第三章--等价线性化法、谐波平衡法、

B1 sin
3
将上式代入前式，进行谐波平衡，可得
2
1 9
3 4
A1
2
3
A1 A1
3
2 A12
2B12
0
1
3
3 4
B1
A1
3
0
1 2
A1
1 4
A1 3
3
6 A1B1 2
3
3A13
3A1B12 B1
H
1 2
B1
3 4
B1
2
A1
3
2
B12
A12 B1
G
A1 2 B1 2 2
mx
1
2 0
fm
A0 ,
A, sind sin
1
2 0
fm
A0 ,
A, cosd cos
1
2 0
fk
A0 ,
A, sind sin
1
2 0
fk
A0 ,
A,
cosd
cos
F
sin
t
1
2
2 0
f
m
A,
d
1
2
2
0 fk
A0, A,
d
(3-18)
或
mx
1
2
A
2 0
n1
fk x, x a 0 an cosn bn sin n
n1
n 1,2,3,,
(3-5)
对于一般非线性振动系统，按富氏级数展开的一次谐波力
远大于二次及其他高次谐波力，因此可以将后者看作是小量， 近似计算时可略去。这时可取近似值为
fm x, x c1 cos d1 sin
(3-6)
例3.1.2 已知非线性方程
mx fk x F sin t
式中 f x 非线性弹性力
kx
e xe
fk x kx kx e x e
kx kx e x e
求等价刚度、等价固有频率及受迫振动的振幅 。 。
解: 在一次近似的情况下，方程的近似解为：
x Asin t Asin
非线性弹性力在一次近似情况下可改写为以下形式：
期等于 T 或 T 的整数倍的周期解的情形，方程右边 f x,x,t
在的有限区域 x,x 内分别满足莱伯尼兹条件，方程的解是
唯一的，而且是分段可微的，因此有可能展成为富氏级数， 所以可设方程的解为：
x＝
a0 2
an
n1
cosn
bn
sin n
n 1,2,3,,
(3-23)
将它代入等式的两边，等式两边的常数项 a0及cos n、
1
a0 2
2
0 fk
A0, A, d
1
a1
2 0
fk
A0 ,
A, cosd
1
b1
2 0
fk in, Acos fk A0 , A, fk A0 Asin, Acos
(3-17)
将式(3-16)和式(3-17)代入式(3-11)中，可得：
a
a
ee t
0
e
ce 2me
e
2
2 e
ke
me
(3-4)
将式 (3-3) 代入式 (3-1) 和式 (3-2) 中, 并将非线性函数展 为富氐级数, 便可求出等价质量 me 、等价阻力系数 ce 与等 价弹簧刚度 ke 的值。
首先将非线性函数展为富氏级数，即:
fmx, x c 0 cn cosn dn sin n
kx
f
k
x
kx
kx
e
kx kx e
e 2 e, e e e e e 2 e
式中 e 间隙 e 所对应的相位角;
e
arcsin
e A
该系统的等价弹簧刚度为：
1
ke A
2 f A sin , A cos sind
0
将x的值代入，并进行分段积分，可求得：
0
k m
b x
F b Q k
0
将自变量变换成τ，因变量变换成ζ，便可写成
3 F cos
1 d
d
如果设
F cos H F sin G
则上述方程为
2 3 H cos G sin
d
d
假设它的次谐波振动解：
A1 cos 3
A1 cos
1
A
2 0
c A cos k Asin b Asin3 d Asin5
cosd
c
非线性弹性力对等价阻力系数的值没有影响。 按照式 (3-20) 第二式可求出弹簧刚度 ：
ke
1
A
2 0
c A cos k Asin b Asin3 d Asin5
sind
k 3 bA2 5 dA4 48
fm x, x c 0 c1 cos d1 sin fk x, x a 0 a1 cos b1 sin
(3-16)
按照富氏级数的公式，系数 按下式计算：
c0、c1、d1和
a0 、a1 、b1
可
1
c0 2
2 0
fm
A, d
c1
1
2 0
fm A,cosd
d1
1
2 0
fm
A, sin d
f
m
A0
,
A,
s
in
d
x
1
A
2 0
f
m
A0
,
A,
c
osd
x
1
A
2 0
f
k
A0
,
A,
sin
d
x
1
A
2 0
f
k
A0
,
A,
c
osd
x
F
sin
t
1
2
2 0
fm A0 ,
A,
d
1
2
2 0
f
k
A0
,
A,
d
(3-19)
等价质量 me 、等价阻力系数 ce 与等价刚度 ke 、等价衰 减系数 e 与等价固有频率 e 分别为：
1
me
m
e2a
2 0
f m a ,
cosd
ce 与等价
1
ce
e
a
2 0
f
m
a
,
sind
1
ea
2 0
f
k
a
,
sind
(3-9)
1
ke
a
2 0
f
k
a,
cosd
将式(3-9)的值代入式(3-4)中, 便可求出等价衰减系数 e 与
等价固有频率 e ：
e
ke me
sin n 的系数必须分别相等，如果只取到 n 次谐波，则可
得2n+1个方程，由此可求出包含有n次谐波的近似解。这一 方法称为谐波平衡法。
例3.2.1 用谐波平衡法求以下有阻尼Duffing方程的次谐波 解（亚谐振动）
mx cx k x bx3 Q cost
解: 设 c
mk
0t
mex cex kex 0
(3-2)
式中 me 等价质量； ce 等价阻力系数； ke 等价弹簧刚度。
设等价线性振动方程 (3-2) 有以下形式的解：
x acose t acos
x ae sin
x
a
2 e
cos
(3-3)
对于小阻尼情况, 式中的振幅 a 和等效阻尼比 e 与等 效固有频率 e 可表示为
A, c osd
2 0
fkl A0 ,
A, c osd
e
ke me
1 A
2 0
fk A0, A,sind
m
1 2
A
2 0
f
m
A0
,
A,
sin
d
（3-21） 将式 (3-20) 的值代入式 (3-14) 中便可求出等价线性化振幅
A 及相位差 。
例 3.1.1 用等价线性化方法求下列非线性振动方程的等价
3
3
A12 B12 2
H 2 G2 F2
则有
1
2
9
3 2
4
2 3
2
2
1 2
9
2
9 22 2
16
1
2
3 2
2
3 4
2
2
2
2 3
1
12
9
3 4
2
2 3
2
1 2
2 3
2
3 4
2
2
2 2 22
9
1 16
26
F2
考虑 1 1 ，解出第一式，得
2
1222
(3-12)
只要求出等价质量 me、等价阻力系数 ce和等价弹簧刚 度求解ke。, 非由线于性阻振尼动的方存程在就, 自可由以振近动似在地经按过照一线定性时振间动后方将程会进消行失,
所以可设等价线性振动方程 (3-12) 有以下形式的强迫振动解：
x A0 Asint A0 Asin x A cos x A2 sin
第三章 等价线性化法、谐波平衡法、 里兹迦辽金法与迭代法
3.1 等价线性化法
3.1.1 自治系统 3.1.2 非自治系统
3.2 谐波平衡法
3.3 迦辽金法与里兹法
3.3.1 里兹法
3.3.2 迦辽金法
3.4 迭代法
3.4.1 杜芬迭代法 3.4.2 拉舍迭代法
3.1 等价线性化法
3.1.1 自治系统 已知某非线性振动方程，其阻尼力与弹性力具有非线性
fk x, x a1 cos b1 sin
按照富氏级数的公式，系数c0 按下式计算：
、c1、d1和 a0 、a1 、b1
可
1
c0 2
2 0
f m a ,
d
1 c1
2 0
fma,
cosd
1 d1
2 0
fma,
sind
1
a0 2
2 0
fk a, d
1
a1
2 0
fk a, cosd
fm x, x c 0 cn cosn dn sin n
n1
fk x, x a 0 an cosn bn sin n
n 1
n 1,2,3,,
(3-15)
对于一般非线性振动系统，按富氏级数展开的一次谐波力远
大于二次和其他高次谐波力及常数项，因此可以将后者看作是
小量，近似计算时略去。这时可取近似值为
(3-11)
式中
fm x,x 非线性惯性力与非线性阻尼力的综合表达式； fk x,x 非线性阻尼力与非线性弹性力的综合表达式。
非线性振动方程(3-11)相对应的等价线性化振动方程为
mex cex kex F0 F sin t
式中
me 等价质量；
ce 等价阻力系数； ke 等价弹簧刚度; F0 不变的作用力。
阻力系数 ce 与等价弹簧刚度 ke。
mx cx kx bx3 dx5 F sin t
式中 b, d 与位移成三次及五次方的恢复力系数。
解: 设方程的强迫振动解为
x Asin t Asin x A cos t A cos
按照式 (3-20), 求等价阻力系数 ce ：
ce
1 6
8
12
9
1
9 2
48
12
9
1 2
63 4
64
9
2
2
由第二式得
2
F
2
2 3
2
1
1 9
2
3 4
2
3 2
2
1
2
3 2
2
3 4
特征，其振动方程可表示为以下形式：
mx fmx,x fk x,x 0
(3-1)
式中
fm x,x 非线性惯性力与非线性阻尼力的综合表达式； fk x,x 非线性阻尼力与非线性弹性力的综合表达式。
用等价线性化方法求非线性振动方程的解，首先应建 立一个与 非线性振动方程相对应的等价线性化振动方程， 即
t
(3-13)
因此，等价线性化振幅 A、相位差角 分别可由下式求
出：
A
F cos ke me 2
arc
tg
ke
ce
me 2
A 0
F0 k
(3-14)
等价质量 me 、等价阻力系数 ce 与等价弹簧刚度 ke 的值， 可以通过将非线性惯性力、非线性阻尼力与非性弹性力是按富 氏级数展开的方法得出：
sin
1
2 0
fk a,
cosd
cos
1
2 0
fk a,
sind
sin
(3-8)
0
当考虑 (3-3) 式的近似值时，有
mx
1
e2a
2 0
f
m
a
,
cosd
x
1
ea
2 0
fma,
sind
x
1a
2 0
f
k
a
,
cosd
x
1
ea
2 0
fk a, sind
x
0
对应于式 (3-2) 的等价质量 me 、等价阻力系数 刚度 ke 分别为：
me
m
1
2 A
2 0
fm A0,
A,
sind
ce
1
A
2 0
fm A0,
A,
cosd
1
A
2 0
fk A0,
A,
cosd
ke
1
A
2 0
fk A0,
A, sind
(3-20)
F0
1
2
2 0
fm A0, A, d
2 0
f
k
A0
,
A,
d
e
1 2meA
2 0
fm A0 ,
F
m 2
3.2 谐波平衡法
谐波平衡法是将非线性方程的解假设为各次谐波叠加的
形式，然后将方程的解代入非线性方程中，消去方程中的正
弦与余弦项，即可得到能求出含有未知系数的相应多个代数 方程式，进而可求得方程的解。
设有非线性方程
x f x,x,t
(3-22)
若 f x,x,t 是 t 的周期为 T 的函数，并且方程存在着周
1
b1
2 0
fk a, sind
fma, fm a 2 cos ,a sin
fk a, fk a cos ,,a sin
(3.7)
将式 (3-6) 和式 (3-7) 代入式 (3-1) 中，可得：
mx
1
2 0
fma, cosd
cos
1
2 0
f m a ,
sind
1
a
2 0
fk a, cosd
m
1
e2a
2 0
f
m
a
,
cosd
e
ce 2me
1
2mee a