江苏省诚贤中学高三数学上学期期中考试试题苏教版

江苏省诚贤中学2014届高三上学期期中
数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．
1．集合{}0,2,A a =,{}
21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =U ,则a 的值为 ． 2. 函数y ＝cos 3
x ＋sin 2
x －cosx 的最大值等于 ．
3.在ABC ∆中角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，若c A b B a 53cos cos =
-，则
tan tan A
B
= ． 4、在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5=2S 4+3，a 6=2S 5+3，则此数列的公比q 为 ． 5、函数()sin 2cos 2f x x a x =+的一条对称轴方程为4
x π
=
，则a = ．
6．已知向量=（5，﹣3），=（9，﹣6﹣cosα），α是第二象限角，∥（2﹣），则tanα= ．
7、设[]x 表示不超过x 的最大整数，则x 的不等式[][]03652
≤--x x 的解集是 .
8、函数x b x a x f cos sin )(-=图象的一条对称轴方程是4
π
=x ，则直线0=+-c by ax 的倾
斜角为 .
9、已知函数b a x a b x x f ++--+=)2()(22是偶函数，则此函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是 ．
10．在平行四边形中，ABCD 已知︒=∠==60DAB 1,AD 2,AB ，点AB M 为的中点，点P 在CD BC 与上运动（包括端点），则•的取值范围是 ． 11．已知K ,8
1
73cos 72cos 7cos ,4152cos 5cos ,213
cos
===
ππππππ
，根据这些结果，猜想出的一般结论是 ．
12、已知四边形OABC 是边长为1的正方形，OD →=3OA →
，点P 为△BCD 内（含边界）的动点，设OP → = αOC → + βOD →
(α、β∈R)，则α+β的最大值等于 ． 13．已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，n n T S ,分别是它们的前n 项和，并且
3
1
7++=n n T S n n ，则16
1210822
1752b b b b a a a a ++++++= ．
14．已知函数)(x f 的值域为[][]0,4(2,2)x ∈-，函数()1,[2,2]g x ax x =-∈-，
1[2,2]x ∀∈-，总0[2,2]x ∃∈-，使得01()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是
．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知点,sin ,cos ),0,5
6
(）（ααP A 其中2
0πα<
<．（1）若,6
5
cos =
α求证：;PO PA ⊥ （2）若||||=,求)4
2sin(π
α+
的值．
16． (本题满分14分)
在△ABC 中，a 2+c 2=2b 2
，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长． (1)求证：B ≤3
π； (2)若4
B π
=
，且A 为钝角，求A ． 17．（本小题满分14分）
设ABC ∆的三个内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且满足
0)2(=•+•+c c a ．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若32=b ，试求CB AB •的最小值．
18．（本小题满分16分）
经市场调查，某超市的一种小商品在过去的20天内的日销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且日销售量近似满足t t g 280)(-=（件），价格近似满足
102
1
20)(--
=t t f （元）
． （Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y 与时间)200(≤≤t t 的函数表达式； （Ⅱ）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．
19．(本题满分16分)
已知数列{a n }满足：a 1=a 2=a 3=2，a n +1=a 1a 2…a n -1(n ≥3)，记
222
21212n n n b a a a a a a -=+++-L L (n ≥3)．
(1)求证数列{b n }为等差数列，并求其通项公式；
(2)设22111
1n n n c b b +=++，数列
}的前n 项和为S n ，求证：n <S n <n +1．
20．(本题满分16分)
已知函数2()()x
f x ax x e =+，其中ｅ是自然数的底数，a R ∈。

(１） 当0a <时，解不等式()0f x >；
(２） 若()f x 在［－１，１］上是单调增函数，求a 的取值范围；
(３） 当0a =时，求整数ｋ的所有值，使方程()2f x x =+在［ｋ，ｋ＋１］上有解。

数学答案
1. 4，
2. 32/27，
3. 4
4. 3 5、0 ； 6、-； 7、[-4,10)； 8、
4
3π； 9、2； 10. [12-，1] 11 、 π2ππ1cos cos cos 2121212n n n n n =+++L
12. 43 ， 13. 31/5， 14. 55,,22⎛⎤⎡⎫
-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
U
15．（本小题满分14分） 解：（1）（方法一） 由题设知).sin ,cos (),sin ,cos 56
(a a a a --=--=…………2分
所以2
sin ()cos )(cos 5
6(）a a a PO PA -+--=⋅
.1cos 5
6
sin cos cos 5622+-=++-=a a a a ……………………6分
因为,6
5
cos =a 所以.0=⋅PO PA 故.PO PA ⊥……………………7分 （方法二）
因为,65cos =
a ,2
0π
<<a 所以611sin =
a ，故.611,65(）P ……2分
因此).6
11
,65(),611,3011(
--=-=…………………4分
因为.0)6
11()65(30112
=-+-⨯=
⋅所以.⊥
（2⊥,= 即.sin cos sin )5
6
cos 2222a a a a +=+-（ 解得.53cos =a ……………………9分 因为,20π<<a 所以.5
4sin =a 因此.25
7
1cos 22cos ,2524cos sin 22sin 2-=-===a a a a a …………12分
从而
.50
2
17)257(222524222cos 222sin 224
2sin(=-⨯+⨯=+=
+
a a a ）π
……14分 16. 解：(1)由余弦定理，得222
cos 24a c b a c B ac ac
+-+==
22．…………3 因22a c ac +2≥，1
cos 2
B ∴≥．……………………………………6分
由0＜B ＜π，得 3
B π
≤
，命题得证． ……………………………………………7分 (2)由正弦定理，得222sin +sin =2sin A C B ． …………………………………………10分
因4B π
=，故22sin B =1，于是22sin =cos A C ．……………………………………12分
因为A 为钝角，所以3sin =cos =cos()=sin()44
A C A A π
π--．
所以()4A A π+-=π(=4A A π-，不合，舍) ．解得5=8
A π
． …………………14分
17．解：（Ⅰ）因为(2)0a c BC BA cCA CB +⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r
，
所以(2)cos cos 0a c ac B cab C ++=， …2分
即(2)cos cos 0a c B b C ++=，则(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C ++= ………4分 所以2sin cos sin()0A B C B ++=，即1cos 2B =-
，所以23
B π
=………………8分
（Ⅱ）因为222
22cos
3
b a
c ac π=+-，所以22
123a c ac ac =++≥，即4ac ≤ 当且仅当a c =时取等号，此时ac 最大值为4…………12分
所以AB CB ⋅u u u r u u u r =21cos 232
ac ac π=-≥-，即AB CB ⋅u u u r u u u r 的最小值为2-……………14分
18．解：（Ⅰ）1
()()(802)(20|10|)(40)(40|10|)2y g t f t t t t t =⋅=-⋅--=--- …… 4分
＝(30)(40),(010),(40)(50),(1020).t t t t t t +-<⎧⎨--⎩
≤≤≤ …………………… 8分
（Ⅱ）当0≤t ＜10时，y=1200102
++-t t
=1225)5(2+--t
y 的取值范围是[1200，1225]，
在t ＝5时，y 取得最大值为1225； …………………… 10分 同理 当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600，1200]，
在t ＝20时，y 取得最小值为600． …………………… 14分 （答）总之，第5天，日销售额y 取得最大为1225元；
第20天，日销售额y 取得最小为600元． …………………… 16分
19.解：(1)方法一 当n ≥3时，因222212
12n n n b a a a a a a -=+++-L L ①， 故2222
1121121n n n n n b a a a a a a a a -++=++++-L L ②． ……………………………………2分
②-①，得 b n -1-b n -2=21121(1)n n n a a a a a ++--L =2
111(1)(1)n n n a a a +++-+-=1，为常数，
所以，数列{b n }为等差数列． …………………………………………………………5分
因 b 1=222
12
3123a a a a a a ++-=4，故 b n =n +3． ……………………………………8分 方法二 当n ≥3时，a 1a 2…a n =1+a n +1，a 1a 2…a n a n +1=1+a n +2，
将上两式相除并变形，得 2
1211n n n a a a +++=-+．……………………………………2分
于是，当n ∈N *时，222
122122n n n b a a a a a a ++=+++-L L
222
12
35432122(1)(1)n n n a a a a a a a a a a +++=+++-+++-+-L L 22212
3343(1)(1)n n a a a a a n a ++=+++-+--+410n a =+-． 又a 4=a 1a 2a 3-1=7，故b n =n +3(n ∈N *)．
所以数列{b n }为等差数列，且b n =n +3． ………………………………………………8分
(2) 方法一 因 n c 22
111(3)(4)n n =++++2
22((3)(4)1)(3)(4)n n n n +++=
++，…………………12分
故(3)(4)1(3)(4)n n n n +++=
++11(3)(4)n n =+++11
134
n n =+-
++． 所以 111111(1)(1)(1)455634n S n n =+
-++-+++-++L 11
44
n n =+-
+， ………15分 即 n ＜S n ＜n +1． ………………………………………………16分
方法二 因22
11
11(3)(4)
n c n n =++>++，n S n >．……………………10分 22
1111
11(3)(4)(2)(3)(3)(4)
n c n n n n n n =+
+<++++++++ =11124n n +-++<112
n ++<2
1(1)2n ++，
112
n +
+，于是1
(1)12n S n n n <+<++．……………………………………16分
20.解：⑴因为e 0x >，所以不等式()0f x >即为20ax x +>， 又因为0a <，所以不等式可化为1
()0x x a +<，
所以不等式()0f x >的解集为1
(0,)a
-．
⑵22()(21)e ()e [(21)1]e x x x f x ax ax x ax a x '=+++=+++，
①当0a =时，()(1)e x f x x '=+，()0f x '≥在[11]-，上恒成立，当且仅当1x =-时 取等号，故0a =符合要求；
②当0a ≠时，令2()(21)1g x ax a x =+++，因为22(21)4410a a a ∆=+-=+>， 所以()0g x =有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设12x x >， 因此()f x 有极大值又有极小值．
若0a >，因为(1)(0)0g g a -⋅=-<，所以()f x 在(11)-，内有极值点，
故()f x 在[]11-，
上不单调． 若0a <，可知120x x >>，
因为()g x 的图象开口向下，要使()f x 在[11]-，上单调，因为(0)10g =>， 必须满足(1)0,(1)0.g g ⎧⎨-⎩≥≥即320,0.
a a +⎧⎨-⎩≥≥所以203a -<≤.
综上可知，a 的取值范围是2
[,0]3
-．
⑶当0a =时, 方程即为e 2x x x =+，由于e 0x >，所以0x =不是方程的解，
所以原方程等价于2e 10x x --=，令2
()e 1x h x x
=--，
因为22
()e 0x h x x
'=+
>对于()(),00,x ∈-∞+∞U 恒成立， 所以()h x 在(),0-∞和()0,+∞内是单调增函数，
又(1)e 30h =-<，2(2)e 20h =->，31
(3)e 03
h --=-<，2(2)e 0h --=>，
所以方程()2f x x =+有且只有两个实数根，且分别在区间[]12，和[]32--，上， 所以整数k 的所有值为{}3,1-．。