高三数学上学期期末考试试题文2

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二
零二壹高三上学期期末考试卷
数学〔文科〕试题
座位号：
本套试卷分第一卷和第二卷两局部，一共150分，考试时间是是120分钟。

请在答题卷上答题。

第I 卷〔选择题一共60分〕
一、选择题(一共12小题,每一小题5分,一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面只有一项符合题目要求。

)
，集合
，那么
〔〕
A. B. C.
D.
,z a i a R =+∈，假设2z =，那么a 的值是〔〕
31± D.3±()2log 2g x x m x =--，那么“函数()g x 在()2,8上存在零点〞是“()1,3m ∈〞的〔〕
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分且必要条件
D.既不充分也不必要条件
22y px =〔0p >〕的焦点F 作斜率大于0的直线l 交抛物线于A ，B 两点〔A 在B 的上方〕，且l
与准线交于点C ，假设4CB
BF =，那么
AF BF
=〔〕
A.
53B.5
2
C.3
D.2 1F ，2F 分别为椭圆1C ：221122111(0)x y a b a b +=>>与双曲线2C ：22
222222
1(0,0)x y a b a b -=>>的
公一共焦点，它们在第一象限内交于点M ，12
90F MF ∠=︒，假设椭圆的离心率13
4
e =
，那么双曲线2C 的离心率2e 的值是〔〕
A.
92
B.
322 C.
32D.5
4
()()2142,1{
1log ,1
a x a x f x x x -+-<=+≥，假设()f
x 的值域为R ，那么实数a 的取值范围是〔〕
A.(]1,2
B.(],2-∞
C.(]0,2
D.[)2,+∞
7.
()()()4201
x
f x a x x x =-+
>+，假设曲线()f x 上存在不同两点,A B ，使得曲线()f x 在点,A B 处的切线垂直，那么实数a 的取值范围是〔〕
A.
()3,3
-
B.()2,2-
C.()3,2
-
D.()2,3-
8.执行如下列图的程序框图，输出的T ＝ A.29B.44C.52D.62
满足，那么的值是〔〕
A.2
B.4
C.
D.6
1214233
4
a a a a a a a a =-，将函数()sin23cos21
x f x x =
的图像向左平移
6
π个单位，以下是所得函数
图像的一个对称中心是〔〕
A.,04π⎛⎫
⎪⎝⎭B.,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭D.,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭
ABC ∆中，P 是边BC 的中点，Q 是BP 的中点，假设6
A π
∠=
，且ABC ∆的面积为1，那么
AP AQ ⋅的最小值为〔〕
A.2
3B.232+ C.13+ D.3
12.一个几何体的三视图如下列图，那么这个几何体的体积为〔〕
A. B. C. D.
第II 卷〔非选择题一共90分〕
二、填空题(本大题一一共4小题,每一小题5分,一共20分)
,x y 满足10
{20 0
x y x y x -+≤+-≤≥，那么2z x y =-的最大值为__________．
()()sin f x A x ωϕ=+〔,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>〕.假设()f x 在区间,62ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上具有单
调性，且
2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，那么()f x 的最小正周期为. {}n a 的前n 项和为n S ，那么以1S ，3S ，4S 为前三项的等差数列的第8项与第4项之比为________.
中，
,沿直线
将
翻折成
，当三棱锥
的体积获得最大值时，该三棱锥的外接球的外表积是__________．
三、解答题(一共6小题,一共70分。

解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤。

) 17.〔本小题总分值是10分〕
△的内角的对边分别为，假设，且
，.
〔1〕求角； 〔2〕求△
面积的最大值.
18.〔本小题总分值是12分〕
如图，设双曲线22
122:1(0,0)y x C a b a b
-=>>的上焦点为F ，上顶点为A ，点B 为双曲线虚轴的左
端点，1C 23ABF 的面积31S =-
. 〔1〕求双曲线1C 的方程；
〔2〕设抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F ，动直线l 与2C 相切于点P ，与2C 的准线相交于点Q ，试推断以线段PQ 为直径的圆是否恒经过y 轴上的某个定点M ？假设是，求出定点M 的坐标；假设不
是，请说明理由.
19.〔本小题总分值是12分〕
数列
{}n a 前n 项和为n S ，且21n n S a =-.
〔1〕证明数列{}n a 是等比数列；
〔2〕设()21n
n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .
20.〔本小题总分值是12分〕
如图，椭圆2222:1(0)x y W a b a b
+=>>的离心率为
2，其左顶点
A 在圆22:16O x y +=上.
〔1〕求椭圆W 的方程； 〔2〕直线
AP 与椭圆W 的另一个交点为P ，与圆O 的另一个交点为Q .
〔ⅰ〕当|
|AP =
AP 的斜率； 〔ⅱ〕是否存在直线
AP ，使
||
3||
PQ AP =？假设存在，求出直线AP 的斜率；假设不存在，说明理由. 21.〔本小题总分值是12分〕 函数
()2
1ln (0)2
f x x x a x a =
-+>. 〔1〕讨论()f x 的单调性；
〔2〕假设
()f x 存在两个极值点12,x x ，求证：()()1232ln2
4
f x f x --+>
. 22.〔本小题总分值是12分〕
如图，在几何体
ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，BE ⊥平面ABCD ,//DF BE ,且
22,3DF BE EF ===.
〔1〕证明：平面
ACF ⊥平面BEFD .
〔2〕假设1
cos 5
BAD
∠=
，求几何体ABCDEF 的体积.
文科数学试题答案
14.
15.5
16.
17.〔1〕〔2〕
【解析】〔1〕由
可得
故
〔2〕由
，由余弦定理可得
， 由根本不等式可得
，当且仅当
时，“=〞成立
从而，故面积的最大值为
.
18.〔1〕
2
213
y x -=〔2〕以PQ 为直径的圆恒经过y 轴上的定点()0,2M . 【解析】〔1〕由
33
c a =，即23a
c =，那么2243a c =，即()222
43a a b =+，得3a b =
，
2c b =，
又
()13
122
c a b -=-，那么
()
2323b b b =1b =.
从而3a
=2c =，所以双曲线1C 的方程为
2
213
y x -=. 〔2〕由题设，抛物线2C 的方程为2
8x
y =，准线方程为2y =-，
由
218y x =，得1'4y x =，设点2001,8P x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
，那么直线l 的方程为()20001184y x x x x -=-， 即2
001148y x x x =-，联立2y =-，得20016,22x Q x ⎛⎫--
⎪⎝⎭
， 假设存在定点()0,M
m 满足题设条件，那么0MP MQ ⋅=对任意点P 恒成立，
因为
2001,8MP x x m ⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
，
2
0016,22x MQ m x ⎛⎫-=-- ⎪
⎝⎭
，那么
()2
2001612028x m x m -⎛⎫
-+-= ⎪⎝⎭
， 即
()2
022808
m x m m -++-=对任意实数0x 恒成立， 所以()20
{
280
m m m -=+-=，即2m =，故以PQ 为直径的圆恒经过
y 轴上的定点()0,2M .
19.〔1〕数列
{}n a 是以11a =为首项，以2为公比的等比数列.〔2〕()2323n n T n =-+
【解析】〔1〕当1n =时，11121a S a ==-，所以11a =，
当2n ≥时，()()112121n n n n n a S S a a --=-=---，
所以12n
n a a -=，
所以数列
{}n a 是以11a =为首项，以2为公比的等比数列.
〔2〕由〔1〕知，12n n a -=，
所以()1212n n b n -=-， 所以()()22113252232212n n n
T n n --=+⨯+⨯+
+-⋅+-⋅〔1〕
()()2121232232212n n n T n n -=⨯+⨯+
+-⋅+-⋅〔2〕
〔1〕-〔2〕得：
()3223n n =--，
所以()2323n n
T n =-+.
20.〔1〕221164
x y +=；〔2〕〔ⅰ〕1，-1；〔ⅱ〕不存在直线AP ，使得
||
3||PQ AP =． 【解析】〔1〕因为椭圆W 的左顶点
A 在圆22:16O x y +=上，所以4a =，
c e a =
=
c =，
所以2
2
2
4b a c =-=，所以W 的方程为
22
1164
x y +=. 〔2〕〔ⅰ〕设点1122(,),(,)P x y Q x y ，显然直线
AP 存在斜率，
设直线AP 的方程为(4)y k x =+，与椭圆方程联立得22
(4)
1164
y k x x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩， 化简得到2
222(14)3264160k
x k x k +++-=，
因为-4为上面方程的一个根，所以2
1232(4)14k x k -+-=
+，
所以2
12
41614k x k -=
+，
由1|
|(4)|AP x =--=
代入得到||5
AP ==，解得1k =±，所以直线AP 的斜率为1，-1.
〔ⅱ〕圆心到直线
AP
的间隔为d =
|
|AQ ===
因为
||||||||
1||||||
PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-，
代入得到22222
||1433113||111PQ k k AP k k k +=-=-==-+++，
显然，2
3
331k
-
≠+，所以不存在直线AP ，使得||3||PQ AP =． 21.解析：〔1〕
()21(0)a x x a
f x x a x x
-+=+'-=>，
①假设()2
1,0,04a x x a f x ≥
-+'≥≥，所以()f x 在()0,+∞上单调递增； ②假设104
a <<
，解2
0x x a -+>
，得0x <<
，或者x
>
，
解2
0x
x a -+<x <<
此时
()f x 在⎝⎭
上单调递减.
在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
上单调递增. 综上，当1
4
a ≥
时，()f x 在()0,+∞上单调递增，
当1
04a <<时，()f x 在⎝⎭上单调递减，在⎛ ⎝⎭
上单调递
增，在⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
上单调递增. 〔2〕由〔2〕知1
04
a <<
时，()f x 存在两个极值点12,x x ， 且12,x x 是方程2
0x x a -+=的两根，所以12121,x x x x a +=⋅=，
所
以
()()()()()2221211122212121212111ln ln ln 222
f x f x x x a x x x a x x x x x x x a x x +=
-++-+=+--++
11
1ln ln 22
a a a a a a =
--+=--， 令()()11
ln (0),ln 024g x x x x x g x x =--<<=<'，
所以()g
x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递减，所以()1
32ln2
4
4
g x g --⎛⎫>= ⎪⎝⎭
， 所以
()()1232ln2
4
f x f x --+>
22.解析：〔1〕证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥
∵BE ⊥平面ABCD ∴BE AC ⊥
∴
AC ⊥平面BEFD
∴平面
ACF ⊥平面BEFD
〔2〕设
AC 与BD 的交点为O ，(0)AB a a =>，
由〔1〕得AC ⊥平面BEFD ，
∵BE
⊥平面ABCD ∴BE BD ⊥，
∵//DF BE ，∴DF BD ⊥，
∴()2
2
28BD
EF DF BE =--=，∴BD =
∴()1
2BEFD S BE DF BD =
+⋅=四边形， ∵15cos BAD ∠=，∴222
28285
BD AB AD AB AD cos BAD a =+-⋅⋅∠==
∴a
=
∴2
223OA
AB OB =-=，∴OA =
∴2
23ABCDEF A BEFD BEFD
V V S OA -==
⋅=四边形。