高中数学同步训练：第章 平面向量 苏教必修 含答案

2.3 向量的坐标表示 2.
3.1 平面向量基本定理
一、填空题
1．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是________． ①e 1－e 2，e 2－e 1 ②2e 1＋e 2，e 1＋2e 2 ③2e 2－3e 1,6e 1－4e 2 ④e 1＋e 2，e 1－e 2
2．下面三种说法中，正确的是________．
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量． 3．设向量m ＝2a －3b ，n ＝4a －2b ，p ＝3a ＋2b ，若用m ，n 表示p ，则p ＝________.
4．若OP 1→＝a ，OP 2→＝b ，P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则OP →
＝________.
5．M 为△ABC 的重心，点D ，E ，F 分别为三边BC ，AB ，AC 的中点，则MA →＋MB →＋MC →
＝________.
6．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →
＝____________.
7. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →
，其中λ、μ∈R ，则λ＋μ＝________.
8．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF FD ＝1
5
，连结CF 并延
长交AB 于E ，则AE
EB
＝________.
二、解答题
9. 如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 点使DG →＝13
DC →
，
试以a ，b 为基底表示向量AF →与EG →
.
10．如图，▱OACB 中，OA →＝a ，OB →
＝b ，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于E .求证：BE ＝14
BA .
11. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN
相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.
三、探究与拓展
12. 如图，△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于G ，求AG GD 及
BG
GE
的值．
答案
1．②④ 2.②③ 3.－74m ＋138n 4.11＋λa ＋λ
1＋λ
b
5．0 6.23b ＋13c 7.43 8.1
10
9．解 AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋12BC →
＝AB →＋12AD →
＝a ＋12
b .
EG →＝EA →＋AD →＋DG →
＝－12AB →＋AD →＋13
DC →
＝－12a ＋b ＋13a ＝－1
6
a ＋
b .
10．证明 设BE →＝λBA →
.
则OE →＝OB →＋BE →＝OB →＋λBA → ＝OB →＋λ(OA →－OB →)
＝λOA →＋(1－λ)OB →
＝λa ＋(1－λ)b . OD →＝OB →＋BD →＝1
3
a ＋
b .
∵O 、E 、D 三点共线，∴OE →与OD →
共线， ∴λ13
＝1－λ1，∴λ＝14.即BE ＝14BA . 11．证明 设AB →＝b ，AC →
＝c ，
则AM →＝12b ＋12c ，AN →＝23
AC →，
BN →＝BA →＋AN →＝2
3
c －b .
∵AP →∥AM →，BP →∥BN →，
∴存在λ，μ∈R ，使得AP →＝λAM →
， BP →＝μBN →，
又∵AP →＋PB →＝AB →，
∴λAM →－μBN →＝AB →，
∴由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭
⎫2
3c －b ＝b 得 ⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭
⎫12λ－23μc ＝b . 又∵b 与c 不共线．
∴⎩⎨⎧
1
2λ＋μ＝1，12λ－2
3μ＝0.
解得⎩⎨⎧
λ＝4
5，μ＝3
5.
故AP →＝45
AM →
，即AP ∶PM ＝4∶1.
12．解 设
AG GD ＝λ，BG GE ＝μ. ∵BD →＝DC →，即AD →－AB →＝AC →－AD →， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)．
又∵AG →＝λGD →＝λ(AD →－AG →)，
∴AG →
＝λ1＋λAD →＝λ2(1＋λ)AB →＋λ2(1＋λ)AC →.
又∵BG →＝μGE →，即AG →－AB →＝μ(AE →－AG →
)，
∴(1＋μ)AG →＝AB →＋μAE →
，
AG →
＝11＋μAB →＋μ1＋μ
AE →.
又AE →＝23AC →，∴AG →
＝11＋μAB →＋2μ3(1＋μ)AC →.
∵AB →，AC →
不共线，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ2(1＋λ)＝1
1＋μ
，
λ2(1＋λ)＝2μ
3(1＋μ)
.
解之，得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝4，
μ＝32.
∴AG GD ＝4，BG GE ＝32
.。