高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质高

2016-2017学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质高效测评 新人教A
版选修2-1
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的准线与圆x 2
＋y 2
－6x －7＝0相切，则p 的值为( ) A ．12 B ．1 C ．2
D ．4
解析： 圆的标准方程为(x －3)2
＋y 2
＝16，圆心(3,0)到抛物线准线x ＝－p
2的距离为4，
∴p
2＝1，∴p ＝2，故选C. 答案： C
2．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )
A ．2 2
B ．2 3
C ．4
D ．2 5
解析： 利用抛物线的定义求解．
由题意设抛物线方程为y 2
＝2px (p ＞0)，则M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p
2＝3，∴p ＝2，
∴y 2
＝4x .∴y 2
0＝4×2，
∴y 0＝±22，∴|OM |＝4＋y 2
0＝4＋8＝2 3. 答案： B
3．设抛物线y 2
＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )
A ．4 3
B ．8
C ．8 3
D ．16
解析： 由抛物线的定义得，|PF |＝|PA |，又由直线AF 的斜率为－3，可知∠PAF ＝60°，△PAF 是等边三角形，
∴|PF |＝|AF |＝4
cos 60°
＝8.
答案： B
4．若抛物线y 2
＝2px (p >0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物
线焦点的距离的关系是( )
A ．成等差数列
B ．既成等差数列又成等比数列
C ．成等比数列
D ．既不成等比数列也不成等差数列
解析： 设三点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)， 则y 2
1＝2px 1，y 2
2＝2px 2，y 2
3＝2px 3， 因为2y 2
2＝y 2
1＋y 2
3，所以x 1＋x 3＝2x 2， 即|P 1F |－p 2＋|P 3F |－p
2＝2⎝ ⎛
⎭⎪⎫
|P 2F |－p 2，
所以|P 1F |＋|P 3F |＝2|P 2F |. 答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．设点F 为抛物线y 2
＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点．若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →
|＝________.
解析： 设点A 坐标为(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， 抛物线的焦点为(1,0)， ∵FA →＋FB →＋FC →
＝0， ∴x 1＋x 2＋x 3－3＝0.
|FA →|＋|FB →|＋|FC →
|＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＋x 3＋p 2
＝3＋3
2×2＝6.
答案： 6
6．如图，已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点F ，且
两条曲线交点的连线过F ，则该椭圆的离心率是________．
解析： 如图所示，设椭圆的左焦点为F ′，两条曲线在x 轴上方的交点为M ，连接MF ′，
2c ＝p ，MF ′＋MF ＝2p ＋p ＝2a ，
所以e ＝c
a ＝p
22p ＋p
2
＝2－1.
答案：
2－1
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．
解析： 设所求抛物线的标准方程为x 2
＝2py (p >0)，设A (x 0，y 0)，由题知M ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
0，－p 2.
∵|AF |＝3， ∴y 0＋p
2＝3，
∵|AM |＝17， ∴x 2
0＋⎝
⎛
⎭⎪⎫y 0＋p 22
＝17，
∴x 2
0＝8，代入方程x 2
0＝2py 0得， 8＝2p ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
3－p 2，解得p ＝2或p ＝4. ∴所求抛物线的标准方程为x 2
＝4y 或x 2
＝8y .
8．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2
＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若O A →·A F →
＝－4，求点A 的坐标．
解析： 由y 2
＝4x ，知F (1,0)． ∵点A 在y 2
＝4x 上，
∴不妨设A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫y 2
4，y ，
则O A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 24，y ，A F →＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1－y 2
4
，－y .
代入O A →·A F →
＝－4中， 得y 24⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－y 24＋y (－y )＝－4，
化简得y 4
＋12y 2
－64＝0. ∴y 2
＝4或－16(舍去)，y ＝±2. ∴点A 的坐标为(1,2)或(1，－2)．
9．(10分)设P 是抛物线y 2
＝4x 上的一个动点．
(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．
解析： (1)抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. ∵点P 到准线x ＝－1的距离等于P 到点F (1,0)的距离．
∴问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到A (－1,1)的距离与P 到F (1,0)的距离之和最小．
显然P 是A ，F 的连线与抛物线的交点，最小值为|AF |＝ 5.
(2)同理|PF |与点P 到准线的距离相等，如图：
过点B 作BQ ⊥准线于点Q ，交抛物线于点P 1. ∵|P 1Q |＝|P 1F |，
∴|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4. ∴|PB |＋|PF |的最小值为4.。