不等式的证明

不等式
一、本讲进度
《不等式》复习
二、 本讲主要内容
1、不等式的概念及性质；
2、不等式的证明；
3、不等式的解法；
4、不等式的应用。

三、学习指导
1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。

不等式的基本性质有：
（1）对称性或反身性：a>b ⇔b<a ；
（2）传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ；
（3）可加性：a>b ⇒a+c>b+c ，此法则又称为移项法则；
（4）可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。

不等式运算性质：
（1）同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ；
（2）正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。

特例：
（3）乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >；
（4）开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n 1n 1b a
>； （5）倒数法则：若ab>0，a>b ，则
b
1a 1<；
2、均值不等式；利用完全平方式的性质，可得a 2+b 2≥2ab （a ，b ∈R ），该不等式可推广为a 2+b 2≥2|ab|；或变形
为|ab|≤2
b a 2
2+； 当a ，b ≥0时，a+b ≥ab 2或ab ≤22b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 证明双勾函数性质：
在具体条件下选择适当的形式。

3、不等式的证明：
（1）不等式证明的常用方法：
1、 做差比较法
① 理论依据：A ＞B ⇔A-B>0；
A<B ⇔A-B<0；
A=B ⇔A-B=0；
② 证明步骤：作差―→变形―→判断符号；
2、 做商比较法
①要证A ＞B(B ＞0)，只要证A B
＞1； 要证A ＜B(B ＞0)，只要证A B
＜1； ②证明步骤：作商―→变形―→判断与1的关系；
常用变形方法：一是配方法，二是分解因式．
3、 综合法
所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，
可简称为由因导果．
4、 分析法
从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等
式成立，这种证明方法叫分析法．分析法的思想是执果索因；即从求证的不等式出发，探求使结论成立的
充分条件，直至是已成立的不等式，采用分析法证明不等式时，常用“⇐”的符号，有时，若为充要条件
时，也常用“⇔”的符号．证明过程常表示为“要证……只要证……”
5、 反证法，换元法(代数换元，三角换元)，放缩法；
（2）在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；
（3）证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。

4、 不等式的解法：
解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。

一元一次不等式解法：
一元二次不等式解法(图像法)：
分式不等式解法：
高次不等式解法（数轴标根法）：
5、含有绝对值的不等式
理解绝对值的几何意义；
会解绝对值不等式：
四、典型例题
例1、 已知f(x)=ax 2-c ，-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，试求f(3)的取值范围。

例2、 设a>0，b>0，求证：
a b b a +≥b a +。

解题思路分析：
法一：比差法，
法二：基本不等式
例3、已知a ，b 为正常数，x ，y 为正实数，且
1y
b x a =+，求x+y 的最小值。

解题思路分析：
例4、已知f(x)=-3x 2+a(6-a)x+b
（1）解关于a 的不等式f(1)>0；
（2）当不等式f(x)>0的解集为（-1，3）时，求实数a ，b 的值。

例5、若x 、y 、z ∈R ，a 、b 、c ∈R ＋. 求证：b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c z 2≥2(xy ＋yz ＋zx )．
例6、已知A、B、C是锐角三角形的三个内角，
求证：sin A + sin B+ sin C < cos A + cos B + cos C
类型一用比较法证明不等式
解题准备：比较法是证明不等式的一种最基本的方法，使用此方法的前提条件是：作差之后可进行化简、组合，使之变为一个常数、一个常数与n个平方或n个因式的积的形式，目的在于判定差的符号
【典例1】已知x、y∈R，M＝x2＋y2＋1，N＝x＋y＋xy，则M与N的大小关系是() A．M≥N B.M≤N
C．M＝N D.不能确定
解析：M－N＝x2＋y2＋1－(x＋y＋xy)
＝1
2[(x
2＋y2－2xy)＋(x2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)]
类型二综合法在证明不等式中的应用（由因导果）
解题准备：用综合法证明不等式中所依赖的不等式主要是重要的不等式，要掌握重要不等式及其变形形式．一般说来，当条件中信息量较大，不易于推理，或要证明不等式与重要不等式相差较明显时，常用综合法证明不等式．
【典例2】如果a>b，ab＝1，求证：a2＋b2≥22(a－b)．
[分析]∵a>b，a－b>0，∴若证a2＋b2≥22(a－b)，只需证a2＋b2
a－b
≥2 2.
类型三 分析法在证明不等式中的应用（执果朔因）
解题准备：1.寻找使不等式成立的充分条件时，往往是先寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分．
2．分析法和综合法要结合起来使用，也就是“两头凑”，会使问题较易解决．
3．分析法的叙述较繁琐，且不易看懂，往往是用分析法探寻思路，用综合法叙述证明过程．
【典例3】已知正数a 、b 、c 满足a ＋b <2c ，求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab .
[证明]要证c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab ，
只需证－c 2－ab <a －c <c 2－ab ，
也就是只要证明|a －c |<c 2－ab .
∵两边都是非负数，
∴只要证(a －c )2<c 2－ab ，
也就是只要证a 2－2ac <－ab ，
即只要证a (a ＋b )<2ac .
∵a >0，只需证a ＋b <2c ，这就是已知条件，且以上各步都可逆，
∴证得c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab
[点评]一般来说，如果已知条件信息量较小，或已知与求证间的直接联系不明显，“距离”较大，用分析法来证明．
类型四 用放缩法证明不等式
解题准备：欲证A ≥B ，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量使得B ≤B 1，B 1≤B 2，…，B i ≤A 或A ≥A 1，A 1≥A 2，…，A i ≥B ，再利用传递性，以达到欲证的目的．
【典例4】设S n ＝1·2＋2·3＋…＋n (n ＋1)，
求证：不等式n (n ＋1)2＜S n ＜(n ＋1)2
2对所有的正整数n 都成立
类型五用函数的性质证明不等式
解题准备：根据欲证不等式的具体结构特征，通过构造函数、数列等，达到促进转化、简化证明的目的．
【典例5】求证：x2＋5
x2＋4
≥
5
2.
[分析]将不等式左边构造成一个函数，说明函数的最小值大于5
2即可．
类型六三角换元法
【典例6】已知a、b、c、d∈R，x、y∈R＋，且x2＝a2＋b2，y2＝c2＋d2.
求证：xy≥ac＋bd.
快解：设a＝x cosθ，b＝x sinθ，c＝y cosφ，d＝y sinφ，。