12．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，∠A ＝90°，如果不等式|BA →－tBC →|≥|AC →
|恒成立，则实数t 的取值范围是________________．
13．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →
＝(1，1)，1|BA →|BA →＋1|BC →|BC →＝3|BD →|
BD →，则四边形ABCD
的面积为________．
14．(10分)已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1，1)，M 是圆C 上的任意一点，点N
在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →
，求点N 的轨迹方程．
15．(13分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝cos 3A 2，sin 3A
2
，
n ＝cos A 2，sin A
2
，且满足|m ＋n |＝ 3.
(1)求角A 的大小；
(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →
|，试判断△ABC 的形状．
难点突破
16．(12分)[2012·杭州二模] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向
量m ＝a ，1
2
，n ＝(cos C ，c －2b )，且m ⊥n .
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝1，求△ABC 的周长的取值范围．
课时作业(二十七)
【基础热身】
1．D [解析] ∵F 1＋F 2＝(2，2)＋(－2，3)＝(0，5)，∴|F 1＋F 2|＝0＋52＝5.
2．B [解析] 由AB →＝DC →
知四边形ABCD 为平行四边形，
又因为AC →·BD →
＝0，
即▱ABCD 的两条对角线垂直， 所以四边形ABCD 为菱形．
3．A [解析] 依题意，a 1＋a 200＝1，S 200＝200（a 1＋a 200）
2
＝100.
4．x ＋2y －4＝0 [解析] ∵OP →·OA →
＝4，∴(x ，y )·(1，2)＝4，∴x ＋2y －4＝0. 【能力提升】
5．C [解析] 因为a ·b ＝0，所以m ×1＋1×(n －1)＝0， 即m ＋n ＝1.又m ，n 为正数，
所以1m ＋1
n ＝⎝⎛⎭
⎫1m ＋1n (m ＋n ) ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2n m ·m n
＝4，
当且仅当n m ＝m n ，即m ＝n ＝1
2时等号成立．
故1m ＋1
n
的最小值是4. 6．A [解析] 由题意，如图建立直角坐标系，则A (3，0)，B (0，3)， ∵BM →＝2AM →
，∴A 是BM 的中点，∴M (6，－3)， CM →＝(6，－3)，CA →＝(3，0)→→
7．A [解析] 记OM →，ON →
的夹角为2θ.依题意得，圆心(0，0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距
离等于|c |a 2＋b
2＝1，∴cos θ＝13，∴cos2θ＝2cos 2
θ－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79，∴OM →·ON →＝
3×3cos2θ＝－7，选A.
8．C [解析] 依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )，3sin(A ＋B )＝1＋
cos(A ＋B ), 3sin C ＋cos C ＝1，2sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝1，sin ⎝
⎛⎭⎫C ＋π6＝12.又π
6＜C ＋π6＜7π6，因此C
＋π6＝5π6，C ＝2π3
. 9．C [解析] 方法一：∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0，
∴cos ⎝
⎛⎭⎫A ＋π6＝0，又∵0<A <π，∴A ＋π6＝π2，∴A ＝π
3.
在△ABC 中，结合正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ， ∴sin(A ＋B )＝sin 2C ，又sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴sin C ＝1，
∴C ＝π2，故B ＝π6
.
方法二：接方法一中，A ＝π
3
，在△ABC 中，由余弦定理得
a ·a 2＋c 2－
b 22a
c ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc
＝c sin C ，
∴2c 2
2c ＝c ＝c sin C ，∴sin C ＝1，∴C ＝π2，故B ＝π6
. 10．18 [解析] ∵AB →·AC →
＝23，∴bc cos A ＝23， ∵∠BAC ＝30°，∴bc ＝4，
∴S △ABC ＝1，∴x ＋y ＝1
2
，
1x ＋4y ＝2（x ＋y ）x ＋8（x ＋y ）y
＝⎝⎛⎭⎫2y x ＋8x y ＋10≥18. 等号成立时，⎩
⎨⎧2y x ＝8x y ，x ＋y ＝1
2
，
∴x ＝16，y ＝1
3，
∴当x ＝16且y ＝13时，1x ＋4
y
取得最小值18.
11．3 [解析] 由题意OP →＝(x ，y )，OM →＝(1，1)，ON →
＝(0，1)，
∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1
条件下，求z ＝OQ →·OP →
＝2x ＋3y
的最大值，由线性规划知当x ＝0，y ＝1时有最大值3.
12.⎝
⎛⎦⎤－∞，1
2∪[1，＋∞) [解析] 由AB ＝3，BC ＝2，∠A ＝90°可知∠B ＝30°，则由题意知|BA →|2＋t 2|BC →|2－2tBA →·BC →≥|AC →
|2，即4t 2－6t ＋2≥0，解得t ≥1或t ≤12
.
13.3 [解析] 已知BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝3BD
→→，由单位向量得(如图)∠ABC ＝60°.
∵AB →＝DC →
＝(1，1)，∠ABC ＝60°，AC ⊥BD ，
∴S ＝2×3
4
×(2)2＝ 3.
14．解：设M (x 0，y 0)，N (x ，y )． 由MA →＝2AN →
得(1－x 0，1－y 0)＝2(x －1，y －1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y .
∵点M (x 0，y 0)在圆C 上， ∴(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，
即(3－2x －3)2＋(3－2y －3)2＝4.∴x 2＋y 2＝1. ∴所求点N 的轨迹方程是x 2＋y 2＝1.
15．解：(1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3，
即1＋1＋2⎝⎛⎭⎫cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A
2＝3， ∴cos A ＝1
2
，
∵0＜A ＜π，∴A ＝π
3
.
(2)∵|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|， ∴b ＋c ＝3a ，
∴sin B ＋sin C ＝3sin A ，
∴sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3×3
2，
即32sin B ＋12cos B ＝32
， ∴sin ⎝
⎛⎭⎫B ＋π6＝3
2，又∵0＜B ＜2π3，
∴π6＜B ＋π6＜5π6， ∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2，
当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2，C ＝π6
.
故△ABC 是直角三角形． 【难点突破】
16．解：(1)由题意知：a cos C ＋1
2c ＝b ，
结合正弦定理得sin A cos C ＋1
2
sin C ＝sin B .
又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，
所以1
2
sin C ＝cos A sin C .
因为sin C ≠0，所以cos A ＝1
2.
又因为0<A <π，所以A ＝π
3
.
(2)方法一：由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝23sin B ，c ＝2
3
sin C ，
l ＝a ＋b ＋c ＝1＋2
3
(sin B ＋sin C )
＝1＋2
3
(sin B ＋sin(A ＋B ))
＝1＋232sin B ＋1
2cos B ＝1＋2sin B ＋π6.
因为A ＝π3，所以B ∈0，2π
3，
所以B ＋π6∈π6，5π
6，
所以sin B ＋π6∈1
2
，1，2<l ≤3.
故△ABC 的周长l 的取值范围为(2，3]． 方法二：周长l ＝a ＋b ＋c ＝1＋b ＋c ， 由(1)及余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，
可得b 2＋c 2＝bc ＋1， 所以(b ＋c )2＝1＋3bc ≤1＋3
b ＋
c 2
2
， 解得b ＋c ≤2，所以l ≤3.
又b ＋c >a >1，所以l ＝a ＋b ＋c >2.
故△ABC 的周长l 的取值范围为(2，3]．。