2018春九年级数学下册第三章圆3.3垂径定理作业课件(新版)北师大版
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北师大版九年级数学下册第三章《3.3垂径定理》公开课课件(共12张PPT)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月29日星期四2021/7/292021/7/292021/7/29
CE=DE，
AC=AD,BC=BD
证明结论
已知：在⊙O中，CD是直径， AABE是＝弦BE，，CA⌒DC⊥＝AB⌒BC，，垂A⌒足D＝为B⌒ED。。求证：
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
因为垂直于弦AB的直径CD所在的直
线既是等腰三角形OAB的对称轴又
是⊙ O的对称轴。所以，当把圆沿着
直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/292021/7/29July 29, 2021
例题3 C A 例3 已知：⊙O中弦 AB∥CD。
求证：A⌒C＝B⌒D
M
D B
.O
证明：作直径MN⊥AB。
N
∵BMA，B∥CMCD＝，D∴MM（⌒N垂⊥直C平⌒D分。弦则的A⌒M直＝径⌒平
分弦所对的弦）
A⌒M－C⌒M＝BM⌒ －D⌒M
∴A⌒C＝B⌒D
C
O
A
A
E
3.3垂径定理(共12 公开课一等奖课件.ppt) 大赛获奖精美课件 公开课一等奖课件
首先要对粮食有明确的定位对其特点加以新的诠释更多精彩内容微信扫描二维码获取更多精彩内容微信扫描二维码获取扫描二维码获取更多资源扫描二维码获取更多资源今国内外粮食安全形势发生了新变化必须重新认识粮食安全问题
北师大版九年级下册第三章《圆》
3.3垂径定理
A
问题：左图中AB为圆O的直径， CD为圆O的弦。相交于点E，当 弦CD在圆上运动的过程中有没 有特殊情况？
O C E B D
直径AB和弦CD互相垂直
运动CD
特殊情况
C
在⊙O中，AB为弦， CD为直径，AB⊥CD
O A D E B
提问：你在圆中还能 找到那些相等的量？ 并证明你猜得的结论。
CE=DE，
AC=AD,BC=BD
特殊情况
证明结论
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证： ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 因为垂直于弦AB的直径CD所在的直 线既是等腰三角形OAB的对称轴又 是⊙ O的对称轴。所以，当把圆沿着 直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆 重合，A点和B点重合，AE和BE重 ⌒ ⌒ ⌒ 合，AC、AD分别和BC、 ⌒ BD重合。因此 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
O A D E B
B
A
O D C B
O
C
A
O C B
C D O
B
A
语文
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北师大版九年级下册第三章《圆》
3.3垂径定理
A
问题：左图中AB为圆O的直径， CD为圆O的弦。相交于点E，当 弦CD在圆上运动的过程中有没 有特殊情况？
O C E B D
直径AB和弦CD互相垂直
运动CD
特殊情况
C
在⊙O中，AB为弦， CD为直径，AB⊥CD
O A D E B
提问：你在圆中还能 找到那些相等的量？ 并证明你猜得的结论。
CE=DE，
AC=AD,BC=BD
特殊情况
证明结论
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证： ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。 因为垂直于弦AB的直径CD所在的直 线既是等腰三角形OAB的对称轴又 是⊙ O的对称轴。所以，当把圆沿着 直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆 重合，A点和B点重合，AE和BE重 ⌒ ⌒ ⌒ 合，AC、AD分别和BC、 ⌒ BD重合。因此 AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
O A D E B
B
A
O D C B
O
C
A
O C B
C D O
B
A
语文
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数学【北师大版】九年级下册：3.3-垂径定理ppt教学课件
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
C
∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB.
⌒ ， AD ⌒ =BC ⌒ =BD. ⌒ （2）由垂径定理可得AC
E A
·
B D
O
归纳总结
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不 C 能，请举出反例.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
D O ·
∵AB⊥CD， ∴AP=BP， ∠AOC=∠BOC. 从而∠AOD=∠BOD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC. ∴AD =BD，
A
P C
B
归纳总结 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. C 推导格式： ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ⌒ ⌒ ⌒ =⌒ ∴ AP=BP, AC BC,AD =BD.(结论)
数 学 精 品 课 件
北 师 大 版
Байду номын сангаас翼 课件
学练优九年级数学下（BS） 教学课件
第三章
圆
*3.3 垂径定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用 它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
特别说明： A O ·
圆的两条直径是互相平分的. D
B
垂径定理的本质是: （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 满足其中任 两条，必定 同时满足另 三条 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
C
∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB.
⌒ ， AD ⌒ =BC ⌒ =BD. ⌒ （2）由垂径定理可得AC
E A
·
B D
O
归纳总结
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不 C 能，请举出反例.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
D O ·
∵AB⊥CD， ∴AP=BP， ∠AOC=∠BOC. 从而∠AOD=∠BOD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC. ∴AD =BD，
A
P C
B
归纳总结 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. C 推导格式： ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ⌒ ⌒ ⌒ =⌒ ∴ AP=BP, AC BC,AD =BD.(结论)
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第三章
圆
*3.3 垂径定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用 它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
特别说明： A O ·
圆的两条直径是互相平分的. D
B
垂径定理的本质是: （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 满足其中任 两条，必定 同时满足另 三条 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧
北师大版九年级数学下册：垂径定理课件
C
A
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则A⌒M＝B⌒M，C⌒M＝D⌒M
（垂直弦的直径平分弦所对的弧） A⌒M－C⌒M＝B⌒M－DM⌒ ∴A⌒C＝B⌒D
M D B
.O
N
如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分
AB的直径CD， 交AB于点M.
A
（1）图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是
第三章 圆
3.3 垂径定理*
情景导入 例题讲授 课堂小结
获取新知 随堂演练
情景导入
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦 的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州 桥主桥拱的半径吗？
获取新知
如图, AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄 AB，垂足为M. （1）图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是 A 什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你 的理由.
例4 你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的 长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥 主桥拱的半径吗？
解：如图，用AB表示主桥拱，设
AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与弧AB交于点C，则D是AB的中
点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
C MB
O
D
（1）此图是轴对称图形，对称轴是直径CD
所在的直线
A
（2）AM=BM，A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D
C MB
O
D
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为M.
求证：AM=BM，A⌒C
下册第三章第3课垂径定理-北师大版九年级数学全一册课件
∴OD=OB=5. ∴ED=OD-OE=2.
5. 如图，在☉O中，直径AB与弦CD相交于点E，已知
AE=1 cm，EB=5 cm，且∠DEB=60°，求CD的长.
解：如图，作OF⊥CD，垂足为F，连接OD.
因为AE=1 cm，EB=5 cm，所以AB=6 cm，
OA= AB=3 cm.
所以OE=OA-AE=3-1=2（cm）.
常作的辅助线：①连接半径；
OB＝
=5.
（例1）如图，CD是☉O的直径，CD⊥AB，则下列结论不一定成立的是（ ）
（1）求OD的长； 如图，已知AB为☉O的直径，OD⊥AC，BC=8 cm，求OD的长.
下面的图形是不是轴对称图形？ （1）当AB，CD在圆心O的同侧时，
如图，☉O的半径为13，OD=5，AB⊥OC，则 AB=
常作的辅助线：①连接半径；
解：如图，连接OB. 则AE= AB=3（cm），CF=
CD=4（cm）.
如图，☉O的半径OD⊥AB于点C，连接AO并延长交☉O于点E，连接EC.
如图，☉O半径OA=3，OC⊥AB，AB=4，求OC的长.
∵AB=8，CD⊥AB， （例1）如图，CD是☉O的直径，CD⊥AB，则下列结论不一定成立的是（ ）
cm，
如图，已知AB为☉O的直径，OD⊥AC，BC=8 cm，求OD的长.
如图，☉O的半径OD⊥AB于点C，连接AO并延长交☉O于点E，连接EC.
解：（1）设⊙O半径为r，则OA＝OD＝r，OC＝r-2，
谢谢！ 如图，☉O的半径为13，OD=5，AB⊥OC，则 AB=
.
如图，☉O半径OA=3，OC⊥AB，AB=4，求OC的长.
第三章 圆
第3课 垂径定理
九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.3《垂径定理》课件
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ）
挑战自我找一找
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 :
. 图中相等的劣弧有:
.
挑战自我算一算
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
⌒ AB
的中点，OC交AB
于D
例题解析
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8
㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的
半径。
A
E
B
O
练习1:在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦AB， 计算：⑴点O与AB的距离；
⑵∠AOB的度数。
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
O
D
A
B
练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
挑战自我画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
●M ●O
挑战自我填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条
弧.
（ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另
一条弧.
（√ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
C
A M└ B 你可以写出相应的命题吗?
●O
相信自己是最棒的!
D
C
A M└
B
垂径定理及逆定理
●O
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤
九年级数学下册 第三章 圆 小专题(五)垂径定理的有关
第三章 圆
由圆的对称性可引出许多重要定理,垂径定理是其中比较重要的 一个,它将线段、角与圆弧连接起来,解题的常用方法是构造直角 三角形,常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来.
类型1 平分弦( 不是直径 )的直径 1.如图,AB是☉O的弦,OC为半径,与AB交于点D,且AD=BD,已知 AB=6 cm,OD=4 cm,则DC的长为( D )
∴( 2 7 )2+( 6-x )2=( 2x )2, 解得 x1=-16( 不合题意,舍去 ),x2=4,∴DE=2,
∴S△ODE=12DE·OD=12×2×2 7=2 7.
类型2 弦的垂直平分线 4.( 南通中考 )如图,AB是☉O的直径,C是☉O上的一点,若 BC=3,AB=5,OD⊥BC于点D,则OD的长为 2 .
解:∵AB 是☉O 的弦,且 AB 是 CD 的垂直平分线, ∴AB 是☉O 的直径.
连接 OC,设 AB 与 CD 的交点为 E.
∵AB=6,CD=2 5, ∴OA=OC=3,CE= 5.
在 Rt△OCE 中,OE= ������������2-������������2 = 32-( 5 )2=2,
∴AE=OA+OE=3+2=5.
在 Rt△ACE 中,AC= ������������2 + ������������2 = 52 + ( 5 )2 = 30.
类型3 平分弦所对的一条弧 8.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不一定成立 的是( C )
A.5 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm
2.如图,在平面直角坐标系中,点 A( 0,1 ),B( 0,-1 ),以点 A 为圆 心,AB 为半径作圆,交 x 轴于点 C,D,则 CD 的长是 2 3 .
由圆的对称性可引出许多重要定理,垂径定理是其中比较重要的 一个,它将线段、角与圆弧连接起来,解题的常用方法是构造直角 三角形,常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来.
类型1 平分弦( 不是直径 )的直径 1.如图,AB是☉O的弦,OC为半径,与AB交于点D,且AD=BD,已知 AB=6 cm,OD=4 cm,则DC的长为( D )
∴( 2 7 )2+( 6-x )2=( 2x )2, 解得 x1=-16( 不合题意,舍去 ),x2=4,∴DE=2,
∴S△ODE=12DE·OD=12×2×2 7=2 7.
类型2 弦的垂直平分线 4.( 南通中考 )如图,AB是☉O的直径,C是☉O上的一点,若 BC=3,AB=5,OD⊥BC于点D,则OD的长为 2 .
解:∵AB 是☉O 的弦,且 AB 是 CD 的垂直平分线, ∴AB 是☉O 的直径.
连接 OC,设 AB 与 CD 的交点为 E.
∵AB=6,CD=2 5, ∴OA=OC=3,CE= 5.
在 Rt△OCE 中,OE= ������������2-������������2 = 32-( 5 )2=2,
∴AE=OA+OE=3+2=5.
在 Rt△ACE 中,AC= ������������2 + ������������2 = 52 + ( 5 )2 = 30.
类型3 平分弦所对的一条弧 8.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不一定成立 的是( C )
A.5 cm B.2.5 cm C.2 cm D.1 cm
2.如图,在平面直角坐标系中,点 A( 0,1 ),B( 0,-1 ),以点 A 为圆 心,AB 为半径作圆,交 x 轴于点 C,D,则 CD 的长是 2 3 .
九年级数学下册33 垂径定理课件 新版北师大版
（C ）
2. 如图X3-3-7，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=
12，BE=2，则⊙O的直径为
（D）
A． 8
B． 10
C． 16
D． 20
新知 2 垂径定理的推论
推论1 平分弦(不是直径)的直径垂 直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
推理形式： 如图X3-3-8所示，
∵ CD过圆心，CD平分AB， ∴ CD⊥AB，
推论2 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两 条弧.
推论3 平分弦所对的一条弧的直径，垂直于弦并且平分 弦所对的另一条弧.
【例2】如图X3-3-9，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3， 则⊙O的直径CD的长为.
解析 首先连接OA，由于M是AB的中点，⊙O的直径是CD， 根据垂径定理，可得CD⊥AM，AM= AB= ×8=4，然后由
2. 已知：如图X3-3-12，在⊙O中M，N分别为弦AB，CD的中 点，AB=CD，AB不平行于CD.
求证：∠AMN=∠CNM.
ห้องสมุดไป่ตู้
证明：连接OM，ON，AO，OC，如答图X3-3-1所示. ∵M，N分别为AB，CD的中点， ∴OM⊥AB，ON⊥CD. 又AB=CD，∴AM=CN. 在Rt△AOM和Rt△CON中，
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL）. ∴OM=ON. ∴∠OMN=∠ONM. ∴∠AMO+∠OMN=∠CNO+∠ONM， 即∠AMN=∠CNM.
【例1】（2014广东）如图X3-3-5，在⊙O中，已知半径为5， 弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为.
解析 作OC⊥AB于点C，连接OA，如图X3-3-6，由垂径定
理得
∵OC⊥AB，