大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第三章导数及应用题组16含解析

题组层级快练(十六)
1．函数y ＝x 3－3x 2－9x(－2<x<2)有( ) A ．极大值为5，极小值为－27 B ．极大值为5，极小值为－11 C ．极大值为5，无极小值 D ．极大值为－27，无极小值
答案 C
解析 y ′＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)＝3(x －3)(x ＋1)， ∴y ′＝0时，x ＝3或x ＝－1. ∵－2<x<2，∴x ＝－1时，y ＝5.
x ＝－1为极大值点，极大值为5，无极小值． 2．当函数y ＝x·2x 取极小值时，x ＝( ) A.1
ln2 B ．－1
ln2
C ．－ln2
D ．ln2
答案 B
解析 由y ＝x·2x ，得y ′＝2x ＋x·2x ·ln2.
令y ′＝0，得2x (1＋x·ln2)＝0.∵2x ＞0，∴x ＝－1ln2.
3．函数f(x)＝(x －1)(x －2)2在[0，3]上的最小值为( ) A ．－8 B ．－4 C ．0 D.427
答案 B
解析 f ′(x)＝(x －2)2＋2(x －1)(x －2)＝(x －2)(3x －4)．
令f ′(x)＝0⇒x 1＝4
3，x 2＝2，结合单调性，只要比较f(0)与f(2)即可．f(0)＝－4，f(2)＝0.
故f(x)在[0，3]上的最小值为f(0)＝－4.故选B.
4．已知f(x)＝2x 3－6x 2＋m(m 为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是( ) A ．－37 B ．－29 C ．－5 D ．以上都不对
答案 A
解析 f ′(x)＝6x 2－12x ＝6x(x －2)，
∴f(x)在(－2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减． ∴x ＝0为极大值点，也为最大值点．
∴f(0)＝m ＝3，∴m ＝3. ∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5. ∴最小值是－37，选A.
5．若函数y ＝e x ＋mx 有极值，则实数m 的取值范围( ) A ．m>0 B ．m<0 C ．m>1 D ．m<1
答案 B
解析 y ′＝e x ＋m ，则e x ＋m ＝0必有根，∴m ＝－e x <0.
6．设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f ′(x)，且函数f(x)在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x)的图像可能是( )
答案 C
解析 由f(x)在x ＝－2处取得极小值可知，当x<－2时，f ′(x)<0，则xf ′(x)>0； 当－2<x<0时，f ′(x)>0，则xf ′(x)<0； 当x>0时，xf ′(x)>0.
7．若函数f(x)＝x 3－3bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则( ) A ．0＜b ＜1 B ．b ＜1 C ．b ＞0 D ．b ＜1
2
答案 A
解析 f(x)在(0，1)内有极小值，则f ′(x)＝3x 2－3b 在(0，1)上先负后正，∴f ′(0)＝－3b ＜0. ∴b ＞0.f ′(1)＝3－3b ＞0，∴b ＜1. 综上，b 的取值范围为0＜b ＜1.
8．(2016·苏锡常镇一调)f(x)＝e x －x(e 为自然对数的底数)在区间[－1，1]上的最大值是( ) A ．1＋1e
B ．1
C ．e ＋1
D ．e －1
答案 D
解析 f ′(x)＝e x －1，令f ′(x)＝0，得x ＝0.令f ′(x)>0，得x>0，令f ′(x)<0，得x<0，则函数f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，f(－1)＝e －1＋1，f(1)＝e －1，f(－1)－f(1)＝1e ＋2－e<1
2＋2－e<0，所以f(1)>f(－
1)．故选D.
9．已知f(x)＝x 3＋px 2＋qx 的图像与x 轴相切于非原点的一点，且f(x)极小值＝－4，那么p ，q 值分别为( ) A ．6，9 B ．9，6 C ．4，2 D ．8，6
答案 A
解析 设图像与x 轴的切点为(t ，0)(t ≠0)，
设⎩
⎪⎨⎪⎧f （t ）＝t 3＋pt 2
＋qt ＝0，f ′（t ）＝3t 2
＋2pt ＋q ＝0，注意t ≠0，
可得出p ＝－2t ，q ＝t 2.∴p 2＝4q ，只有A 满足这个等式(亦可直接计算出t ＝－3)． 10．(2016·昌平一模)若函数f(x)＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________．
答案 3
解析 f ′(x)＝x 2＋2x －a
（x ＋1）2
，由f(x)在x ＝1处取得极值知f ′(1)＝0，∴a ＝3. 11．下列关于函数f(x)＝(2x －x 2)e x 的判断正确的是________． ①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}； ②f(－2)是极小值，f(2)是极大值； ③f(x)既没有最小值，也没有最大值． 答案 ①②③
解析 若f(x)＝(2x －x 2)e x >0，则0<x<2，①正确；
∵f ′(x)＝－e x (x ＋2)(x －2)，∴f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递减，在(－2，2)上单调递增． ∴f(－2)是极小值，f(2)是极大值，②正确；易知③也正确． 12．若f(x)＝x(x －c)2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 答案 6
解析 f ′(x)＝3x 2－4cx ＋c 2， ∵f(x)在x ＝2处有极大值， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧f ′（2）＝0，f ′（x ）<0 （x>2），f ′（x ）>0 （x<2）.
解得c ＝6.
13．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx(x ∈R )有大于零的极值点，则m 的取值范围是________． 答案 m<－1
2
解析 因为函数y ＝e x ＋2mx(x ∈R )有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m>1，即m<－1
2
.
14．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0，1)内有极小值，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭
⎫0，32 解析 令y ′＝3x 2－2a ＝0，得x ＝± 2a
3
(a>0，否则函数y 为单调增函数)．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0，1)内有极小值，则
2a 3<1，∴0<a<3
2
. 15．函数f(x)＝xlnx(x>0)的最小值是________． 答案 －1
e
解析 对函数f(x)＝xlnx 求导，得f ′(x)＝lnx ＋1.当0<x<1e 时，f ′(x)<0，即f(x)＝xlnx 在(0，1
e )上单调递减；当
x>1e 时，f ′(x)>0，即f(x)＝xlnx 在(1e ，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)＝xlnx 在x ＝1e 处取得最小值，即f(1
e )＝1e ln 1e ＝－1e
. 16．已知函数f(x)＝1＋lnx x
.
(1)若函数f(x)在区间(a ，a ＋2
3)(其中a>0)上存在极值，求实数a 的取值范围；
(2)如果当x ≥1时，不等式f(x)≥m
x ＋1恒成立，求实数m 的取值范围．
答案 (1)1
3
<a<1 (2)m ≤2
解析 (1)因为函数f(x)＝1＋lnx x ，且定义域为{x|x>0}，所以f ′(x)＝－lnx
x 2.当0<x<1时，f ′(x)>0；当x>1时，f ′
(x)<0，∴f(x)在(0，1)上单调递增；在(1，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)在x ＝1处取得极大值1.
∵函数f(x)在区间(a ，a ＋23)(其中a>0)上存在极值，∴⎩⎪⎨⎪⎧a<1，a ＋23
>1，解得1
3
<a<1.
(2)当x ≥1时，不等式f(x)≥m
x ＋1
，即为（x ＋1）（1＋lnx ）
x ≥m.
记g(x)＝（x ＋1）（1＋lnx ）x ，∴g ′(x)＝[（x ＋1）（1＋lnx ）]′x －（x ＋1）（1＋lnx ）x 2＝x －lnx
x
2.令h(x)＝x －
lnx ，则h ′(x)＝1－1
x
，∵x ≥1，∴h ′(x)≥0，
∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴h(x)min ＝h(1)＝1>0，从而g ′(x)>0，故g(x)在[1，＋∞)上也是单调递增，∴g(x)min ＝g(1)＝2，∴m ≤2.
17．(2014·江西文)已知函数f(x)＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a<0. (1)当a ＝－4时，求f(x)的单调递增区间； (2)若f(x)在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值． 答案 (1)单调递增区间为(0，2
5
)，(2，＋∞) (2)a ＝－10
解析 (1)当a ＝－4时，由f ′(x)＝2（5x －2）（x －2）x ＝0，得x ＝2
5或x ＝2.由f ′(x)>0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，25或x ∈(2，＋∞)．
故函数f(x)的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，2
5和(2，＋∞)． (2)f ′(x)＝（10x ＋a ）（2x ＋a ）
2x ，a<0，
由f ′(x)＝0，得x ＝－a 10或x ＝－a
2.
当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a
10时，f(x)单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－a 10，－a
2时，f(x)单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－a
2，＋∞时，f(x)单调递增． 易知f(x)＝(2x ＋a)2x ≥0，且f ⎝⎛⎭
⎫－a
2＝0. ①当－a
2≤1，即－2≤a<0时，f(x)在[1，4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均
不符合题意．
②当1<－a
2
≤4，即－8≤a<－2时，f(x)在[1，4]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝0，不符合题意． ③当－a
2>4，即a<－8时，f(x)在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋
16a ＋a 2)＝8，得a ＝－10或a ＝－6(舍去)．当a ＝－10时，f(x)在(1，4)上单调递减，f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意． 综上有a ＝－10.
1．函数f(x)＝x
e x ，x ∈[0，4]的最大值是( )
A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e
2 答案 B
2．(2016·上海徐汇区诊断)已知函数f(x)＝12x 3－x 2－7
2x ，则f(－a 2)与f(－1)的大小关系为( )
A ．f(－a 2)≤f(－1)
B ．f(－a 2)<f(－1)
C ．f(－a 2)≥f(－1)
D ．f(－a 2)与f(－1)的大小关系不确定
答案 A
解析 由题意可得f ′(x)＝32x 2－2x －7
2
.
由f ′(x)＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝7
3
.
当x<－1时，f(x)为增函数；当－1<x<7
3时，f(x)为减函数．所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值，
又因为－a 2≤0，故f(－a 2)≤f(－1)． 3．若函数f(x)＝e －
x ·x ，则( )
A ．仅有极小值
12e
B ．仅有极大值
12e
C ．有极小值0，极大值12e
D ．以上皆不正确
答案 B 解析
f ′(x)＝－e －x ·
x ＋1
2x
·e －x ＝e －x (－
x ＋
12x
)＝e －x ·
1－2x
2x
. 令f ′(x)＝0，得x ＝1
2
.
当x>12时，f ′(x)<0；当x<1
2时，f ′(x)>0.
∴x ＝12时取极大值，f(12)＝1e
·
12＝1
2e
. 4．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f(x)在x ＝－3时取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
答案 D
解析 f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋3，令f ′(－3)＝0，得a ＝5.
5．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a<－1
3
B ．a>－1
3
C ．a<－3
D ．a>－3
答案 C
解析 ∵y ′＝ae ax ＋3，由y ′＝0，得x ＝1a ln(－3
a )．
∴－3
a
>0，∴a<0.
又∵y ＝e ax ＋3x ＝0有正根，
∴必有⎩⎪⎨⎪⎧a<0，0<－3
a <1，
得a<－3.故选C. 6．若y ＝alnx ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________． 答案 －23 －16
解析 y ′＝a
x
＋2bx ＋1.
由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－2
3，b ＝－16.
7．已知函数f(x)＝4lnx ＋ax 2－6x ＋b(a ，b 为常数)，且x ＝2为f(x)的一个极值点，则实数a 的值为________． 答案 1
解析 由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． ∵f ′(x)＝4
x
＋2ax －6，∴f ′(2)＝2＋4a －6＝0，即a ＝1.
8．(2016·保定调研卷)设函数f(x)＝x ＋ax 2＋blnx ，曲线y ＝f(x)过P(1，0)，且在P 点处的切线斜率为2. (1)求a ，b 的值；
(2)令g(x)＝f(x)－2x ＋2，求g(x)在定义域上的最值． 答案 (1)a ＝－1，b ＝3 (2)最大值为0，无最小值 解析 (1)f ′(x)＝1＋2ax ＋b
x
(x>0)，
又f(x)过点P(1，0)，且在点P 处的切线斜率为2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝0，f ′（1）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.
解得a ＝－1，b ＝3.
(2)由(1)知，f(x)＝x －x 2＋3lnx ，其定义域为(0，＋∞)， ∴g(x)＝2－x －x 2＋3lnx ，x>0.
则g ′(x)＝－1－2x ＋3
x ＝－（x －1）（2x ＋3）x .
当0<x<1时，g ′(x)>0；当x>1时，g ′(x)<0.
所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴g(x)的最大值为g(1)＝0，g(x)没有最小值． 9．设f(x)＝e x
1＋ax 2，其中a 为正实数．
(1)当a ＝4
3
时，求f(x)的极值点；
(2)若f(x)为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围． 答案 (1)极小值点为x 1＝32，极大值点为x 2＝1
2 (2)(0，1]
解析 对f(x)求导得f ′(x)＝e x
·1＋ax 2－2ax
（1＋ax 2）2
.
(1)当a ＝43时，若f ′(x)＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝1
2.
又当x 变化时，f ′(x)和f(x)的变化情况如下表：
∴x 1＝32是极小值点，x 2＝1
2
是极大值点．
(2)若f(x)为R 上的单调函数，则f ′(x)在R 上不变号．结合(1)与条件a>0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，由Δ＝4a 2－4a ＝4a(a －1)≤0，得0<a ≤1. 即实数a 的取值范围是(0，1]． 10．已知函数f(x)＝－x 2＋ax ＋1－lnx.
(1)若f(x)在(0，1
2
)上是减函数，求实数a 的取值范围；
(2)函数f(x)是否既有极大值又有极小值？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 答案 (1)a ≤3 (2)a>2 2 解析 (1)f ′(x)＝－2x ＋a －1
x
，
∵f(x)在(0，1
2
)上为减函数，
∴x ∈(0，12)时，－2x ＋a －1x ≤0恒成立，即a ≤2x ＋1
x 恒成立．
设g(x)＝2x ＋1x ，则g ′(x)＝2－1
x
2.
∵x ∈(0，12)时，1x 2>4，∴g ′(x)<0，∴g(x)在(0，12)上单调递减，g(x)>g(1
2
)＝3，∴a ≤3.
(2)若f(x)既有极大值又有极小值，则f ′(x)＝0必须有两个不等的正实数根x 1，x 2，即2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根．
故a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a 2>0
⇒⎩⎨⎧a 2－8>0，
a>0⇒a>2 2.
∴当a>22时，f ′(x)＝0有两个不等的实数根． 不妨设x 1<x 2，
由f ′(x)＝－1x (2x 2－ax ＋1)＝－2
x (x －x 1)(x －x 2)知，0<x<x 1时f ′(x)<0，x 1<x<x 2时f ′(x)>0，x>x 2时f ′(x)<0，
∴当a>22时f(x)既有极大值f(x 2)又有极小值f(x 1)．。