山东省济南市第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题(原卷版)

山东省济南市第一中学2019-2020学年高三上学期期中
数学试题
一、单选题：本大题共10个小题.每小题4分；共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数
1
1i -的共轭复数为（ ） A. 1122i + B. 1122
i -
C. 11
22
i -
- D. 1122
i -
+
2.已知全集U =R ，集合{|lg }A x y x ==, 集合{|1}B y y ==+，那么U A C B ⋂= （ ）
A. φ
B. (]0,1
C. ()0,1
D. ()1,+∞
3.已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ）
A. 12
B. 10
C.
D. 4.ABC 中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A.
2133
b c + B. 5
233
c b -
C.
2133
b c - D. 1
233
b c +
5.已知函数()f x 满足：①对任意1x 、()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()1212
0f x f x x x ->-；②对定义域内的
任意x ，都有()()f x f x =-，则符合上述条件的函数是( ) A. ()2
1f x x x =++
B. ()1
f x x x
=
- C. ()ln 1f x x =+ D. ()cos f x x =
6.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A. 49
B. 91
C. 98
D. 182
7.已知函数()sin()3
f x x π
=-，要得到()cos g x x =的图象，只需将函数()y f x =的图象（ ）
A. 向左平移56π
个单位 B. 向右平移
3π
个单位 C. 向左平移3
π
个单位
D. 向右平移56
π
个单位
8.已知向量(1,2)a =，10a b ⋅=，||52a b +=，则||b =（ ）
C. 5
D. 25
9.函数2sin 2
x
y x =
-的图象大致是 A. B. C. D.
10.已知函数2
()2||f x x x =-，()2
x
e g x x =+（其中e 为自然对数的底数），若函数()[()]h x
f
g x k =-有
4个零点，则k 的取值范围为（ ） A. (0,1)
B. 2210,
e e ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
C. 221,1e e ⎛⎫-
⎪⎝
⎭ D. 221,1e e ⎛⎤
-
⎥⎝
⎦ 二、多选题：本大题共3个小题.每小题4分，漏选得3分，错选不得分，共12分
11.设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且78S S <，8910S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A. 0d < B. 90a =
C. 117S S >
D. 8S 、9S 均为n S 的最大
值
12.下列命题正确的
是：（ ） A. 函数1
()f x x x
=
-的图像关于坐标原点对称， B. 若(
)
1
,1x e -∈，ln a x =，2ln b x =，3ln c x =，则b a c <<， C. 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称，那么||φ的最小值为6π
D. 设a 、b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则()()b c a c a b ⋅-⋅不与c 垂直 13.对于函数2
()16ln(1)10f x x x x =++-，下列正确的是（ ） A. 3x =是函数()f x 的一个极值点
B. ()f x 的单调增区间是(1,1)-，(2,)+∞
C. ()f x 在区间(1,2)上单调递减
D. 直线16ln316y =-与函数()y f x =的图象有3个交点
三、填空题：本大题共4个小题，每小题4分；共16分
14.已知函数()(
)321,1
log 1,1x
x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()2f f =⎡⎤⎣⎦__________．
15.设i 是虚数单位，复数()1a i
a R i
-∈+对应的点在直线y x =上，则a =_____ 16.已知θ是第四象限角，且sin （θ+π4）=35
，则tan （θ–π
4）= .
17.设函数()
()2
2
1sin 1
x x
f x x ++=
+的最大值为M ，最小值为m ，则m M +=___________ .
四、解答题：本大题共6个小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
18.已知函数32
()f x x ax b =++的图像在点(1,0)P 处的切线与直线320x y ++=平行.
（1）求a b 、的值： （2）求函数()
f x 的单调区间；
19.已知函数()2cos sin 6f x x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
. （1）求()f x 的最小正周期；
（2）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()1f C =，sin 2sin B A =，且ABC 的面积
为c 的值. 20.已知数列{}
n a 的
前n 项和为11,1,0,1n n n n n S a a a a S λ+=≠=-，其中λ为常数．
（1）证明：2n n a a λ+-=；
（2）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由． 21.
已知向量a ＝（3cos
2x ，3sin 2x ），b ＝（cos 2x ，－sin 2x ），且[0,]2
x π∈． （Ⅰ）用cosx 表示a ·b 及|a ＋b |；
（Ⅱ）求函数f （x ）＝a ·b ＋2|a ＋b |的最小值．
22.在数列{}n a 中，已知10a =，26a =，且对于任意正整数n 都有2156n n n a a a ++=-. （1）令12n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式. （2）求{}n a 的通项公式.
23.已知函数()2
2ln f x x x =-+． （1）求函数()f x 的最大值；
（2）若函数()f x 与()a
g x x x
=+有相同极值点． ①求实数a 的值；
②若对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦
（e 为自然对数的底数），不等式
()()1211
f x
g x k -≤-恒成立，
求实数k 的取值范围．。