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9由于 GX (ω) 描述了随机过程X(t)的平均功率在各个频率上的分布
状况，因此称为：随机过程X(t)的功率谱密度。
1 2 GX (ω ) = lim E[ XT (ω ) ] T →∞ 2T
随机过程的平均功率也可以由过程的均方值求时间平均：
1 T 1 2 2 2 P = lim ∫ E[ X (t )]dt = E[ X (t )] = E[ X (t )] = T →∞ 2T −T 2π
称为：能量谱密度。
9随机过程样本函数持续的时间是无限的，因为
即有：
t→∞，
∫
∞
−∞
xζ (t ) dt < / ∞ ←非绝对可积
则样本函数的频谱不存在。所以随机过程的频谱不存在。
9而 ∫−∞ x ζ (t ) dt → ∞ ，X(t)是能量无限信号。 是能量无限信号
2
∞
9X(t)能量在频域上的分布(能量谱)不存在，但是：
1 lim T →∞ 2T
上分布。
∫
T
−T
x ζ (t ) dt < ∞
2
X(t)的平均功率是有限的，可以讨论X(t)平均功率在频域
二、实随机信号的平均功率 在 xk (t) = x(t,ζ k ) 中任意截取长为2T的一段
⎧ xk (t ),| t |≤ T < ∞ xkT (t ) = ⎨ 0,| t |> T ⎩
上的平均功率
Pk 表示随机过程的样本函数 xk (t) 消耗在1欧姆电阻
时间平均
9由于对一次试验结果 ζ k 来讲， 对应的样本函数 xk (t) 是
个确定函数，因此这个平均功率 Pk 仅是一个确定值。
9对于不同 K，由于样本函数不同， Pk 也不同。 9对于所有试验结果来讲，所有样本的平均功率 Pk 的总体
∞ T
∫
∞
−∞
X kT (ω ) dω
2
9若xk (t)代表一噪声电压（或电流），则dt 表
示噪声的一个样本在时间（-T,T）内消耗在1欧姆电阻上
9若对此总能量在(-T,T)上求时间平均，并求极限
Pk
∫ = lim
T →∞
T
－T
xk (t )dt 2T
2
2 1 ∞ = lim X kT (ω ) dω ∫ T →∞ 4π T −∞
∫
∞
−∞
GX (ω )dω
2、平稳过程的平均功率 若X(t)为平稳过程，其均方值 E[ X 2 (t )] = R(0)与“t”无关， 则其时间平均
P =< E[ X (t )] >=< R(0) >= R(0)
2
所以平稳过程的平均功率：P = R (0)
3、各态历经过程的平均功率 由于各态历经过程X(t)的每个样本函数的时间平均都以 概率1 相同，与 ζ 无关，则可推出：
实随机过程的自功率谱分析
实随机信号的功率谱密度
确定信号的频谱（回顾） 确定信号的频谱 设s(t)是时间(0~T)上的“非周期”信号，其傅立叶变换存在 的条件是： ⑴. s(t)在 ( −∞, ∞)范围内满足狄利赫利条件。 (s(t)只有有限个极值点和有限个第一类间段点。) ⑵. 或备择条件
∫
∞
−∞
∫
T
－T
xk (t ) e
− jω t
dt
1 x kT ( t ) = 2π
可见
∫
∞
－∞
X kT (ω ) e jω t d ω
XkT (ω) = XT (ω,ζ k ) 为 xkT (t) 的频谱函数，据帕赛瓦
尔等式，它们有如下关系：
1 2 2 ∫－∞ xkT (t )dt = ∫－T xk (t )dt = 2π
1 PΣ = lim T →∞ 2T
1 ∫－T X (t,ζ )dt = Tlim →∞ 2T
T 2 a .e
∫
T
－T
xk 2 (t )dt = Pk ← 常数
P = E [ PΣ ] = E [ Pk ] = Pk
即各态历经过程 X(t) 的平均功率P与其样本函数的平均 功率 Pk 以概率1 相等。
1 s (t ) = 2π
∫
∞
−∞
S (ω )e jωt dω = F −1[ S (ω )]....... （反变换）
其中S(w)称为信号s(t)的频谱，它反映了s(t)中各种频率成分的 分布状况。 可以证明：对一般实信号s(t)，其频谱是角频率的复函数， 即
S ∗ (ω ) = S (−ω ) ，（“*”表示复共轭）。
| s (t ) |dt < ∞
（绝对可积） （信号的总能量有限）
∫
∞
−∞
| s (t ) | 2 dt < ∞
若s(t)满足上述条件，则其傅立叶变换对存在。
S (ω ) = ∫ s (t ) e − jωt dt = F [ s (t )]........ .......... （正变换）
−∞
∞
称 xkT (t )为
xk (t ) −T
xkT (t )
0 T
t
x(t ) 的截尾函数。
∞
当T为有限值时，截尾函数满足绝对可积条件:
∫
−∞
xkT (t ) dt = ∫
T
−T
xkT (t ) dt < ∞
其傅立叶变换存在。
X kT (ω ) =
∫
∞
－∞
x kT ( t ) e
− jω t
dt =
a .e
4、各态历经过程的功率谱密度
1 ⎧ P = 9若过程 X(t) 的平均功率 ⎪ ⎪ 2π ⎨ 1 ⎪ 和其样本函数的平均功率 Pk = ⎪ 2π ⎩
a .e
∫
∞ － ∞ ∞ － ∞
G G
X
(ω ) d ω (ω ) d ω
∫
k
9由X(t)的各态历经性，P = Pk 因此有
1 2 GX (ω ) = Gk (ω ) = lim X kT (ω ) T →∞ 2T
∞ 2 ∞
1 即有： ∫−∞ [ s (t )] dt = 2π
∞ 2
2 | S ( ω ) | dω ←帕赛瓦尔定理 ∫−∞
∞
2 | S ( ω ) | ( −∞ , ∞ ) 9由于左边是：s(t)在时间 上的总能量＝
在整个频域上的积分。
9
| S (ω ) | 2 ←表示 s(t) 在不同频率上总能量的分布密度，
∞
一、能量谱密度
2 | s ( t ) | dt < ∞ 式的左端 若将（反变换）式代入 ∫−∞
1 ∞ jω t 则： ∫ [ s ( t )] dt = ∫ s ( t ) ⋅ ω S e d ω dt ( ) ∫ −∞ −∞ − ∞ 2π ∞ 1 ∞ jω t ω = S ⋅ s t e dtd ω ( ) ( ) ∫ ∫ −∞ 2π − ∞ 1 ∞ 1 ∞ ∗ ω ω ω ω = S S − d dt = S ( ) S (ω ) d ω dt ( ) ( ) ∫ ∫ 2π − ∞ 2π − ∞ 1 ∞ 2 = | S ( ω ) | dω ∫ − ∞ 2π
a.e
即各态历经过程 X(t) 的功率谱密度Gk (ω )与其样本函数 的功率谱密度 GX (ω ) 以概率1 相等。
P←通常称为随机过程X(t)的平均功率。
三、功率谱密度 1、实随机过程的功率谱密度
9由于随机过程X(t)的平均功率：
是 GX (ω ) 在整个频域上的积分，则被积函数 GX (ω ) 表示随机过程 在不同频率上的单位频带内，消耗在单位电阻上的平均功率。
1 T 1 ∞ 1 2 2 P = lim ∫ E[ X (t )]dt = E[ X T (ω ) ]dω lim ∫ T →∞ 2T −T 2π −∞ T →∞ 2T 1 ∞ GX (ω )dω = ∫ 2π −∞
P Σ 就是一个随机变量。
2 1 T 2 1 ∞ P X (t )dt = lim XT (ω ) dω Σ = lim ∫ ∫ T →∞ 2T －T T →∞ 4π T −∞
9若对 PΣ 取统计平均，得确定值： 取统计平均，得确定值
1 T 1 ∞ 2 2 P = E[P E[ X (t )]dt = lim E[ XT (ω ) ]dω Σ ] = lim ∫ ∫ T →∞ 2T －T T →∞ 4π T −∞