湖北省荆州中学2018届高三4月月考数学(文)试题(word版含答案)

荆州中学2018届高三4月考
文科数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、若集合2lg
x M x y x -⎧⎫
==⎨⎬⎩⎭
， {}1N x x =<，则()M N ⋃=
A. ()01，
B. ()02，
C. ()2-∞，
D. ()0+∞， 【答案】C
【解析】()0,2M =，则(),2M N =-∞ 。

2、已知复数i
i
z -+=
13，则z 在复平面上对应的点在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【答案】D
【解析】()()3131212
i i i z i i +++===+-，12z i ∴=-， 所以对应的点在复平面内的坐标为()1,1-，故选D 。

3、某商场在一天的促销活动中，对这天9时到14时的销售额进行
统计，其频率分布直方图如图所示，已知11时至12时的销售额为20万元，则10时到11时的销售额为（ ）
A ． 5万元
B ．7.5万元
C ． 8万元
D ． 10万元 【答案】B
【解析】10时到11时的频率/组距：
()10.10.40.250.10.15-+++=，
所以销售额为
200.15
7.50.4
⨯=（万元）。

4、设,x y 满足约束条件20
2020
x y x y x y -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
，则22y x ++的最大值为（ ）
A 、1
B 、4
5
C 、12
D 、23
【答案】B
【解析】画出可行域如图所示，
2
2
y x ++表示可行域内的点(,)x y 与（2,2
）连线
的斜率，从图像可以看出，经过点42(,)33时，
22y x ++有最大值4
5
，故选B 5、如图，半径为R 的圆O 内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为,,,A B C D ，这四个小圆都与圆O 内切，且相邻两小圆外切，则在圆O 内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为
（ ）
A 、
3
4 B 、23 C D 【答案】C
【解析】设小圆的半径为r ，则大圆的半径为1)r +，
阴影部分恰好合为三个小圆，面积为2
3r π，
大圆的面积为2
21)(3r r ππ⎡⎤+=+⎣⎦，
.
6、《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三
丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则14151617a a a a +++的值为（ ） A ．55 B ．52 C ．39 D ．26
【答案】B
【解析】因为从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，
所以该女子每天织的布构成一个等差数列{}n a ，其中15a =，30390S =，
()()()13030141715163015152
a a S a a a a +==+=+，
所以1417151626a a a a +=+=，则1415161752a a a a +++=。

7、执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则所有输入x 的取值的和是（ ）
A 、0
B 、2
C 、4
D 、6 【答案】C
【解析】程序框图表示函数2
1(0)4(0)x x y x x x +<⎧=⎨-≥⎩
，若函数值等于1，
则有011x x <⎧⎨
+=⎩得0x =（舍）或2
041
x x x ≥⎧⎨-=⎩得2
410x x -+=，由韦达定理得124x x +=。

故选C 。

8、某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等腰三角形，则该几何
体中的最长棱的长为（ ）
A B 、、 3 D 、【答案】C
【解析】 还原三视图可得，几何体为一个底面水平朝上的三棱锥，最长棱为3
9、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q =”是“422S S =”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】由422S S =，得()
()23
11121a q q q a q +++=+，
即3
2
10q q q +--=，即()
()2
110q q +-=，
解得1q =±，即1q =。

当1q =时,易得422S S =。

故“1q =”是“422S S =”的充要条件，故选C.
10、已知函数())14f x x π=
++，将函数()f x 先向右平移4
π
个单位，再向下平移1
个单位后，得到()g x 的图象，关于()g x 的说法，正确的是：
A 、关于点3,08π⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称 B 、关于直线8x π=成轴对称
C 、()g x 在[0,]4π
上单调递减 D 、()g x 在[0,]4
π
上的最大值是1
【答案】D
【解析】由题意，())4
g x x π
=
-
选项A ，当38x π=时，()g x =()g x 关于38x π=轴对称，不关于3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭
成中心对称，错；
选项B ，当8
x π
=时，()0g x =，则()g x 关于,08π⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称，不关于8x π=成轴对
称，错；
选项C ，D ，当[0,
]4
x π
∈时，2[,]4
44x π
ππ
-
∈-
，从而()g x 在[0,]4
π
单调递增；于是
max ()1g x =
11、已知F 是椭圆22
143
x y +=的左焦点，设动点P 在椭圆上，若直线FP
则直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围是（ ）
A 、3,2⎛
⎫-∞-
⎪⎝
⎭ B
．33,22⎤⎛⎤-∞-⎥ ⎥⎝⎦⎝⎦
C. 33,22⎫⎛
⎫-∞-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
D ． 3,2⎡⎫-
+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】C
【解析】当FP
P 点位于1P 或/
1P 的位置，当
FP 的斜率趋近+∞时，P 点趋近2P 或/
2P ，
因为2P 的坐标为31,2⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，232
OP k =-
， 所以点P 在弧12PP 上运动（不含端点）
，OP k 的范围为3,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
， 且点P 还可在弧//
12P P 上运动，OP k 为正，由选项可以看出，C 正确。

12、在三棱锥P ABC -中，2AP =
，AB =PA ⊥面ABC ，且在三角形ABC 中，有()cos 2cos c B a b C =-（其中,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边），则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A 、40π
B 、20π
C 、12π
D 、203
π
【答案】A
【解析】由题可知，C a C b B c C b a B c c o s 2c o s c o s c o s )2(c o s =+⇒-=，故可得
3
21cos π=⇒=C C ,
2sin
3
r =，得三角形ABC 的外接圆的半径为3r =，
又由()()()22
2
2
2210PA r R R +=⇒=，
所以其表面积为2
440S R ππ==，故选A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、已知函数()ln x
f x x x e =-（e 为自然对数的底数），则()y f x =在点()()
1,1f 处的切线
方程为＿＿＿＿＿＿＿。

【答案】()11y e x =--
【解析】()/ln 1x f x x e =+-，()/11f e ∴=-，又()1f e =-， 则切线方程为()()11y e e x +=--，即()11y e x =--。

14、已知向量,a b ，2,1a b == ，,a b 的夹角为23
π，则2a b += .
【答案】2
【解析】22a b +=
=
15、若函数()221x x a
f x +=+为奇函数， (),0 ,0
ax alnx x g x e x >⎧=⎨≤⎩，则不等式()1g x >的解集为
＿＿＿＿。

【答案】()1,00,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
【解析】∵函数()221
x x a
f x +=+为奇函数，∴()00f =，即1a =-，
∴(),0
,0x lnx x g x e x -->⎧=⎨≤⎩
，
当0x >时,解()ln 1g x x =->得：10,x e ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
， 当0x <时,解()1x
g x e
-=>得：(),0x ∈-∞，
故不等式()1g x >的解集为()1,00,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。

16、已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b
-=>>的左焦点为F ，圆222
:O x y a +=与双曲线的
渐近线在第二象限相交于点M （O 为坐标原点），若直线MF 的斜率为b
a
，则双曲线C 的离心率为＿＿＿＿＿＿。

【解析】联立222
x y a b
y x
a ⎧+=⎪
⎨=-⎪⎩
，得2,a ab M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以222
MF
ab
ab c k a c a
c c
==--+
，则22222ab b c a e c a a =⇒=⇒=-
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～21为必考题，每个考生都必须作答。

第22、23题选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分 17、（本小题满分12分）
已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos 4cos ,2
c B c C a C π
+=≠.
（1）求证：4b c =
（2）若锐角A
满足4sin sin()6
A A π
-=
a =ABC ∆的面积.
【解析】（1）由正弦定理易得：sin cos 4sin cos sin C B C C A +=， ………2分
从而sin cos 4sin cos sin()sin cos cos sinC C B C C B C B C B +=+=+ 即：4sin cos sin cos C C B C =， 由2
C π
≠
可得4sin sin C B =，即：4b c = …………5分
（2
）1
4sin sin()4sin cos )6
2
A A A A A π
-
=-
22sin cos cos2)sin 2A A A A A =---
sin 2)A A =
+2sin(2)3
A π
=+
故sin(2)03A π+=，由A 为锐角，从而3
A π
=. ………………8分
由余弦定理，可得222
132cos 133
b c bc c π=+-= ………………10分
从而1
1,4,sin 2
c b S bc A ==== ………………11分
故ABC ∆
………………12分
18、（本小题满分12分）
四棱锥P ABCD -中，,AC BD 交于点O ,且4,3,2,,=====AP OB OC DC CB DA AB ，
EP BE 3=。

（1）若F 为OD 中点，求证：EF ∥PCD 面。

（2）当三棱锥BCD P -的体积最大时，求三棱锥P ECD -的体积，并证明：
EBD PAC 面面⊥。

【解析】（1）证明：∵AB AD =，∴A 在BD 的垂直平分线上，
同理C 在BD 的垂直平分线上 ∴AC 即为BD 的垂直平分线
∴BD AC ⊥，且O 为BD 中点 ………2分
∵3=，F 为OD 中点 ∴三角形PBD 中，
3
1
==FB DF BE PE ∴EF ∥PD ………4分 ∵PCD EF PCD PD 面面⊄⊂,
∴EF ∥PCD 面 ………5分 （2）由题知111
622332
P BCD BCD p BCD p BCD p BCD V S d d d -∆→→→=
=⋅⋅⋅=面面面 显然p BCD d PA →≤面
故当PA 与底面垂直时，三棱锥P B O D -的体积最大，此时可得
P A B D ⊥ ………7分
∵,,PA AC A PA AC PAC ⋂=⊂且面 ∴BD PAC ⊥面 ∵BD BDF ⊂面
∴BDF PAC ⊥面面 ………9分 此时8P BCD V -=
∴
1
3
31
43
BCD E BCD
E BCD B ECD E BCD
P BCD P BCD
P BCD BCD P BCD S d d V V V V d S d ∆→→----→∆→⋅=
===⋅⋅面面面面 ∴1
24
P ECD P BCD V V --=
= ………11分 ∴三棱锥P ECD -的体积为2。

………12分
19、（本小题满分12分）
2017年11月、12
月全国大范围流感爆发，为研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间
的关系，一兴趣小组抄录了某医院11月到12月间的连续6个星期的昼夜温差情况与因患感
回归方程，再用被选取的2组数据进行检验。

(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个星期的概率； (Ⅱ)若选取的是第一周与第六周的两组数据，请根据第二周到第五周的4组数据,求出y 关于x 的线性回归方程 y bx a =+；
(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
(参考公式: 11
2
2
2
1
1
()()
,()
n n
i i
i
i
i i n
n
i
i
i i x y nx y x x y y b a y bx x
nx
x x ====---=
=
=---∑∑∑∑)
参考数据：112513*********⨯+⨯+⨯+⨯=1092， 22221113128+++=498 【解析】(Ⅰ)将连续六组数据分别记为,,,,,A B C D E F ，从六组中任意选取两组，其基本事
件为：,,,,,,,,,,,,,,A B A C A D A E A F B C B D B E B F C D C E C F D E D F E F 。

共15种情况。

………2分
其中两组是相邻的为,,,,AB BC CD DE EF ，共5种情况。

设抽到相邻两个星期的数据为事件M ， 则抽到相邻两个星期的数据的概率为()51
153
P M ==。

……….4分 (Ⅱ)由数据求得11,24x y == 由公式求得187
b =
再由307
a y bx =-=-
所以y 关于x 的线性回归方程为 1830
77
y x =- …………..8分 (Ⅲ)当10x =时,
1507y =, 150
|
22|27
-<； 同样, 当6x =时, 78
7
y =,
212778<- 所以,该小组所得线性回归方程是理想的。

………12分
20、（本小题满分12分）
已知动圆过定点()2,0A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为4。

（1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；
（2）设()1,0B ，过点A 斜率为()0k k >的直线l 交轨迹C 于,P Q 两点，,PB QB 的延长线交轨迹C 于,S T 两点。

①若PQB ∆的面积为3，求k 的值。

②记直线ST 的斜率为ST k ，证明：
ST
k k
为定值，并求出这个定值。

【解析】（1）设圆心()(),0C x y x ≠，过点C 作CE y ⊥轴，垂足为E ， 则12
ME MN =
，2222
CA CM ME CE ∴==+。

………2分 ()2
22222x y x ∴-+=+，化简为：24y x =，
当0x =时，也满足上式，
所以动圆圆心的轨迹C 的方程为24y x =。

………4分 （没有分0x ≠，0x =的扣一分）
（2）设直线l 的方程为()2y k x =-，22
1212,,,44y y P y Q y ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
由()
2
42y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得2480ky y k --=， ………5分 216320k ∆=+>，12124
,8y y y y k
+=
=-， ………6分 ①
1212PQB S AB y y ∆=
-=
3==，解得2k =。

………8分 ②设233,4y S y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则21
11,4y BP y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，2331,4y BS y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，
因为,,P B S 共线，所以2
2313111044y y y y ⎛⎫⎛⎫
---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
即2
3131440y y y y ⎛⎫+--=
⎪⎝⎭
，解得：31y y =（舍）或31
4
y y =-，
所以2
1144,S y y ⎛⎫-
⎪⎝⎭，同理22
244,T y y ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭， ………10分
121212
221244244ST
y y y y k k y y y y -
+==-=+-，
故2ST
k k
=（定值）。

………12分
21、（本小题满分12分）
已知函数()2ln 2ln a x
f x x a k x a
=+-- 。

（1）若0k =，试判断()f x 的零点的个数。

（2）若()0f x ≥恒成立，求k 的取值范围。

【解析】（1）若0k =，()2ln 2ln a f x x a x =+
-，()/2222a x a
f x x x x
-=-= 当0,2a x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭，()/0f x <，()f x 单调递减；当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
，()/
0f x >，()f x 单调递增。

所以()()min 2ln 22ln 21ln 2022a a f x f a ⎛⎫
==+-=->
⎪
⎝⎭
， 所以函数()f x 的零点个数为0。

..............4分 注：（求导1分，单调区间1分，最值1分，结论1分） （2）若()2ln 2ln 0a x f x x a k x a =+
--≥ ，变形得到：2ln x a x k a x a
+≥ 。

令()0x t t a =>，得到2
2ln 1
t t k t
+≥。

..........6分 设()22ln 1t t g t t +=
，()()/
3
2ln 1t t t g t t
--=， ..........7分 令()ln 1k t t t t =--，()/
ln k t t =-，
可得()k t 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ..........9分 所以()()10k t k ≤=，则()/
0g t ≤，
所以()g t 在()0,+∞上单调递减。

..........10分 当t →+∞，()0g t →，所以()0g t >，
所以0k ≤。

..........12分 （注：若令()0a t t x
=>，得到22ln t t t k -+≥， 令()22ln g t t t t =-+，()()/221ln g t t t =-+，
()()//21121t g t t t -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
， 所以在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，
所以()()//10g t g ≥=，
即()g t 在()0,+∞上单调递增。

当0t →时，()0g t →，所以()0g t >，
所以0k ≤。

）
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22、选修4-4：坐标系与参数方程：（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P 的直线l
的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）。

以
原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=。

（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11PM PN
+的值。

【解析】（1
）由已知得11222
x t y t ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去t
得21)y x -=-，
即20y -+=，
所以直线l
20y -+；┄┄┄2分
曲线C ：4sin ρθ=得24sin ρρθ=，因为222
x y ρ=+，sin y ρθ=，所以
224x y y +=，
整理得22(2)4x y +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=；┄┄┄5分
（2）解法一：把直线l
的参数方程1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程中
得：
221(1)()422
t ++=，即230t t +-=， 设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则1212
13t t t t +=-⎧⎨⋅=-⎩，┄┄┄8分 所以11PM PN +1212
PM PN t t PM PN t t ++==⋅
⋅1212t t t t -==⋅
3=。

┄┄┄10分
解法二：作CQ l ⊥于点Q ，则圆心()0,2C
到直线20l y -+=
的距离为CQ =
所以QM ===， 又因为1CP =
，所以12
PQ ==，
所以122
PM QM PQ =-=-，
12
PN QN PQ =+=+，
所以
11PM PN +== 23、选修4-5：不等式选讲：（本小题满分10分） 已知函数()222f x x x =--+。

（1）求不等式()6f x ≥的解集；
（2）当x R ∈时，()f x x a ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围。

【解析】（1）当2x ≤-时，()4f x x =-+，∴()646f x x ≥⇒-+≥2x ⇒≤-，故2x ≤-；
当21x -<<时，()3f x x =-，∴()636f x x ≥⇒-≥2x ⇒≤-，故x ∈∅；
当1x ≥时，()4f x x =-，∴()646f x x ≥⇒-≥10x ⇒≥，故10x ≥；
综上可知：()6f x ≥的解集为(,2][10,)-∞+∞ ；┄┄┄5分
（2）由（1）知：4,2()3,214,1x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩
，
【解法一】如图所示：作出函数()f x 的图象，
由图象知，当1x =时，13a -+≤-，解得：2a ≤-，
∴实数a 的取值范围为(,2]-∞-。

┄┄┄10分
【解法二】当2x ≤-时，4x x a -+≥-+恒成立，∴4a ≤，
当21x -<<时，3x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-，
当1x ≥时，4x x a -≥-+恒成立，∴2a ≤-，
综上，实数a 的取值范围为(,2]-∞-。