高考数学压轴专题黄冈备战高考《坐标系与参数方程》技巧及练习题附解析

新高考数学《坐标系与参数方程》专题解析
一、13
1．已知点()1,2A -，()2,0B ，P
为曲线y =上任意一点，则AP AB ⋅u u u v u u u v 的取值范围为（ ） A ．[]1,7 B ．[]1,7-
C
．1,3⎡+⎣
D
．1,3⎡-+⎣
【答案】A 【解析】 【分析】
结合已知曲线方程，引入参数方程，然后结合和角正弦公式及正弦函数的性质即可求解． 【详解】
解：设(),P x y
则由y =()221043x y y +=≥，
令2cos ,x y θθ==，[]
(0,θπ∈，
()1,2AP x y ∴=-+u u u v ，()1,2AB =u u u v
，
124232cos 34sin 36AP AB x y x y πθθθ⎛
⎫∴⋅=-++=++=++=++ ⎪⎝
⎭u u u v u u u v ，
0θπ≤≤Q ，
7666
πππθ∴≤+≤， 1sin 126πθ⎛
⎫-
≤+≤ ⎪⎝
⎭， 14sin 376πθ⎛
⎫∴≤++≤ ⎪⎝
⎭，
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数性质的简单应用，参数方程的应用是求解本题的关键.
2．曲线2cos sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）上的点到原点的距离的最大值为（ ）
A ．1
B ．3
C ．2
D ．4 【答案】C 【解析】 【分析】
根据点到直线的距离求最值.
【详解】 曲线2cos sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数）上的点到原点的距离为：
2=，
当且仅当cos 1θ=±时取得等号 故选C. 【点睛】
本题考查椭圆参数方程的应用.
3．椭圆3cos (4sin x y θ
θθ=⎧⎨
=⎩
为参数)的离心率是( )
A ．
4
B ．
3
C ．
2
D ．
5
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】
椭圆3cos 4sin x y θθ
=⎧⎨=⎩的标准方程为22
1916x y +=，所以.
所以e ＝
4
. 故答案为A 【点睛】
(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，2
2
2
,.c c a b e a
=-=
4．化极坐标方程2cos 20ρθρ-=为直角坐标方程为（ ） A ．2202x y y +==或 B ．2
x =
C ．2202x y x +==或
D ．2y =
【答案】C 【解析】
由题意得，式子可变形为(cos 2)0ρρθ-=，即0ρ=或cos 20ρθ-=，所以x 2+y 2=0或x=2，选C.
【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪
=⎨⎪+=⎩
，利用这个公式可以实现直角坐标
与极坐标的相互转化．
5．在极坐标中，为极点，曲线：
上两点
对应的极角分别为
，则
的面积为 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
将、两点的极角代入曲线的极坐标方程，求出、
，将、的极角作差取绝对值得出，最后利用三角形的面积公式可求出
的面积。

【详解】 依题意得：、
，
，
所以，故选：A 。

【点睛】
本题考查利用极坐标求三角形的面积，理解极坐标中极径、极角的含义，体会数与形之间的关系，并充分利用正弦、余弦定理以及三角形面积公式求解弦长、角度问题以及面积问题，能起到简化计算的作用。

6．如图，点A 、B 是函数1
y x
=
在第I 象限的图像上两点且满足OAB 90∠=o 且AO AB =，则OAB ∆的面积等于（ ）
A ．12
B ．22
C 3
D 5 【答案】D 【解析】
【分析】
设点B 的极坐标为(),ρθ，则04
π
θ<<
，由OAB ∆为等腰直角三角形可得出点A 的极坐
标,24πρθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
，将函数1
y x =的解析式表示为极坐标方程，将A 、B 两点的极坐标代入曲线的极坐标方程，可计算出2
ρ的值，再利用三角形的面积公式可计算出OAB ∆的面积. 【详解】
设点B 的极坐标为(),ρθ，则04
π
θ<<
，
由题意知，OAB ∆为等腰直角三角形，且OAB 90∠=o ，则点A 的极坐标
,24πρθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
，将函数1
y x =的解析式化为极坐标方程得1sin cos ρθρθ=，即2sin cos 1ρθθ=，
化简得2
sin 22ρθ=，将点B 的极坐标代入曲线的极坐标方程得2
sin 22ρθ=，
将点A 的极坐标代入曲线的极坐标方程得2
sin 2224πρθ⎛⎫⎡⎤
⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭
， 化简得2
cos 24ρθ=，于是有2
2sin 22cos 24ρθρθ⎧=⎨=⎩
，
()()2
42222sin 2cos 22420ρρθρθ∴=+=+=，得2ρ=，
因此，OAB ∆的面积为
111
sin 2422242
OAB S OA OB πρρ∆=
⋅=⨯⨯⨯=⨯=
， 故选D.
【点睛】
本题考查三角形面积的计算，解题的关键就是将问题转化为极坐标方程求解，将代数问题转化为几何问题求解，考查转化与化归数学思想，属于中等题.
7．在极坐标系中，已知圆C 经过点6P π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，，圆心为直线sin 4πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
轴的交点，则圆C 的极坐标方程为 A ．4cos ρθ= B ．4sin ρθ=
C ．2cos ρθ=
D ．2sin ρθ=
【答案】A 【解析】 【分析】
求出圆C 的圆心坐标为（2，0），由圆C 经过点6P π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，得到圆C 过极点，由此能求
出圆C 的极坐标方程． 【详解】
在sin 4πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
中，令0θ=，得2ρ=， 所以圆C 的圆心坐标为（2，0）. 因为圆C 经过点6P π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，，
所以圆C 的半径2r ==，
于是圆C 过极点，
所以圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. 故选A 【点睛】
本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．
8．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为22
162
x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()6
π
ρθ+
=M 的极坐标方
程为(0)θαρ=≥.设射线m 与曲线C 、直线l 分别交于A 、B 两点，则2
2
11OA
OB
+
的
最大值为（ ） A ．
3
4
B ．
25
C ．
23
D ．
13
【答案】C 【解析】
分析：先由曲线C 的直角坐标方程得到其极坐标方程为()2
2
1+2sin 6ρ
θ=，设A 、B 两
点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，将射线M 的极坐标方程为θα=分别代入曲线C 和直线l 的极坐标方程，得到关于α的三角函数，利用三角函数性质可得结果.
详解：∵曲线C 的方程为22
162
x y +=，即2236x y +=，
∴曲线C 的极坐标方程为()2
2
1+2sin 6ρ
θ=
设A 、B 两点坐标为()1,ρθ，()2,ρθ，
联立()221+2sin 6ρθθα⎧=⎪⎨=⎪⎩，得221112sin 6θρ+=，同理得222cos 163πθρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=， 根据极坐标的几何意义可得22
2222
12cos 111112sin 663OA OB
πθθρρ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=+=+
1+1cos 21cos 23sin 23666
ππθθθ⎛⎫⎛
⎫-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即可得其最大值为2
3
，故选C. 点睛：本题考查两线段的倒数的平方和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，充分理解极坐标中ρ的几何意义以及联立两曲线的极坐标方程得到交点的极坐标是解题的关键，是中档题．
9．将直线1x y -=变换为直线326x y -=的一个伸缩变换为（ ）
A ．23x x
y y ''=⎧⎨=⎩
B ．32x x
y y ''=⎧⎨=⎩
C ．1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
D ．1213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
【答案】A 【解析】 【分析】
设伸缩变换的公式为(0,0)x ax a b y by =⎧>>⎨⎩'='，则11x x a
y y b ⎧=⎪⎪⎨=''
⎪⎪⎩
，代入直线1x y -=的方程，
变换后的方程与直线326x y -=的一致性，即可求解． 【详解】
由题意，设伸缩变换的公式为(0,0)x ax a b y by =⎧>>⎨⎩'='，则11x x a
y y b ⎧
=⎪⎪⎨=''
⎪⎪⎩
代入直线1x y -=的方程，可得11
1x y a b
''-=， 要使得直线11
1x y a b
''-=和直线326x y -=的方程一致， 则
112a =且11
3
b =，解得2,3a b ==，
所以伸缩变换的公式为23x x
y y ''=⎧⎨=⎩
，故选A ．
【点睛】
本题主要考查了图形的伸缩变换公式的求解及应用，其中解答中熟记伸缩变换公式的形式，代入准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
10．记椭圆22
1441
x ny n +=+围成的区域（含边界）为n Ω（12n =L ，
，），当点()x y ，分别在1Ω，2Ω，…上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，…，则lim n n M →+∞
=（ ） A ．0 B ．
1
4
C ．2 D
．【答案】D 【解析】
分析：先由椭圆2
2
1441x ny
n +=+
得到这个椭圆的参数方程为：2x cos y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
（θ为参数），再由三角函数知识求x+y 的最大值，从而求出极限的值．
详解：把椭圆22
1441
x ny n +=+得，
椭圆的参数方程为：2x cos y θθ=⎧⎪
⎨=⎪⎩
（θ为参数）， ∴x+y=2cos θ
， ∴（x+y ）max
∴n
lim →∞
M n
=n
故选D ．
点睛：本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．
11．已知曲线C 的极坐标方程为2
22
12
3cos 4sin ρθθ
=
+，以极点为原点，极轴为x 轴非
负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C
经过伸缩变换12x x y y
⎧=⎪⎪
⎨=''⎪⎪⎩
后，得到的曲线是（ ）
A ．直线
B ．椭圆
C ．圆
D ．双曲线
【答案】C 【解析】 【分析】
将曲线C 的极坐标方程2
22
12
3cos 4sin ρθθ
=
+化为普通方程，再将曲线C 的普通方程进
行12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
的伸缩变换后即可解. 【详解】
解：由极坐标方程2
22
22
123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ
=
⇒+=+， 可得：2
2
3412x y +=，即22
143
x y +=，
曲线C
经过伸缩变换12x x y y
⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
，可得2x x y =⎧=''⎪，代入曲线C 可得：22
1x y ''+=，
∴伸缩变换得到的曲线是圆． 故选：C ． 【点睛】
考查曲线的极坐标方程化普通方程以及曲线方程的变换.
其中将123x x y y
⎧
=⎪⎪
⎨=''⎪⎪⎩
转化为
2x x
y
=⎧=''⎪为解题关键.
12．能化为普通方程210x y +-=的参数方程为（ ） A ．2sin ,
cos x t y t =⎧⎨
=⎩
（t 为参数）
B ．2
tan ,
1tan x y ϕϕ
=⎧⎨
=-⎩（ϕ为参数）
C ．x y t
⎧=⎪
⎨
=⎪⎩（t 为参数）
D ．2
cos ,
sin x y θθ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数） 【答案】B 【解析】
A:21,[1,1]y x x =-∈- ;B 21,y x x =-∈R ;C:21,[0,)y x x =-∈+∞ ;D:
21,[1,1]y x x =-∈-，所以选B.
点睛：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，经常用到公式：
2222
1
cos sin 1,1tan cos θθθθ
+=+=
.不要忘了参数的范围.
13．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换53x x
y y ''=⎧⎨=⎩
后，曲线C 变为曲线
2241x y ''+=，则曲线C 的方程为（ ）
A ．2225361x y +=
B ．2291001x y +=
C ．10241x y +=
D ．
22
281259
x y += 【答案】A 【解析】 【分析】 将伸缩变换53x x y y
''=⎧⎨=⎩代入曲线22
41x y ''+=中即可解.
【详解】
解：把53x x y y
''=⎧⎨=⎩代入曲线22
41x y ''+=，可得：()()225431x y +=，即
2225361x y +=，
即为曲线C 的方程． 故选：A ． 【点睛】
考查平面直角坐标系的伸缩变换，题目较为简单. 伸缩变换：设点(,)P x y 是平面直角坐标
系中的任意一点，在变换,(0)
:,(0)x x y y λλϕμμ'=⋅>⎧⎨'=⋅>⎩
的作用下，点(,)P x y 对应到点
(,)P x y '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
14．若点P 的直角坐标为(1,，则它的极坐标可以是（ ）
A ．52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．112,6π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，计算出ρ和tan θ的值，结合点P 所在的象限求出θ的值，可得出点P 的极坐标. 【详解】
设点P 的极坐标为()(),02ρθθπ≤<，则2ρ==，tan 1
θ=
=. 由于点P 位于第四象限，所以，53πθ=，因此，点P 的极坐标可以是52,3
π⎛⎫
⎪⎝⎭
，故选：A. 【点睛】
本题考查点的直角坐标化极坐标，要熟悉点的直角坐标与极坐标互化公式，同时还要结合点所在的象限得出极角的值，考查运算求解能力，属于中等题.
15．在极坐标系中，曲线C 的方程为2
23
12sin ρθ
=
+，以极点O 为直角坐标系的原点，
极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ，设(),P x y 为曲线C 上一动点，则1x y +-的取值范围为（ ）
A ．1⎡⎤⎣⎦
B ．[]3,1-
C ．[]22-,
D ．[]
2,1--
【答案】B 【解析】 【分析】
将曲线C 的方程2
2
312sin ρθ=+化为直角坐标形式，可得2
213
x y +=，设
x α=，sin y α=，由三角函数性质可得1x y +-的取值范围.
【详解】
解：将cos =x ρθ ，sin y ρθ=代入曲线C 的方程2
23
12sin ρθ
=
+，
可得：2
2
2
2sin 3ρρθ+=，即2
2
33x y +=，2
213
x y +=
设x α=，sin y α=，
可得1sin 1sin )12sin()1213
x y π
ααααα+-=-=+++--=， 可得1x y +-的最大值为：1，最小值为：3-， 故选：B.
【点睛】
本题主要考查极坐标和直角坐标的互换及椭圆的参数方程，属于中档题，注意运算准确.
16．已知(,)P x y
是椭圆sin x y αα⎧=⎪⎨
=⎪⎩上任意一点，则点P
到40x --=的距离的最大值为（ ）
A
B
．2 C
D
．2
【答案】A
【解析】
【分析】
设点,sin )P αα，求得点P
到直线的距离为
d =数的性质，即可求解.
【详解】
由题意，点(),P x y
是椭圆x y sin αα
⎧=⎪⎨
=⎪⎩上任意一点，
设点,sin )P αα，
则点P
到直线40x --=
的距离为d == 当cos()14πα+
=-时，距离d
A. 【点睛】 本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应
用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点,sin )P αα，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
17．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是
A ．(1,)2π
B ．(1,)2π-
C ．(1,0)
D ．(1，π)
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
由题圆2sin ρθ=-，则可化为直角坐标系下的方程,
22sin ρρθ=-，222x y y +=-，
2220x y y =++，
圆心坐标为（0，-1）， 则极坐标为1,2π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，故选B. 考点：直角坐标与极坐标的互化.
18．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为
ρθ=，若曲线1C 与2C 的关系为（ ）
A ．外离
B ．相交
C ．相切
D ．内含
【答案】B
【解析】
【分析】
将两曲线方程化为普通方程，可得知两曲线均为圆，计算出两圆圆心距d ，并将圆心距d 与两圆半径差的绝对值和两半径之和进行大小比较，可得出两曲线的位置关系.
【详解】
在曲线1C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，得24sin ρρθ=，化为普通方程得224x y y +=，
即()2
224x y +-=，则曲线1C 是以点()10,2C 为圆心，以12r =为半径的圆，
同理可知，曲线2C 的普通方程为(2212x y -+=，则曲线2C 是以点()2C 为
圆心，以2r =
两圆圆心距为4d ==，1222r r -=-=，
122r r +=+，1212r r d r r ∴-<<+，因此，曲线1C 与2C 相交，故选：B.
【点睛】
本题考查两圆位置关系的判断，考查曲线极坐标方程与普通方程的互化，对于这类问题，通常将圆的方程化为标准方程，利用两圆圆心距与半径和差的大小关系来得出两圆的位置关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
19．在极坐标系中，圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为（ ）
A ．1
(,)23π- B ．1(,)23π C ．(1,)3π
- D ．(1,)3
π
【答案】A
【解析】 由圆cos()3πρ=θ+
，化为21(cos )22ρρθθ=-
，∴22122x y x y +=-，
化为2211()(44x y -+=，
∴圆心为1
(,4，半径r=12． ∵tan α
=3
π-， ∴圆cos()3
πρ=θ+的圆心的极坐标为1
(,)23π-．
故选A ．
20．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的参
数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩
，（t 为参数），曲线C 的方程为4cos 02πρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭剟，(2,0)C 直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，当ABC ∆的面积最大时，tan α=( ) A
B
C
D
．7
【答案】D
【解析】
【分析】
先将直线直线l 与曲线C 转化为普通方程，结合图形分析可得，要使ABC ∆的面积最大，即要ACB ∠为直角，从而求解出tan α。

【详解】
解：因为曲线C 的方程为4cos 02πρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭
剟
， 两边同时乘以ρ，可得24cos ρρθ=， 所以曲线C 的普通方程为22(2)4(02)x y y -+=剟
， 曲线C 是以(2,0)C 为圆心，2为半径的上半个圆.
因为直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩
，（t 为参数）， 所以直线l 的普通方程为tan tan 0x y αα-+=g ， 因为1sin 2sin 2
ABC S CA CB ACB ACB ∆g g g =
??， 所以当ACB ∠为直角时ABC ∆的面积最大，
此时C 到直线l 的距离2222AB CA CB d +=== ，
因为直线l 与x 轴交于()1,0D -，
所以3CD =，于是7DE =
所以214tan 7
α=
=， 故选D 。

【点睛】
本题考查了曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，同时考查了直线与圆的位置关系，数形结合是本题的核心思想。