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四川省成都市树德中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

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2016-2017学年高二上学期期末考试数学文试卷 Word版含答案

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2016-2017学年高二上学期期末考试数学文试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.10. 如果直线032=-+y ax 与20x y -=垂直，那么a 等于_______.11. 已知双曲线2213y x -=，则双曲线的离心率为______；渐近线方程为_____________ .12. 一个直三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为_________.13. 如图，在四边形ABCD 中，1AD DC CB ===， AB =，对角线AC 将ACD △沿AC 所在直线翻折，当AD BC ⊥时，线段BD 的长度 为______.ABCD正（主）视图 侧（左）视图14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．（本小题满分13分）已知圆C 经过)1,1(),3,1(-B A 两点，且圆心在直线x y =上. (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 经过点)2,2(-，且与圆C 相交所得弦长为32，求直线l 的方程.17．（本小题满分13分）如图，在平面ABCD 中，⊥AB 平面ADE ，CD ⊥平面ADE ，ADE △是等边三角形，22AD DC AB ===，,F G 分别为,AD DE 的中点. (Ⅰ)求证: EF ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求四棱锥E ABCD -的体积；(Ⅲ)判断直线AG 与平面BCE 的位置关系，并加以证明.A BCDPE EDAB CGF18．（本小题满分13分）过椭圆2212x y +=右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点,C D ，与直线2=x 交于点E .(Ⅰ)若直线l 的斜率为2，求||CD ；(Ⅱ)设O 为坐标原点，若:1:3ODE OCE S S ∆∆=，求直线l 的方程． 19．（本小题满分14分）如图,在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1AA =,M N 分别为BC 和1AA 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点.(Ⅰ)求证:平面APM ⊥平面11BBC C ；(Ⅱ)若P 为线段1BB 的中点，求证://CN 平面AMP ； (Ⅲ)试判断直线1BC 与PA 能否垂直. 若能垂直，求出PB 的值；若不能垂直，请说明理由.20．（本小题满分14分）已知抛物线22y x =，两点(1,0)M ，(3,0)N . （Ⅰ）求点M 到抛物线准线的距离；（Ⅱ）过点M 的直线l 交抛物线于两点,A B ，若抛物线上存在一点R ，使得,,,A B N R 四点构成平行四边形，求直线l 的斜率.NA MPCBA 1 C 1B 1北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. C ；5. D ；6. A ；7. B ；8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1； 11. 2；y =； 12. 4；14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解: (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）ABCDPE O解：(Ⅰ)设圆C 的圆心坐标为),(a a ，依题意，有2222)1()1()3()1(-++=-+-a a a a ， ……………2分即22451a a a -+=+,解得1=a ， ……………4分所以222(11)(31)4r =-+-=， ……………5分 所以圆C 的方程为4)1()1(22=-+-y x . ……………6分 (Ⅱ)依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为1. ……………8分所以直线2x =符合题意. ……………9分 当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为)2(2-=+x k y ， 即022=---k y kx ， 则11|3|2=++k k ， ……………11分解得43k =-， ……………12分 所以直线l 的方程为)2(342--=+x y ，即0234=-+y x ， ……………13分综上，直线l 的方程为2x = 或0234=-+y x .17.（本小题满分13分）(Ⅰ)证明：因为F 为等边ADE △的边AD 的中点，所以 EF AD ⊥. ……………2分 因为⊥AB 平面ADE ，⊂AB 平面ABCD 所以平面ADE ⊥平面ABCD . ……………4分 所以EF ⊥平面ABCD . ……………5分 (Ⅱ)解：因为⊥AB 平面ADE ，CD ⊥平面ADE ， 所以//AB CD ，90ADC ∠=，四边形ABCD 是直角梯形， ……………7分 又22AD DC AB ===， 所以1(21)232ABCD S =⋅+⋅=梯形，……………8分又EF =所以13E ABCDABCD V S EF -=⋅=……………9分 (Ⅲ)结论: 直线//AG 平面BCE .证明: 取CE 的中点H ，连结,GH BH ， 因为G 是DE 的中点，所以//GH DC ，且 GH =12DC . ……………11分 DABCGFHE所以//GH AB ，且1GH AB ==，所以四边形ABHG 为平行四边形，//AG BH ， ……………12分 又⊄AG 平面BCE ，⊂BH 平面BCE .所以//AG 平面BCE . ……………13分18.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，1=c ，)0,1(F ，直线l 的方程为22-=x y . ……………1分设11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立⎩⎨⎧-==+222222x y y x ，消y 得291660x x -+=， ……………3分91621=+x x ，9621=x x ， ……………4分 所以||CD = ……………5分9==. ……………6分 (Ⅱ)依题意，设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)1(-=x k y ，联立⎩⎨⎧-==+kkx y y x 2222，消y 得0)22(4)212222=-+-+k x k x k （， ……………7分2221214k k x x +=+……①， 22212122k k x x +-=……②……………8分 因为:1:3ODE OCE S S =△△，所以 :1:3DE CE =， 3CE DE =，所以 1223(2)x x -=-，整理得 2134x x -=……③ ……………10分由①③得 212121k x k -=+，2223121k x k +=+， ……………11分 代入②，解得1±=k ， ……………12分 所以直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+. ……………13分19.（本小题满分14分）(Ⅰ)证明：由已知，M 为BC 中点，且AB AC =，所以AM BC ⊥. ……………1分又因为11//BB AA ，且1AA⊥底面ABC ， 所以1BB ⊥底面ABC .NA MPCBA 1 C 1B 1 Q所以1BB AM ⊥， ……………3分 所以AM ⊥平面11BBC C .所以平面AMP ⊥平面11BBC C .……………5分 (Ⅱ)证明：连结BN ，交AP 于Q ，连结MQ ,NP .因为,N P 分别为11,AA BB 中点，所以//AN BP ，且AN BP =.所以四边形ANPB 为平行四边形， ……………7分Q 为BN 中点，所以MQ 为CBN △的中位线，所以//CN MQ . ……………8分 又CN ⊄平面AMP ，MQ ⊂平面AMP ，所以//CN 平面AMP . ……………9分 (Ⅲ) 解：假设直线1BC 与直线PA 能够垂直，又因为1BC AM ⊥，所以⊥1BC 平面APM ，所以1BC PM ⊥. ……………10分 设PB x =，x ∈.当1BC PM ⊥时，11BPM BC B ∠=∠，所以Rt PBM △∽11Rt B C B △，所以111C B PB MB BB =. ……………12分因为111MB C B BB ===，解得3x =. ……………13分 因此直线1BC 与直线PA 不可能垂直. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线22y x =的准线方程为12x =-. ……………2分 所以，点M 到抛物线准线的距离为131()22--=. ……………4分（Ⅱ）设直线:(1)l y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2(1),2y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(22)0k x k x k -++=， ……………5分 所以212222k x x k++=，121x x =. ……………6分 ①,N R 在直线AB 异侧，,,,A B N R 四点构成平行四边形，则,AB NR 互相平分. 所以，12R N x x x x +=+，12R N y y y y +=+，所以，22223R k x k +=+，222R k x k-=. 12122(2)R y y y k x x k=+=+-=. ……………8分将(,)R R x y 代入抛物线方程，得22R R y x =，即222422k k k -=⨯，解得0k =，不符合题意. ……………10分 ②若,N R 在直线AB 同侧，,,,A B N R 四点构成平行四边形，则,AR BN 互相平分. 所以，12R N x x x x +=+，12R N y y y y +=+，所以，213R x x x =-+，21R y y y =-. ……………12分 代入抛物线方程，得22121()2(3)y y x x -=-+，又2112y x =，2222y x =，所以2222121()2(3)22y y y y -=-+，注意到212y y =-=-，解得211y =，11y =±. ……………13分当11y =时，112x =，2k =-；当11y =-时，112x =，2k =.所以2k =±. ……………14分。

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四川省成都市树德中学２016-２０17学年高二数学上学期期末考试试题文一、选择题(每小题5分,共60分)１、设ａ∈R ，则“ａ＝1”是“直线l １:ax +2y -1＝０与直线l 2：x +(a +1)y +4＝0平行”的（ ) A ．充分不必要条件 ﻩ ﻩB.必要不充分条件 Ｃ.充分必要条件 ﻩﻩD.既不充分也不必要条件2、已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y ＝±2x ，则其离心率为（ ）A.5 ﻩﻩﻩB.ﻩﻩC ．ﻩﻩ Ｄ．３、设某高中的学生体重y(单位：kg)与身高x （单位:c ｍ)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ,y i ）(ｉ=1,2,…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x -８5．71，则下列结论中不正确．．．的是（ ） A.y 与ｘ具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(x ,y ）C.若该高中某学生身高增加1cm,则其体重约增加0．85kgD.若该高中某学生身高为170cm ，则可断定其体重必为5８.7９kg 4、下列说法正确的是 （ )A ．命题“若21x >,则1x >”的否命题为“若21x >,则1≤x ”Ｂ.命题“若200,1x R x ∃∈>”的否定是“2,1x R x∀∈<”C.命题“若x y =,则y x cos cos =”的逆否命题为假命题D.命题“若x y =,则y x cos cos =”的逆命题为假命题 5、阅读程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( ) A.85B ．1311 C.错误! D.错误!6、已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y=-的取值范围是 ( )A ．3[,6]2-B ．3[,1]2-- Ｃ.[1,6]- D.3[6,]2- 7、在长为１0 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于ＡC ，CB 的长,则该矩形面积不．小于．．9 cm 2的概率为（ ） A ．910ﻩ B ．45ﻩ C.23ﻩ D ．128、直线y=ｋｘ+3与圆(ｘ﹣２)2＋(y ﹣３）2＝4相交于Ｍ、N 两点，若|M Ｎ|≥2,则直线倾斜角的取值范围是（ ) Ａ.566ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，ﻩB ．20,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭， C ．50,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，ﻩ D.233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ９、已知集合240(,)00x y x y x y x y ⎧+-≤⎧⎫⎪⎪⎪+≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎭⎩表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P(ｘ，y),则点P 的坐标满足不等式222x y +≤的概率为( ） Ａ．316πﻩ B.16π Ｃ.32πﻩ D ．332π10、点M 是抛物线y ２＝ ｘ上的点，点N 是圆C:()2231x y -+=上的点,则|MN|的最小值是（ )Ａ．ﻩB.ﻩC.2ﻩ ﻩﻩ D ．11、已知椭圆的左焦点为Ｆ，点P 为椭圆上一动点，过点P 向以F 为圆心,1为半径的圆作切线PM 、PN ，其中切点为M 、N ，则四边形P ＭＦN 面积的最大值为（ ) A ．２ﻩ B ．ﻩC ．D.5１2、某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S 等于 ( )A.2４ Ｂ.２6 C.３0 D.32二、填空题(每小题5分,共20分)１3、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，_＿_运动员的发挥更稳定．(填“甲”或“乙”)１4、已知圆Ｏ1:x 2＋y ２＝1与圆O 2： （ｘ＋4)2＋(y －a )2＝25内切，则常数a =___＿＿＿ 15、已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且122F PF π∠=,椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则221211e e +=_____16、已知y =a x(ａ＞０且a ≠1)是定义在R 上的单调递减函数,记a 的所有可能取值构成集合A;椭圆22=163x y +上存在关于直线ｙ=x ＋m 对称的不同两点,记m 的所有可能取值构成集合Ｂ.若随机地从集合Ａ,Ｂ中分别抽出一个元素1λ,2λ，则1λ＞2λ的概率是____＿三、解答题１7、(10分）设命题p ：点(1，1）在圆22222240x y mx my m +-++-=的内部；命题q :直线mｘ-y ＋1＋2m =0（k ∈R )不经过第四象限,如果ｐ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．18、（12分)某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数）分成六段[４0,５0)，[50,60)，…，[９０,1０0]后得到如下部分频率分布直方图如图.观察图形的信息,回答下列问题：(1)求分数在［７0,8０）内的频率; (2）估计本次考试的中位数；(精确到0.1）（３）用分层抽样(按[60,70)、[70，８０)分数段人数比例）的方法在分数段为［60,８0)的学生中抽取一个容量为 ６ 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取２人，求恰有１人在分数段[7０,80)的概率.1９、（12分)已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，(1,)P m 是抛物线C 上的一点.（１)若椭圆22:14x y C n'+=与抛物线C 有共同的焦点,求椭圆C '的方程； (2）设抛物线C 与(1)中所求椭圆C '的交点为A B 、，求以OA 和OB 所在的直线为渐近线，且经过点P 的双曲线方程.20、（12分）已知圆C:x 2+y 2﹣4x ＋３=0， （1）求过()3,2M 点的圆的切线方程；(2)直线l 过点3122N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且被圆Ｃ截得的弦长最短时,求直线l 的方程;(3)过点()10，的直线m 与圆C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的中点P 的轨迹为1C ,直线5()2y k x =-与曲线1C 只有一个交点，求k 的值.21、(12分）已知抛物线x 2＝2py (ｐ>0）,其焦点F 到准线的距离为1．过F 作抛物线的两条弦AB 和CD,且M ，N 分别是AB ，ＣD 的中点．设直线AB 、C Ｄ的斜率分别为1k 、2k . (1)若AB CD ⊥,且11k =,求△ＦMN 的面积； （2）若12111k k +=，求证：直线MN 过定点,并求此定点．２2、（12分）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点,动点(),P x y 与定点F （－１，０）的距离和它到定直线2x =-的距离之比是.(1）求动点Ｐ的轨迹C 的方程；（2)过F 作曲线C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,直线OM 与曲线C 交于,P Q 两点,求四边形APBQ 面积的最小值.树德中学高２0１5级第三期期末考试数学试题(文科）参考答案一、选择题 ADDDCA ＢＣDA ＡD二、填空题13、乙 １４、０ 15、2 １6、34三、解答题1７、解：命题p 11m ⇔-<<，…………3分 命题q 0m ⇔≥……………6分① ｐ真ｑ假时，10m -<<；②p 假q 真时,1m ≥. 故m 的取值范围为10m -<<或1m ≥ 018、解:(１）分数在[7０,80)内的频率为:1-(０.010+０．015＋０.０15+0.0２5+0．0０5)×１0=１－０.７=0.３………3分 (2)中位数17373.33≈…………6分 (3)由题意,[６0,70）分数段的人数为:0.15×60＝９(人);[7０，80)分数段的人数为:0.3×６0=18(人).∴需在[6０,７0)分数段内抽取2人,分别记为a ，b ； 在[70,８０）分数段内抽取4人，分别记为c ,d ，ｅ,ｆ.设“从样本中任取２人,恰有1人在分数段［70,80）内”为事件A ，所有基本事件有(ａ，b )，（ａ，c ）,(ａ，d ）,(ａ，e ),（a ，f )，（b ,c )，(ｂ，ｄ)，(b ,e )，(b ,f ),(c ,d ),(c ,e ),(c ,f )，(d ,e ），(ｄ，f )，(e ，f ),共１５个…………8分其中事件Ａ包含（a ，c ),(a ,d )，(a ，e ),(a ，f ),(b ,c ),(b ,d ），(ｂ，e )，(b ,f )，共8个．……10分∴P (A ）=＼f （８,15）………１２分１9、解:（１)椭圆22:14x y C n'+=, 可知41,3n n -=∴=,故所求椭圆的方程为22143x y +=……...．6分 （2）由2221434x y y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y 得到2316120x x +-=,解得122,63x x ==-(舍去). 所以2222(6),(,6)3333A B ,则双曲线的渐近线方程为6y x =……………………8分 60x y ±=,可设双曲线方程为226(0)x y λλ-=≠.由点(1,)P m 在抛物线2:4C y x =上,解得24,(1,2)m P =±………………．..……10分 因为点P 在双曲线上, 642λ∴-==,故所求双曲线方程为: 22312y x -=……………………………………….…………．．１2分20、解:(1）3x =或3410x y --=………３分（2）当直线l CN ⊥时，弦长最短，此时直线的方程为10x y --=………6分（3)设点P(x ，y ），∵点Ｐ为线段A Ｂ的中点，曲线C 是圆心为Ｃ（2，0)，半径ｒ=1的圆，∴ＣP⊥A Ｐ，CP AP=0•∴化简得223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭………9分由于点P 在圆内，去除点(1，0）,所以1C ：223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（1x ≠） 030k =………12分2１、解：(１）抛物线的方程为ｘ2＝2ｙ,设AB 的方程为12y x =+联立2122y x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得x 2﹣２x ﹣１=０,31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,同理31,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴Ｓ△FMN =错误!|ＦM ｜·|F Ｎ|＝错误22=1 △ＦMN 的面积为1. ……....5分(2）设A(x 1，y 1），Ｂ（x 2，y 2),C （ｘ3,y 3)，D （x 4,y 4），设ＡＢ的方程为112y k x =+联立12122y k x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩,得21210x k x --=，2111,2M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,同理2221,2N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (7)k MN ＝221212121122k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-∴MN 的方程为()()2112112y k k k x k ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，即()121212y k k x k k =+-+，……...．10分 又因为12111k k +=所以1212k k k k +=，∴ＭN 的方程为121212y k k x k k =-+即()12112y k k x =-+ ∴直线MN 恒过定点112⎛⎫⎪⎝⎭，．……..．.12分22、解:（１)由已知,得()221222x y x ++=+． 两边平方,化简得＼f (x ２,2)＋y 2＝1．故轨迹C 的方程是．…(３分)(2)因AB 不垂直于y 轴,设直线ＡＢ的方程为x ＝ｍｙ－１，A (x 1,y １)，B (x ２,y ２), 由错误!得（m 2+2)y 2－2my －1=0.y 1+y ２=＼f (2m ，m 2＋2)，y １y 2=错误!. x 1＋x 2=m (y 1+y ２）-２＝错误!，于是AB 的中点为Ｍ错误!,故直线ＰQ 的斜率为-＼f （ｍ,2),P Ｑ的方程为y =-错误!x ，即mx ＋2y ＝0,…..．.５分22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得:x 2=,|ＰQ |22224=222m x y m ++=+….．..７分 方法一:设点A 到直线P Ｑ的距离为d ，则点B 到直线ＰQ 的距离也为d ，所以2d =错误!．因为点A ，B 在直线ｍx +2y ＝０的异侧，所以（m ｘ1+2y １)(m ｘ2＋２y 2)<０，于是|mx 1+2ｙ1|+｜mx 2＋２y 2|=|mx 1+２ｙ1-m ｘ2－2y ２｜,从而2d ＝错误!.又因为｜y １－y 2｜＝错误!=错误!,所以2d =错误! (10)故四边形ＡP ＢQ 的面积S =＼f （１,2)|PQ |·2ｄ＝2222221422112222224m m m m m m +++••=+++＝2≥2即0m =时,min 2S =.…．...12分方法二：P(,),Q （,)，Ｐ到直线A Ｂ的距离d １=,Q 到直线ＡＢ的距离d 2=,∵P,Q 在直线A Ｂ的两侧，且关于原点对称,∴S APBQ =丨ＡB 丨（d 1＋ｄ2）=••（ +）=， (10)∴S APBQ ==２≥２,即0m =时,min 2S = (12)。

【精品】2016-2017年四川省成都市温江区高二上学期数学期末试卷(文科)与答案

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2016-2017学年四川省成都市温江区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）过点M（﹣3，2），N（﹣2，3）的直线倾斜角是（）A．B．C．D．2．（5分）如图是2016年某学生进行舞蹈比赛环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和众数依次是（）A．85.84B．84.85C．85.87D．84.863．（5分）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．y=﹣1B．y=﹣2C．x=﹣1D．x=﹣24．（5分）已知命题p：∀x＞0，x3＞0，那么￢p是（）A．∀x＞0，x3≤0B．C．∀x＜0，x3≤0D．5．（5分）实验测得五组（x，y）的值是（1，2）（2，4）（3，4）（4，7）（5，8），若线性回归方程为=0.7x+，则的值是（）A．1.4B．1.9C．2.2D．2.96．（5分）“a＜2“是“方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件7．（5分）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与直线x+2y﹣1=0相交于两点A，B两点，则弦长|AB|=（）A．10B．C．2D．48．（5分）两直线3x+y﹣3=0与3x+my+=0平行，则它们之间的距离是（）A．4B．C．D．9．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入n=2017，则输出的S值是（）A．B．C．D．10．（5分）设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）温江某农户计划种植蒜台和花菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植蒜台和菜花的产量、成本和价格如表所示：那么一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大为（）A．50万B．48万C．47万D．45万12．（5分）设集合A={（x，y）|（x﹣4）2+y2=1}，B={（x，y）|（x﹣t）2+（y ﹣at+2）2=1}，如果命题“∀t∈R，A∩B=∅”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（，+∞）B．（0，]C．[0，]D．（﹣∞，0]∪[，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）空间中点A（2，3，5）与B（3，1，4），则|AB|=．14．（5分）直线2x﹣5y﹣10=0与坐标轴所围成的三角形面积是．15．（5分）某单位在岗职工624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样方法抽取10%的工人进行调查，首先在总体中随机剔除4人，将剩下的620名职工编号（分别为000，001，002，…，619），若样本中的最小编号是007，则样本中的最大编号是．16．（5分）给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（﹣4，0），（4，0）连线的斜率之积为﹣，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别曲线C 的左、右焦点，则下列命题中：（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；（2）曲线C上存在一点M，使得S=9；（3）P为曲线C上一点，P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，的值为；（4）设A（1，1），动点P在曲线C上，则|PA|﹣|PF2|的最大值为；其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（8，5），B（4，﹣2），C（﹣6，3）．（1）求AC边上的中线所在直线方程；（2）求AB边上的高所在直线方程．18．（12分）从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其英语成绩分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100）后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据补充完整频率分布直方图估计出本次考试的平均分数、中位数；（小数点后保留一位有效数字）（3）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则各分数段抽取的人数分别是多少？19．（12分）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．（12分）某公司2017年元旦晚会现场，为了活跃气氛，将在晚会节目表演过程中进行抽奖活动．（1）现需要从第一排就座的6位嘉宾A、B、C、D、E、F中随机抽取2人上台抽奖，求嘉宾A和嘉宾B至少有一人上台抽奖的概率；（2）抽奖活动的规则是：嘉宾通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该嘉宾中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求该嘉宾中奖的概率．21．（12分）已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）过点M （1，﹣2），且焦点为F ，直线l 与抛物线相交于A 、B 两点．（1）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（2）若直线l 经过抛物线C 的焦点F ，当线段AB 的长等于5时，求直线l 方程．（3）若•=﹣4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点．22．（12分）以椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的中心O 为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆C 及其“伴随”的方程；（2）过点P （0，m ）作“伴随”的切线l 交椭圆C 于A ，B 两点，记△AOB （O 为坐标原点）的面积为S △AOB ，将S △AOB 表示为m 的函数，并求S △AOB 的最大值．2016-2017学年四川省成都市温江区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）过点M（﹣3，2），N（﹣2，3）的直线倾斜角是（）A．B．C．D．【分析】设直线倾斜角为θ，θ∈[0，π）．利用斜率计算公式可得tanθ=1，即可得出．【解答】解：设直线倾斜角为θ，θ∈[0，π）．则tanθ==1，∴θ=．故选：B．2．（5分）如图是2016年某学生进行舞蹈比赛环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和众数依次是（）A．85.84B．84.85C．85.87D．84.86【分析】去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为84，84，86，84，87，由此能求出所剩数据的平均数和众数．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为84，84，86，84，87，∴所剩数据的平均数为：=（84+84+86+84+87）=85，所剩数据众数为：84．故选：A．3．（5分）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．y=﹣1B．y=﹣2C．x=﹣1D．x=﹣2【分析】由x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线x2=4y的准线方程即可得到．【解答】解：由x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣，则抛物线x2=4y的准线方程是y=﹣1，故选：A．4．（5分）已知命题p：∀x＞0，x3＞0，那么￢p是（）A．∀x＞0，x3≤0B．C．∀x＜0，x3≤0D．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x＞0，x3＞0，那么￢p是．故选：D．5．（5分）实验测得五组（x，y）的值是（1，2）（2，4）（3，4）（4，7）（5，8），若线性回归方程为=0.7x+，则的值是（）A．1.4B．1.9C．2.2D．2.9【分析】根据五组（x，y）的值计算、，利用线性回归方程过样本中心点求出的值．【解答】解：根据五组（x，y）的值，计算=×（1+2+3+4+5）=3，=×（2+4+4+7+8）=5，且线性回归方程=0.7x+过样本中心点，则=﹣0.7=5﹣0.7×3=2.9．故选：D．6．（5分）“a＜2“是“方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件【分析】根据圆的定义求出“方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆“的充要条件，判断即可．【解答】解：由x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆，即（x﹣1）2+（y+1）2=2﹣a表示圆，故2﹣a＞0，解得：a＜2，故a＜2“是“方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆“的充要条件，故选：C．7．（5分）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与直线x+2y﹣1=0相交于两点A，B两点，则弦长|AB|=（）A．10B．C．2D．4【分析】由圆C的方程，找出圆心C的坐标及半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，根据垂径定理及勾股定理即可求出|AB|的长．【解答】解：由圆C1：（x+1）2+（y+4）2=25，得到圆心C（﹣1，﹣4），半径r=5，∴圆心到直线l：x+2y﹣1=0的距离d==2，则|AB|=2=2=2．故选：C．8．（5分）两直线3x+y﹣3=0与3x+my+=0平行，则它们之间的距离是（）A．4B．C．D．【分析】根据两条直线平行的条件，解出m=1，利用两条平行直线间的距离公式加以计算，可得答案．【解答】解：∵直线3x+y﹣3=0与3x+my+=0平行，∴m=1．因此，直线3x+y﹣3=0与3x+y+=0之间的距离为d==，故选：D．9．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入n=2017，则输出的S值是（）A．B．C．D．【分析】根据程序框图的流程，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=2017时，不满足条件k＜2017，退出循环，输出S的值，用裂项相消法求和即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：n=2017，k=1，S=0执行循环体，S=0+，k=2；满足条件k＜2017，执行循环体，S=0++，k=3；…满足条件k＜2017，执行循环体，S=0+++…+，k=2017；此时，不满足条件k＜2017，退出循环，输出S的值．由于：S=0+++…+=×[（1﹣）+（）+…+（﹣）]=（1﹣）=．故选：A．10．（5分）设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，推导出∠F1PF2=90°．再由|PF1|=2|PF2|，知|PF1|=4a，|PF2|=2a，由此求出c=a，从而得到双曲线的离心率．【解答】解：∵P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，∴点P到原点的距离|PO|=，∴∠F1PF2=90°，∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF1|﹣|PF2|=|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∴16a2+4a2=4c2，∴c=a，∴．故选：A．11．（5分）温江某农户计划种植蒜台和花菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植蒜台和菜花的产量、成本和价格如表所示：那么一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大为（）A．50万B．48万C．47万D．45万【分析】由题意，设农户计划种植蒜台和花菜分别x亩，y亩；从而可得约束条件以及目标函数总利润z=0.55×4x+0.3×6y﹣（1.2x+0.9y）=x+0.9y；从而由线性规划求最优解即可【解答】解：设农户计划种植蒜台和花菜各x亩，y亩；则由题意可得，；一年的种植总利润z=0.55×4x+0.3×6y﹣（1.2x+0.9y）=x+0.9y；作平面区域如下，结合图象可知，；解得x=30，y=20；此时一年的种植总利润最大为30+0.9×20=48；故选：B．12．（5分）设集合A={（x，y）|（x﹣4）2+y2=1}，B={（x，y）|（x﹣t）2+（y ﹣at+2）2=1}，如果命题“∀t∈R，A∩B=∅”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）∪（，+∞）B．（0，]C．[0，]D．（﹣∞，0]∪[，+∞）【分析】集合A、B分别表示两个圆：圆心M（4，0），r1=1和圆心N（t，at﹣2），r2=1，且两圆一定有公共点，从而得到（a2+1）t2﹣（8+4a）t+16≤0．由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵集合A、B分别表示两个圆，圆心M（4，0），r1=1，N（t，at﹣2），r2=1，∃t∈R，A∩B≠∅，则两圆一定有公共点，|MN|=，0≤|MN|≤2，即|MN|2≤4，化简得，（a2+1）t2﹣（8+4a）t+16≤0．∵a2+1＞0，∴△=（8+4a）2﹣4（a2+1）×16≥0，即3a2﹣4a≤0，∴0≤a≤．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）空间中点A（2，3，5）与B（3，1，4），则|AB|=．【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．【解答】解：∵A（2，3，5），B（3，1，4），∴|AB|==，故答案为．14．（5分）直线2x﹣5y﹣10=0与坐标轴所围成的三角形面积是5．【分析】求出直线与坐标轴的交点，即可求解三角形的面积．【解答】解：直线2x﹣5y﹣10=0与坐标轴的交点坐标为（0，﹣2），（5，0），所以直线2x﹣5y﹣10=0与坐标轴所围成的三角形面积是：=5．故答案为：5．15．（5分）某单位在岗职工624人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定采用系统抽样方法抽取10%的工人进行调查，首先在总体中随机剔除4人，将剩下的620名职工编号（分别为000，001，002，…，619），若样本中的最小编号是007，则样本中的最大编号是617．【分析】根据系统抽样的定义，求出组距和组数即可得到结论【解答】解：第一步：将624名职工用随机方式进行编号，第二步：从总体中剔除4人（剔除方法可用随机数法），将剩下的620名职工重新编号，分别为000，001，002，…，619，并分成62段，第三步：在第一段000，001，002，…，009这十个编号中用简单随机抽样确定起始号码007，第四步：将编号为7，7+10，7+20，i 0+20，…，7+610=617的个体抽出，组成样本．故样本中的最大编号是617，故答案为：617．16．（5分）给出下列结论：动点M（x，y）分别到两定点（﹣4，0），（4，0）连线的斜率之积为﹣，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F1、F2分别曲线C 的左、右焦点，则下列命题中：（1）曲线C的焦点坐标为F1（﹣5，0）、F2（5，0）；（2）曲线C上存在一点M，使得S=9；（3）P为曲线C上一点，P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，的值为；（4）设A（1，1），动点P在曲线C上，则|PA|﹣|PF2|的最大值为；其中正确命题的序号是（3）（4）．【分析】求出曲线C的方程为：=1，x≠±4．在（1）中，C的焦点坐标为F 1（﹣，0）、F2（，0）；在（2）中，（S）=3＜9；在（3）中，由椭圆定义得的值为；在（4）中，当P，maxF2，A共线时，|PA|﹣|PF2|的最大值为|AF2|．【解答】解：∵动点M（x，y）分别到两定点（﹣4，0），（4，0）连线的斜率之积为﹣，∴=﹣，整理，得曲线C的方程为：=1，x≠±4在（1）中，∵F1、F2分别曲线C的左、右焦点，c==，∴线C的焦点坐标为F1（﹣，0）、F2（，0），故（1）错误；在（2）中，曲线C上存在一点M，（S）max==bc=3＜9，故（2）错误；在（3）中，当∠PF2F1=90°时，|PF2|==，|PF1|=8﹣=，的值为，故（3）正确；在（4）中，当P，F2，A共线时，|PA|﹣|PF2|的最大值为|AF2|==，故（4）正确．故答案为：（3）（4）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（8，5），B（4，﹣2），C（﹣6，3）．（1）求AC边上的中线所在直线方程；（2）求AB边上的高所在直线方程．【分析】（1）线段AC的中点D坐标为（1，4），利用两点式方程能求出AC边上的中线所在的直线方程；（2），AB边上高的斜率是﹣，且过点C（﹣6，3），由此能求出AB边上的高所在的直线方程．【解答】解：（1）线段AC的中点D坐标为（1，4）AC边上的中线BD所在直线的方程是：，即2x+y﹣6=0；（2），AB边上高的斜率是﹣，AB边上的高所在直线方程是y﹣3=（x+6），即4x+7y+3=0．18．（12分）从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其英语成绩分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100）后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据补充完整频率分布直方图估计出本次考试的平均分数、中位数；（小数点后保留一位有效数字）（3）用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则各分数段抽取的人数分别是多少？【分析】（1）计算分数在[70，80）内的频率，利用求出小矩形的高，补出图形即可；（2）根据频率分布直方图，计算平均分与中位数即可；（3）根据分层抽样原理，计算各分数段内应抽取的人数即可．【解答】解：（1）分数在[70，80）内的频率为1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．又=0.03，补出的图形如下图所示；（2）根据频率分布直方图，计算平均分为：=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，估计这次考试的平均分是71；又0.01×10+0.015×10+0.015×10=0.4＜0.5，0.4+0.03×10=0.7＞0.5，∴中位数在[70，80）内，计算中位数为70+≈73.3；（3）根据分层抽样原理，[40，50）分数段应抽取人数为0.10×20=2人；[50，60）分数段应抽取人数为0.15×20=3人；[60，70）分数段应抽取人数为0.15×20=3人；[70，80）分数段应抽取人数为0.3×20=6人；[80，90）分数段应抽取人数为0.25×20=5人；[90，100]分数段应抽取人数为0.05×20=1人．19．（12分）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a．当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由得得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3．（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．即q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是1＜a≤2．20．（12分）某公司2017年元旦晚会现场，为了活跃气氛，将在晚会节目表演过程中进行抽奖活动．（1）现需要从第一排就座的6位嘉宾A、B、C、D、E、F中随机抽取2人上台抽奖，求嘉宾A和嘉宾B至少有一人上台抽奖的概率；（2）抽奖活动的规则是：嘉宾通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的随机数x，y，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该嘉宾中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．求该嘉宾中奖的概率．【分析】（1）根据古典概型的概率公式，可得A和B至少有一人上台抽奖的概率；（2）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由条件，到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．【解答】解：（1）6位嘉宾，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；（2）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，由条件，得到的区域为图中的阴影部分，由2x﹣y﹣1=0，令y=0，可得x=，令y=1，可得x=1，∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为S=（1+）×1=．阴∴该代表中奖的概率为=．21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点M（1，﹣2），且焦点为F，直线l与抛物线相交于A、B两点．（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）若直线l经过抛物线C的焦点F，当线段AB的长等于5时，求直线l方程．（3）若•=﹣4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．【分析】（1）点M代入抛物线方程，可得p，即可求抛物线C的方程，并求其准线方程；（2）利用抛物线中的弦长公式，即可求直线l方程．（3）直线l的方程为x=ty+b代入y2=4x，得y2﹣4ty﹣4b=0，利用韦达定理结合•=﹣4，求出b，即可证明直线l必过一定点，并求出该定点．【解答】解：（1）由22=2p，得p=2，抛物线C的方程为y2=4x，其准线方程为x=﹣1，焦点为F（1，0）．（2）若直线l经过抛物线C的焦点F，则直线l的方程为x=ty+1．代入抛物线方程可得y2﹣4ty﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4t，y1y2=﹣4，则x1+x2=t（y1+y2）+2，所以，得t2=，t=±，直线l方程为x=±y+2．（3）设直线l的方程为x=ty+b代入y2=4x，得y2﹣4ty﹣4b=0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=4t ，y 1y 2=﹣4b ．，∴b=2，直线l 必过一定点（2，0）．22．（12分）以椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的中心O 为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆C 及其“伴随”的方程；（2）过点P （0，m ）作“伴随”的切线l 交椭圆C 于A ，B 两点，记△AOB （O 为坐标原点）的面积为S △AOB ，将S △AOB 表示为m 的函数，并求S △AOB 的最大值．【分析】（1）由椭圆C 的离心率，结合a ，b ，c 的关系，得到a=2b ，设椭圆方程，再代入点，即可得到椭圆方程和“伴随”的方程；（2）设切线l 的方程为y=kx +m ，联立椭圆方程，消去y 得到x 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到AB 的长，由l 与圆x 2+y 2=1相切，得到k ，m 的关系式，求出三角形ABC 的面积，运用基本不等式即可得到最大值．【解答】解：（1）椭圆C 的离心率为，即c=， 由c 2=a 2﹣b 2，则a=2b ，设椭圆C 的方程为， ∵椭圆C 过点，∴， ∴b=1，a=2，以为半径即以1为半径，∴椭圆C 的标准方程为， 椭圆C 的“伴随”方程为x 2+y 2=1．（2）由题意知，|m |≥1．易知切线l 的斜率存在，设切线l 的方程为y=kx +m ， 由得，设A ，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）， 则，．又由l 与圆x 2+y 2=1相切，所以，k 2=m 2﹣1． 所以=， 则，|m |≥1．（当且仅当时取等号） 所以当时，S △AOB 的最大值为1．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2b x a=- ③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx x(q)0x①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

四川省成都市树德中学2016-2017学年高二上学期期末考试语文试题含答案

四川省成都市树德中学2016-2017学年高二上学期期末考试语文试题含答案

高2015级第三期期末考试语文试题本试卷分为第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分，共150分，考试时间150分钟，两卷答案均写在答题卡上。

第Ⅰ卷阅读题（70分）一. 论述性文本阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1-3题。

“大团圆”是我国特有的一种审美心理现象，它大量出现在宋以后的戏曲小说中。

如《窦娥冤》的申冤昭雪，《赵氏孤儿》的孤儿报仇，《汉宫秋》的“团圆梦境”，《琵琶记》的“玉烛调和”，《精忠旗》的满门旌表，《长生殿》的“蟾宫相见”等等。

讲究“团圆之趣”已经成为我国极为普遍的传统审美心理现象。

华夏初民对客观世界的考察，大概从“天”开始的。

春夏秋冬的往复，白天黑夜的交替，日出日落的循环，使他们直观地形成了“乾为天，为圆”，以及“浑天如鸡子，天体如弹丸”的观念。

由于中国是一个古老的农耕国家，“天”的好坏又直接关系到农业收成的多寡，因此，对于生产力水平低下的先民来说，头顶上的那圆的天，就成了他们顶礼膜拜的对象，这种对“天”的崇拜就导致了对于“天”的运行规律——“圆”的亲和与崇尚。

作为中国哲学源头的《易经》体现了中国古人的圆道观，循环即圆道是《易经》作者心目中的最重要的规律之一，对易学而言，“圆”不仅是神秘的示语，而且也是圆融无碍、无往不复的至高至美的境界。

而老子哲学思想中的自然观，也是以周行不殆的圆来加以描述的。

《老子》“九九”八十一章，象征着道的生生不息、变动不已、周行不止。

韩非在《解老篇》中评析老子思想时说：“用其周行，强字之曰道”，揭示了道的周行循环的特征。

这种“九九”循环往复式的“道”的结构，是离不开圆的。

由于“圆”相以其圆满而使人感到审美的满足，所以，“圆”经常在“圆满”“至美”的意义上为佛家所推崇。

佛教称般若真智为“圆智”，称般若真智对世相的观照为“圆照”，称善根为“圆根”，称修行到最高联阶段为“圆成”，称涅槃境界为“圆寂”，将美好至极的事物称做“圆圆海”。

这里，“圆”均可作为“圆满”、“大美”和“至美”来解。

2017-2018学年四川省树德中学高二10月月考数学(文)试题 PDF版

2017-2018学年四川省树德中学高二10月月考数学(文)试题 PDF版

x2 1 y 2 1 , 若一组斜率为 的平行直线被椭圆 C 所截得线段的中点均在直线 l 上, 则 2 4
) B.2 C.
5 x 3
B. y
4 x 3
C. y
3 x 4
D. y
7 x 4
)
l 的斜率为(
A. 2
2.两条不同的直线与同一平面所成角的和为 A. 相交或异面 B.6 12
x2 y 2 B. 1 12 8
x2 y 2 C. 1 12 4
x2 y 2 D. 1 8 4
）
A.
B.
C.
D. A
B C
4. ， 为两个不同的平面， m, n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ①若 ∥ ， m ，则 m ∥ ；
21.（12 分）如图，C 中， 是 C 的中点， C ， 2C 2 ．将 沿 折起， 使 点与图中 点重合． （1）求证： 平面 C ； （2） 当三棱锥 C 的体积取最大时， 试问在线段 上是否存在一点 P， 使 C 与平面 所成角的正弦值为
范围为( )
5.在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 为棱 CD 的中点，则三棱锥 A BED1 体积为（
A．
A. (
2 ,1) 2
B. (0,
2 ) 2
C. (0,1)
D. (0, )
1 2
16 3
B．
8 3
C．
4 3
D．
2 3
D E A D1 A1 B1 B
C C1
x y 1 0 与 C 交于 A,B 两点,求 | AB |
20． （12 分）如图,

(高二上学期)2016-2017学年四川省成都市树德中学(高二上学期)期末数学试卷(理科)(精校版)

(高二上学期)2016-2017学年四川省成都市树德中学(高二上学期)期末数学试卷(理科)(精校版)

(高二上学期)2016-2017学年四川省成都市树德中学(高二上学期)期末数学试卷(理科)(精校版)2016~2017学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、 选择题（每小题5分，共60分）1. 设R a ∈，则“1=a ”是“直线1l ：012=-+y ax 与直线2l ：4)1(=+++y a x 平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2. 已知双曲线12222=-by a x （0>a ，0>b ）的渐近线方程为x y 2±=，则其离心率为（ ） A ．5B ．25C ．3D ．53. 设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（ix ，iy ）（ni ,,2,1Λ=），用最小二乘法建立的回归方程为71.8585.0^-=x y ，则下列结论中不．正确的是 （ ）A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心（y x ,）C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg4. 下列说法正确的是 （ ）A ．命题“若12>x ，则1>x ”的否命题为“若12>x ，则1≤x ”B ．命题“若Rx ∈∃0，120>x ”的否定是“R x ∈∀，12<x”C ．命题“若y x =，则y x cos cos =”的逆否命题为假命题D ．命题“若y x =，则y x cos cos =”的逆命题为假命题 5. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 （ ） A ．1113B ．813C ．138D ．13216. 在长为10 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一个矩形，邻边长分别等于AC ，CB 的长，则该矩形面积不小于9 cm 2的概率为 （ ）A ．54B ．32C ．21D ．53 7. 直线3+=kx y 与圆4)3()2(22=-+-y x 相交于M 、N 两点，若32||≥MN ，则直线倾斜角的取值范围是（ ） A ．]65,6[ππB ．),32[]3,0[πππ⋃C ．),65[]6,0[πππ⋃ D ．]32,3[ππ8. 已知集合}00042|),{(⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤-+y x y x y x y x 表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点),(y x P ，则点P 的坐标满足不等式222≤+y x 的概率为 （ ）A ．163πB ．16πC ．32πD ．323π 9. 已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 121如果目标函数y x z -=的最小值为1-，则实数m 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．3 10. 某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S 等于（ ）A ．24B ．26C ．30D ．3211. 点M 是抛物线xy =2上的动点，点N是圆1C ：1)4()1(22=-++y x 关于直线01=+-y x 对称的曲线C 上的一点，则||MN 的最小值是 （ ） A ．1211- B ．1210- C ．2D ．13-12. 已知圆C 的方程为1)1(22=+-y x ，P 是椭圆13422=+y x 上一点，过P 作圆的两条切线，切点为A 、B ，求PB PA ⋅的范围为 （ ） A ．]956,0[B ．),322[+∞- C ．)956,322[-D ．)956,23[二、 填空题（每小题5分，共20分）13. 某个赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示（如右上图），从茎叶图的分布情况看，____________运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”） 14. 已知圆1O ：122=+y x，圆2O ：25)()4(22=-++a y x ，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数=a _____________15. 已知知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且321π=∠PF F ，椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则=+222131e e _____________16. 已知)41(+=x k y 与xy =恰有两个不同交点，记k 的所有可能取值构成集合A ；),(y x P 是椭圆191622=+y x 上一动点，点),(111y x P 与点P 关于直线1+=x y 对称，记411-y 的所有可能取值构成集合B ，若随机从集合A 、B 中分别抽出一个元素1λ、2λ，则21λλ>的概率是_______三、 解答题（17题10分，18~22题每小题12分，共70分）17. 命题p ：点（1，1）在圆4)()(22=++-m y m x 内部；命题q：直线021=++-m y mx （R k ∈）不经过第四象限，如果qp ∨为真命题，q p ∧为假命题，求m 的取值范围．18.某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．19. 已知抛物线C ：pxy22=（0>p ）的焦点为F ，),1(m P P 是抛物线C 上的一点，且2||=PF ．（1）若椭圆C '：1422=+ny x 与抛物线C 有共同的焦点，求椭圆C '的方程；（2）设抛物线C 与（1）中所求椭圆C '的交点为A 、B，求以OA 和OB 所在的直线为渐近线，且经过点P 的双曲线方程．20. 已知圆C ：03422=+-+x y x．（1）求过)2,3(M 点的圆的切线方程；（2）直线l ：03122=--+m y mx 被圆C 截得的弦长最短时，求直线l 的方程；（3）过原点的直线m 与圆C 交于不同的两点A 、B ，线段AB的中点P的轨迹为1C ，直线)25(-=x k y 与曲线1C 只有一个交点，求k 的取值范围．21. 已知抛物线pyx22=（0>p ），其焦点F 到准线的距离为1．过F 作抛物线的两条弦AB 和CD （点A 、C 在第一象限），且M ，N 分别是AB ，CD 的中点． （1）若CD AB ⊥，求FMN ∆面积的最小值；（2）设直线AC 的斜率为1k ，直线BD 的斜率为2k ，且0421=+k k，求证：直线AC 过定点，并求此定点．2016~2017学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（理科）第10页 共11页 22. 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，动点),(y x P 与定点)0,1(-F 的距离和它到定直线2-=x 的距离之比是22．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过F 作曲线C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，直线OM 与1C ：32)4(22=+-y x 交于P 、Q 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．。

数学---四川省成都市树德中学2016-2017学年高二(上)期末试卷(理)(解析版)

数学---四川省成都市树德中学2016-2017学年高二(上)期末试卷(理)(解析版)

2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5 B．C．D．3．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg4．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“若”的否定是“∀x∈R，x2＜1”C．命题“若x=y，则cos x=cos y”的逆否命题为假命题D．命题“若x=y，则cos x=cos y”的逆命题为假命题5．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．6．（5分）在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC，CB 的长，则该矩形面积不小于9cm2的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于（）A．7 B．5 C．4 D．310．（5分）点M是抛物线y2=x上的动点，点N是圆C1：（x+1）2+（y﹣4）2=1关于直线x﹣y+1=0对称的曲线C上的一点，则|MN|的最小值是（）A．B．C．2 D．11．（5分）某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24 B．26C．30 D．3212．（5分）已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，求•的范围为（）A．[0，] B．[2﹣3，+∞]C．[2﹣3，] D．[，]二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）14．（5分）已知圆O1：x2+y2=1，圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数a=．15．（5分）已知知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则=．16．（5分）已知直线y=k（x+）与曲线y=恰有两个不同交点，记k的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+l 对称，记的所有可能取值构成集合B，若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．三、解答题17．（10分）设命题p：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部；命题q：直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．18．（12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P（1，m）是抛物线C上的一点，且|PF|=2．（1）若椭圆与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．20．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；（2）直线l：2mx+2y﹣1﹣3m=0被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）过原点的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C1，直线与曲线C1只有一个交点，求k的取值范围．21．（12分）已知抛物线x2=2py（p＞0），其焦点F到准线的距离为1．过F作抛物线的两条弦AB和CD（点A、C在第一象限），且M，N分别是AB，CD的中点．（1）若AB⊥CD，求△FMN面积的最小值；（2）设直线AC的斜率为k AC，直线BD的斜率为k BD，且k AC+4k BD=0，求证：直线AC过定点，并求此定点．22．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P（x，y）与定点F（﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最大值．参考答案一、选择题1．A【解析】∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A．2．D【解析】∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，∴，即b=2a，∴，∴离心率e=．故选：D．3．D【解析】对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D．4．D【解析】命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，故A错误；命题“若”的否定是“∀x∈R，x2≤1”，故B错误；命题“若x=y，则cos x=cos y”是真命题，故其逆否命题为真命题，故C错误；命题“若x=y，则cos x=cos y”的逆命题为命题“若cos x=cos y，则x=y”为假命题，故D正确；故选：D5．B【解析】由上程序框图，当运行程序后，x=1，y=1，z=2＜20，满足条件，执行循环；则x=1，y=2，z=3＜20，满足条件，执行循环；则x=2，y=3，z=5＜20，满足条件，执行循环；则x=3，y=5，z=8＜20，满足条件，执行循环；则x=5，y=8，z=13＜20，满足条件，执行循环；则x=8，y=13，z=21＞20，不满足条件，退出循环，则输出，故选：B．6．A【解析】设AC=x，则BC=10﹣x，矩形的面积S=x（10﹣x）≥9，∴x2﹣10x+9≤0解得1≤x≤9，由几何概率的求解公式可得，矩形面积不小于9cm2的概率为P==．故选：A．7．C【解析】圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d==．∴|MN|=2==，解得，∴，设直线的倾斜角为θ，则≤tanθ≤．∴θ∈∪．故选：C．8．D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S==，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，故选：D9．B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数z=x﹣y的最小值是﹣1，得y=x﹣z，即当z=﹣1时，函数为y=x+1，此时对应的平面区域在直线y=x+1的下方，由，解得，即A（2，3），同时A也在直线x+y=m上，即m=2+3=5，故选：B10．A【解析】圆C1：（x+1）2+（y﹣4）2=1关于直线x﹣y+1=0对称的圆的圆心坐标（3，0），半径是1；设M的坐标为（y2，y），所以圆心到M的距离：，当y2=时，它的最小值为，则|MN|的最小值是：．故选A．11．D【解析】根据题意，本程序框图为求S的值循环体为“直到“循环结构，其功能是计算椭圆上横坐标分别为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的点到焦点的距离，如图所示．根据椭圆的定义及对称性，得即S=2a+2a+2a+（a﹣c）=7a﹣c，又椭圆的a=5，b=4，c=3，则执行该程序后输出的S等于S=32．故选D．12．C【解析】设P A与PB的夹角为2α，则|P A|=PB|=，∴y=•=|P A||PB|cos2α=•cos2α=•cos2α．记cos2α=u，则y==﹣3+（1﹣u）+≥2﹣3，∵P在椭圆的左顶点时，sinα=，∴cos2α=，∴•的最大值为=，∴•的范围为[2﹣3，]．故选：C．二、填空题13．乙【解析】由某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录的茎叶图表知：甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，∴从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．故答案为：乙．14．±2或0【解析】∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，内切时，=4，外切时，=6，∴a=±2或0，故答案为±2或015．4【解析】如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：+=1，﹣=1（a i，b i＞0，a1＞b1，i=1，2），a12﹣b12=a22+b22=c2，c＞0．设|PF1|=m，|PF2|=n．则m+n=2a1，n﹣m=2a2，解得m=a1﹣a2，n=a1+a2，由∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2=m2+n2﹣2mn cos，∴4c2=（a1﹣a2）2+（a1+a2）2﹣（a1﹣a2）（a1+a2），化为4c2=a12+3a22，化为=4．故答案为：4．16．【解析】∵y=，∴x=y2，代入y=k（x+）得y=k（y2+），整理得ky2﹣y+=0，直线y=k（x+）与曲线y=恰有两个不同交点，等价为ky2﹣y+=0有两个不同的非负根，即△=1﹣k2＞0，且＞0，解得0＜k＜1，∴A={k|0＜k＜1}．P1（x1，y1）关于直线y=x+1的对称点为P（y1﹣1，x1+1），P是椭圆+=l上一动点，∴﹣4≤y1﹣1≤4，即﹣1≤≤1，设b=，则﹣1≤b≤1，∴B={b|﹣1≤b≤1}．∴随机的从集合A，B中分别抽取一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2等价为，则对应的图象如图：则λ1＞λ2的概率是，故答案为：．三、解答题17．解：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部，故1+1﹣2m+2m+2m2﹣4＜0，解得：﹣1＜m＜1，故命题p⇔﹣1＜m＜1，直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，故，解得：m≥0，故命题q⇔m≥0；如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，①p真q假时，﹣1＜m＜0；②p假q真时，m≥1．故m的取值范围为﹣1＜m＜0或m≥1．18．解：（1）分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3（2）∵数学成绩在[40，70）内的频率为（0.010+0.015+0.015）×10=0.4，数学成绩在[70，80）内的频率为0.3，∴中位数为70+=．（3）由题意，[60，70）分数段的人数为：0.15×60=9（人），[70，80）分数段的人数为：0.3×60=18（人）．∴需在[60，70）分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70，80）分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f．设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70，80）内”为事件A，所有基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15个其中事件A包含（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），共8个．∴P（A）=．19．解：（1）根据题意，抛物线C：y2=2px中，P到焦点距离等于P到准线距离，所以，p=2故抛物线的方程为C：y2=4x；又由椭圆，可知4﹣n=1，即n=3，故所求椭圆的方程为；（2）由，消去y得到3x2+16x﹣12=0，解得（舍去）．所以，则双曲线的渐近线方程为y=±x，由渐近线，可设双曲线方程为6x2﹣y2=λ（λ≠0）．由点P（1，m）在抛物线C：y2=4x上，解得m2=4，P（1，±2），因为点P在双曲线上，∴6﹣4=λ=2，故所求双曲线方程为：．20．解：（1）圆C：x2+y2﹣4x+3=0，即（x﹣2）2+y2=1，表示以（2，0）为圆心，半径等于1的圆．当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意．当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+2=0，所以，圆心到切线的距离等于半径，即=1，解得k=，此时，切线为3x﹣4y﹣1=0．综上可得，圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣1=0（2）直线l：2mx+2y﹣1﹣3m=0恒过定点当直线l⊥CN时，弦长最短，此时直线的方程为x﹣y﹣1=0（3）设点P（x，y），∵点P为线段AB的中点，曲线C是圆心为C（2，0），半径r=1的圆，∴CP⊥OP，∴化简得（x﹣1）2+y2=1由于点P在圆内，由得x=所以C1：（注：范围也可写成）圆心到直线的距离d==1，∴，过（，）时，k=因为直线与曲线C1只有一个交点，所以或21．（1）解：（1）抛物线的方程为x2=2y，设AB的方程为y=kx+联立抛物线方程，得x2﹣2kx﹣1=0，，同理∴S△FMN=|FM|•|FN|==≥1当且仅当k=±1时，△FMN的面积取最小值1．（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），设AB的方程为y=kx+，联立抛物线方程，得x2﹣2kx﹣1=0，∴x1x2=﹣1，同理，x3x4=﹣1故k AC+4k BD===注意到点A、C在第一象限，x1+x3≠0，故得x1x3=4，直线AC的方程为，化简得即所以，直线AC恒经过点（0，﹣2）22．解：（1）由已知，得．两边平方，化简得．故轨迹C的方程是；（2）∵AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0．y1+y2=，y1y2=．x1+x2=m（y1+y2）﹣2=，于是AB的中点为M（），故直线PQ的斜率为﹣，PQ的方程为y=﹣x，即mx+2y=0，圆心与直线mx+2y=0的距离为，|PQ|=．设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，∴2d=．∵点A，B在直线mx+2y=0的异侧，∴（mx1+2y1）（mx2+2y2）＜0，于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1﹣mx2﹣2y2|，从而2d=．∵|y1﹣y2|==，∴2d=．故四边形APBQ的面积S=|PQ|•2d=．令m2+4=t（t≥4），则S=（）．当，即时，．。

四川省成都市树德中学2016-2017学年高二(上)11月月考数学试卷(文科)

四川省成都市树德中学2016-2017学年高二(上)11月月考数学试卷(文科)

2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）11月月考数学试卷（文科）一、选择题（每题5分，共60分）1．若直线l1：（m+3）x+4y+3m﹣5=0与l2：2x+（m+5）y﹣8=0平行，则m的值为（）A．﹣7 B．﹣1或﹣7 C．﹣6 D．2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（﹣5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4xC．y2=2x D．y2=﹣4x或y2=4x3．已知命题p：方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：方程=1表示双曲线，则p是q的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x+y的取值范围是（）A．B．C．D．5．圆心在曲线上，且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为（）A． B．C．D．6．直线l：x+my﹣1=0（m∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，若过点A（﹣4，m）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B．4C．6 D．27．下列命题中真命题的个数是（）（1）对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0；（2）“m=﹣1”是“直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充分不必要条件；（3）命题p：x≠y，q：sinx≠siny，则p是q的必要不充分条件；（4）设函数f（x）的定义域是R，则“∀x∈R，f（x+1）＞f（x），”是“函数f（x）为增函数”的充要条件．A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（）A．B．C．2 D．9．若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．10．已知直线y=x+1与椭圆mx2+my2=1（m＞n＞0）相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于﹣，则双曲线=1的离心率等于（）A．2 B．C．D．11．已知A，B分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点，不同两点P，Q 在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当+ln|m|+ln|n|取最小值时，椭圆C的离心率为（）A． B．C．D．12．如图，已知椭圆，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB．设直线BD、AB的斜率分别为k1、k2，若，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共20分）13．已知抛物线方程为y=4x2，则抛物线的焦点坐标为．14．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是．15．已知直线l与双曲线C：x2﹣y2=2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为．16．已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为．三、解答题（共70分）17．设命题p：函数的定义域为R；命题q：函数是R上的减函数，如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．18．已知定圆⊙F1：x2+y2+4x+3=0，⊙F2：x2+y2﹣4x﹣5=0，动圆M与圆F1、F2都外切或都内切．（1）求动圆圆心M的轨迹曲线C的方程．（2）过点F1的直线l与曲线C交于A、B两点，与⊙F2交于P、Q两点，若|PQ|=2，求|AB|．19．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F（1，0），其准线与x轴的交点为K，过点K的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D．（1）证明：点F在直线BD上；（2）设•=，求直线l的方程．20．如图，已知椭圆C：的离心率为，点（2，1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．求△OPQ的面积的最大值．21．已知直线x﹣2y+2=0与圆C：x2+y2﹣4y+m=0相交，截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）已知P（2，4），过P向圆C引两条切线分别与抛物线y=x2交与点Q、R（异于R 点），判断直线QR与圆C的位置关系，并加以说明．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于D，交y轴于E．（1）求椭圆的方程；（2）已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0），都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由．2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）11月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．若直线l1：（m+3）x+4y+3m﹣5=0与l2：2x+（m+5）y﹣8=0平行，则m的值为（）A．﹣7 B．﹣1或﹣7 C．﹣6 D．【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【分析】直线l1的斜率一定存在，为，所以，当两直线平行时，l2的斜率存在，求出l2的斜率，利用它们的斜率相等解出m的值．【解答】解：直线l1的斜率一定存在，为，但当m=﹣5时，l2的斜率不存在，两直线不平行．当m≠﹣5时，l2的斜率存在且等于，由两直线平行，斜率相等得=，解得m=﹣1 或﹣7．当m=﹣1时，两直线重合，故不满足条件；经检验，m=﹣7满足条件，故选A．2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（﹣5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4xC．y2=2x D．y2=﹣4x或y2=4x【考点】抛物线的简单性质．【分析】设出抛物线的标准方程，再由抛物线的定义，点M到焦点的距离等于到准线的距离，即可求得抛物线方程．【解答】解：设抛物线方程为y2=﹣2px（p＞0）∵抛物线上一点（﹣5，m）到焦点距离是6，∴+5=6，∴p=1，∴抛物线方程为y2=﹣4x．故选：B．3．已知命题p：方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：方程=1表示双曲线，则p是q的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据椭圆的定义求出p为真时m的范围，根据双曲线的定义求出q为真时m 的范围，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得：＜m＜1，故p：＜m＜1；若方程=1表示双曲线，则m（1﹣m）＞0，解得：0＜m＜1，故q：0＜m＜1，故p是q的充分不必要条件，故选：A．4．已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x+y的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过平移从而求出z的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=x+y得y=﹣x+z，即直线的截距最大，z也最大．平移直线y=﹣x+z，即直线y=﹣x+z经过点B（2，1）时，截距最大，此时z最大，为z=2+1=3．经过点A（0，1）时，截距最小，此时z最小，为z=1．∴1≤z≤3，故z的取值范围是．故选：D．5．圆心在曲线上，且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为（）A． B．C．D．【考点】圆的标准方程．【分析】设圆心为（a，），a＞0，圆心到直线的最短距离为：=|3a++3|=r，|3a++3|=5r，由a＞0，知3a++3=5r，欲求面积最小的圆的方程，即求r最小时a和r的值，由此能求出面积最小的圆的方程．【解答】解：设圆心为（a，），a＞0，圆心到直线的最短距离为：=|3a++3|=r，（圆半径）∴|3a++3|=5r，∵a＞0，∴3a++3=5r，欲求面积最小的圆的方程，即求r最小时a和r的值，∵5r=3a++3≥2+3=15，∴r≥3，当3a=，即a=2时，取等号，∴面积最小的圆的半径r=3，圆心为（2，）所以面积最小的圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣）2=9．故选A．6．直线l：x+my﹣1=0（m∈R）是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，若过点A（﹣4，m）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B．4C．6 D．2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+my﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得m的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：x+my﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），故有2+m﹣1=0，∴m=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．∵AC==2，CB=R=2，∴切线的长|AB|==6．故选C．7．下列命题中真命题的个数是（）（1）对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0；（2）“m=﹣1”是“直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充分不必要条件；（3）命题p：x≠y，q：sinx≠siny，则p是q的必要不充分条件；（4）设函数f（x）的定义域是R，则“∀x∈R，f（x+1）＞f（x），”是“函数f（x）为增函数”的充要条件．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0；（2），m=0时，直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直；（3），x≠y时，sinx=siny可能成立，sinx≠siny时，一定有x≠y；（4），若函数f（x）为增函数，则f（x+1）＞f（x）成立．若∀x∈R，f（x+1）＞f（x）”，则函数f（x）不一定为增函数，例如分段函数：f（x）=，满足f（x+1）＞f（x），而f （x）不是增函数．【解答】解：对于（1）对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0，故错；对于（2），m=0时，直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直，故正确；对于（3），x≠y时，sinx=siny可能成立，sinx≠siny时，一定有x≠y，故正确；对于（4），若函数f（x）为增函数，则f（x+1）＞f（x）成立，必要性成立．若∀x∈R，f（x+1）＞f（x）”，则函数f（x）不一定为增函数，例如分段函数：f（x）=，满足f（x+1）＞f（x），而f（x）不是增函数．充分性不成立．即“∀x∈R，f（x+1）＞f（x）”是“函数f（x）为增函数”的必要不充分条件．故错；故选：B．8．已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标和一条渐近线方程，设P（m，m），运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得m，进而求得P到x轴的距离．【解答】解：双曲线C：﹣=1的a=，b=2，c==，即有F1（﹣，0），F2（，0），设渐近线l的方程为y=x，且P（m，m），•=（﹣﹣m，﹣m）•（﹣m，﹣m）=（﹣﹣m）（﹣m）+（﹣m）2=0，化为3m2﹣6=0，解得m=±，则P到x轴的距离为|m|=2．故选：C．9．若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A． B．C． D．【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质．【分析】先求出圆心和半径，比较半径和；要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为，∴圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，∴，∴，∴，，∴，直线l的倾斜角的取值范围是，故选B．10．已知直线y=x+1与椭圆mx2+my2=1（m＞n＞0）相交于A，B两点，若弦AB的中点的横坐标等于﹣，则双曲线=1的离心率等于（）A．2 B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（（x2，y2），则x1+x2=﹣．由得（m+n）x2+2nx+n﹣1=0⇒x1+x2=⇒m=2n即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（（x2，y2），则x1+x2=﹣．由得（m+n）x2+2nx+n﹣1=0⇒x1+x2=⇒m=2n双曲线=1的离心率e，e2=⇒e=．故选：C11．已知A，B分别为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点，不同两点P，Q 在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，则当+ln|m|+ln|n|取最小值时，椭圆C的离心率为（）A． B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），y02=．A（﹣a，0），B（a，0），利用斜率计算公式肯定：mn=，+ln|m|+ln|n|=++ln=，令=t＞1，则f（t）=+t+﹣2lnt．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），=．A（﹣a，0），B（a，0），则m=，n=，∴mn==，∴=++=，令=t＞1，则f（t）=+﹣2lnt．f′（t）=+1+t﹣=，可知：当t=时，函数f（t）取得最小值=++﹣2ln=2+1﹣ln2．∴=．∴=．故选：D．12．如图，已知椭圆，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB．设直线BD、AB的斜率分别为k1、k2，若，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），运用直线的斜率公式，由两直线垂直的条件，可得AD的斜率，设直线AD的方程为y=kx+m（k、m≠0），代入椭圆方程，由韦达定理，结合直线的斜率公式可得BD的斜率，进而得到，则椭圆离心率可求．【解答】解：设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），∵k AB=，AD⊥AB，∴直线AD的斜率k=﹣，设直线AD的方程为y=kx+m（k、m≠0），代入椭圆方程，消去y整理得：（b2+a2k2）x2+2ma2k2x+a2m2﹣a2b2=0，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=，由题可知：x1≠﹣x2，∴k1==，即有，∴，得e=．故选：B．二、填空题（每题5分，共20分）13．已知抛物线方程为y=4x2，则抛物线的焦点坐标为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先化抛物线的方程为标准方程，再确定焦点坐标．【解答】解：由题意，x2=，故其焦点在y轴正半轴上，p=．∴焦点坐标为，故答案为．14．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f （n0）＞n0．【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0故答案为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n015．已知直线l与双曲线C：x2﹣y2=2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入渐近线的方程，求得A，B的坐标，可得中点坐标，代入双曲线的方程，运用直角三角形的面积公式计算即可得到．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2=2即为=1，可得a=b=，渐近线方程为y=±x，若直线l的斜率不存在，可设x=t，即有A（t，t），B（t，﹣t），中点为（t，0），代入双曲线的方程可得t=±，直角三角形AOB的面积为=2；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，代入渐近线方程，可得A（，），B（﹣，），求得AB的中点为（，），代入双曲线的方程可得m2=2（1﹣k2），①由题意可得A，B在y轴的同侧，可得＞0，①显然不成立．综上可得，△AOB的面积为2．故答案为2．16．已知圆O：x2+y2=1，圆M：（x﹣a）2+（y﹣a+4）2=1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围为．【考点】圆的切线方程．【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出OP的距离，再由题意得到关于a的不等式求得答案．【解答】解：如图圆O的半径为1，圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则∠APO=30°，在Rt△PAO中，PO=2，又圆M的半径等于1，圆心坐标M（a，a﹣4）∴|PO|min=|MO|﹣1，|PO|max=|MO|+1，∵，∴由，解得：2．故答案为：三、解答题（共70分）17．设命题p：函数的定义域为R；命题q：函数是R上的减函数，如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出p，q的真假，根据p与q一真一假，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：若p真：在R上恒成立，a=0时，显然不恒成立，a≠0时，△=1﹣a2＜0，且a＞0，解得：a＞2，若q真：，据题意¬p与¬q一真一假，即是p与q一真一假，故或，解得：＜a≤2或a≥．18．已知定圆⊙F1：x2+y2+4x+3=0，⊙F2：x2+y2﹣4x﹣5=0，动圆M与圆F1、F2都外切或都内切．（1）求动圆圆心M的轨迹曲线C的方程．（2）过点F1的直线l与曲线C交于A、B两点，与⊙F2交于P、Q两点，若|PQ|=2，【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用定圆⊙F1：x2+y2+4x+3=0，⊙F2：x2+y2﹣4x﹣5=0，动圆M与圆F1、F2都外切或都内切，结合双曲线的定义，即可得出轨迹方程．（2）求出直线方程，即可求|AB|．【解答】解：（1）⊙F1：x2+y2+4x+3=0和，⊙F2：x2+y2﹣4x﹣5=0，即圆F1：（x+2）2+y2=1和F2：（x﹣2）2+y2=9．设动圆的圆心P（x，y），半径为R，由题意，与两已知圆都外切或都内切，有|PC1|=R+3，|PC2|=R+1，|PC1|﹣|PC2|=2＜4，∴点P的轨迹是双曲线的一支，方程为；（2）令直线l：x=my﹣2，从而，∴9=+1，根据对称性，不妨设m=1，由，可得2x2﹣4x﹣7=0，∴|AB|==6．19．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F（1，0），其准线与x轴的交点为K，过点K的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D．（1）证明：点F在直线BD上；（2）设•=，求直线l的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设抛物线C：y2=2px，则点K（﹣1，0），=1，由此能求出抛物线C 的方程．设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x1，﹣y1），l的方程为x=my﹣1（m≠0）．将x=my﹣1代入y2=4x并整理得y2﹣4my+4=0，再由韦达定理能够证明点F（1，0）在直（2）由x1+x2=（my1﹣1）+（my2﹣1）=4m2﹣2，x1x2=（my1﹣1）（my2﹣1）=1，知=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），所以•=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+4=8﹣4m2，由此能够求直线l的方程．【解答】（1）证明：设抛物线C：y2=2px，则点K（﹣1，0），=1∴抛物线C的方程y2=4x．设l的方程为x=my﹣1（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），D（x1，﹣y1），故整理得y2﹣4my+4=0，故，则直线BD的方程为即，令y=0，得，所以F（1，0）在直线BD上…（2）解：由（1）可知，所以，又=（x1﹣1，y1），=（x2﹣1，y2），所以•=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+1+4=8﹣4m2，则，∴，故直线l的方程为3x+4y+3=0或3x﹣4y+3=0…20．如图，已知椭圆C：的离心率为，点（2，1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．求△OPQ的面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率公式及点的坐标，代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆椭圆方程；（2）①当斜率不存在时，代入椭圆方程，求得P和Q点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得△OPQ的面积；当斜率不存在时，设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式，即基本不等式的性质，即可取得△OPQ的面积的最大值．【解答】解：（1）由题意，得，解得：a2=6，b2=3，所以椭圆的方程为．．（2）①若直线l斜率不存在，将x=，代入椭圆方程：解得：y=，则△OPQ的面积为S=×x×2y=2；…②当斜率存在时，且k≠0，则直线l：y=kx+m，则有，∵，∴△=16k2m2﹣8（2k2+1）（m2﹣3）=8（4k2+1）∴，∴，令t=2k2+1≥1得：，从而当t=2时，△OPQ的面积取得最大值…21．已知直线x﹣2y+2=0与圆C：x2+y2﹣4y+m=0相交，截得的弦长为．（1）求圆C的方程；（2）已知P（2，4），过P向圆C引两条切线分别与抛物线y=x2交与点Q、R（异于R 点），判断直线QR与圆C的位置关系，并加以说明．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求得圆心到直线的距离，由弦长公式，计算即可得到r2=1，进而得到圆的方程；（2）令切线方程为y﹣4=k（x﹣2），设的斜率分别为k1、k2，求得直线QR的方程，运用直线和圆相切的条件，化简整理，再由圆心到直线QR的距离，即可判断所求位置关系．【解答】解：（1）∵C（0，2），∴圆心C到直线x﹣2y+2=0的距离为，∵截得的弦长为，∴，∴圆C的方程为：x2+（y﹣2）2=1；（2）令切线方程为y﹣4=k（x﹣2），从而，即3k2﹣8k+3=0，设的斜率分别为k1、k2，从而可得，联立，得（x﹣2）（x﹣k+2）=0，∴x1=k1﹣2，x2=k2﹣2，又由于直线QR的方程为，即y=（x1+x2）x﹣x1•x2=（k1+k2﹣4）x﹣（k1﹣2）（k2﹣2）=（k1+k2﹣4）x﹣k1k2+2（k1+k2）﹣4=．∴4x+3y﹣1=0．由圆心（0，2）到直线QR的距离为，从而可得直线与圆相切．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，左顶点（﹣4，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于D，交y轴于E．（1）求椭圆的方程；（2）已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0），都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率e=，左顶点（﹣4，0），求出a，b，由此能求出椭圆方程．（2）直线的方程为y=k（x+4），与椭圆联立，得（x+4）=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质，结合已知条件能求出定点Q的坐标．【解答】解：（1）∵左顶点为A（﹣4，0），∴a=4，又∵e=，∴c=2，又∵b2=a2﹣c2=16﹣4=12，…∴椭圆方程为：=1．…（2）直线的方程为y=k（x+4），由，消元得，化简得（x+4）=0，∴，…∴D（，），又∵点P为AD的中点，∴P（，），则k OP=﹣（k≠0），…直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得E（0，4k），假设存在定点Q（m，n）（m≠0）使得OP⊥EQ，则k OP•k EQ=﹣1，即﹣，∴（4m+12）k﹣3n=0恒成立∴，即，因此定点Q的坐标为（﹣3，0）…2017年3月29日。

数学---四川省成都市树德中学2016-2017学年高二(上)段考试卷(解析版)

数学---四川省成都市树德中学2016-2017学年高二(上)段考试卷(解析版)

2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）段考数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）直线x+3y+a=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°2．（5分）两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条3．（5分）若实数x，y满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积是（）A．3 B．C．2 D．4．（5分）如果直线y=ax+2与直线y=3x﹣b关于直线y=x对称，那么（）A．a=，b=6 B．a=，b=﹣6 C．a=3，b=﹣2 D．a=3，b=6 5．（5分）若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）A．B．C．D．6．（5分）原点在圆C：x2+y2+2y+a﹣2=0外，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．2＜a＜3 C．a＜2 D．0＜a＜27．（5分）若曲线C1：x2+y2﹣2x=0与曲线C2：y（y﹣mx﹣m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，0）∪（0，）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）8．（5分）过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l有（）A．1条B．2条C．3条D．4条9．（5分）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣110．（5分）已知方程x2+﹣=0有两个不等实根a和b，那么过点A（a，a2）、B（b，b2）的直线与圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．随θ值的变化而变化11．（5分）某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元12．（5分）已知点P（t，t），点M是圆O1：x2+（y﹣1）2=上的动点，点N是圆O2：（x ﹣2）2+y2=上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（）A．1 B．﹣2 C．2+D．2二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离为．14．（5分）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+1=0，则的最大值为．15．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，0），若M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的取值范围是．16．（5分）设集合，B={（x，y）|2m ≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是．三、解答题（共70分）17．（10分）已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+1=0，求满足下列条件的a值：（1）l1∥l2（2）l1⊥l2．18．（12分）已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，（1）点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程；（2）求点A（5，0）到l的距离的最大值．19．（12分）设直线l的方程为y=kx+b（其中k的值与b无关），圆M的方程为x2+y2﹣2x ﹣4=0．（1）如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；（2）b=1，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．20．（12分）设约束条件所确定的平面区域为D．（1）记平面区域D的面积为S=f（t），试求f（t）的表达式．（2）设向量=（1，﹣1），=（2，﹣1），Q（x，y）在平面区域D（含边界）上，=m，（m，n∈R），当面积S取到最大值时，用x，y表示m+3n，并求m+3n的最大值．21．（12分）已知圆M：x2+（y﹣1）2=1＜，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；（2）若|AB|=，求直线MQ的方程．22．（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于M，N两点．（1）求k的取值范围；（2）若S△MON=6tan∠MON，其中O为坐标原点，求|MN|．参考答案一、选择题1．C【解析】设直线的倾斜角为α，α∈[0°，180°）．∴tanα=﹣，∴α=150°．故选：C．2．B【解析】两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，2两圆圆心距离：，说明两圆相交，因而公切线只有两条．故选B．3．C【解析】不等式组所表示的平面区域如图所示解得A（2，3）、B（1，0）、C（0，1），所以S△ABC=2；（表示的平面区域的面积为：矩形的面积﹣三个三角形的面积=2×3﹣﹣2﹣=2．）故选C．4．A【解析】法一：由题意，函数y=3x﹣b的反函数为y=，与y=ax+2对照可得a=，b=6；法二：在y=ax+2上取点（0，2），则点（2，0）在y=3x﹣b上，故得b=6；又y=3x﹣6上有点（0，﹣6），则点（﹣6，0）在y=ax+2上，代入得a=，由此可得a=，b=6,答案：a=，b=65．B【解析】联立两直线方程得：，将①代入②得：x=③，把③代入①，求得y=，所以两直线的交点坐标为（，），因为两直线的交点在第一象限，所以得到，由①解得：k＞﹣；由②解得k＞或k＜﹣，所以不等式的解集为：k＞，设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＞，所以θ∈（，）．方法二、∵直线l恒过定点（0，﹣），作出两直线的图象．，设直线2x+3y﹣6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B．从图中看出，斜率k AP＜k＜+∞，即＜k＜+∞，故直线l的倾斜角的取值范围应为（，）．故选B．6．B【解析】∵圆x2+y2+2y+a﹣2=0，即x2+（y+1）2=3﹣a，∴3﹣a＞0，即a＜3．∵原点（0，0）在圆x2+y2+2y+a﹣2=0的外部，∴a﹣2＞0，∴a＞2．综上可得，2＜a＜3，故选：B．7．B【解析】由题意可知曲线C1：x2+y2﹣2x=0表示一个圆，化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；C2：y（y﹣mx﹣m）=0表示两条直线y=0和y﹣mx﹣m=0，由直线y﹣mx﹣m=0可知：此直线过定点（﹣1，0），在平面直角坐标系中画出图象如图所示：直线y=0和圆交于点（0，0）和（2，0），因此直线y﹣mx﹣m=0与圆相交即可满足条件．当直线y﹣mx﹣m=0与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，化简得：m2=，解得m=±，而m=0时，直线方程为y=0，即为x轴，不合题意，则直线y﹣mx﹣m=0与圆相交时，m∈（﹣，0）∪（0，）．故选B．8．D【解析】设直线的方程为：y﹣1=k（x﹣1），（k≠0）．令x=0，解得y=1﹣k；令y=0，解得x=1﹣．∴|（1﹣k）（1﹣）|=4，化为（k﹣1）2=±8k，即k2﹣10k+1=0，k2+8k+1=0，由于△＞0，可得两个方程共有4个不同的解．因此直线l共有4条．故选：D．9．D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D10．B【解析】由a和b为方程x2+﹣=0的两个不等的实根，得到a+b=﹣，ab=﹣，又A（a，a2）、B（b，b2），得到直线AB的斜率k==a+b，线段AB的中点坐标为（，）所以直线l AB：y=（b+a）（x﹣）+．由圆x2+y2=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，则圆心到直线AB的距离d=====1=r．所以直线AB与圆的位置关系是相切．故选B11．C【解析】设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元则根据题意可得，z=300x+400y作出不等式组表示的平面区域，如图所示作直线L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，由可得x=y=4，此时z最大z=280012．D【解析】如图所示，圆O1：x2+（y﹣1）2=的圆心O1（0，1），圆O2：（x﹣2）2+y2=的圆心O2（2，0），这两个圆的半径都是；要使PN﹣PM最大，需PN最大，且PM最小，由图可得，PN最大值为PO2+，PM的最小值为PO1﹣，故PN﹣PM最大值是（PO2+）﹣（PO1﹣）=PO2﹣PO1+1，点P（t，t）在直线y=x上，O1（0，1）关于y=x的对称点O1′（1，0），直线O2O1′与y=x的交点为原点O，则PO2﹣PO1=PO2﹣PO1′≤O1′O2=1，故PO2﹣PO1+1的最大值为1+1=2，即|PN|﹣|PM|的最大值为2．故选D．二、填空题13．【解析】M为AB的中点设为（x，y，z），∴x==2，y=，z==3，∴M（2，，3），∵C（0，1，0），∴MC==，故答案为：．14．【解析】圆的圆心坐标（2，0）半径为，如图：设=k，则y=kx，所以k为过原点与圆x2+y2﹣4x+1=0上的点连线的斜率．由几何意义知，直线与圆相切时，直线的斜率取得最大值或最小值，圆的半径为，圆心到原点的距离为2，所以k=tan60°=，所以的最大值是．故答案为：．15．[1，]【解析】=（﹣1，0）+（x，y）=（x﹣1，y），则||=，设z=||=，则z的几何意义为M到定点D（1，0）的距离，由约束条件作平面区域如图，由图象可知当M位于A（0，2）时，z取得最大值z==，当M位于C（1，1）时，z取得最小值z=1，1≤z≤，即的取值范围是[1，]，故答案为：[1，]．16．[，2+]【解析】依题意可知，若A∩B≠∅，则A≠∅，必有，解可得m≤0或m≥，此时集合A表示圆环内点的集合或点（2，0），集合B表示与x+y=0平行的一系列直线的集合，要使两集合不为空集，需至少一条直线与圆有交点或点在某一条直线上，①m=0时，A={（2，0）}，B={（x，y）|0≤x+y≤1}，此时A∩B=∅，不合题意；②当m＜0时，有||＜﹣m或||＜﹣m；则有﹣m＞﹣m，或﹣m＞﹣m，又由m＜0，则（﹣1）m＜，可得A∩B=∅，不合题意；③当m≥时，有||≤m或||≤m，解可得：2﹣≤m≤2+，1﹣≤m≤1+，又由m≥，则m的范围是[，2+]；综合可得m的范围是[，2+]；故答案为[，2+]．三、解答题17．解：（1）由题意，，∴a=﹣1；（2）∵（a﹣1）+2a=0，∴a=．18．解：（1）经过两已知直线交点的直线系方程为（2x+y﹣5）+λ（x﹣2y）=0，即（2+λ）x+（1﹣2λ）y﹣5=0，∵点A（5，0）到l的距离为3，∴=3．即2λ2﹣5λ+2=0，∴λ=2，或λ=，∴l方程为x=2或4x﹣3y﹣5=0．（2）由解得，交点P（2，1），如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|P A|（当l⊥P A时等号成立）．∴d max=|P A|=．19．解：（1）若不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，则（0，b）点在圆M：x2+y2﹣2x﹣4=0的内部，即b2﹣4＜0，解得：﹣2＜b＜2；（2）当b=1时，l必过（0，1）点，当l过圆心时，|AB|取最大值，即圆的直径，由M：x2+y2﹣2x﹣4=0的半径r=，故|AB|的最大值为2，当l和过（0，1）的直径垂直时，|AB|取最小值．此时圆心M（1，0）到（0，1）的距离d=，|AB|=2=2，故|AB|的最小值为2．20．解：（1）作出题中约束条件所确定的平面区域，如右图阴影部分则S△OAB|OA|•|AB|=t2，S△DEF=|DE|•|EF|=（1﹣t）2，∴五边形ABCDE面积S=S△OCF﹣S△OAB﹣S△DEF=×2×1﹣t2﹣（1﹣t）2=﹣t2+t+即f（t）=﹣t2+t+，其中0＜t＜1（2）向量=（1，﹣1），=（2，﹣1），Q（x，y）在平面区域D（含边界）上，=m，可得（x，y）=m（1，﹣1）+n（2，﹣1），可得，令z=m+3n，∴z=m+3n=2x+y，m+3n的最大值就是2x+y的最大值，由（1）可知可行域D（，）点，并且直线2x+y=z 经过（，）点时取得最大值：，21．解（1）设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1，则圆心M到切线的距离为1，∴=1，∴m=或0，∴QA，QB的方程分别为3x+4y﹣3=0和x=1．（2）设AB与MQ交于P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，∴|MP|=．在Rt△MBQ中，|MB|2=|MP||MQ|，即1=|MQ|，∴|MQ|=3，∴x2+（y﹣2）2=9．设Q（x，0），则x2+22=9，∴x=±，∴Q（±，0），∴MQ的方程为2x+y﹣2=0或2x﹣y+2=0．22．解：（1）由题设，可知直线l的方程为y=kx+1，因为直线l与圆C交于两点，所以＜1．解得＜k＜．所以k的取值范围为：（，）．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．将y=kx+1代入方程：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，整理得（1+k2）x2﹣4（1+k）x+7=0．所以x1+x2=，x1x2=，=x1x2+y1y2=（1+k）2（x1x2）+k（x1+x2）+1=．由题设可得S△MON=6tan∠MON，可得=12．即=12，解得k=1，所以直线l的方程为y=x+1．故圆心C在直线l上，所以|MN|=2．。

成都市2016-2017学年高二上期期末数学模拟试题(共3套)-原创

成都市2016-2017学年高二上期期末数学模拟试题(共3套)-原创

成都市2016-2017学年高二上期期末数学模拟试题(共3套)-原创三套模拟题考点、体力、分值分布情况立体几何：主要内容：空间中点、线、面的位置关系、空间中平行和垂直关系的证明、折叠问题、异面直线所成的角、线面角、空间直角坐标系中空间点的坐标等。

题量：选填4个，解答1个；分值：33分。

解析几何-直线与圆主要内容：斜率与倾斜角、两直线平行和垂直的判定、直线方程、直线与圆的综合运用、圆与圆的位置关系等题量：选填3个，解答1个；分值：27分。

解析几何-圆锥曲线主要内容：椭圆、双曲线、抛物线的定义及图形的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，中点弦问题、过定点问题、定值问题等。

题量：选填3-4个，解答2个；分值：39-44分。

线性规划：主要内容：线性规划及非线性规划问题，线性规划的应用题。

题量：选填1-2个，解答0-1个；分值：10-15分。

算法：主要内容：算法语句、程序框图题量：选填1-2个，解答0-1个；分值：10-15分。

简易逻辑主要内容：四种命题及关系、等价命题、充分条件及必要条件、简单逻辑联结词及真假判断、特称、全称命题的真假判断及否定等。

题量：选填2-3个，解答0-1个；分值15-20分。

成都市2016-2017学年高二上期期末数学模拟试题（一）一、选择题1、空间直角坐标系中，点()3,4,0A -到(),1,6B x -的距离为86x 的值为( )A、2 B 、8- C 、28-或 D 、28-或2.若直线()1:34350l m x y m +++-=与直线()2:2580lx m y ++-=平行，则m的值（ ）．A ．-7B ．-1或-7C ．-6D ．133- 3．已知命题p ：方程22121x y m m+=-表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：方程2211x y m m-=-表示双曲线，则p 是q 的（ ）条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 4、设变量x ，y 满足约束条件311x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数42z x y=+的最大值为( )A、12 B 、10 C 、8 D 、25．设命题p ：函数x y 2sin =的最小正周期为;2π命题q ：函数x y cos =的图象关于直线2π=x 对称，则下列判断正确的是 ( )A ．p 为真B ．⌝q 为假.C p q∧为假.D p q∨为真6．（15届成都零诊6）已知a ，b 是两条不同直线，a 是一个平面，则下列说法正确的是 （A ）若a ∥b ．b α⊂，则a//α（B ）若a//α，b α⊂，则a ∥b（C ）若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b （D ）若a ⊥b ，b ⊥α，则a ∥α7.抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点()5,m -到焦点距离是6，则抛物线的方程是（ ）． A ．22yx=- B ．24yx=- C ．22yx= D ．24yx=-或24yx=8.已知l 是双曲线22:124x y C -=的一条渐近线，P 是l 上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120PF PF =u u u v u u u u v g ，则P 到x 轴的距离为（ ）．A 23B 2C ．2D 269.（14秋成都期末8）经过点A （3，2）作圆C ：（x ﹣1）2+y 2=4的两条切线，切点分别为B 、D 则四边形ABCD 的面积为（ ） A ． 2 B ．42 C ． 4 D ． 8 10．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点A ，B )，直线PA 垂直于圆O所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题： ①PA ∥平面MOB ； ②MO ∥平面PAC ； ③OC ⊥平面PAC ； ④平面PAC ⊥平面PBC ． 其中正确的命题是（ ）A ．③④B ．①②④C ．①②D ．②④11. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c ，作圆2224a x y +=的切线 ，切点为E ,延长FE 交双曲线左支于点,M E MF 且是的中点，则双曲线离心率为（ ）A.10 B.10C.10D.21012.执行如右图的程序框图，如果输入p=8,则输出的S=（ ）A 、6364B 、 12764C 、127128D 、255128二、填空题 13．直线y x =被圆22(2)4xy +-=截得的弦长为________．14. 已知点()M ,x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则1y z x =+的取值范围是 15．已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为18且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，AB 中点坐标为(2,1)-,则椭圆的离心率 .16．（15成都模拟）已知三棱柱AB ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，且底面边长与侧棱长都等于3，蚂蚁从A 点沿侧面经过棱BB 1上的点N 和CC 1上的点M 爬到点A 1，如图所示，则当蚂蚁爬过的路程最短时，直线MN 与平面ABC 所成角的正弦值为 ．三、解答题17．（10分）已知算法：第一步，输入整数n ；第二步，判断17n ≤≤是否成立，若是，执行第三步；否则，输出“输入有误，请输入区间[]1,7中的任意整数”，返回执行第一步；第三步，判断1000n ≤是否成立，若是，输出n ，并执行 第四步；否则，结束； 第四步，7n n =+，返回执行第三步；第五步，结束．（1）若输入7n =，写出该算法输出的前5各值；（2）画出该算法的程序框图．18．（12分）设:p 实数x 满足22540x ax a -+<(0a >)；:q 实数x 满足222003100x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．19．（14届成都零诊19）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且2，E、F分别为PC、BD的中点．（I）求证：EF∥平面PAD;（Ⅱ）求三棱锥P—BCD的体积．20.已知圆22:48160C xy x y ++-+=,(1)圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等,且斜率存在，求切线的斜率；(2)从圆C 外一点0(,)P x y 向该圆引一条切线,切点为M ,O 为坐标原点,且有PM PO =,求使得PM 取得最小值时的点P 的坐标.21.已知抛物线2:2(0)C ypx p =>的焦点F 到准线的距离为1.过点(,0)A m (其中0m ≠ )作直线l 交抛物线C 与,P Q 两点（PQ 不垂直于x 轴）(1)若A 与焦点F 重合,且||4PQ =.求直线l 的方程;(2)若点B(,0)m -，设Q 关于x 轴的对称点为M ,求证：P ，M，B 三点共线.22．已知焦点在x 轴上的椭圆222:1(0)8x y E b b+=>.(1) 若02b <≤,求离心率e 的取值范围; (2)椭圆E 228:3C x y +=圆C 的切线l 与椭圆E 交于,A B两点，满足OA OB⊥u u u r u u u r（O 为坐标原点）.①求2b 的值；②求ABC∆面积的取值范围.成都市2016-2017学年高二上期期末数学模拟试题（二）一、选择题 1.命题2",||0"x R x x∀∈+≥的否定是( )||,.2<+∈∀x x R x A 0||,.2≤+∈∀x x R x B||,.2000<+∈∃x x R x C||,.2000≥+∈∃x x R x D2.已知直线0)12(:,02:21=++-=+-a ay x a la y ax l 互相垂直，则a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．0或﹣13.在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，F E 、分别是AD CC 、1的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于( ) A 10B 15 C. 45 D ．234.圆()2249x y -+=和圆()2234xy +-=的公切线有( )A ．1条B ．2条 C. 3条 D ．4条5．双曲线2214x y m -=的焦距为6，则m 的值是A ．6或2B ．5C ．1或9D ．3或56．下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0 D ．∀x ∈R,2x>0 7．若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=（ ）A ．8B ．7C ．6D ．58.（15安徽）直线3x +4y =b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ）（A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或129.执行如图所示的程序框图．若输出3y =-，则输入角=θ（ ）A ．π6B ．π6-C ．π3D ．π3- 10.已知直线1y x =+与椭圆()2210mxmy m n +=>>相交于,A B 两点，若弦AB 的中点的横坐标等于13-，则双曲线22221y x m n-=的离心率等于（ ）．A ．2B ． 2C ．52D ．5 11．（13届成都零诊9）如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，则下列判断错误．．的 A ．DB 1⊥平面ACD 1 B ．BC 1∥平面ACD 1C ．BC 1⊥DB 1D ．三棱锥P-ACD 1的体积与P 点位置有关 12. 如图，椭圆的中心在坐标原点0，顶点分别是A 1, A 2, B 1, B 2，焦点分别为F 1 ,F 2，延长B 1F 2 与A 2B 2交于P 点，若12B PA ∠为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为( ) A. 51(0,)4+ B. 51(,1)4+C.51(0,)2- D.51(,1)2-二、填空题13. 十进制数2016等值于八进制数 。

四川省成都市树德中学20162017学年高二数学上学期期末考试试题理科

四川省成都市树德中学20162017学年高二数学上学期期末考试试题理科

四川省成都市树德中学2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理一、选择题〔每题5分，共60分〕1、设∈，那么“a ＝1”是“直线l 1：＋2y －1＝0及直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2、双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为±2x ，那么其离心率为〔 〕A ．5B ．C ．D ．3、设某高中的学生体重y 〔单位：〕及身高x 〔单位：〕具有线性相关关系，根据一组样本数据〔，〕〔1，2，…，n 〕，用最小二乘法建立的回归方程为y ，那么以下结论中不正确的选项是．．．．．．．〔 〕 及x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心〔x ，y 〕 1，那么其体重约增加 1704、以下说法正确的选项是 〔 〕A.命题“假设21x >,那么1x >〞的否命题为“假设21x >，那么1≤x 〞B.命题“假设200,1x R x ∃∈>〞的否认是“2,1x R x ∀∈<〞C.命题“假设x y =，那么y x cos cos =〞的逆否命题为假命题D.命题“假设x y =，那么y x cos cos =〞的逆命题为假命题 5、阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( )A.856、在长为10 cm 的线段上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于，的长，那么该矩形面积不．小于．．9 cm 2的概率为〔 〕 A ．910 B ．45C ．23D ．127、直线3及圆〔x ﹣2〕2+〔y ﹣3〕2=4相交于M 、N 两点，假设≥2，那么直线倾斜角的取值范围是〔 〕A ．566ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．20,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭， C ．50,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭， D ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 8、集合240(,)00x y x y x y x y ⎧+-≤⎧⎫⎪⎪⎪+≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎭⎩表示的平面区域为Ω，假设在区域Ω内任取一点P 〔x ，y 〕，那么点P 的坐标满足不等式222x y +≤的概率为〔 〕A ．316π B ．16π C ．32π D ．332π9、实数x y ，满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为1-，那么实数m 等于〔 〕A ．7B ．5C ．4D ．3 10、点M 是抛物线y 2上的点，点N 是圆C 1：〔1〕2+〔y ﹣4〕2=1关于直线x﹣1=0对称的曲线C 上的点，那么的最小值是〔 〕 A ．B ．C ．2D ．11、某算法的程序框图如下图，那么执行该程序后输出的S 等于 〔 〕A.24B.26C.30D.32 12、圆C 的方程()2211x y -+=，P 是椭圆=1上一点，过P 作圆的两条切线，切点为A 、B ，那么的取值范围为〔 〕A ．562239⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．562239⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．642239⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．642239⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，二、填空题〔每题5分，共20分〕 13、某赛季甲、乙两名篮球运发动每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，运发动的发挥更稳定．〔填“甲〞或“乙〞〕14、圆O 1：x 2＋y 2＝1，圆O 2： (x ＋4)2＋(y －a )2＝25，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么常数a ＝15、12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=,椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，那么221213e e += 16、直线14x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭及曲线y x =恰有两个不同交点，记k 的所有可能取值构成集合A ；椭圆22=163x y +上存在关于直线对称的不同两点，记m 的所有可能取值构成集合B.假设随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ，1λ，那么1λ>2λ的概率是2三、解答题17、〔10分〕设命题p：点〔1，1〕在圆222+-++-=的内x y mx my m22240部；命题q：直线－y＋1＋2m＝0(k∈R)不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．18、〔12分〕某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下局部频率分布直方图如图.观察图形的信息，答复以下问题：〔1〕求分数在[70,80)内的频率；〔2〕估计本次考试的中位数；〔准确到0.1〕〔3〕用分层抽样〔按[60,70)、[70,80)分数段人数比例〕的方法在分数段为[60,80)的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70,80)的概率．19、〔12分〕抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，(1,)P m 是抛物线C 上的一点，且||2PF =.〔1〕假设椭圆22:14x y C n'+=及抛物线C 有共同的焦点，求椭圆C '的方程；〔2〕设抛物线C 及〔1〕中所求椭圆C '的交点为A B 、，求以OA 和OB 所在的直线为渐近线，且经过点P 的双曲线方程.20、〔12分〕圆C ：x 22﹣43=0， 〔1〕求过()3,2M 点的圆的切线方程；〔2〕直线:22130l mx y m +--=被圆C 截得的弦长最短时，求直线l 的方程； 〔3〕过原点的直线m 及圆C 交于不同的两点A 、B ，线段的中点P 的轨迹为1C ，直线5()2y k x =-及曲线1C 只有一个交点，求k 的取值范围.21、〔12分〕抛物线x 2＝2 (p ＞0)，其焦点F 到准线的距离为1.过F 作抛物线的两条弦和〔点A 、C 在第一象限〕，且M ，N 分别是，的中点． 〔1〕假设AB CD ⊥，求△面积的最小值；〔2〕设直线的斜率为，直线的斜率为，且40，求证：直线过定点，并求此定点.22、〔12分〕在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，动点(),P x y 及定点F (－1，0)的距离和它到定直线2x =-的距离之比是.〔1〕求动点P 的轨迹C 的方程；〔2〕过F 作曲线C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,直线OM 及()221:432C x y -+=交于,P Q 两点,求四边形APBQ 面积的最大值.树德中学高2021 级第三期期末考试数学试题〔理科〕参考答案一、选择题二、填空题13、乙 14、±2或0 15、4 16、34三、解答题17、解：命题p11⇔-<<，…………3分m命题q0m⇔≥……………6分①p真q假时，10-<<；②p假q真时，1mm≥.故m的取值范围为10-<<或1mm≥………10分18、解：(1)分数在[70,80)内的频率为：1－＋＋＋＋0.005)×10＝1－＝………3分(2)中位数17373.3≈…………6分3(3)由题意，[60,70)分数段的人数为：×60＝9(人)；[70,80)分数段的人数为：×60＝18(人)．∴需在[60,70)分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70,80)分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f.设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70,80)内〞为事件A，所有根本领件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15个…………8分其中事件A 包含(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，共8个．……10分 ∴P (A )＝………12分19、解:〔1〕P 到焦点距离等于P 到准线距离，所以122p PF =+=，2p =故抛物线的方程为2:4C y x =……………………….3分又由椭圆22:14x y C n '+=, 可知41,3n n -=∴=,故所求椭圆的方程为22143x y +=……………....6分〔2〕由2221434x y y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩,消去y 得到2316120x x +-=,解得122,63x x ==-(舍去). 所以2222(6),(,6)3333A B ,那么双曲线的渐近线方程为6y x =……………………8分60x y ±=,可设双曲线方程为226(0)x y λλ-=≠.由点(1,)P m 在抛物线2:4C y x =上,解得24,(1,2)m P =± (10)分因为点P 在双曲线上, 642λ∴-==, 故所求双曲线方程为:22312y x -= (12)分20、解：〔1〕3x =或3410x y --=………3分〔2〕直线:22130l mx y m +--=恒过定点3122N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当直线l CN ⊥时，弦长最短，此时直线的方程为10x y --=………7分 〔3〕设点P 〔x ，y 〕，∵点P 为线段的中点，曲线C 是圆心为C 〔2，0〕，半径1的圆，∴⊥，CP OP=0•∴化简得()2211x y -+=………9分 由于点P 在圆内，由得所以1C ：()2231122x y x ⎛⎫-+=<≤ ⎪⎝⎭〔注：范围也可写成32x >〕………10分 3322k -≤≤或255k =±………12分21、解：〔1〕抛物线的方程为x 2=2y ，设的方程为联立，得x 2﹣2﹣1=0，21,2M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理2111,2N k k⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ∴S △＝·＝242411k k k k ++＝2212k k ++1≥ 当且仅当k ＝±1时，△的面积取最小值1. ……....5分〔2〕设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，C 〔x 3，y 3〕，D 〔x 4，y 4〕，设的方程为，联立，得x 2﹣2﹣1=0，∴x 1x 2=﹣1，同理，x 3x 4=﹣1 (7)分故4()()22221324132413241324112244x x x x y y y y x x x x x x x x ----=+⋅=+⋅----()()1324122x x x x =++⋅+ ()()13131313111112022x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-⋅+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注意到点A 、C 在第一象限，x 13≠0，故得x 1x 3=4， ……....10分直线的方程为()2131122x x x y x x +-=-化简得131322x x x x y x +=-即1322x x y x +=-所以，直线恒经过点〔0，﹣2〕……....12分22、解：〔1〕由，得()221222x y x ++=+． 两边平方，化简得＋y 2＝1．故轨迹C 的方程是．…〔3分〕〔2〕因不垂直于y 轴，设直线的方程为x ＝－1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由得(m 2＋2)y 2－2－1＝0.y 1＋y 2＝，y 1y 2＝. x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝，于是的中点为，故直线的斜率为－，的方程为y ＝－x ，即＋2y ＝0，…....5分 圆心及直线＋2y ＝0的距离为244m m +，222248=232844m m m m ⎛⎫+-= ⎪++⎝⎭…....7分设点A 到直线的距离为d ，那么点B 到直线的距离也为d ，所以2d ＝.因为点A ，B 在直线＋2y ＝0的异侧，所以(1＋2y 1)(2＋2y 2)<0，于是1＋2y 1|＋2＋2y 2|＝1＋2y 1－2－2y 2|，从而2d ＝.又因为1－y 2|＝＝，所以2d ＝.…....10分故四边形的面积S ＝·2d＝12•=令()244m t t +=≥，那么S＝1104t <≤〕 当1124t =即m =±max S =…....12分。

2016-2017学年四川省成都市树德中学高二(上)期末数学试卷与解析word(理科)

2016-2017学年四川省成都市树德中学高二(上)期末数学试卷与解析word(理科)

2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5 B．C．D．3．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg4．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“若”的否定是“∀x∈R，x2＜1”C．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为假命题5．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．6．（5分）在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC，CB的长，则该矩形面积不小于9cm2的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A． B．C．D．9．（5分）已知实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于（）A．7 B．5 C．4 D．310．（5分）点M是抛物线y2=x上的动点，点N是圆C1：（x+1）2+（y﹣4）2=1关于直线x﹣y+1=0对称的曲线C上的一点，则|MN|的最小值是（）A．B．C．2 D．11．（5分）某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24 B．26 C．30 D．3212．（5分）已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆=1上一点，过P 作圆的两条切线，切点为A、B，求•的范围为（）A．[0，]B．[2﹣3，+∞]C．[2﹣3，]D．[，]二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）14．（5分）已知圆O1：x2+y2=1，圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数a=．15．（5分）已知知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则=．16．（5分）已知直线y=k（x+）与曲线y=恰有两个不同交点，记k的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+l对称，记的所有可能取值构成集合B，若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．三、解答题17．（10分）设命题p：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部；命题q：直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．18．（12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P（1，m）是抛物线C 上的一点，且|PF|=2．（1）若椭圆与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．20．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；（2）直线l：2mx+2y﹣1﹣3m=0被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）过原点的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C1，直线与曲线C1只有一个交点，求k的取值范围．21．（12分）已知抛物线x2=2py （p＞0），其焦点F到准线的距离为1．过F作抛物线的两条弦AB和CD（点A、C在第一象限），且M，N分别是AB，CD的中点．（1）若AB⊥CD，求△FMN面积的最小值；（2）设直线AC的斜率为k AC，直线BD的斜率为k BD，且k AC+4k BD=0，求证：直线AC过定点，并求此定点．22．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P（x，y）与定点F （﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最大值．2016-2017学年四川省成都市树德中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A．2．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±2x，则其离心率为（）A．5 B．C．D．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，∴，即b=2a，∴，∴离心率e=．故选：D．3．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D．4．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”B．命题“若”的否定是“∀x∈R，x2＜1”C．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为假命题【解答】解：命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，故A错误；命题“若”的否定是“∀x∈R，x2≤1”，故B错误；命题“若x=y，则cosx=cosy”是真命题，故其逆否命题为真命题，故C错误；命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为命题“若cosx=cosy，则x=y”为假命题，故D正确；故选：D5．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．B．C．D．【解答】解：由上程序框图，当运行程序后，x=1，y=1，z=2＜20，满足条件，执行循环；则x=1，y=2，z=3＜20，满足条件，执行循环；则x=2，y=3，z=5＜20，满足条件，执行循环；则x=3，y=5，z=8＜20，满足条件，执行循环；则x=5，y=8，z=13＜20，满足条件，执行循环；则x=8，y=13，z=21＞20，不满足条件，退出循环，则输出，故选：B．6．（5分）在长为10cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于AC，CB的长，则该矩形面积不小于9cm2的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设AC=x，则BC=10﹣x，矩形的面积S=x（10﹣x）≥9，∴x2﹣10x+9≤0解得1≤x≤9，由几何概率的求解公式可得，矩形面积不小于9cm2的概率为P==．故选：A．7．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离d==．∴|MN|=2==，解得，∴，设直线的倾斜角为θ，则≤tanθ≤．∴θ∈∪．故选：C．8．（5分）已知集合表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P（x，y），则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为（）A． B．C．D．则对应的区域为△AOB，由，解得，即B（4，﹣4），由，解得，即A（，），直线2x+y﹣4=0与x轴的交点坐标为（2，0），则△OAB的面积S==，点P的坐标满足不等式x2+y2≤2区域面积S=，则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为=，故选：D9．（5分）已知实数x，y满足如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣1，则实数m等于（）A．7 B．5 C．4 D．3由目标函数z=x﹣y的最小值是﹣1，得y=x﹣z，即当z=﹣1时，函数为y=x+1，此时对应的平面区域在直线y=x+1的下方，由，解得，即A（2，3），同时A也在直线x+y=m上，即m=2+3=5，故选：B10．（5分）点M是抛物线y2=x上的动点，点N是圆C1：（x+1）2+（y﹣4）2=1关于直线x﹣y+1=0对称的曲线C上的一点，则|MN|的最小值是（）A．B．C．2 D．【解答】解：圆C1：（x+1）2+（y﹣4）2=1关于直线x﹣y+1=0对称的圆的圆心坐标（3，0），半径是1；设M的坐标为（y2，y），所以圆心到M的距离：，当y2=时，它的最小值为，则|MN|的最小值是：．故选A．11．（5分）某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S等于（）A．24 B．26 C．30 D．32【解答】解：根据题意，本程序框图为求S的值循环体为“直到“循环结构，其功能是计算椭圆上横坐标分别为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的点到焦点的距离，如图所示．根据椭圆的定义及对称性，得即S=2a+2a+2a+（a﹣c）=7a﹣c，又椭圆的a=5，b=4，c=3，则执行该程序后输出的S等于S=32．故选D．12．（5分）已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆=1上一点，过P 作圆的两条切线，切点为A、B，求•的范围为（）A．[0，]B．[2﹣3，+∞]C．[2﹣3，]D．[，]【解答】解：设PA与PB的夹角为2α，则|PA|=PB|=，∴y=•=|PA||PB|cos2α=•cos2α=•cos2α．记cos2α=u，则y==﹣3+（1﹣u）+≥2﹣3，∵P在椭圆的左顶点时，sinα=，∴cos2α=，∴•的最大值为=，∴•的范围为[2﹣3，]．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）【解答】解：由某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录的茎叶图表知：甲的得分相对分散，乙的得分相对集中，∴从茎叶图的分布情况看，乙运动员的发挥更稳定．故答案为：乙．14．（5分）已知圆O1：x2+y2=1，圆O2：（x+4）2+（y﹣a）2=25，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数a=±2或0．【解答】解：∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，内切时，=4，外切时，=6，∴a=±2或0，故答案为±2或015．（5分）已知知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为e1、e2，则=4．【解答】解：如图所示，设椭圆与双曲线的标准方程分别为：+=1，﹣=1（a i，b i＞0，a1＞b1，i=1，2），a12﹣b12=a22+b22=c2，c＞0．设|PF 1|=m，|PF2|=n．则m+n=2a1，n﹣m=2a2，解得m=a1﹣a2，n=a1+a2，由∠F1PF2=，在△PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2=m2+n2﹣2mncos，∴4c2=（a1﹣a2）2+（a1+a2）2﹣（a1﹣a2）（a1+a2），化为4c2=a12+3a22，化为=4．故答案为：4．16．（5分）已知直线y=k（x+）与曲线y=恰有两个不同交点，记k的所有可能取值构成集合A；P（x，y）是椭圆+=1上一动点，点P1（x1，y1）与点P关于直线y=x+l对称，记的所有可能取值构成集合B，若随机地从集合A，B中分别抽出一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2的概率是．【解答】解：∵y=，∴x=y2，代入y=k（x+）得y=k（y2+），整理得ky2﹣y+=0，直线y=k（x+）与曲线y=恰有两个不同交点，等价为ky2﹣y+=0有两个不同的非负根，即△=1﹣k2＞0，且＞0，解得0＜k＜1，∴A={k|0＜k＜1}．P1（x1，y1）关于直线y=x+1的对称点为P（y1﹣1，x1+1），P是椭圆+=l上一动点，∴﹣4≤y1﹣1≤4，即﹣1≤≤1，设b=，则﹣1≤b≤1，∴B={b|﹣1≤b≤1}．∴随机的从集合A，B中分别抽取一个元素λ1，λ2，则λ1＞λ2等价为，则对应的图象如图：则λ1＞λ2的概率是，故答案为：．三、解答题17．（10分）设命题p：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部；命题q：直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．【解答】解：点（1，1）在圆x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0的内部，故1+1﹣2m+2m+2m2﹣4＜0，解得：﹣1＜m＜1，故命题p⇔﹣1＜m＜1，直线mx﹣y+1+2m=0（k∈R）不经过第四象限，故，解得：m≥0，故命题q⇔m≥0；如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，①p真q假时，﹣1＜m＜0；②p假q真时，m≥1．故m的取值范围为﹣1＜m＜0或m≥1．18．（12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60，70）、[70，80）分数段人数比例）的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70，80）的概率．【解答】解：（1）分数在[70，80）内的频率为：1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3…（3分）（2）∵数学成绩在[40，70）内的频率为（0.010+0.015+0.015）×10=0.4，数学成绩在[70，80）内的频率为0.3，∴中位数为70+=．…（6分）（3）由题意，[60，70）分数段的人数为：0.15×60=9（人），[70，80）分数段的人数为：0.3×60=18（人）．∴需在[60，70）分数段内抽取2人，分别记为a，b；在[70，80）分数段内抽取4人，分别记为c，d，e，f．设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70，80）内”为事件A，所有基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15个…（8分）其中事件A包含（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），共8个．…（10分）∴P（A）=．…（12分）19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P（1，m）是抛物线C上的一点，且|PF|=2．（1）若椭圆与抛物线C有共同的焦点，求椭圆C'的方程；（2）设抛物线C与（1）中所求椭圆C'的交点为A、B，求以OA和OB所在的直线为渐近线，且经过点P的双曲线方程．【解答】解：（1）根据题意，抛物线C：y2=2px中，P到焦点距离等于P到准线距离，所以，p=2故抛物线的方程为C：y2=4x；又由椭圆，可知4﹣n=1，即n=3，故所求椭圆的方程为；（2）由，消去y得到3x2+16x﹣12=0，解得（舍去）．所以，则双曲线的渐近线方程为y=±x，由渐近线，可设双曲线方程为6x2﹣y2=λ（λ≠0）．由点P（1，m）在抛物线C：y2=4x上，解得m2=4，P（1，±2），因为点P在双曲线上，∴6﹣4=λ=2，故所求双曲线方程为：．20．（12分）已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程；（2）直线l：2mx+2y﹣1﹣3m=0被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；（3）过原点的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C1，直线与曲线C1只有一个交点，求k的取值范围．【解答】解：（1）圆C：x2+y2﹣4x+3=0，即（x﹣2）2+y2=1，表示以（2，0）为圆心，半径等于1的圆．当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意．当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+2=0，所以，圆心到切线的距离等于半径，即=1，解得k=，此时，切线为3x﹣4y﹣1=0．综上可得，圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣1=0…（3分）（2）直线l：2mx+2y﹣1﹣3m=0恒过定点当直线l⊥CN时，弦长最短，此时直线的方程为x﹣y﹣1=0…（7分）（3）设点P（x，y），∵点P为线段AB的中点，曲线C是圆心为C（2，0），半径r=1的圆，∴CP⊥OP，∴化简得（x﹣1）2+y2=1…（9分）由于点P在圆内，由得x=所以C1：（注：范围也可写成）…（10分）圆心到直线的距离d==1，∴，过（，）时，k=因为直线与曲线C1只有一个交点，所以或…（12分）21．（12分）已知抛物线x2=2py （p＞0），其焦点F到准线的距离为1．过F作抛物线的两条弦AB和CD（点A、C在第一象限），且M，N分别是AB，CD的中点．（1）若AB⊥CD，求△FMN面积的最小值；（2）设直线AC的斜率为k AC，直线BD的斜率为k BD，且k AC+4k BD=0，求证：直线AC过定点，并求此定点．【解答】（1）解：（1）抛物线的方程为x2=2y，设AB的方程为y=kx+联立抛物线方程，得x2﹣2kx﹣1=0，，同理=|FM|•|FN|==≥1∴S△FMN当且仅当k=±1时，△FMN的面积取最小值1．…（5分）（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），设AB的方程为y=kx+，联立抛物线方程，得x2﹣2kx﹣1=0，∴x1x2=﹣1，同理，x3x4=﹣1 …（7分）故k AC+4k BD===注意到点A、C在第一象限，x1+x3≠0，故得x1x3=4，…（10分）直线AC的方程为，化简得即所以，直线AC恒经过点（0，﹣2）…（12分）22．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，动点P（x，y）与定点F （﹣1，0）的距离和它到定直线x=﹣2的距离之比是．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与交于P，Q两点，求四边形APBQ面积的最大值．【解答】解：（1）由已知，得．两边平方，化简得．故轨迹C的方程是；（2）∵AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x=my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0．y1+y2=，y1y2=．x1+x2=m（y1+y2）﹣2=，于是AB的中点为M（），故直线PQ的斜率为﹣，PQ的方程为y=﹣x，即mx+2y=0，圆心与直线mx+2y=0的距离为，|PQ|=．设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，∴2d=．∵点A，B在直线mx+2y=0的异侧，∴（mx1+2y1）（mx2+2y2）＜0，于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1﹣mx2﹣2y2|，从而2d=．∵|y1﹣y2|==，∴2d=．故四边形APBQ的面积S=|PQ|•2d=．令m2+4=t（t≥4），则S=（）．当，即时，．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2016~2017学年四川省成都七中(高二上)期末数学试卷(文科)(精校版,含答案)

2016~2017学年四川省成都七中(高二上)期末数学试卷(文科)(精校版,含答案)

2016~2017学年四川省成都七中（高二上）期末数学试卷（文科）第Ⅰ卷（选择题，60分）一、 选择题（每小题5分，共60分）1. 命题p ：“2-=a ”是命题q ：“直线01=-+3y ax 与直线0346=-+y x 垂直”成立的（ ）A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分也非必要条件2. 成都七中为了全面落实素质教育，切实有效减轻学生课业负担，拟从林荫、高新两个校区的初高中学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ． 按年级分层抽样D ．系统抽样3. 圆4)2(22=++y x 与圆91)2(22=+）（-y -x 的位置关系为（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ． 相离4. 已知方程112222=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是（ ）A ．)2,21(B ．)2(∞+，C ．)2,1(D ．)1,21(5. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，那么双曲线的渐近线方程为 （ ）A ．02=±y xB ．0=±y xC ．02=±y xD ．03=±y x6. 已知函数]5,5[,2)(2-∈--=x x x x f ，在定义域内任取一点0x ，使0)0≤f(x 的概率是（ ）A ．101 B ．32 C ．103 D ．54 7. 与直线0543=+-y x 关于x 轴对称的直线的方程为（ ）A ．0543=++y xB ．0543=-y -xC ．0543=+y -xD ．0543=+-y x8. 已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≤-+3002x y -x y x ，则73++=y x z 的最大值为（ ）A ．5-B ．11C.15D ．199. 执行左下图程序框图，若输出的结果为43，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．?20≤zB ．?42≤zC ．?50≤zD ．?52≤z10. 成都七中随机抽查了本校20个同学，调查它们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（单位：分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是]40,35[,),10,5[),5,0[⋅⋅⋅，作出频率分布直方图如由上图所示，则原始的茎叶图可能是（ ）A ．B ． C. D ．11. 已知⊙1)1()1(:22=-++y x C 与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ）A ．22-+=x yB ．221-+=x y C ．22+=-x y D ．21-+=x y12. 等腰梯形ABCD 中，CD AB ∥且AD AB 2=，设θ=∠DAB ，），（20πθ∈，以A 、B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为1e ；以C 、D 为焦点，且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则（ ） A ．当θ增大时， 1e 增大，21e e ⋅为定值 B ．当θ增大时， 1e 减小，21e e ⋅为定值 C ．当θ增大时， 1e 增大，21e e ⋅增大 D ．当θ增大时， 1e 减小，21e e ⋅减小第Ⅱ卷（非选择题，90分）二、 填空题（每题5分，满分20分）13. 命题0,:<∈∀x R x p 的否定是_________________________14. 已知双曲线12=-my x 2的虚轴长是实轴长的3倍，则实数m 的值是________________15. 已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y x 22=的焦点为F ，)5,3(M ，点Q 在抛物线上，则QF Q M +的最小值为________________16. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y x y x 2222+=+围成的图形的面积为______________三、 解答题（本大题共6小题，共70分）17. （本小题满分10分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在)1500,1000[。

2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析

2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析

2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=120°，则c等于（）A．B．2 C．D．2．在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C．D．或3．在等比数列{an }中，a2=8，a5=64，则公比q为（）A．2 B．3 C．4 D．84．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．49 C．35 D．635．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．606．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A．B．C．D．7．如果等差数列{an }中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．358．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，已知∠A=60°，AB：AC=8：5，面积为10，则AB=（）A．8 B．6 C．5 D．1010．关于x的不等式x2+x+c＞0的解集是全体实数的条件是（）A．c＜B．c≤C．c＞D．c≥11．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．912．如图，测量河对岸的旗杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=2米，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°，则旗杆高AB 为（）A．10米B．2米C．米D．米二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．设集合，则A∩B= ．14．在﹣1和7中间插入三个数，使得这五个数成单调递增的等差数列，则这三个数为．15．在单调递增的等比数列{an }中，a1•a9=64，a3+a7=20，求a11= ．16．当x＞﹣1时，函数y=x+的最小值是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．18．已知不等式ax2+bx﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}．（1）计算a、b的值；（2）求解不等式x2﹣ax+b＞0的解集．19．等比数列{an }中，已知a1=2，a4=16（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．20．为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？25．动物园要建造一个长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围36m长网的材料，当虎笼的长、宽各设计为多少时，可使虎笼面积最大？最大面积为多少？（2）若使虎笼的面积为32m2，则虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成虎笼所用的钢筋网总长最小？26．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时的间频率分布表（时间单位为：分）：将日将收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=120°，则c等于（）A．B．2 C．D．【考点】正弦定理．【分析】根据题意，由正弦定理可得=，变形可得c=•sinC，代入数据计算可得答案．【解答】解：根据题意，△ABC中，c=，b=，B=120°，由正弦定理可得： =，即c=•sinC=，即c=；故选：D．2．在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C．D．或【考点】余弦定理．【分析】根据余弦定理表示出cosA，然后把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得到A的度数．【解答】解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈（0，π），所以A=．故选C3．在等比数列{an }中，a2=8，a5=64，则公比q为（）A．2 B．3 C．4 D．8【考点】等比数列的通项公式．【分析】题目给出了a2=8，a5=64，直接利用等比数列的通项公式求解q．【解答】解：在等比数列{an }中，由，又a2=8，a5=64，所以，，所以，q=2．故选A．4．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．49 C．35 D．63【考点】等差数列的前n项和．【分析】首先根据已知条件建立方程组求出首项与公差，进一步利用等差数列前n项和公式求出结果．【解答】解：等差数列{an }中，设首项为a1，公差为d，，解得：d=2，a1=1，所以：故选：B5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60【考点】频率分布直方图．【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量． 【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据， 在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01， 每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3， 又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B ．6．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】等可能事件的概率．【分析】从5个小球中选两个有C 52种方法，列举出取出的小球标注的数字之和为3或6的有{1，2}，{1，5}，{2，4}共3种，根据古典概型公式，代入数据，求出结果．本题也可以不用组合数而只通过列举得到事件总数和满足条件的事件数．【解答】解：随机取出2个小球得到的结果数有C 52=种取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{1，2}，{1，5}，{2，4}共3种，∴P=，故选A7．如果等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5=12，那么a 1+a 2+…+a 7=（ ） A ．14 B ．21 C ．28 D ．35【考点】等差数列的性质；等差数列的前n 项和． 【分析】由等差数列的性质求解． 【解答】解：a 3+a 4+a 5=3a 4=12，a 4=4，∴a 1+a 2+…+a 7==7a 4=28故选C8．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．【解答】解：由程序框图知，循环体被执行后S的值依次为：第1次S=0+，第2次S=+，第3次S=++，此时n=8不满足选择条件n＜8，退出循环，故输出的结果是S=++=．故选C．9．在△ABC中，已知∠A=60°，AB：AC=8：5，面积为10，则AB=（）A．8 B．6 C．5 D．10【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知可得：AC=AB，进而利用三角形面积公式即可计算得解AB的值．【解答】解：∵AB：AC=8：5，可得：AC=AB，又∵∠A=60°，面积为10=AB•AC•sinA=AB ×AB ×，∴解得：AB=8． 故选：A ．10．关于x 的不等式x 2+x+c ＞0的解集是全体实数的条件是（ ）A ．c ＜B ．c ≤C ．c ＞D ．c ≥ 【考点】二次函数的性质．【分析】由判别式小于零，求得c 的范围．【解答】解：关于x 的不等式x 2+x+c ＞0的解集是全体实数的条件是判别式△=1﹣4c ＜0，解得 c ＞， 故选：C ．11．设变量x 、y 满足约束条件，则目标函数z=2x+y 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．9【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=2x+y 的最小值．【解答】解：设变量x 、y 满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC ，A （2，0），B （1，1），C （3，3）， 则目标函数z=2x+y 的最小值为3， 故选B12．如图，测量河对岸的旗杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=2米，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°，则旗杆高AB 为（）A．10米B．2米C．米D．米【考点】解三角形的实际应用．【分析】在△CBD中根据三角形的内角和定理，求出∠CBD=180°﹣∠BCD﹣∠BDC=45°，从而利用正弦定理求出BC．然后在Rt△ABC中，根据三角函数的定义加以计算，可得旗杆AB的高度．【解答】解：∵△BCD中，∠BCD=75°，∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣∠BCD﹣∠BDC=45°，在△CBD中，CD=2米，根据正弦定理可得BC==米，∵Rt△ABC中，∠ACB=60°，∴AB=BC•tan∠ACB=•tan60°=3，即旗杆高，3米．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．设集合，则A∩B= （3，4）．【考点】交集及其运算．【分析】先利用解分式不等式化简集合B，再根据两个集合的交集的意义求解A∩B．【解答】解：A={x|x＞3}，B={x|＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故答案为：（3，4）．14．在﹣1和7中间插入三个数，使得这五个数成单调递增的等差数列，则这三个数为1，3，5 ．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设插入的三个数为a，b，c，则﹣1，a，b，c，7五个数成单调递增的等差数列，利用等差数列的性质能求出这三个数．【解答】解：在﹣1和7中间插入三个数，使得这五个数成单调递增的等差数列，设插入的三个数为a，b，c，则﹣1，a，b，c，7五个数成单调递增的等差数列，∴a1=﹣1，a5=﹣1+4d=7，解得d=2，∴a=﹣1+2=1，b=﹣1+2×2=3，c=﹣1+2×3=5，∴这三个数为1，3，5．故答案为：1，3，5．15．在单调递增的等比数列{an }中，a1•a9=64，a3+a7=20，求a11= 64 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知得a3，a7是方程x2﹣20x+64=0的两个根，且a3＜a7，从而求出a3=4，a7=16，再由等比数列通项公式列方程组求出首项和公比，由此能求出a11．【解答】解：∵单调递增的等比数列{an}中，a 1•a9=64，a3+a7=20，∴a3•a7=a1•a9=64，∴a3，a7是方程x2﹣20x+64=0的两个根，且a3＜a7，解方程x2﹣20x+64=0，得a3=4，a7=16，∴，解得，∴a 11=a 1q 10=2×（）10=64．故答案为：64．16．当x ＞﹣1时，函数y=x+的最小值是 1 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵x ＞﹣1，∴函数y=x+=（x+1）+﹣1≥﹣1=1，当且仅当x+1=，且x ＞﹣1，即x=0时等号成立，故函数y 的最小值为1． 故答案为：1．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a=2bsinA （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b ．【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用．【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B 的正弦值，再由△ABC 为锐角三角形可得答案．（2）根据（1）中所求角B 的值，和余弦定理直接可求b 的值． 【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA ，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA ，所以，由△ABC 为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b 2=a 2+c 2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．18．已知不等式ax 2+bx ﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x ＜2}． （1）计算a 、b 的值；（2）求解不等式x 2﹣ax+b ＞0的解集． 【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）根据不等式ax 2+bx ﹣1＜0的解集，不等式与方程的关系求出a 、b 的值； （2）由（1）中a 、b 的值解对应不等式即可．【解答】解：（1）∵不等式ax 2+bx ﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x ＜2}， ∴方程ax 2+bx ﹣1=0的两个根为﹣1和2，将两个根代入方程中得，解得：a=，b=﹣；（2）由（1）得不等式为x 2﹣x ﹣＞0， 即2x 2﹣x ﹣1＞0，∵△=（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）=9＞0，∴方程2x 2﹣x ﹣1=0的两个实数根为：x 1=﹣，x 2=1；因而不等式x 2﹣x ﹣＞0的解集是{x|x ＜﹣或x ＞1}．19．等比数列{a n }中，已知a 1=2，a 4=16 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n ．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（I ）由a 1=2，a 4=16直接求出公比q 再代入等比数列的通项公式即可．（Ⅱ）利用题中条件求出b 3=8，b 5=32，又由数列{b n }是等差数列求出．再代入求出通项公式及前n 项和S n ．【解答】解：（I ）设{a n }的公比为q 由已知得16=2q 3，解得q=2∴=2n（Ⅱ）由（I）得a3=8，a5=32，则b3=8，b5=32设{bn}的公差为d，则有解得．从而bn=﹣16+12（n﹣1）=12n﹣28所以数列{bn}的前n项和．20．为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图．【分析】（Ⅰ）利用平均数的计算公式即可得出，据此即可判断出结论；（Ⅱ）利用已知数据和茎叶图的结构即可完成．【解答】解：（Ⅰ）设A药观测数据的平均数据的平均数为，设B药观测数据的平均数据的平均数为，则=×（0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4）=2.3．×（3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5）=1.6．由以上计算结果可知：．由此可看出A药的效果更好．（Ⅱ）根据两组数据得到下面茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在2，3上．而B药疗效的试验结果由的叶集中在0，1上．由此可看出A药的疗效更好．25．动物园要建造一个长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围36m长网的材料，当虎笼的长、宽各设计为多少时，可使虎笼面积最大？最大面积为多少？（2）若使虎笼的面积为32m2，则虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成虎笼所用的钢筋网总长最小？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）设每间虎笼的长、宽，利用周长为36m，根据基本不等式，即可求得面积最大值时的长、宽；（2）设每间虎笼的长、宽，利用面积为32m2，根据周长的表达式，利用基本不等式，即可求得周长最小值时的长、宽．【解答】解：（1）设虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知x+2y=36．设每间虎笼的面积为S，则S=xy．由于x+2y≥2=2，∴2≤36，得xy≤162，即S≤162．当且仅当x=2y时等号成立．由解得故每间虎笼长为18 m，宽为9 m时，可使面积最大，面积最大为162m2．（2）由条件知S=xy=32．设钢筋网总长为l，则l=x+2y．∵x+2y≥2=2=16，∴l=x+2y≥48，当且仅当x=2y时，等号成立．由解得故每间虎笼长8m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．26．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时的间频率分布表（时间单位为：分）：将日将收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？【考点】独立性检验．【分析】（I）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出X方，与3.841比较即可得出结论；（II）由题意，列出所有的基本事件，计算出事件“任选3人，至少有1人是女性”包含的基本事件数，即可计算出概率．【解答】解：（I）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：…3分将2×2列联表中的数据代入公式计算，得X2===≈3.03因为3.03＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关…6分（II）由频率分布直方图知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所的基本事件空间为Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b 2），（b1，b2）}其中ai 表示男性，i=1，2，3，bi表示女性，i=1，2…9分Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示事件“任选3人，至少有1人是女性”．则A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}事件A有7个基本事件组成，因而P（A）=…12分。

四川省成都市树德中学2017届高三(上)10月段考数学试卷(文科)(解析版)

四川省成都市树德中学2017届高三(上)10月段考数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017学年四川省成都市树德中学高三（上）10月段考数学试卷（文科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=Z，集合A={1，6}，A∪B={2，0，1，6}，那么（∁U A）∩B=（）A．∅B．{3，4，5}C．{2，0}D．{1，6}2．复数Z=（i为虚数单位）所对应复平面内的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知a，b是平面α内的两条不同直线，直线l在平面α外，则l⊥a，l⊥b是l⊥α的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若[x]表示不超过x的最大整数，如[2，6]=2，[﹣2，6]=﹣3，执行如图所示的程序框图，记输出的值为S0，则=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．25．函数f（x）=sin（2x+φ）|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则φ等于（）A．B．﹣C．D．6．若等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若∀n∈N*，都有S n≤S10，则（）B．a9•a10＞0A．∀n∈N*，都有a n＜a n﹣1C．S2＞S17D．S19≥07．函数y=e﹣|x﹣1|的图象大致形状是（）A．B．C．D．8．已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（）A．[﹣，0）B．（﹣，0）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）9．已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A． B．C．D．11．设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足||=||，则的值为（）A．B．2 C．D．112．在锐角△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，且b2﹣a2=ac，则﹣的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（1，）C．（1，）D．（，）二.填空题（每小题5分，共20分）13．若sinx=﹣，则cos2x=．14．已知正数x，y满足x+y﹣xy=0，则3x+2y的最小值为．15．过直线y=x上的一点作圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的两条切线l1、l2，当直线l1、l2关于y=x对称时，l1、l2所成的角为．16．已知函数f（x）=x2﹣2tx﹣4t﹣4，g（x）=﹣（t+2）2，两个函数图象的公切线恰为3条，则实数t的取值范围为．三.解答题（共70分）17．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a n b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．18．如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n 人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率．19．如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角BD折起，得到三棱锥A﹣BCD．（1）求证：平面AOC⊥平面BCD；（2）若三棱锥A﹣BCD的体积为，求AC的长．20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，椭圆C上的点到右焦点的最大距离为3．（1）求椭圆C的标准方程．（2）斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，并且满足以AB为直径的圆过原点，求直线在y轴上截距的取值范围．21．设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点．（1）求常数b的值；（2）当a=1时，讨论函数f（x）的单调性；（3）当0≤x≤1时关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为原点，Ox轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=，曲线C的参数方程为：（1）写出直线l和曲线C的普通方程；（2）若直线l和曲线C相交于A，B两点，定点P（﹣1，2），求线段|AB|和|PA|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x﹣2|＞3的解集与关于x的不等式x2﹣ax﹣b＞0的解集相同．（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）=a+b的最大值．2016-2017学年四川省成都市树德中学高三（上）10月段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=Z，集合A={1，6}，A∪B={2，0，1，6}，那么（∁U A）∩B=（）A．∅B．{3，4，5}C．{2，0}D．{1，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】直接利用补集和交集的运算进行求解即可得到答案【解答】解：全集U=Z，集合A={1，6}，A∪B={2，0，1，6}，∴集合B⊆A∪B，并且一定有0，2，∴∁U A也一定有0，2，∴（∁U A）∩B={0，2}．故选：C．2．复数Z=（i为虚数单位）所对应复平面内的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得Z所对应点的坐标得答案．【解答】解：由Z==，得复数Z=所对应复平面内的点的坐标为（），在第三象限．故选：C．3．已知a，b是平面α内的两条不同直线，直线l在平面α外，则l⊥a，l⊥b是l⊥α的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间线面垂直的判定定理和定义，结合充要条件的定义，可得结论．【解答】解：若l⊥α，则l⊥a，l⊥b，故l⊥a，l⊥b是l⊥α的必要条件；但l⊥a，l⊥b时，l⊥a不一定成立，故l⊥a，l⊥b是l⊥α的不充分条件；综上可得：l⊥a，l⊥b是l⊥α的必要不充分条件，故选：B4．若[x]表示不超过x的最大整数，如[2，6]=2，[﹣2，6]=﹣3，执行如图所示的程序框图，记输出的值为S0，则=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】程序框图．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件n＞4，计算输出S的值，即可得出结论．【解答】解：由程序框图知：第一次运行S=1+[]=1，n=1+1=2；第二次运行S=1+[]=1，n=2+1=3；第三次运行S=1+[]=2，n=3+1=4；第四次运行S=2+[]=3，n=4+1=5．满足条件n＞4，退出循环，输出S=3．∴=﹣1．故选：A．5．函数f（x）=sin（2x+φ）|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则φ等于（）A．B．﹣C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得+φ=kπ，k∈z，由此根据|φ|＜求得φ的值．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，k∈z，∴φ=﹣，故选：D．6．若等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若∀n∈N*，都有S n≤S10，则（）B．a9•a10＞0A．∀n∈N*，都有a n＜a n﹣1C．S2＞S17D．S19≥0【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．【分析】由∀n∈N*，都有S n≤S10，a10≥0，a11≤0，再根据等差数列的性质即可判断．【解答】解：∵∀n∈N*，都有S n≤S10，∴a10≥0，a11≤0，∴a9+a11≥0，∴S2≥S17，S19≥0，故选：D．7．函数y=e﹣|x﹣1|的图象大致形状是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图象变换．【分析】由已知写出分段函数解析式，作出分段函数的图象得答案．【解答】解：∵y=e﹣|x﹣1|=，∴函数函数y=e﹣|x﹣1|的图象大致形状是：故选：B．8．已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（）A．[﹣，0）B．（﹣，0）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）【考点】直线的斜率．【分析】由题意可得，线段PQ的中点为M（x0，y0）到两直线的距离相等，利用，可得x0+3y0+2=0．又y0＜x0+2，设=k OM，分类讨论：当点位于线段AB（不包括端点）时，当点位于射线BM（不包括端点B）时，即可得出．【解答】解：∵点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M （x0，y0），∴，化为x0+3y0+2=0．又y0＜x0+2，设=k OM，当点位于线段AB（不包括端点）时，则k OM＞0，当点位于射线BM（不包括端点B）时，k OM＜﹣．∴的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．故选：D．9．已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是棱长为1的正方体中的三棱锥，画出该三棱锥的直观图，求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是棱长为1的正方体中一三棱锥P﹣ABC，如图所示；∴该三棱锥的体积为××12×1=．故选：A．10．已知函数f（x）=，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x 的取值范围是（）A． B．C．D．【考点】其他不等式的解法．【分析】根据函数的表达式求出f（x）的单调性和奇偶性，通过讨论x的符号，从而求出x 的范围即可．【解答】解：∵函数f（x）=，∴x＞0时，f（x）=﹣，和随着x的增大而减小，故x＞0时，f（x）是减函数，而f（x）在R是偶函数，故x＜0时，f（x）是增函数，若f（x）＞f（2x﹣1）成立，则|x|＜|2x﹣1|，解得：x＞1或x＜，又1+≠0，解得x≠﹣1，故选：D．11．设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足||=||，则的值为（）A．B．2 C．D．1【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】利用||=||，可知∠F1PF2=90°，设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，不妨设m＞n，可得m2+n2=4c2，求出，，再求出平方倒数的和，即可得到结论．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，不妨设m＞n，由||=||，可知∠F1PF2=90°∴m2+n2=4c2，∵，∴∴=故选A．12．在锐角△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，且b2﹣a2=ac，则﹣的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（1，）C．（1，）D．（，）【考点】余弦定理．【分析】根据正弦定理化简已知式子，由二倍角的余弦公式变形、和差化积公式和诱导公式化简后，由内角的范围和正弦函数的性质求出A与B关系，由锐角三角形的条件求出B的范围，利用商得关系、两角差的正弦公式化简所求的式子，由正弦函数的性质求出所求式子的取值范围．【解答】解：∵b2﹣a2=ac，∴由正弦定理得，sin2B﹣sin2A=sinAsinC，=sinAsinC，可得：=sinAsinC，由和差化积公式得cos2A﹣cos2B=﹣2sin（A+B）sin（A﹣B），代入上式得，﹣sin（A+B）sin（A﹣B）=sinAsinC，∵sin（A+B）=sinC≠0，∴﹣sin（A﹣B）=sinA，即sin（B﹣A）=sinA，在△ABC中，B﹣A=A，得B=2A，则C=π﹣3A，∵△ABC为锐角三角形，∴，解得，则＜B＜，∴﹣===，由＜B＜，得，sinB∈（，1），则∈（1，），∴﹣取值范围是（1，），故选：B．二.填空题（每小题5分，共20分）13．若sinx=﹣，则cos2x=0．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用二倍角的余弦公式求得cos2x的值．【解答】解：sinx=﹣，则cos2x=1﹣2sin2x=1﹣2×=0，故答案为：0．14．已知正数x，y满足x+y﹣xy=0，则3x+2y的最小值为5+2．【考点】基本不等式．【分析】得到+﹣=1，根据基本不等式的性质求出3x+2y的最小值即可．【解答】解：∵x+y﹣xy=0，∴+﹣=1，故3x+2y=（3x+2y）（+）=++5≥2+5=5+2，当且仅当=时“=”成立，故答案为：5+2．15．过直线y=x上的一点作圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的两条切线l1、l2，当直线l1、l2关于y=x对称时，l1、l2所成的角为60°．【考点】圆的切线方程．【分析】过圆心M作直线l：y=x的垂线交于N点，过N点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角．【解答】解：圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=2的圆心（5，1），过（5，1）与y=x垂直的直线方程：x+y﹣6=0，它与y=x的交点N（3，3），N到（5，1）距离是2，两条切线l1，l2，它们之间的夹角为60°．故答案为：60°．16．已知函数f（x）=x2﹣2tx﹣4t﹣4，g（x）=﹣（t+2）2，两个函数图象的公切线恰为3条，则实数t的取值范围为（，+∞）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（x1，f（x1）），（x2，g（x2）），分别求出f（x），g（x）导数，可得切线的方程，由同一直线可得即可化为﹣+=0，即8x23﹣4tx22+1=0有3个非零实根，令h（x）=8x3﹣4tx2+1，有3个非零零点，h（0）=1，求出h（x）导数，对t讨论，分t=0，t＞0，t＜0，求出单调区间和极值，即可得到所求范围．【解答】解：设切点为（x1，f（x1）），（x2，g（x2）），则f′（x1）=2x1﹣2t，g′（x2）=﹣，切线方程为y﹣f（x1）=f′（x1）（x﹣x1），即y=（2x1﹣2t）x﹣x12﹣4t﹣4；y﹣g（x2）=g′（x2）（x﹣x2），即y=﹣x+﹣t2﹣4t﹣4．即2x1﹣2t=﹣，且﹣x12﹣4t﹣4=﹣t2﹣4t﹣4．即有x1=t﹣，x12=t2﹣，即可化为﹣+=0，即8x23﹣4tx22+1=0有3个非零实根，令h（x）=8x3﹣4tx2+1，有3个非零零点，h（0）=1，h′（x）=24x2﹣8tx=24x（x﹣），当t=0时，h′（x）=24x2＞0，h（x）递增，不符合条件；当t＞0，当x＜0或x＞时，h′（x）＞0，h（x）递增，0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）递减，h（x）极大值为为h（0）=1＞0，h（x）极小值为h（）=1﹣t3，由1﹣t3＜0，解得t＞，若t＜0，则当x＞0或x＜时，h′（x）＞0，h（x）递增，＜x＜0时，h′（x）＜0，h（x）递减，h（x）极大值为为h（0）=1＞0，h（x）极小值为h（）=1﹣t3＞0，不符要求．故t＞，故答案为：（，+∞）．三.解答题（共70分）17．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =3a n ﹣1，其中n ∈N *． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设a n b n =，求数列{b n }的前n 项和为T n ．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（ I ）分n=1与n ≥2讨论，从而判断出{a n }是等比数列，从而求通项公式；（ II ）化简可得=3（﹣），利用裂项求和法求解．【解答】解：（ I ）∵，①当n=1时，a 1=a 1﹣，∴a 1=1，当n ≥2时，∵S n ﹣1=a n ﹣1﹣，② ①﹣②得：a n =a n ﹣a n ﹣1， 即：a n =3a n ﹣1（n ≥2）， 又∵a 1=1，a 2=3，∴对n ∈N *都成立，故{a n }是等比数列，∴．（ II ）∵，∴=3（﹣），∴，∴，即T n =．18．如图为某校语言类专业N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N 和90～95分数段内的人数n ；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名人分配到几所学校，从中安排2人到甲学校去，若n 人中仅有两名男生，求安排结果至少有一名男生的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，先求出80～90分数段频率，即可求出N，再用1减去成绩落在其它区间上的频率，即得成绩落在90～95上的频率，继而期初该段的人数（Ⅱ）一一列举出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可【解答】解：（Ⅰ）80～90分数段频率为P1=（0.04+0.03）×5=0.35，此分数段的学员总数为21人所以毕业生，的总人数N为N==60，90～95分数段内的人数频率为P1=1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1所以90～95分数段内的人数n=60×0.1=6，（Ⅱ）90～95分数段内的6人中有两名男生，4名女生设男生为1，2；女生为3，4，5，6，设安排结果中至少有一名男生为事件A从中取两名毕业生的所有情况（基本事件空间）为12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共15种组合方式，每种组合发生的可能性是相同的，其中，至少有一名男生的种数为12，13，14，15，16，23，24，25，26共9种所以，P（A）==19．如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角BD折起，得到三棱锥A﹣BCD．（1）求证：平面AOC⊥平面BCD；（2）若三棱锥A﹣BCD的体积为，求AC的长．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）直接根据可得由正方形的性质可得AO⊥BD以及BD⊥CO，根据线面垂直的判定定理，可得AO⊥平面BCD，进而得到结论．（2）先根据三棱锥的体积求出棱锥的高，再分二面角为钝角和锐角两种情况分别求出AC 的长即可．【解答】（本小题满分14分）解：（1）证明：因为ABCD是正方形，所以BD⊥AO，BD⊥CO．…在折叠后的△ABD和△BCD中，仍有BD⊥AO，BD⊥CO．…因为AO∩CO=O，所以BD⊥平面AOC．…因为BD⊂平面BCD，所以平面AOC⊥平面BCD．…（2）解：设三棱锥A﹣BCD的高为h，由于三棱锥A﹣BCD的体积为，所以．…因为，所以．…以下分两种情形求AC的长：①当∠AOC为钝角时，如图，过点A作CO的垂线交CO的延长线于点H，由（1）知BD⊥平面AOC，所以BD⊥AH．又CO⊥AH，且CO∩BD=O，所以AH⊥平面BCD．所以AH为三棱锥A﹣BCD的高，即．…在Rt△AOH中，因为，所以=．…在Rt△ACH中，因为，则．…所以．…②当∠AOC为锐角时，如图，过点A作CO的垂线交CO于点H，由（1）知BD⊥平面AOC，所以BD⊥AH．又CO⊥AH，且CO∩BD=O，所以AH⊥平面BCD．所以AH为三棱锥A﹣BCD的高，即．…在Rt△AOH中，因为，所以=．…在Rt△ACH中，因为，则．…所以．综上可知，AC的长为或．…20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，椭圆C上的点到右焦点的最大距离为3．（1）求椭圆C的标准方程．（2）斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，并且满足以AB为直径的圆过原点，求直线在y轴上截距的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可知：设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c，由题意可知：e==，即a=2c，a+c=3，b2=a2﹣c2，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，由△＞0 求得3+4k2＞m2，由韦达定理求得x1+x2=﹣，x1•x2=，由以AB为直径的圆过原点，•=0，由向量数量积的坐标表示x1•x2+y1•y2=0，求得7m2=12+12k2，代入即可求得m2＞，7m2=12+12k2≥12，即可求得截距y轴上截距的取值范围．【解答】解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，则设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．由椭圆的离心率e==，即a=2c，由椭圆C上的点到右焦点的最大距离3，∴a+c=3，解得：a=2，c=1，由b2=a2﹣c2=3，∴椭圆C的标准方程：；（2）设直线l的方程为y=kx+m，由，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，整理得：3+4k2＞m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1•x2=，y1•y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1•x2+km（x1+x2）+m2，以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，则•=0，∴x1•x2+y1•y2=0，即x1•x2+k2x1•x2+km（x1+x2）+m2=0，则（1+k2）x1•x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2）•﹣km•+m2=0，化简得：7m2=12+12k2，将k2=m2﹣1，代入3+4k2＞m2，3+4（m2﹣1）＞m2，解得：m2＞，又由7m2=12+12k2≥12，从而m2≥，m≥或m≤﹣．∴实m的取值范围（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．21．设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点．（1）求常数b的值；（2）当a=1时，讨论函数f（x）的单调性；（3）当0≤x≤1时关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）对f（x）求导，根据条件知f'（0）=0，所以1﹣b=0；（2）当a=1时，f（x）=（1﹣x）ln（x+1）﹣x，f（x）的定义域为（﹣1，+∞）；令f'（x）=0，则导函数零点x+1=1，故x=0；当x∈（﹣1，0），f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x∈（0，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）因为f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1，对a进行分类讨论根据函数的单调性求得参数a使得不等式f（x）≥0；【解答】解：（1）对f（x）求导得：f'（x）=﹣aln（x+1）+根据条件知f'（0）=0，所以1﹣b=0，故b=1．（2）当a=1时，f（x）=（1﹣x）ln（x+1）﹣x，f（x）的定义域为（﹣1，+∞）f'（x）=﹣ln（x+1）+﹣1=﹣ln（x+1）+﹣2令f'（x）=0，则导函数零点x+1=1，故x=0；当x∈（﹣1，0），f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x∈（0，+∞）上，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）由（1）知，f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣x，0≤x≤1f'（x）=﹣aln（x+1）+﹣1f''（x）=﹣①当a时，因为0≤x≤1，有f''（x）≥0，于是f'（x）在[0，1]上单调递增，从而f'（x）≥f'（0）=0，因此f（x）在[0，1]上单调递增，即f（x）≥f（0）而且仅有f（0）=0；②当a≥0时，因为0≤x≤1，有f''（x）＜0，于是f'（x）在[0，1]上单调递减，从而f'（x）≤f'（0）=0，因此f（x）在[0，1]上单调递减，即f（x）≤f（0）=0而且仅有f（0）=0；③当﹣＜a＜0时，令m=min{1，﹣}，当0≤x≤m时，f''（x）＜0，于是f'（x）在[0，m]上单调递减，从而f'（x）≤f'（0）=0因此f（x）在[0，m]上单调递减，即f（x）≤f（0）而且仅有f（0）=0；综上：所求实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D 四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为原点，Ox轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：ρsin（θ+）=，曲线C的参数方程为：（1）写出直线l和曲线C的普通方程；（2）若直线l和曲线C相交于A，B两点，定点P（﹣1，2），求线段|AB|和|PA|•|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l 的极坐标方程为：ρsin （θ+）=，展开可得：ρ（sin θ+cos θ）=，利用互化公式可得直角坐标方程．曲线C 的参数方程为：，可得x 2=4（1+sin2t ）=y ，x ∈．（2）直线l 的参数方程为：，代入曲线C 的方程可得： t ﹣2=0，可得|AB |=|t 1﹣t 2|=，|PA |•|PB |=|t 1t 2|．【解答】解：（1）直线l 的极坐标方程为：ρsin （θ+）=，展开可得：ρ（sin θ+cos θ）=，可得直角坐标方程：x +y ﹣1=0．曲线C 的参数方程为：，x 2=4（1+sin2t ）=y ，x ∈．（2）直线l 的参数方程为：，代入曲线C 的方程可得： t ﹣2=0， ∴t 1+t 2=﹣，t 1•t 2=﹣2．∴|AB |=|t 1﹣t 2|===， |PA |•|PB |=|t 1t 2|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x ﹣2|＞3的解集与关于x 的不等式x 2﹣ax ﹣b ＞0的解集相同． （1）求实数a ，b 的值；（2）求函数f （x ）=a +b 的最大值．【考点】一般形式的柯西不等式；一元二次不等式的解法．【分析】（1）求出不等式|x ﹣2|＞3的解集，即得不等式x 2﹣ax +b ＞0的解集，利用一元二次方程根与系数的关系求出 a 和b 的值，（2）根据柯西不等式即可求出最大值．【解答】解：（1）不等式|x ﹣2|＞3的解集为{x |x ＜﹣1或x ＞5}，所以不等式x 2﹣ax ﹣b ＞0的解集为{x |x ＜﹣1或x ＞5}，所以﹣1，5是方程x 2﹣ax ﹣b=0的两根，所以，解得a=4，b=5．（2）函数f （x ）=a +b 的定义域为[3，44]，由柯西不等式得：[f（x）]2=（4+5）2≤[（16+25）（x﹣3+44﹣x）]2，．又因为f（x）≥0，所以f（x）≤4，当且仅当5=4时等号成立，即x=时，f（x）=41．所以函数f（x）的最大值为41．2017年1月11日。

四川省成都市树德中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(文)试题-Word版含答案

四川省成都市树德中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(文)试题-Word版含答案

树德中学高2015级第三期期末考试数学试题〔文科〕一、选择题〔每题5分，共60分〕1、设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2、已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y=±2x ，则其离心率为〔 〕A ．5B ．C ．D ．3、设某高中的学生体重y 〔单位：kg 〕与身高x 〔单位：cm 〕具有线性相关关系，根据一组样本数据〔x i ，y i 〕〔i=1，2，…，n 〕，用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x -85.71，则以下结论中不正确的选项是．．．．．．．〔 〕 A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心〔x ，y 〕4、以下说法正确的选项是 〔 〕“假设21x >,则1x >”的否命题为“假设21x >，则1≤x ”“假设200,1x R x ∃∈>”的否认是“2,1x R x ∀∈<”“假设x y =，则y x cos cos =”的逆否命题为假命题 “假设x y =，则y x cos cos =”的逆命题为假命题 5、阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( ) A.85B.1311C.138D.21136、已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y=-的取值范围是 〔 〕 A.3[,6]2-B.3[,1]2-- C.[1,6]- D.3[6,]2-7、在长为10 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于AC ，CB 的长，则该矩形面积不．小于．．9 cm 2的概率为〔 〕 A ．910 B ．45 C ．23 D ．128、直线y=kx+3与圆〔x ﹣2〕2+〔y ﹣3〕2=4相交于M 、N 两点，假设|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是〔 〕 A ．566ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．20,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭， C ．50,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭， D ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，9、已知集合240(,)00x y x y x y x y ⎧+-≤⎧⎫⎪⎪⎪+≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎭⎩表示的平面区域为Ω，假设在区域Ω内任取一点P 〔x ，y 〕，则点P 的坐标满足不等式222x y +≤的概率为〔 〕 A ．316π B ．16π C ．32πD ．332π10、点M 是抛物线y 2= x 上的点，点N 是圆C ：()2231x y -+=上的点，则|MN|的最小值是〔 〕 A ． B ． C ．2D ．11、已知椭圆的左焦点为F ，点P 为椭圆上一动点，过点P 向以F 为圆心，1为半径的圆作切线PM 、PN ，其中切点为M 、N ，则四边形PMFN 面积的最大值为〔 〕 A ．2 B ．C ．D ．512、某算法的程序框图如下图，则执行该程序后输出的S 等于 〔 〕A.24B.26C.30D.32二、填空题〔每题5分，共20分〕13、某赛季甲、乙两名篮球运发动每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，___运发动的发挥更稳定．〔填“甲”或“乙”〕14、已知圆O 1：x 2＋y 2＝1与圆O 2： (x ＋4)2＋(y －a )2＝25内切，则常数a ＝______15、已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且122F PF π∠=,椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则221211e e +=_____16、已知y =a x(a >0且a ≠1)是定义在R 上的单调递减函数，记a 的所有可能取值构成集合A ；椭圆22=163x y +上存在关于直线y =x +m 对称的不同两点，记m 的所有可能取值构成集合 B.假设随机地从集合A ，B 中分别抽出一个元素1λ，2λ，则1λ>2λ的概率是_____三、解答题17、〔10分〕设命题p ：点〔1，1〕在圆22222240xy mx my m +-++-=的内部；命题q ：直线mx －y ＋1＋2m ＝0(k ∈R )不经过第四象限，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．18、〔12分〕某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图.观察图形的信息，答复以下问题： 〔1〕求分数在[70,80)内的频率；〔2〕估计本次考试的中位数；〔精确到0.1〕〔3〕用分层抽样〔按[60,70)、[70,80)分数段人数比例〕的方法在分数段为[60,80)的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70,80)的概率．19、〔12分〕已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，(1,)P m 是抛物线C 上的一点.〔1〕假设椭圆22:14x y C n'+=与抛物线C 有共同的焦点，求椭圆C '的方程； 〔2〕设抛物线C 与〔1〕中所求椭圆C '的交点为A B 、，求以OA 和OB 所在的直线为渐近线，且经过点P 的双曲线方程.20、〔12分〕已知圆C ：x 2+y 2﹣4x+3=0， 〔1〕求过()3,2M 点的圆的切线方程；〔2〕直线l 过点3122N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且被圆C 截得的弦长最短时，求直线l 的方程；〔3〕过点()10，的直线m 与圆C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的中点P 的轨迹为1C ，直线5()2y k x =-与曲线1C 只有一个交点，求k 的值.21、〔12分〕已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)，其焦点F 到准线的距离为1.过F 作抛物线的两条弦AB 和CD ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．设直线AB 、CD 的斜率分别为1k 、2k . 〔1〕假设AB CD ⊥，且11k =，求△FMN 的面积； 〔2〕假设12111k k +=，求证：直线MN 过定点，并求此定点.22、〔12分〕在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，动点(),P x y 与定点F (－1，0)的距离和它到定直线2x =-的距离之比是.〔1〕求动点P 的轨迹C 的方程；〔2〕过F 作曲线C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,直线OM 与曲线C 交于,P Q 两点,求四边形APBQ 面积的最小值.树德中学高2015级第三期期末考试数学试题〔文科〕参考答案一、选择题 ADDDCA BCDAAD二、填空题13、乙 14、0 15、2 16、34三、解答题17、解：命题p 11m ⇔-<<，…………3分 命题q 0m ⇔≥……………6分① p 真q 假时，10m -<<；②p 假q 真时，1m ≥. 故m 的取值范围为10m -<<或1m ≥………10分18、解：(1)分数在[70,80)内的频率为： 1－＋＋＋＋0.005)×10＝1－＝………3分 (2)中位数17373.33≈…………6分 (3)由题意，[60,70)分数段的人数为：×60＝9(人)；[70,80)分数段的人数为：×60＝18(人)． ∴需在[60,70)分数段内抽取2人，分别记为a ，b ； 在[70,80)分数段内抽取4人，分别记为c ，d ，e ，f.设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70,80)内”为事件A ，所有基本领件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15个…………8分其中事件A 包含(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，共8个．……10分 ∴P (A )＝815………12分19、解:〔1〕椭圆22:14x y C n'+=, 可知41,3n n -=∴=,故所求椭圆的方程为22143x y +=……....6分 〔2〕由2221434x y y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩,消去y 得到2316120x x +-=,解得122,63x x ==-(舍去). 所以2222(6),(,6)3333A B ,则双曲线的渐近线方程为6y x =±……………………8分 60x y ±=,可设双曲线方程为226(0)x y λλ-=≠.由点(1,)P m 在抛物线2:4C y x =上,解得24,(1,2)m P =±………………...……10分 因为点P 在双曲线上, 642λ∴-==,故所求双曲线方程为: 22312y x -=……………………………………….…………..12分20、解：〔1〕3x =或3410x y --=………3分〔2〕当直线l CN ⊥时，弦长最短，此时直线的方程为10x y --=………6分〔3〕设点P 〔x ，y 〕，∵点P 为线段AB 的中点，曲线C 是圆心为C 〔2，0〕，半径r=1的圆，∴CP ⊥AP ，CP AP=0•∴化简得223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭………9分由于点P 在圆内，去除点〔1，0〕，所以1C ：223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭〔1x ≠〕………10分303k =………12分21、解：〔1〕抛物线的方程为x 2=2y ，设AB 的方程为12y x =+联立2122y x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得x 2﹣2x ﹣1=0，31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理31,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴S △FMN ＝12|FM |·|FN |＝1222＝1△FMN 的面积为1. ……....5分〔2〕设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，C 〔x 3，y 3〕，D 〔x 4，y 4〕，设AB 的方程为112y k x =+联立12122y k x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得21210x k x --=，2111,2M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理2221,2N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (7)分k MN ＝221212121122k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-∴MN 的方程为()()2112112y k k k x k ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，即()121212y k k x k k =+-+，……....10分 又因为12111k k +=所以1212k k k k +=，∴MN 的方程为121212y k k x k k =-+即()12112y k k x =-+∴直线MN 恒过定点112⎛⎫⎪⎝⎭，．……....12分22、解：〔1〕由已知，得()221222x y x ++=+． 两边平方，化简得x 22＋y 2＝1．故轨迹C 的方程是．…〔3分〕〔2〕因AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m2x ，即mx ＋2y ＝0，…....5分22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得：x 2=，|PQ |22224=222m x y m ++=+....7分 方法一：设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝〔m 2＋2〕|y 1－y 2|m 2＋4.又因为|y 1－y 2|＝〔y 1＋y 2〕2－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m2m 2＋4.…....10分 故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d ＝2222221422112222224m m m m m m +++••=+++=2≥2即0m =时，min 2S =.…....12分 方法二：P 〔，〕，Q 〔，〕，P 到直线AB 的距离d 1=，Q 到直线AB 的距离d 2=，∵P ，Q 在直线AB 的两侧，且关于原点对称，∴S APBQ =丨AB 丨〔d 1+d 2〕=••〔 +〕=，.…....10分∴S APBQ ==2≥2，即0m =时，min 2S =.…....12分。

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树德中学高2015级第三期期末考试数学试题（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1、设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2、已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y=±2x ，则其离心率为（ ）A ．5B ．C ．D ．3、设某高中的学生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为$y =0.85x -85.71，则下列结论中不正确．．．的是（ ） A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该高中某学生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该高中某学生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 4、下列说法正确的是 （ ）A.命题“若21x >,则1x >”的否命题为“若21x >，则1≤x ”B.命题“若200,1x R x ∃∈>”的否定是“2,1x R x∀∈<”C.命题“若x y =，则y x cos cos =”的逆否命题为假命题D.命题“若x y =，则y x cos cos =”的逆命题为假命题 5、阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( ) A.85B.1311C.138D.21136、已知变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y=-的取值范围是 （ ） A.3[,6]2-B.3[,1]2-- C.[1,6]- D.3[6,]2-7、在长为10 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于AC ，CB 的长，则该矩形面积不．小于．．9 cm 2的概率为（ ） A ．910 B ．45 C ．23 D ．128、直线y=kx+3与圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=4相交于M 、N 两点，若|MN|≥2，则直线倾斜角的取值范围是（ ）A ．566ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．20,33πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U ， C ．50,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U ， D ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，9、已知集合240(,)00x y x y x y x y ⎧+-≤⎧⎫⎪⎪⎪+≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎭⎩表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P （x ，y ），则点P 的坐标满足不等式222x y +≤的概率为（ ） A ．316π B ．16π C ．32πD ．332π10、点M 是抛物线y 2= x 上的点，点N 是圆C ：()2231x y -+=上的点，则|MN|的最小值是（ ） A ． B ． C ．2D ．11、已知椭圆的左焦点为F ，点P 为椭圆上一动点，过点P 向以F 为圆心，1为半径的圆作切线PM 、PN ，其中切点为M 、N ，则四边形PMFN 面积的最大值为（ ） A ．2 B ．C ．D ．512、某算法的程序框图如图所示，则执行该程序后输出的S 等于 （ ） A.24 B.26 C.30 D.32二、填空题（每小题5分，共20分）13、某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示，从茎叶图的分布情况看，___运动员的发挥更稳定．（填“甲”或“乙”）14、已知圆O 1：x 2＋y 2＝1与圆O 2： (x ＋4)2＋(y －a )2＝25内切，则常数a ＝______15、已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且122F PF π∠=,椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则221211e e +=_____16、已知y =a x(a >0且a ≠1)是定义在R 上的单调递减函数，记a 的所有可能取值构成集合A ；椭圆22=163x y +上存在关于直线y =x +m 对称的不同两点，记m 的所有可能取值构成集合B.若随机地从集合A ，B 中分别抽出一个元素1λ，2λ，则1λ>2λ的概率是_____三、解答题17、（10分）设命题p ：点（1，1）在圆22222240x y mx my m +-++-=的内部；命题q ：直线mx －y ＋1＋2m ＝0(k ∈R )不经过第四象限，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．18、（12分）某校从参加考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段后得到如下部分频率分布直方图如图.观察图形的信息，回答下列问题： （1）求分数在[70,80)内的频率；（2）估计本次考试的中位数；（精确到0.1）（3）用分层抽样（按[60,70)、[70,80)分数段人数比例）的方法在分数段为[60,80)的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求恰有1人在分数段[70,80)的概率．19、（12分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，(1,)P m 是抛物线C 上的一点.（1）若椭圆22:14x y C n'+=与抛物线C 有共同的焦点，求椭圆C '的方程； （2）设抛物线C 与（1）中所求椭圆C '的交点为A B 、，求以OA 和OB 所在的直线为渐近线，且经过点P 的双曲线方程.20、（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x+3=0， （1）求过()3,2M 点的圆的切线方程；（2）直线l 过点3122N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且被圆C 截得的弦长最短时，求直线l 的方程；（3）过点()10，的直线m 与圆C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的中点P 的轨迹为1C ，直线5()2y k x =-与曲线1C 只有一个交点，求k 的值.21、（12分）已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)，其焦点F 到准线的距离为1.过F 作抛物线的两条弦AB 和CD ，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．设直线AB 、CD 的斜率分别为1k 、2k . （1）若AB CD ⊥，且11k =，求△FMN 的面积； （2）若12111k k +=，求证：直线MN 过定点，并求此定点.22、（12分）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，动点(),P x y 与定点F (－1，0)的距离和它到定直线2x =-的距离之比是.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过F 作曲线C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,直线OM 与曲线C 交于,P Q 两点,求四边形APBQ 面积的最小值.树德中学高2015级第三期期末考试数学试题（文科）参考答案一、选择题 ADDDCA BCDAAD二、填空题13、乙 14、0 15、2 16、34三、解答题17、解：命题p 11m ⇔-<<，…………3分 命题q 0m ⇔≥……………6分① p 真q 假时，10m -<<；②p 假q 真时，1m ≥. 故m 的取值范围为10m -<<或1m ≥………10分18、解：(1)分数在[70,80)内的频率为：1－(0.010＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)×10＝1－0.7＝0.3………3分 (2)中位数17373.33≈…………6分 (3)由题意，[60,70)分数段的人数为：0.15×60＝9(人)；[70,80)分数段的人数为：0.3×60＝18(人)．∴需在[60,70)分数段内抽取2人，分别记为a ，b ； 在[70,80)分数段内抽取4人，分别记为c ，d ，e ，f.设“从样本中任取2人，恰有1人在分数段[70,80)内”为事件A ，所有基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15个…………8分其中事件A 包含(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，共8个．……10分 ∴P (A )＝815………12分19、解:（1）椭圆22:14x y C n'+=, 可知41,3n n -=∴=,故所求椭圆的方程为22143x y +=……....6分 （2）由2221434x y y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩,消去y 得到2316120x x +-=,解得122,63x x ==-(舍去). 所以2222(6),(,6)3333A B ,则双曲线的渐近线方程为6y x =……………………8分 60x y ±=,可设双曲线方程为226(0)x y λλ-=≠.由点(1,)P m 在抛物线2:4C y x =上,解得24,(1,2)m P =±………………...……10分 因为点P 在双曲线上, 642λ∴-==,故所求双曲线方程为: 22312y x -=……………………………………….…………..12分20、解：（1）3x =或3410x y --=………3分（2）当直线l CN ⊥时，弦长最短，此时直线的方程为10x y --=………6分（3）设点P （x ，y ），∵点P 为线段AB 的中点，曲线C 是圆心为C （2，0），半径r=1的圆，∴CP ⊥AP ，CP AP=0•u u u r u u u r ∴化简得223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭………9分由于点P 在圆内，去除点（1，0），所以1C ：223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭（1x ≠）………10分30k =………12分21、解：（1）抛物线的方程为x 2=2y ，设AB 的方程为12y x =+联立2122y x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得x 2﹣2x ﹣1=0，31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理31,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴S △FMN ＝12|FM |·|FN |＝1222＝1△FMN 的面积为1. ……....5分（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），设AB 的方程为112y k x =+联立12122y k x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得21210x k x --=，2111,2M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，同理2221,2N k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (7)分k MN ＝221212121122k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-∴MN 的方程为()()2112112y k k k x k ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，即()121212y k k x k k =+-+，……....10分 又因为12111k k +=所以1212k k k k +=，∴MN 的方程为121212y k k x k k =-+即()12112y k k x =-+∴直线MN 恒过定点112⎛⎫⎪⎝⎭，．……....12分22、解：（1）由已知，得()221222x y x ++=+． 两边平方，化简得x 22＋y 2＝1．故轨迹C 的方程是．…（3分）（2）因AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m2x ，即mx ＋2y ＝0，…....5分22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得：x 2=，|PQ |22224=222m x y m ++=+....7分 方法一：设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝（m 2＋2）|y 1－y 2|m 2＋4.又因为|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m2m 2＋4.…....10分 故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d ＝2222221422112222224m m m m m m +++••=+++=2≥2即0m =时，min 2S =.…....12分 方法二：P （，），Q （，），P 到直线AB 的距离d 1=，Q 到直线AB 的距离d 2=，∵P ，Q 在直线AB 的两侧，且关于原点对称，∴S APBQ =丨AB 丨（d 1+d 2）=••（ +）=，.…....10分∴S APBQ ==2≥2，即0m =时，min 2S =.…....12分。

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