数阵问题整理版

经典奥数数阵图问题例题

1．把1至6分别填入图18-1的各方格中，使得横行3个数的和与竖列4个数的和相等．[分析与解]记横行的中间一个数为a，则有1+2+3+…+6+a＝21+a＝2倍对应和，所以a 可以填奇数，即1，3，5，对应和为11，12，13，下面给出几种填法：其中的每个图形的横行左右可调换位置，每个竖列的后三个数字位置任意排列．2．把l0至20这11个数分别填入图18-2．的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法．请写出所有可能的填法．[分析与解]设中间圆圈内的数为a，有a被加了5次，而其他位置圆圈内的数字在计算5次和是都只被加了1次，所以有5个和＝(10+11+…+19+20)+4a＝165+4a，因为5个和，165都是5的倍数，所以4a也应该是5的倍数，则a应是5的倍数，所以a可取10，15，20．当a为10时，有5个和＝165+4×10＝205，所以每条线段上的和为205÷5＝41，如下左图；当a＝15时，有5个和＝165+4×15＝225，所以每条线段上的和为225÷5＝45，如下中图；当a＝20时，有5个和＝165+4×20＝245，所以每条线段上的和为245÷5＝49，如下右图．3．请分别将l，2，4，6这4个数填在图18-3的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数的和都等于15．[分析与解]在计算3个圆圈内的数字和时，已经填出的3个数字各计算了2次，中间的数字计算了3次，另外3个位置只计算了1次，中间的数字较另外3个位置多计算了2次．设中间那个数为a，有2a+2×(5+7+3)+(1+2+4+6)＝15+15+15，即2a+43＝45，有a＝1．于是得到下图：4．在图18-4的7个圆内填入7个连续自然数，使得每两个相邻圆内所填数的和都等于连线上的已知数．那么标有*的圆内填的数是多少?[分析与解]我们知道在计算图中所有线段两端数字的和时，每个圆圈内的数字都被加了2次，于是有这7个连续自然数和的2倍为10+6+9+12+8+11+14＝70，即这7个连续自然数的和为35，则中间数为35÷7＝5，于是这7个数为2，3，4，5，6，7，8．能得到14的只有6+8，如果*填8那么和为14的线段另一端为6，则和为11的线段另一端为5，和为8的另一端为3，则和为12的线段另一端无法填出；所以，*只能填6，可以如上分析得到填完的下图：5．图18-5的6条线分别连接着9个圆圈，其中一个圆圈里的数是6．请你选9个连续自然数(包括6在内)填入圆圈内，使每条线上各数的和都等于23．[分析与解]当六条线上的数分别相加时，数6只加了1次，其余各数分别加了两次．又已知每条对角线上各数之和都等于23，所以这九个连续自然数之和应是(6×23+6)÷2＝72．于是九个数的中间数是72÷9＝8，由此可知这九个连续自然数是4，5，6，7，8，9，10，11，12．其中显然只有11+12＝23，故x＝11，y＝12和x=12，y＝11．首先考虑x＝11，y＝12的情况．注意7若不与x或y在一条线上，则23－7＝16，只能表示成10+6，而过7的线段却有两条，所以必须f＝7，于是c ＝4，d＝5，再由a+b＝23－6＝17，可知a、b均不为10，e＝10，a＝8，b ＝9，于是得到下图：当x＝12，y＝11时，同理可得：6．将1，2，3，…，9，10这10个数分别填入图18-6中的圆圈内，使得每条线段两端的数相乘的积，除以13都余2．问这5个商数的和是多少?[分析与解]在2～90中被13除余2的数有2，15，28，41，54，67，80．其中可以被分解成1～10中两数乘积的有：2＝1×2，15＝3×5，28＝4×7，54＝6×9，80＝8×10，正好1～10中每个数字出现了一次，因此可得如下的结果，当然将下图对称变换，旋转变换得到的图形仍然符合题意．有2×1÷13＝0……2；3×5÷13＝1……2；4×7÷13＝2……2；6×9÷13＝4……2；8×10÷13＝6……2．这些商的和为0+1+2+4+6＝13．7．在图18-7的中间圆圈内填一个数，计算每一线段两端的两数之差(大减小)，然后算出这3个差数之和．那么这个差数之和的最小值是多少?[分析与解]中间数只要在19与65之间，19和65与它的差数(大数减小数)之和都是65－19＝46，所以中间的数填48，三个差数之和最小．那么差数之和为65－48+48－48+48－19＝65－19＝46．8．请在图18-8中的7个小圆圈内各填入一个自然数，使得图中给出的每个数都是相邻两个圆圈中所填数的差(大数减小数)，并且所填的7个数之和是1997．[分析与解]设1左边圈内的数为a，则从a开始顺时针依次对给出的七个差做加法或减法运算，最后结果仍等于a，也就是说，加上的数的和应等于减去的和．又1+2+3+4+5+6+7+8＝28，于是给出的七个数应当分成和为14的两组．经分析可知仅有4种不同的分法：①7+6+1＝2+3+4+5，②7+5+2＝1+3+4+6，③7+4+3＝1+2+5+6，④7+4+2+1=3+5+6．其中①又可以分为两种情况：☆加上2、3、4、5，减去7、6、1，这时七个数的总和时7a+32，★加上7、6、1，减去2、3、4、5，这时七个数的总和时7a－32．同样②③④也都分两种情况．②的第一种情况就是加上1、3、4、6，减去7、5、2，七个数的和时7a+16．因为1994＝7×285+2，所以①的两种情况都无法使总和为1994，这是因为32－2与32+2都不是7的倍数，而②的第一种情况满足，此时a＝283(1994＝7×283+16)，具体填法如下：9．图18-9是奥林匹克的五环标志，其中a，b，c，d，e，f，g，J，h，i 处分别填入整数l至9．如果每一个圆环内所填的各数之和都相等，那么这个相等的和最大是多少，最小是多少？[分析与解]设每个圆内的数字之和为k，则五个圆圈内的数字之和时5k，它等于1~9的和即45，再加上两两重叠处的四个数之和．而两两重叠处的四个数之和最小是1+2+3+4＝10，最大是6+7+8+9＝30，所以，有5k在(45+10＝)55～75(＝45+30)之间的，那么k在11～15之间．验证，当k＝11，13，14时对应有如下填法，当时当k＝12，15时无解．所以，这个相等的和最大是14，最小为11．评注：这道题，同学往往只是计算到k在11～15之间，然后说最大为15，最小为11，但是没有进一步去验证是否存在这样的填法，导致错误，所以同学们以后在自己认为已经解决问题时，不妨验证一下，对于有些问题，不妨深究深究．[分析与解]10个连续自然数中，9是其中第三大的数，所以这10个连续自然数为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11．图中三个2×2的正方形中四数之和相等，所以2+3+…+11再加上两个重复的数，和倍3整除．因为2+3+…+11＝65，要使和数最小，两个重复数的和应最小，这两个数可以取2与5，或3与4．这和数是24．和数为24是可能的，如下两图：[分析与解]图中十个数点和为45，除去中心圆圈中的数后是3的倍数，因此中心圆圈只可能为0，3，6，9．当中心为0时，每个阴影三角形三顶点和为15．考虑包括中心圆圈的三个阴影三角形中，除0以外另两个数和为15．而0～9中这样的数组只有(6，9)，(7，8)两组，因此中心为0时没有正确填图；当中心为9时，同理可知也不存在正确的填图；当中心为3时，阴影三角形三顶点和为14，含3的三个阴影三角形中另两个数和为11，这样的数组只有(2，9)，(4，7)，(5，6)．简单尝试可知中心为3时也没有正确的填图；当中心填6时，经尝试有如下的结果：13．如图18-13，大三角形被分成了9个小三角形．试将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形3条边的每5个数相加的和相等．问这5个数的和最大可能是多少?[分析与解]1~9和为45．设3个只属于一条边的数和为3k，则每条边上五个数字和为(45×2－3k)÷30＝30－k．3k最小时，取3k＝1+2+3＝6，一条边上的和为30－6÷3＝28；3k最大时，取3k＝9+8+7＝24，一条边上的和为30－24÷3＝22．因此这个和最大为28，最小为22．以和为28为例，此时三边中间的小三角形内的数为1，2，3，有上方两个三角形和+1+左边两个三角形和＝28；左边两个三角形和+3+右边两个三角形和＝28；右边两个三角形和+2+上方两个三角形和＝28；于是有2倍(上方两个三角形和+左边两个三角形和+右边两个三角形和)+1+3+2＝28+28+28，即上方两个三角形和+左边两个三角形和+右边两个三角形和＝39．可得上方两个三角形和为14，左边两个三角形和为13，右边两个三角形和为12．下面我们给出一种填法：每边和为22时，同理可得，我们给出一种填法：14．将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数分别填入图l8-14的8个空格中，使四边正好组成加、减、乘、除4个正确的等式．[分析与解]除式只有4种可能：8÷4＝2，6÷3＝2，8÷2＝4和6÷2＝3，其中后两种情况乘法式子将无法满足，前两种情况对应着如下两种填法：15．图18-15包括6个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使6个算式都成立．那么最右边的圆圈中的数最少是多少?[分析与解]如下图所示，设最左边的四个数为a，b，c，d，则第一组数算式计算结果为a+b，c+d，a+c，b+d．而最右边圆圈内数为，a+b+c+d，也就是四个数的和，因此我们可以重新理解题目为找到四个自然数，使它们两两相加的四个和与它们自身全不相等，求它们和的最小值．最小的四个数(1，2，3，4)易知不符合题意，同样(1，2，3，5)也不成立，当这四个数为(1，2，3，6)时有正确填图如下，因此最右边的数最小为12．。

(完整版)数列数阵数塔练习汇总

2、观察表一寻找规律（表二表三分别是从表一中选取的一部分）。

则a+b=＿＿＿。

表一表二表三3、一列自然数0,1,2,3…,2005，… ，2024。

第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2004。

现在将这列自然数排成以下数表：⑴ 第10行第1个数是？⑵ 第1行第20个数是？ ⑶ 2005在第几行第几列？4、有一串真分数：1/2 ,1/3, 2/3, 1/4, 2/4, 3/4,1/5, 2/5 ,3/5, 4/5 …那么第1001个分数是＿＿＿。

5、把5，6，7，8，9填入图中的五个○中，每个○中的数互不相同，且每条直线上的三个○中的数的和相同，则共有多少种不同的填法？数列、数阵练习题1、观察下列各数：1, 1, 5/7, 7/15, 9/31,…按你发现的规律计算这列数的第7个数为＿＿＿。

0 1 2 3 …1 3 5 7 …2 5 8 11 …3 7 11 15 …… … … … …11 14 a 11 1317 b0 3 8 15 … 1 2 7 14 …4 5 6 13 …9 10 11 12 … ……………6、如图是有名的“六角幻方”：将l到19这19个自然数填人图中的圆圈中，使得每一条直线上圆圈中的各数之和相等，美国数学爱好者阿当斯从l910年开始，到1962年，用了52年的时间才找到了解答．我们给大家填人了6个自然数，请你完成这个“六角幻方”．7、将1-12这12个数分别填入图中的12个小圆圈里，使每条直线上的四个小圆圈中的数字之和都相等，这个相等的和是多少？8、把5，6，7，8，9填入图中的五个○中，每个○中的数互不相同，且每条直线上的三个○中的数的和相同，则共有多少种不同的填法？9、观察下面的数列，找出其中的规律，并根据规律，在括号中填上合适的数.（1）1，1，2，3，5，8，（），21，34… （2）1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）（3）2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.（4）下面数列的每一项由3个数组成的数组表示，它们依次是：（1， 3，5），（2，6，10），（3，9，15）…问：第100个数组内3个数的和是多少？10、先观察算式，找出规律，然后填数。

第21讲数阵问题2

第21讲数阵问题（二）例1 把3，4，5，6，7这五个数分别填入右图中的五个方格里，使横行、竖列三个数的和都是14。

例2 将1-7分别填入右图中的○内，使每条线段上三个○内数的和相等。

例3 将1-6这六个数分别填入右图中的○内，使每条边上三个○内数的和都等于9 。

例4 请5-14这十个自然数填入右图的○中，使每个大圆上六个数的和都相等。

例5 将1-10这十个自然数分别填入右图中的十个○内，使各条线段上四个○内数的和相等，每个三角形三个顶点上○内数的和也相等。

思考与练习1、把1-9这九个数填入“七一”的每个小方格内，使每一横行、竖行的数字和都是13。

2、把1-7这七个数分别填入右图的○里，使每条线上3个数的和等于10。

3、将1-13这13个数分别填入右图的○内，使每条线段上四个○内的数之和相等。

4、将10-20填入右图的○内（其中15已填好），使得每条线段上的三个数字之和都相等。

5、将1-6这六个数分别填入右图的○内，使得每条线段上的三个○内所填数的和相等。

6、将1-10这十个自然数填入右图的○中，使五边形每条边上的三个数之和相等，并使和尽可能地小。

7、将1-9这九个自然数分别填入右图九个小三角形中，使每四个小三角形组成的大三角形内的四个数的和等于20。

8、将1-9这九个自然数分别填入右图九个小三角形中，要求靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并尽可能地大。

这五个数之和最大是多少？9、将1-8这八个数填入右边的方格内，使上面四格、下面四格、左面四格、右面四格、中间四格、对角线四格和四角四格内四个数相加的和都是1810、将1-9这九个自然数填入右图的○内，使对角线上五个○内数的和相等，每个正方形四个顶点上数的和也相等。

史上最全归纳推理题型总结

归纳推理一、数阵1.把正整数按如图排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，每次恰有9个数在三角形内，则这9个数的和可以是.A．2015 B．1220 C. 2111 D．2264答案：B.2.已知下表，则a81的位置是.A.第13行第2个数B.第14行第3个数C.第13行第3个数D.第17行第2个数答案：C.3.如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．答案：11914.将全体正偶数排成一个三角形的数阵：根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左到右的第3个数是. 答案：n²－n＋65.有一个奇数组成的数阵排列如下图所示，则第30行从左到右第3个数是。

答案：1051。

6.观察下列数阵：设(i，j)为第i行第j列，按此规律归纳猜想2016所在位置为( )A.(45，80)B. (45，79)C. (46，80)D. (46，79)答案：A.7.把正整数按一定规则排成如图所示的三角形数表，设a ij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数，如a42＝8。

若a ij＝2011，则i与j的和为。

答案：1088.给出以下数阵，按各数排列规律，则n的值为。

A.66B.256C.257D.326答案：C.9.小时候我们就用手指练习过数数,一个小朋友按图中的规则练习数数,数到2009时应对应的指头是( )A.大拇指B.食指C.中指D.无名指答案：A.二、图案类1.从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（）A． B. C. D.分析：观察图形知，四个图形中的三条线段与圆共有3个交点．解：观察图形知：第一、二、三、四个图形中，都是由圆和三条线段组成，且这三条线段与圆共有3个交点．观察选项，只有B选项符合题意．2.如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（）A. B. C. D.答案：A3.根据下列各图中三角形的个数，推断第20个图中三角形的个数是( )A．231 B．200 C．210 D．190答案：A4.观察图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆点，第n个图案中圆点的个数是a n，按此规律推断出所有圆点总和S n与n的关系式为( )A．S n＝2n²－2n B．S n＝2n²C．S n＝4n²－3n D．S n＝2n²＋2n答案：B5.按如图的规律所拼成的一图案共有1024个大小相同的小正三角形”△”或”▽”，则该图案共有A . 16层B . 32层C . 64层D .128层答案：B.6.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 .A .6n －2B .8n －2C .6n ＋2D .8n ＋2 答案：C.7.图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（）A ．25B ．66C ．91D ．120 答案：C.8.按照图1——图3的规律，第10个图中圆点的个数为( )个．A ．40B ．36C ．44D ．52答案：A9.如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n （n ＞1，n ∈N *）个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4 ＋9a 4a 5＋…＋9a 2016a 2017＝。

数阵问题

我是这样解的
请将14、13、512、12、712、23、34、56、1112这九个分数分别填入图中的九个圆圈内，使每个三角形顶点上的三个数之和都相等。

数阵问题
□吴国和
要将这九个分数填入图中，使每个三角形顶点上的三个数之和都相等并非易事。

我们不妨把题目所给的九个分数分别扩大到原来的12倍，使这九个分数变成3至11这九个连续的自然数，这样的话，要使每个三角形顶点上的三个数之和都相等就容易多了。

从图中可知，外围三个小三角形顶点上九个数之和，正好就是3至11这九个连续自然数的和——63，所以每个三角形顶点上的三个数之和是63÷3＝21。

在3至11这九个连续自然数中，三个数之和为21的可能情形共有八种：3＋7＋11，3＋8＋10，4＋6＋11，4＋7＋10，4＋8＋9，5＋6＋10，5＋7＋9，6＋7＋8。

而处于图形中间小三角形上的每个数，都应在三个三角形中出现，也就是说，填在中间的三个数，必须在上面八组和中至少出现3次。

由上面排出的八种情况不难分析出，填在中间的三个数，只能从4、6、7、8、10这五个数中选取。

又因为这五个数中满足三数之和等于21，所以这三个数要么是4、7、10，要么是6、7、
8。

由此可以得到两个答案，然后把每个自然数缩小到原来的112，还原成原分数。

先放大，后缩小，是解决问题的关键。

121112137125614
51234231311121271223145123456（作者单位：江苏省海门市德胜小学）
4
31075
98116
114
6
3875
910。

数阵问题整理版-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数阵趣味导读：有些数按照一定的要求排列成各种各样的图形，就叫做数阵图，数阵填数的游戏是非常有趣的，有时也有一定的难度。

不过它能促使我们积极地思考问题，分析问题，拓展我们的能力。

有的同学说：这样的数阵图填写时只能采取试的方法，没有其他捷径好走。

其实这话不对。

填写数阵图时，我们应抓住数阵中的关键位置（例如两种线的交点，长方形和正方形的顶点），再根据题目的要求，进行必要的计算，先填写这些关键位置的数，再填写出其他位置的数。

一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为“数阵图”，数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。

在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字：要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力，思维的灵活性和严密性。

【解法总结】：做数阵题目，我们的一般步骤是：①.先观察在图中有哪些格子重复了，重复了几次。

②.根据题中给出的数字以及图形来发现重复的这几个数有什么特点。

③.看看在给出的数中有哪些数符合我们特点，再通过试算，确定每个格子中的数。

【例题1】将1,2,3,4,5这五个数分别填入下图的各正方形中，组成一个“十字数阵图”使图中横行三个数的和与竖行三个数据的和相等。

解析：根据图形的特点，中间那个数是横行与竖行共用的，要使横行与竖行三个数的和相等，可以先确定中间的数，再让左右两数的和与上、下两数的和相等。

①中间填1，则剩下2,3,4,5，而2+5=4+3，共有8种填法。

②中间填2，则剩下1,3,4,5而这四个数无法组成□+□=□+□的形式所以中间不可填？③中间填3，则剩下1,2,4,5，而1+5=2+4，共有8种填法：④中间填4，则剩下1,2,3,5而这四个数无法组成□+□=□+□的形式所以中间可能填4。

数阵问题(一)

数阵问题（一）把一些数按照一定的要求排成各种各样的图形，这类图形称为数阵图，简称数阵，数阵是由幻方演变而来，数阵图种类繁多，这一讲我们就来讨论学习数阵问题。

学习例题：例1．将1~9这九个数填在图中正方形的九个方格中，使得每个横行、竖行和对角线上三个数的和都相等。

例2．请用7、9、11、13、15、17、19、21、23构成一个三阶幻方。

例3．将1~25填入下图的方格内，组成一个五阶幻方。

例4．请将1~16这16个数排成一个四阶幻方。

例5．下图是一个九宫图，第一行第三列上的数是6，第二行第一列上的数是7，请你在其他位置上填上适当的数，使每行、每列以及每条对角线上三个数的和为30。

67例6．请将下面的三阶幻方填写完整。

155319例7．请将下面的三阶幻方填写完整。

201118思考与练习：1．我们将奇数阶幻方正中央的数称为“中心数”，请通过罗伯法观察三阶幻方、五阶幻方、七阶幻方，回答下面的问题：（1）三阶幻方的幻和是中心数的倍。

（2）五阶幻方的幻和是中心数的倍。

（3）七阶幻方的幻和是中心数的倍。

2．按三个填数步骤把4~12这9个数填在图中3×3的格内，制成三阶幻方。

3．用一组互不相等的9个自然数构造一个三阶幻方，使幻方和为48。

4．将3、4、5、6、…、18这16个数编制成四阶幻方。

5．用将1~49填入下图的方格中，组成一个七阶幻方。

6．在图中空格内填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为27。

12137．将图中的数重新排列，使每行、每列以及每条对角线上三个数的和相等。

14 14 1424 24 241919198．在图中空格里，填上适当的数，使每行、每列以及每条对角线上三个数的和相等。

133179．在图中空格里，填上适当的数，使每行、每列以及每条对角线上三个数的和相等。

1814610．将九个不同的非零自然数填入九宫图中，使每行、每列以及每条对角线上三个数的积都相等。

课后作业：1．将9~17这9个数制成三阶幻方。

数阵问题

13．简单的数阵问题
例2：把1~7七个数字分别填入下左图中，使每条线上的三个○内的数字和相加为10。

例3：把1~11这11个数分别填入下左图的○里，使每条线上的三个数相加的和都等于18。

例5：将1~6这六个自然数分别填入下图中，使得三角形每条边上的三个数之和等于10。

6：把10~80八个整十数填入下左图的○中，使每个圆上五个数的和为210。

例7：将1~9九个数字分别填入下图中的小圆圈内，使三角形每边上四个数的和是17。

例8：请将1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数分别填入下图的九个小圆圈里，使每个三角形上三个数的和都等于15。

例10：把1~6分别填入下图中，使每个圆圈里的四个数相加之和都等于19。

12。

4、将1、2、3、4、
5、
6、7七个数填入下图的小圆圈内，使每条线上三个数的和与每个圆上三个数的和都等于12。

20，且有一个顶点○内的数字为1。

7、将1~10填入下图中的10个○内，使得每个菱形的4个顶点数之和都等于20。

16。

1649、将1~10填入下图中，使每边三个数之和都等于14。

7、8、10、12，使每个圆内的四个数的和都等于25。

数阵问题

数阵问题
我们把给定的一些数，按照一定的要求或规律，填在规定形状的图形中，这样的图形叫做数阵图。

数阵问题就是根据要求在数阵图里填出相应的数的问题。

数阵问题的题型主要有三种：辐射型、封闭型、综合型。

分析：例1图中要填的九个数为1~9的自然数，要使每行、每列以及对角线上三个数的和都相等，关键是要找出这个和是多少，再考虑九格中以哪一格为突破口去填数。

（1）1~9这九个数字的和是45，正好是三横行数字的和，所以每一横行上三个数的和等于45÷3=15。

同样，每一纵列和对角线上三个数的和也是15。

（2）在计算每一横行、每一纵列和每一对角线上的数的和时，正中间的一个数要计算几次（4次）？四个角的数要计算几次（3次）？其
余的数要计算几次（2次）？因此我们以中心方格的数为突破口，先考虑它应是几，再考虑四个角上的数各是几，最后填写其余的数。

解：（一）在1~9中，选三个不同的数相加，和等于15的算式有：①9+5+1 ②9+4+2 ③8+6+1 ④8+5+2 ⑤8+4+3 ⑥7+6+2 ⑦7+5+3 ⑧6+5+4
（二）在这八个式子里，有哪个数出现了五次呢？(5)，所以正中间的一个数是5。

再观察，出现过三次的数分别是2、4、6、8，把这四个数分别填在四个角上。

（三）最后根据和是15填出其他的数。

(选中空白处出答案）。

数阵问题实用

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6.解：所有的数都是重叠数，中心数重叠两次，其它数重叠一次。所以三条边及两个圆周上的所有数之和为
(1＋2＋…＋7)×2＋中心数＝56＋中心数。因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等，所以这个和应该是5的倍数，再由中心数在1至7之间，所以中心数是4。每条边及每个圆周上的三数之和等于(56＋4)÷5＝12。中心数确定后，其余的数一下还不好直接确定。我们可以试着先从辐射型3-3图开始。中心数是4，每边其余两数之和是12-4=8，两数之和是8的有1，7；2，6；3，5。于是得到左下图的填法。
＝(66＋重叠数×4)÷5。为使上式能整除，重叠数只能是1，6或11。显然，重叠数越大，每条直线上的三数之和越大。所以重叠数是11，每条直线上的三数之和是22。填法见右图。
第4题
第5题
5.将1～11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
6.将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。
2.将1～9这九个数分别填入右上图中的○里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。
如果中心数是5，那么又该如何填？
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3.将1～9这九个数分别填入右图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法)
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4之所.5以将和.提每［3等示条(～1：＋于直9中2线这2＋心上0…七。数的＋是个三1重1数数)＋叠之分重数和叠，别等数并于填×且4入重］叠左÷45下次。图的○里，使每条直线上的三个数
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例5 将 10～20填入左下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。

数阵问题专项练习30题有答案ok

数阵问题专项练习30题(有答案)ok数阵问题专项练习30题（有答案）1．如图：5个小三角形的顶点处有6个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等，问这6个质数的积是多少？2．把1～9个数分别填入○中，使每条边上四个数的和相等．3．把1～8这8个数填入图中，使每边上的加、减、乘、除成立．4．把1～9，填入图中，使每条线段三个数和及四个顶点的和也相等．5．将1～8个数分别填入图中，使每个圆圈上五个数和分别为20，21，22．6．把1～12这十二个数，填入下图中的12个○内，使每条线段上四个数的和相等，两个同心圆上的数的和也相等．7．把1～11这11个数分别填入如下图11个○内，使每条虚线上三个○内数的和相等，一共有几种不同的和？8．将1﹣12这十二个数分别填入图中的十二个小圆圈里，使每条直线上的四个小圆圈中的数字之和26．9．把1～10填入图中，使五条边上三个○内的数的和相等．10．下图中有大、小六个正方形，将1～9九个数分别填入圈内，使每个正方形角上的四个数的和都相等．11．将1～11填入下图的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和都等于18．12．将98～106九个数分别填入下图中的空圈内，使每条线上四个数的和都等于402．13．将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入图中的9个圆圈内，使图中每条直线上所填数之和都等于K，问：K 的值是多少？（图中有7条直线）14．将1～10这十个数分别填入下图中的十个○内，使每条线段上四个○内数的和相等，每个三角形三个顶点上○内数的和也相等．15．利用猴子跳楼法，写出1﹣49的数字并且每一行一列对角线上的数字之和相等．16．将，，，，这九个数分别填入图中，使每一横行，每一竖行，两条对角线中三个数的和都相等．17．现将12枚棋子，放在图中的20个方格中，每格最多放1枚棋子．要求每行每列所放的棋子数的和都是偶数，应该怎样放，在图上表示出来．18．把2、3、4、5、6、7、8、9、10填下入面的空格里（三行三列的格子），使横行、竖行、斜行上三个数的和都是18．19．有大、中、小三个正方形，组成了8个三角形，现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个顶点上．请问：能否使8个三角形顶点上数字之和相等？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由．20．将1至6六个数填入下图所示球体的圈内，使球体的各个大圆上每四个数的和都相等．21．在右面□里填上1﹣8这8个数字，这8个数字使连线的两个□里的数字不相邻．22．将1至8八个数分别填入圈内，使每个大圆上五个数的和分别为20、21或22，一共各有几组填法？23．将1、4、7、10、13、16、19、22八个数分别填入圈内；如果正方形每条边上的三个数的和都相等，那么四个角上四个数的和最小是多少？24．将1～12填入下图的空格中，使每个圆内的四个数的和都等于25．25．把1﹣﹣7这七个自然数分别填入下圆圈里，使每条线上的三个数的和相等．26．将1～8八个数分别填入下图的圈内，使三个大圆上的四个数的和都相等．这个和最大可以是多少？最小必须是多少？27．10个连续的自然数中第三个的数是9，把这10个数填入图中的10个方格内，每格填一个数，要求图中3个2×2的正方形中4个数之和相等，那么这个和最小值是_________ ．28．把1～16这16个数，填入图中的16个○内，使五个正方形的四个顶点上○内数的和相等．29．如图中有大、中、小三个正方形，组成了八个三角形．现在把1，2，3，4分别填在大正方形的四个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的四个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的四个顶点上．（1）能不能使八个三角形顶点上数字之和都相等？（如果能，请画草图填出；如不能，请说明理由）（2）能不能使八个三角形顶点上数字之和各不相同？（如果能，请画草图填出；如不能，请说明理由）30．10棵树栽5行，每行栽4棵，你能设计出怎样栽吗？（用△代表树画一画．）参考答案：1．分析：根据题意，每个小三角形三个顶点上的数之和相等，这6个质数都是一样的，但是没有6个相同的质数和是20；把中间的单独看作一个与其它5个质数不一样的质数；因为3×5+5=20；也就是20=3+3+3+3+3+5；然后再进一步解答即可．解答：解：根据题意可得：20=3+3+3+3+3+5；所以，可得：这6个质数的积是：3×3×3×3×3×5=1215．2．分析：首先设三个顶点处的三个数分别为a、b、c，在运算中都加了2次，所以1+2++3+4+5+6+7+8+9+a+b+c=45+a+b+c一定是3的倍数，进一步得出a+b+c也是3的倍数，三个数的和可以是6，9，12，15，18，由此进一步分析得出答案：①当a+b+c=6时，每一条边上的和为（45+6）÷3=17，答案如图①．②当a+b+c=9时，每一条边上的和为（45+9）÷3=18，经计算找不出结论．③当a+b+c=12时，每一条边上的和为（45+12）÷3=19，答案如图②．④当a+b+c=15时，每一条边上的和为（45+15）÷3=20，经计算找不出结论．⑤当a+b+c=18时，每一条边上的和为（45+18）÷3=21，答案如图③．解答：解：由以上分析可得，符合的有三种情况，答案如下：3．分析：由于将1、2、3、4、5、6、7、8分别填入图中8个空格内，由于左边的运算既有除法，也有乘法，又因为8和6的约数不止一个，所以可以确定左上角和右下角的数字一个应该是8和6，然后根据图中的运算即可确定其他数字．①从左上角为6开始，6﹣5=1，1+7=8，8=2×4，6÷3=2；②从左上角为8开始，8﹣7=1，1+5=6，6=3×2，8÷4=2．这样，就完成了填图．解答：解：根据分析答案如下图：4．分析：根据题意，先求出每条线段三个数和及四个顶点的和，再根据题意解答．解答：解：根据题意，1～9的和是：1+2+3+…+8+9=45，有两种配对方式，第一种是：（1、9），（2、8），（3、7），（4、6），5；（1、8），（2、7），（3、6），（4、5），9；根据配对，假设中间的数字是5，那么四个顶点的和是：（45﹣5）÷2=20，每条线段三个数和也为20，20﹣5=15，只有7+8=15，9+6=15，只有两组，与题意不符；假设中间的数字是9，那么四个顶点的和是：（45﹣9）÷2=18，每条线段三个数和也为18；根据配对，尝试可以得出答案：5．分析：1+2+3+4+5+6+7+8=36．①20+20﹣36=4，也就是公共部分两个数的和应该是4，所以中间的两个数应填1和3，左右两边三个数的和相等且为20﹣4=16，左面可填2、6、8，右面可填4、5、7；②21+21﹣36=6，也就是公共部分两个数的和应该，6，所以中间的两个数应填2和4或1和5，左右两边三个数的和相等且为21﹣6=15，中间的两个数填2和4时，左面可填1、6、8，右面可填3、5、7，中间的两个数填1和5时，左面可填3、4、8，右面可填2、6、7；③22+22﹣36=8，也就是公共部分两个数的和应该，8，所以中间的两个数应填1和7、2和6或3和5（有三种填法），左右两边三个数的和相等且为22﹣8=14，以中间的两个数填1和7为例，左面可填2、4、8，右面可填3、5、6．解答：解：根据分析，数字填法如下图：6．分析：1+2+3+…+12=78，使每条线段上四个数的和相等为78÷3=26，两个同心圆上的数的和也相等为78÷2=39，1+12+5+8=26，9+4+10+3=26，2+6+7+11=26，1+7+3+8+11+9=39，2+4+5+6+10+12=39，符合题意．解答：解：由分析答案如下：7．分析：假设中间○内填入的数是a，每条虚线上三个○内数的和是k，则有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+4a=5k，66+4a=5k：当a=1时，k=（66+4）÷5=14；当a=2、3、4、5、时，k不是整数，无解；当a=6时，k=（66+24）÷5=18；当a=7、8、9、10时，k不是整数，无解；当a=11时，k=（66+44）÷5=22；即可得解．一共有3种不同的和．解答：解：把1～11这11个数分别填入如下图11个○内，使每条虚线上三个○内数的和相等，一共有3种不同的和.14、18、22，如下图所示：8．数阵问题专项练习30题(有答案)ok分析：此图可看作由两个三角形组成，先看尖向上的三角形，把1、2和10写在顶点上．其中一条边，1+10=11，那么另外两个空的和为26﹣11=15，因为10用过了，所以只能填7和8；另一条边10+2=12，另外两个空的和为26﹣12=14，所以只能是9和5；再看底边，1+2=3，所以另外两个空只能是11+12=23．这样就还剩下尖向下的三角形三个顶点上的数字，先看底边，7+9=16，那么另外两个空为4和6，最后一个顶点就为3．解答：解：答案如图，9．分析：把1～10填入图中，使五条边上三个○内的数的和相等．五条边上三个○内的数的总和是1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+（a+b+c+d+e）=55+（a+b+c+d+e），a、b、c、d、e是在五条边交点上，重复加两遍的数字，很明显，每条边上的数字和是11+＞11，所以，重复的数字应为大数，探究一下，把1、2、3、4、5放在中间，10放在1 所在边上，（6+7+8+9+10）÷5=40÷5=8，8也在1、10边上，相应其他边为（10、2、7），（7、3、9），（9、4、6，），（6、5、8）每条边上的和为19，如下图：解答：解：如图：10．分析：根据题意，可得1～9九个数的和是：1+2+3+…+8+9=45，根据图，最大的正方形与斜着的正方形再加上中间的圈的数的和是45，根据配对，可知5不能配对，（45﹣5）÷2=20，每个正方形角上的四个数的和是20，再根据题意解答即可．解答：解：根据题意，1～9九个数的和是：1+2+3+…+8+9=45，前后数配对可得，（1、9），（2、8），（3、7），（4、6），5由分析可得，每个正方形角上的四个数的和是：（45﹣5）÷2=20；根据配对，中间一个数字是5，经过尝试，可得如下答案：数阵问题专项练习30题(有答案)ok11．分析：根据题意，设中间的圆圈中的数是A，那么每条线段上三个圆圈内的数相加的和都等于18，也就是1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+A+A+A+A=18×5，然后再进一步解答即可．解答：解：设中间的圆圈中的数是A；根据题意可得：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+A+A+A+A=18×5，66+4A=90，4A=24，A=6；那么每条线段剩下的两个数的和是：18﹣6=12；又因为，1+11=12，2+10=12，3+9=12，4+8=12，5+7=12；分别放到每条线段剩下的两个圆圈中；由以上可得：．12．分析：402﹣95﹣97=210，只有104+106=210，可以先确定这两个空，402﹣96﹣104=202，103+99=202；402﹣96﹣106=200，102+98=200；402﹣97﹣99=206，105+101=206；402﹣95﹣102﹣105=100；正好把98、99、100、101、102、103、104、105、106全部填入．解答：解：答案如图，13．分析：根据题干，可以看出有些圆圈处于三条直线上，而另一些圆圈处于两条直线上，还有一个圆圈处于一条直线上，要想利用“重数”的分析法，有很大的困难，通过分析不难看出有一个圆圈的位置特殊，即A圆圈，除去这个圆圈，剩下的8个圆圈正好组成3行，从它出发就能找到答案．数阵问题专项练习30题(有答案)ok解答：解：如下：除去A圆圈的数字，剩下的8个圆圈恰好组成三行，那么每条直线上所填数字之和为：1+2+3+4+5+6+7+8+9﹣A=3K，所以A一定是3的倍数，也就是说A一定是3或6或9，那么K的值可能是14或13或12，如果A=9，那么右下角圈内只能填1或2，此时右下角的数字至少为10，显然不符合题意．如果A=6，那么每条直线上圈内数之和K=13，而在下图中可以得出B=C+6（比较法），因此D+6+B=C+D+12=13，显然这是错误的．所以只要当A=3时可以得出正确答案如下图：所以K=14．答：K的值是14．14．分析：假设中间的数是a，每条线段上四个○内数的和相等为k，则有：1+2+3+…+10+2a=3k，55+2a=3k，当a=1时，k=57÷3=19，1+2+6+10=19，1+7+8+3=19，1+9+4+5=19，每个三角形三个顶点上○内数的和也相等，2+7+9=18，4+6+8=18，5+3+10=18．符合题意．解答：解：15．分析：把1﹣49这49个数字放入一个7×7的矩阵中，使每行、每列及对角线上的七个数字之和相等，即构造一个7阶幻方．对所有奇数阶幻方的构造，都可以采取“连续摆数法”（猴子跳楼），其法则如下：把“1”放在中间一列最上边的方格中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方．数阵问题专项练习30题(有答案)ok解答：解：这个幻方如下：16．分析：将，，，，，，九个数分别化为分母是12的分数，得到分子分别为6、4、3、2、8、9、1、5、7，而用这连续9个数组成的幻方是熟知的，如下图：再将图中的每个数除以12就是所求．解答：解：答案如下图：17．分析：每行每列的棋子总数是偶数，那么每行和每列的棋子数可能是2个或者4，一共有4行，那么每行的数量分别是：2、2、4、4；一共有5列，所以一列的数量分别是：2，2，2，2；先确定第一列的两个棋子的位置，然后根据每行和每列的棋子数填入方格中．解答：解：○代表棋子，可以这样填：答案不唯一．18．数阵问题专项练习30题(有答案)ok分析：我们可以利用两种方法解答：（1）幻和法：先根据幻和求出中心数：18÷3=6；剩余的每两个数的和是18﹣6=12；由12=2+10=3+9=4+8=5+6；调整每一对数的位置填入表格即可．（2）罗伯法：①居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下写，右出框时左边放，重复便在下格填，出角重复一个样．②在第一行居中的方格内放2，依次向右上方填入3、4、5…；③如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；④如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；⑤如果右上方已有数字和出了对角线，则向下移一格继续填写． 3阶幻方不止这一种填法，只要将2（开始的数）放于四个边格的正中，向幻方外侧依次斜填其余数字；若出边，将数字另放一侧；若目标格已有数字或出角，回一步填写数字，再继续按一开始的相同方向依次斜填其余数字（详见下图按线放法）．解答：解：根据分析填图如下：19．分析：不能，我们把8个三角形顶点的数字加起来，假设相等是m，则8m=大正方形的数字和+3遍中正方形的数字和+2遍小正方形的顶点数字和，各个正方形的数字和都是1+2+3+4=10，代入，8m=60，60不能被8整除，因此得解．解答：解：假设三角形的顶点数字和相等是m，则有：8m=（1+2+3+4）×（1+3+2），8m=60，60不能被8整除，所以m不存在，假设错误．即不能使8个三角形顶点上数字之和相等．答：不能使8个三角形顶点上数字之和相等．20．分析：根据图，先求出各个大圆上每四个数的和，再根据题意进一步解答即可．解答：解：由图可知，这个球体由三个大圆，把这三个大圆的每四个数加起来，正好是1至6六个数加了两次，那么每个大圆四个数的和是：2×（1+2+3+4+5+6）÷3=14，将1到刘分为，（1、6）（2、5）（3、4）；根据尝试可以得出答案．21．分析：要使□里填上1﹣8这8个数字，这8个数字使连线的两个□里的数字不相邻，中间的两个“□”里必然填入两头的数，可把最中间的填入1，中间下面的填入8，“1”的左右分别填入3、4，“8”的左右分别填入5、6，最上面的填入7，这样就完成了填空．解答：解：根据分析填空如下图：22．分析：设两圈相交部分的两个数分别为a和b，每个圆上五数之和为k．根据题意，可得：1+2+3+…+8+a+b=2k，36+a+b=2k，把k=20、21或22代入，即可求出a+b的值，即可确定a、b的值．解答：解：设两圈相交部分的两个数分别为a和b，每个圆上五数之和为k．根据题意，可得：1+2+3++8+a+b=2k，36+a+b=2k；（1）如果k=20，则a+b=4，4=1+3，一组填法．（2）如果k=21，则a+b=6，6=1+5；6=2+4，两组填法．（3）如果k=22，则a+b=8，8=1+7；8=2+6；8=3+5，三组填法．23．分析：因为1+4+7+10+13+16+19+22=92，设正方形四个角上四个数分别为a、b、c、d．因为a、b、c、d被加了两次，所以可设92+a+b+c+d=4k．a+b+c+d取最小值为1+4+7+10=22，92+22=114，114不是4的倍数，又因为每两个数之间相差3，符合以上条件的最小值为120，则四个数的和就是120﹣92=28．解答：解：根据92+a+b+c+d=4k，a+b+c+d取最小值为1+4+7+10=22，92+22=114，114不是4的倍数，又因为每两个数之间相差3，符合以上条件的最小值为120，则四个数的和就是120﹣92=28，1+7+16+4=28．答案如下：24．分析：假设中间两圆交叉处的数是a、b、c、d，则有1+2+3+…+12+a+b+c+d=25×4，78+a+b+C+d=100，a+b+c+d=22，8+7+2+5=22，9+7+8+1=25，10+7+5+3=25，4+8+2+11=25，6+2+5+12=25；解答：解：答案如图，25．分析：假设中间的数字是a，每条直线上的三个数的和都相等是m，列出等式，凑数，即可得解．解答：解：1+2+3+4+5+6+7+2a=3m，28+2a=3m，m=（28+2a）÷3，a和m都必须是整数，把a从1～7这个代入，m是整数的即为解，a=1，m=10；2+7+1=3+6+1=4+5+1=10；a=4，m=12；4+7+1=2+4+6=3+4+5=12；a=7，m=14；1+6+7=2+5+7=3+4+7=14；如下图所示：26．分析：要使和最小，重复数字尽可能要小．因为：1+2+3+…+8+a+a+b+c=3k（a、b、c为重复的数字，k为大圆上的四个数的和），也就是36+2a+b+c=3k，所以2a+b+c的和应是3的倍数，且尽可能小，只有1+1+3+4=9能被3整除且最小，36+9=3k，k=45÷3=15；同样，要使和最大，则考虑重复数字尽可能大，只有8+8+7+4=27能被3整除且最大，36+27=3k，k=63÷3=21．解答：解：根据分析：这个和最大可以是21；最小必须是15．填法如下图：27．分析：10个连续的自然数中第三个的数是9，说明这10个数是7、8、9、10、11、12、13、14、15、16，假设中间的两个方格的数是a、b，3个2×2的正方形中4个数之和为k，则有：7+8+9+…+16+a+b=3k，115+a+b=3k，38+=k，a+b+1必须是3的倍数，当a+b+1=7+10+1=18，或者a+b+1=8+9+1=18时，k最小=38+6=44．解答：解：答案如图，28．数阵问题专项练习30题(有答案)ok分析：因为1+2+…+16=（1+16）×（16÷2）=136，136÷4=34，所以每个正方形内的数的和为34，然后组出4组和为34的4个数，再从每组选出一个能组成和为34的数填入中间的正方形，又因为1+16=17、2+15=17、3+14=17、4+13=17、5+12=17、6+11=17、7+10=17、8+9=17，所以可以把它们两两相组填入图中，同时注意中间的四个数的和为34即可．解答：解：根据分析答案如下图：29．分析：（1）不能，我们把8个三角形顶点的数字加起来，假设相等是m，则8m=大正方形的数字和+3遍中正方形的数字和+2遍小正方形的顶点数字和，各个正方形的数字和都是1+2+3+4=10，代入可得8m=60，60不能被8整除，因此得解．（2）由于每个三角形顶点上数字之和最小可能是1+1+2=4，最大可能是4+4+3=11，故可能使八个三角形顶点上数字之和各不相同．解答：解：（1）假设三角形的顶点数字和相等是m，则有：8m=（1+2+3+4）×（1+3+2），8m=60，60不能被8整除，所以m不存在，假设错误．即不能使8个三角形顶点上数字之和相等．答：不能使8个三角形顶点上数字之和相等．（2）如图所示：30．分析：10棵树栽5行，每行栽4棵，必然有几棵树会处在多行列中，再从10和5的角度出发，寻求突破．组成五星的线有5条，在5个角上各栽一棵树，交叉点各栽一棵树，就完成了设计．解答：解：如图：。

五年级奥数数阵问题

课时3 数阵问题（一）一．数阵填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。

这里，主要讨论一些数阵的填法。

解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。

待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。

试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。

把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。

二．例题精析例1 把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。

先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A＋B＋C＋D ＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。

把两式相比较可知，E=42－35=7，即中间填7。

然后再根据5＋9=6＋8便可把五个数填进方格，如图b。

小试牛刀把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。

2、把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。

3、将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

例2 将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

分析设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b=30×2、即55＋a＋b=60，a＋b=5。

在1——10这十个数中1＋4=5，2＋3=5。

当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2、6，8，9）和（3、5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1、5，9，10）和（4，6，7，8）。

小试牛刀1、把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。

2、把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。

数阵问题专项练习30题有答案ok

数阵问题专项练习30题(有答案)ok数阵问题专项练习30题（有答案）1．如图：5个小三角形的顶点处有6个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等，问这6个质数的积是多少？2．把1～9个数分别填入○中，使每条边上四个数的和相等．3．把1～8这8个数填入图中，使每边上的加、减、乘、除成立．4．把1～9，填入图中，使每条线段三个数和及四个顶点的和也相等．5．将1～8个数分别填入图中，使每个圆圈上五个数和分别为20，21，22．6．把1～12这十二个数，填入下图中的12个○内，使每条线段上四个数的和相等，两个同心圆上的数的和也相等．7．把1～11这11个数分别填入如下图11个○内，使每条虚线上三个○内数的和相等，一共有几种不同的和？8．将1﹣12这十二个数分别填入图中的十二个小圆圈里，使每条直线上的四个小圆圈中的数字之和26．9．把1～10填入图中，使五条边上三个○内的数的和相等．10．下图中有大、小六个正方形，将1～9九个数分别填入圈内，使每个正方形角上的四个数的和都相等．11．将1～11填入下图的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和都等于18．12．将98～106九个数分别填入下图中的空圈内，使每条线上四个数的和都等于402．13．将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入图中的9个圆圈内，使图中每条直线上所填数之和都等于K，问：K 的值是多少？（图中有7条直线）14．将1～10这十个数分别填入下图中的十个○内，使每条线段上四个○内数的和相等，每个三角形三个顶点上○内数的和也相等．15．利用猴子跳楼法，写出1﹣49的数字并且每一行一列对角线上的数字之和相等．16．将，，，，这九个数分别填入图中，使每一横行，每一竖行，两条对角线中三个数的和都相等．17．现将12枚棋子，放在图中的20个方格中，每格最多放1枚棋子．要求每行每列所放的棋子数的和都是偶数，应该怎样放，在图上表示出来．18．把2、3、4、5、6、7、8、9、10填下入面的空格里（三行三列的格子），使横行、竖行、斜行上三个数的和都是18．19．有大、中、小三个正方形，组成了8个三角形，现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个顶点上．请问：能否使8个三角形顶点上数字之和相等？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由．20．将1至6六个数填入下图所示球体的圈内，使球体的各个大圆上每四个数的和都相等．21．在右面□里填上1﹣8这8个数字，这8个数字使连线的两个□里的数字不相邻．22．将1至8八个数分别填入圈内，使每个大圆上五个数的和分别为20、21或22，一共各有几组填法？23．将1、4、7、10、13、16、19、22八个数分别填入圈内；如果正方形每条边上的三个数的和都相等，那么四个角上四个数的和最小是多少？24．将1～12填入下图的空格中，使每个圆内的四个数的和都等于25．25．把1﹣﹣7这七个自然数分别填入下圆圈里，使每条线上的三个数的和相等．26．将1～8八个数分别填入下图的圈内，使三个大圆上的四个数的和都相等．这个和最大可以是多少？最小必须是多少？27．10个连续的自然数中第三个的数是9，把这10个数填入图中的10个方格内，每格填一个数，要求图中3个2×2的正方形中4个数之和相等，那么这个和最小值是_________ ．28．把1～16这16个数，填入图中的16个○内，使五个正方形的四个顶点上○内数的和相等．29．如图中有大、中、小三个正方形，组成了八个三角形．现在把1，2，3，4分别填在大正方形的四个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的四个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的四个顶点上．（1）能不能使八个三角形顶点上数字之和都相等？（如果能，请画草图填出；如不能，请说明理由）（2）能不能使八个三角形顶点上数字之和各不相同？（如果能，请画草图填出；如不能，请说明理由）30．10棵树栽5行，每行栽4棵，你能设计出怎样栽吗？（用△代表树画一画．）参考答案：1．分析：根据题意，每个小三角形三个顶点上的数之和相等，这6个质数都是一样的，但是没有6个相同的质数和是20；把中间的单独看作一个与其它5个质数不一样的质数；因为3×5+5=20；也就是20=3+3+3+3+3+5；然后再进一步解答即可．解答：解：根据题意可得：20=3+3+3+3+3+5；所以，可得：这6个质数的积是：3×3×3×3×3×5=1215．2．分析：首先设三个顶点处的三个数分别为a、b、c，在运算中都加了2次，所以1+2++3+4+5+6+7+8+9+a+b+c=45+a+b+c一定是3的倍数，进一步得出a+b+c也是3的倍数，三个数的和可以是6，9，12，15，18，由此进一步分析得出答案：①当a+b+c=6时，每一条边上的和为（45+6）÷3=17，答案如图①．②当a+b+c=9时，每一条边上的和为（45+9）÷3=18，经计算找不出结论．③当a+b+c=12时，每一条边上的和为（45+12）÷3=19，答案如图②．④当a+b+c=15时，每一条边上的和为（45+15）÷3=20，经计算找不出结论．⑤当a+b+c=18时，每一条边上的和为（45+18）÷3=21，答案如图③．解答：解：由以上分析可得，符合的有三种情况，答案如下：3．分析：由于将1、2、3、4、5、6、7、8分别填入图中8个空格内，由于左边的运算既有除法，也有乘法，又因为8和6的约数不止一个，所以可以确定左上角和右下角的数字一个应该是8和6，然后根据图中的运算即可确定其他数字．①从左上角为6开始，6﹣5=1，1+7=8，8=2×4，6÷3=2；②从左上角为8开始，8﹣7=1，1+5=6，6=3×2，8÷4=2．这样，就完成了填图．解答：解：根据分析答案如下图：4．分析：根据题意，先求出每条线段三个数和及四个顶点的和，再根据题意解答．解答：解：根据题意，1～9的和是：1+2+3+…+8+9=45，有两种配对方式，第一种是：（1、9），（2、8），（3、7），（4、6），5；（1、8），（2、7），（3、6），（4、5），9；根据配对，假设中间的数字是5，那么四个顶点的和是：（45﹣5）÷2=20，每条线段三个数和也为20，20﹣5=15，只有7+8=15，9+6=15，只有两组，与题意不符；假设中间的数字是9，那么四个顶点的和是：（45﹣9）÷2=18，每条线段三个数和也为18；根据配对，尝试可以得出答案：5．分析：1+2+3+4+5+6+7+8=36．①20+20﹣36=4，也就是公共部分两个数的和应该是4，所以中间的两个数应填1和3，左右两边三个数的和相等且为20﹣4=16，左面可填2、6、8，右面可填4、5、7；②21+21﹣36=6，也就是公共部分两个数的和应该，6，所以中间的两个数应填2和4或1和5，左右两边三个数的和相等且为21﹣6=15，中间的两个数填2和4时，左面可填1、6、8，右面可填3、5、7，中间的两个数填1和5时，左面可填3、4、8，右面可填2、6、7；③22+22﹣36=8，也就是公共部分两个数的和应该，8，所以中间的两个数应填1和7、2和6或3和5（有三种填法），左右两边三个数的和相等且为22﹣8=14，以中间的两个数填1和7为例，左面可填2、4、8，右面可填3、5、6．解答：解：根据分析，数字填法如下图：6．分析：1+2+3+…+12=78，使每条线段上四个数的和相等为78÷3=26，两个同心圆上的数的和也相等为78÷2=39，1+12+5+8=26，9+4+10+3=26，2+6+7+11=26，1+7+3+8+11+9=39，2+4+5+6+10+12=39，符合题意．解答：解：由分析答案如下：7．分析：假设中间○内填入的数是a，每条虚线上三个○内数的和是k，则有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+4a=5k，66+4a=5k：当a=1时，k=（66+4）÷5=14；当a=2、3、4、5、时，k不是整数，无解；当a=6时，k=（66+24）÷5=18；当a=7、8、9、10时，k不是整数，无解；当a=11时，k=（66+44）÷5=22；即可得解．一共有3种不同的和．解答：解：把1～11这11个数分别填入如下图11个○内，使每条虚线上三个○内数的和相等，一共有3种不同的和.14、18、22，如下图所示：8．数阵问题专项练习30题(有答案)ok分析：此图可看作由两个三角形组成，先看尖向上的三角形，把1、2和10写在顶点上．其中一条边，1+10=11，那么另外两个空的和为26﹣11=15，因为10用过了，所以只能填7和8；另一条边10+2=12，另外两个空的和为26﹣12=14，所以只能是9和5；再看底边，1+2=3，所以另外两个空只能是11+12=23．这样就还剩下尖向下的三角形三个顶点上的数字，先看底边，7+9=16，那么另外两个空为4和6，最后一个顶点就为3．解答：解：答案如图，9．分析：把1～10填入图中，使五条边上三个○内的数的和相等．五条边上三个○内的数的总和是1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+（a+b+c+d+e）=55+（a+b+c+d+e），a、b、c、d、e是在五条边交点上，重复加两遍的数字，很明显，每条边上的数字和是11+＞11，所以，重复的数字应为大数，探究一下，把1、2、3、4、5放在中间，10放在1 所在边上，（6+7+8+9+10）÷5=40÷5=8，8也在1、10边上，相应其他边为（10、2、7），（7、3、9），（9、4、6，），（6、5、8）每条边上的和为19，如下图：解答：解：如图：10．分析：根据题意，可得1～9九个数的和是：1+2+3+…+8+9=45，根据图，最大的正方形与斜着的正方形再加上中间的圈的数的和是45，根据配对，可知5不能配对，（45﹣5）÷2=20，每个正方形角上的四个数的和是20，再根据题意解答即可．解答：解：根据题意，1～9九个数的和是：1+2+3+…+8+9=45，前后数配对可得，（1、9），（2、8），（3、7），（4、6），5由分析可得，每个正方形角上的四个数的和是：（45﹣5）÷2=20；根据配对，中间一个数字是5，经过尝试，可得如下答案：数阵问题专项练习30题(有答案)ok11．分析：根据题意，设中间的圆圈中的数是A，那么每条线段上三个圆圈内的数相加的和都等于18，也就是1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+A+A+A+A=18×5，然后再进一步解答即可．解答：解：设中间的圆圈中的数是A；根据题意可得：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+A+A+A+A=18×5，66+4A=90，4A=24，A=6；那么每条线段剩下的两个数的和是：18﹣6=12；又因为，1+11=12，2+10=12，3+9=12，4+8=12，5+7=12；分别放到每条线段剩下的两个圆圈中；由以上可得：．12．分析：402﹣95﹣97=210，只有104+106=210，可以先确定这两个空，402﹣96﹣104=202，103+99=202；402﹣96﹣106=200，102+98=200；402﹣97﹣99=206，105+101=206；402﹣95﹣102﹣105=100；正好把98、99、100、101、102、103、104、105、106全部填入．解答：解：答案如图，13．分析：根据题干，可以看出有些圆圈处于三条直线上，而另一些圆圈处于两条直线上，还有一个圆圈处于一条直线上，要想利用“重数”的分析法，有很大的困难，通过分析不难看出有一个圆圈的位置特殊，即A圆圈，除去这个圆圈，剩下的8个圆圈正好组成3行，从它出发就能找到答案．数阵问题专项练习30题(有答案)ok解答：解：如下：除去A圆圈的数字，剩下的8个圆圈恰好组成三行，那么每条直线上所填数字之和为：1+2+3+4+5+6+7+8+9﹣A=3K，所以A一定是3的倍数，也就是说A一定是3或6或9，那么K的值可能是14或13或12，如果A=9，那么右下角圈内只能填1或2，此时右下角的数字至少为10，显然不符合题意．如果A=6，那么每条直线上圈内数之和K=13，而在下图中可以得出B=C+6（比较法），因此D+6+B=C+D+12=13，显然这是错误的．所以只要当A=3时可以得出正确答案如下图：所以K=14．答：K的值是14．14．分析：假设中间的数是a，每条线段上四个○内数的和相等为k，则有：1+2+3+…+10+2a=3k，55+2a=3k，当a=1时，k=57÷3=19，1+2+6+10=19，1+7+8+3=19，1+9+4+5=19，每个三角形三个顶点上○内数的和也相等，2+7+9=18，4+6+8=18，5+3+10=18．符合题意．解答：解：15．分析：把1﹣49这49个数字放入一个7×7的矩阵中，使每行、每列及对角线上的七个数字之和相等，即构造一个7阶幻方．对所有奇数阶幻方的构造，都可以采取“连续摆数法”（猴子跳楼），其法则如下：把“1”放在中间一列最上边的方格中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方．数阵问题专项练习30题(有答案)ok解答：解：这个幻方如下：16．分析：将，，，，，，九个数分别化为分母是12的分数，得到分子分别为6、4、3、2、8、9、1、5、7，而用这连续9个数组成的幻方是熟知的，如下图：再将图中的每个数除以12就是所求．解答：解：答案如下图：17．分析：每行每列的棋子总数是偶数，那么每行和每列的棋子数可能是2个或者4，一共有4行，那么每行的数量分别是：2、2、4、4；一共有5列，所以一列的数量分别是：2，2，2，2；先确定第一列的两个棋子的位置，然后根据每行和每列的棋子数填入方格中．解答：解：○代表棋子，可以这样填：答案不唯一．18．数阵问题专项练习30题(有答案)ok分析：我们可以利用两种方法解答：（1）幻和法：先根据幻和求出中心数：18÷3=6；剩余的每两个数的和是18﹣6=12；由12=2+10=3+9=4+8=5+6；调整每一对数的位置填入表格即可．（2）罗伯法：①居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下写，右出框时左边放，重复便在下格填，出角重复一个样．②在第一行居中的方格内放2，依次向右上方填入3、4、5…；③如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；④如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；⑤如果右上方已有数字和出了对角线，则向下移一格继续填写． 3阶幻方不止这一种填法，只要将2（开始的数）放于四个边格的正中，向幻方外侧依次斜填其余数字；若出边，将数字另放一侧；若目标格已有数字或出角，回一步填写数字，再继续按一开始的相同方向依次斜填其余数字（详见下图按线放法）．解答：解：根据分析填图如下：19．分析：不能，我们把8个三角形顶点的数字加起来，假设相等是m，则8m=大正方形的数字和+3遍中正方形的数字和+2遍小正方形的顶点数字和，各个正方形的数字和都是1+2+3+4=10，代入，8m=60，60不能被8整除，因此得解．解答：解：假设三角形的顶点数字和相等是m，则有：8m=（1+2+3+4）×（1+3+2），8m=60，60不能被8整除，所以m不存在，假设错误．即不能使8个三角形顶点上数字之和相等．答：不能使8个三角形顶点上数字之和相等．20．分析：根据图，先求出各个大圆上每四个数的和，再根据题意进一步解答即可．解答：解：由图可知，这个球体由三个大圆，把这三个大圆的每四个数加起来，正好是1至6六个数加了两次，那么每个大圆四个数的和是：2×（1+2+3+4+5+6）÷3=14，将1到刘分为，（1、6）（2、5）（3、4）；根据尝试可以得出答案．21．分析：要使□里填上1﹣8这8个数字，这8个数字使连线的两个□里的数字不相邻，中间的两个“□”里必然填入两头的数，可把最中间的填入1，中间下面的填入8，“1”的左右分别填入3、4，“8”的左右分别填入5、6，最上面的填入7，这样就完成了填空．解答：解：根据分析填空如下图：22．分析：设两圈相交部分的两个数分别为a和b，每个圆上五数之和为k．根据题意，可得：1+2+3+…+8+a+b=2k，36+a+b=2k，把k=20、21或22代入，即可求出a+b的值，即可确定a、b的值．解答：解：设两圈相交部分的两个数分别为a和b，每个圆上五数之和为k．根据题意，可得：1+2+3++8+a+b=2k，36+a+b=2k；（1）如果k=20，则a+b=4，4=1+3，一组填法．（2）如果k=21，则a+b=6，6=1+5；6=2+4，两组填法．（3）如果k=22，则a+b=8，8=1+7；8=2+6；8=3+5，三组填法．23．分析：因为1+4+7+10+13+16+19+22=92，设正方形四个角上四个数分别为a、b、c、d．因为a、b、c、d被加了两次，所以可设92+a+b+c+d=4k．a+b+c+d取最小值为1+4+7+10=22，92+22=114，114不是4的倍数，又因为每两个数之间相差3，符合以上条件的最小值为120，则四个数的和就是120﹣92=28．解答：解：根据92+a+b+c+d=4k，a+b+c+d取最小值为1+4+7+10=22，92+22=114，114不是4的倍数，又因为每两个数之间相差3，符合以上条件的最小值为120，则四个数的和就是120﹣92=28，1+7+16+4=28．答案如下：24．分析：假设中间两圆交叉处的数是a、b、c、d，则有1+2+3+…+12+a+b+c+d=25×4，78+a+b+C+d=100，a+b+c+d=22，8+7+2+5=22，9+7+8+1=25，10+7+5+3=25，4+8+2+11=25，6+2+5+12=25；解答：解：答案如图，25．分析：假设中间的数字是a，每条直线上的三个数的和都相等是m，列出等式，凑数，即可得解．解答：解：1+2+3+4+5+6+7+2a=3m，28+2a=3m，m=（28+2a）÷3，a和m都必须是整数，把a从1～7这个代入，m是整数的即为解，a=1，m=10；2+7+1=3+6+1=4+5+1=10；a=4，m=12；4+7+1=2+4+6=3+4+5=12；a=7，m=14；1+6+7=2+5+7=3+4+7=14；如下图所示：26．分析：要使和最小，重复数字尽可能要小．因为：1+2+3+…+8+a+a+b+c=3k（a、b、c为重复的数字，k为大圆上的四个数的和），也就是36+2a+b+c=3k，所以2a+b+c的和应是3的倍数，且尽可能小，只有1+1+3+4=9能被3整除且最小，36+9=3k，k=45÷3=15；同样，要使和最大，则考虑重复数字尽可能大，只有8+8+7+4=27能被3整除且最大，36+27=3k，k=63÷3=21．解答：解：根据分析：这个和最大可以是21；最小必须是15．填法如下图：27．分析：10个连续的自然数中第三个的数是9，说明这10个数是7、8、9、10、11、12、13、14、15、16，假设中间的两个方格的数是a、b，3个2×2的正方形中4个数之和为k，则有：7+8+9+…+16+a+b=3k，115+a+b=3k，38+=k，a+b+1必须是3的倍数，当a+b+1=7+10+1=18，或者a+b+1=8+9+1=18时，k最小=38+6=44．解答：解：答案如图，28．数阵问题专项练习30题(有答案)ok分析：因为1+2+…+16=（1+16）×（16÷2）=136，136÷4=34，所以每个正方形内的数的和为34，然后组出4组和为34的4个数，再从每组选出一个能组成和为34的数填入中间的正方形，又因为1+16=17、2+15=17、3+14=17、4+13=17、5+12=17、6+11=17、7+10=17、8+9=17，所以可以把它们两两相组填入图中，同时注意中间的四个数的和为34即可．解答：解：根据分析答案如下图：29．分析：（1）不能，我们把8个三角形顶点的数字加起来，假设相等是m，则8m=大正方形的数字和+3遍中正方形的数字和+2遍小正方形的顶点数字和，各个正方形的数字和都是1+2+3+4=10，代入可得8m=60，60不能被8整除，因此得解．（2）由于每个三角形顶点上数字之和最小可能是1+1+2=4，最大可能是4+4+3=11，故可能使八个三角形顶点上数字之和各不相同．解答：解：（1）假设三角形的顶点数字和相等是m，则有：8m=（1+2+3+4）×（1+3+2），8m=60，60不能被8整除，所以m不存在，假设错误．即不能使8个三角形顶点上数字之和相等．答：不能使8个三角形顶点上数字之和相等．（2）如图所示：30．分析：10棵树栽5行，每行栽4棵，必然有几棵树会处在多行列中，再从10和5的角度出发，寻求突破．组成五星的线有5条，在5个角上各栽一棵树，交叉点各栽一棵树，就完成了设计．解答：解：如图：。

数阵问题

数阵问题（二）把一些数按照一定的要求排成各种各样的图形，这类图形称为数阵图，简称数阵，数阵是由幻方演变而来，数阵图种类繁多，这一讲我们就来讨论学习数阵问题。

学习例题：例1．把3、4、5、6、7这五个数分别填入图中的五个方格里，使横行、竖列三个数的和都是14。

例2．将1~7分别填入图中的○内，使每条线段上三个○内数的和相等。

(请写出三种不同答案)例3．将1~9这9个数分别填入图中的○内，使三角形每边上的四个数之和都等于23。

例4．将5~14这十个自然数填入图中的○内，使每个大圈上六个数的和都相等。

例5．将1~10这十个自然数分别填入图中的十个○内，使各条线段上四个○内数的和相等，每个三角形三个顶点上○内数的和也相等。

例6．如图，正方体的每一个角上有一个小圆圈。

请你把1~8这8个数分别填到小圆圈中，使正方体每个面上的4个数字之和都相等。

思考与练习：1.把1~9这九个数填入“七一”的每个小方格内，使每个横行、竖行的数字和都是13。

2.将1~7这7个数分别填入图中的○里，使每条线上3个数的和等于10。

3.将1~9这九个自然数分别填入图中九个小三角形中，使每四个小三角形组成的大三角形内的四个数的和等于20。

4.将1~13这13个数分别填入图中的○里，使每条线段上四个○内的数之和相等。

5.将1~11填入图中的○内，使得每条线段上的三个圆圈内数字之和等于22。

6.将1~10这10个自然数填入图中○中，使五边形每条边上的三个数之和相等，并使和尽可能地小。

7.将1~8这8个数填入图中的方格中，使上面四格、下面四格、左面四格、右面四格、中间四格、对角线四格和四角四格内四个数相加的和都是18。

8.将1~9这九个自然数填入图中○内，使对角线上五个○内数的和相等，每个正方形四个顶点上数的和也相等。

9.将1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字填入下图中，使每条线上的数字和相等。

10.将9～23这15个自然数分别填在图中15个顶点处，使每个正方形4个顶点处4个数的和相等，而且也等于中间这个五边形5个顶点处5个数字的和，这个相等的和是多少？请将这15个数分别填在图中的15个顶点处，使它们符合题意。

经典奥数题及答案

一.数阵问题1.下面的数阵, 第14行第11个数是（180），2012位于第（45 ）行第（ 76）个解：n*2-1=14*2-1=27 1+3+5+...+27=196196-（27-11)=18045*45=2025 2025-2012=1345*2-1-13=762.将自然数按下列顺序排列，2012在（59）行（5）列。

解：n*(n-1)/263*64/2=2016 2016-2012+1=564-5=593.将奇数列1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，…按下表排列．其中第11行第l0列的数为（401）．解：n*n+n-1 n=行+列-111+10-1=20 20*20+(20-1)=419419-2*（20-11）=4014.下列各数，第15行最左边的数是（393）？第17行第11个数是(533），1001位于第（23）行第（17）个。

解：n*n*2-114*14*2-1+2=39316*16*2-1+11*2=53322*22*2-1=967 (1001-967)/2=175.自然数按如下方式排列，则401在第（39 ）拐弯处。

第36次拐弯是（343）。

700到2012之间有( 38 )个拐角数.解：1+1+1+2+2+3+3......401-1=400=20*20 20*2-1=3936/2=18 （1+2+3+...+18）*2+1=34326*27=702 44*45=1980（44-26+1）*2=38二.计数问题1.上体育课时,我们几个同学站成一排,从1开始顺序报数,除我以外的其他同学报的数之和减去我报的数恰好等于500, 问:共有多少个同学? 我报的数是几? 解：（1+32）*32/2=528（个）（528-500）/2=1432人 142.一本书中间的某一张被撕掉了，余下的各页码数之和是1133，这本书有多少页．解：1+2+3+...+48=1176（页）48页3..把从1开始的自然数依次写出来,得到1234567…将它从左至右每四个数码分为一组成为一个四位数,1234，5678,9101,1121,3141..第120个四位数是（5126）。

数阵问题小学数学巩固提高

一、填空题
1. 在下图（1）中，每边上的数加起来之和都是 5，所有数的和是 12，现用任何数
字重新排列填入图（2）、（3）中，使每边的数字之和仍为 5，但全部数的和是13、 14。

2. 把1~10这10个数填入图中,使五条边上三个○内的数的和相等。

3. 把 1～9 分别填入下图的圆圈中，使七个三角形（四个小三角形、三个大三角形）中每个三角形的三个顶点圆圈内的数的和相等。

4. 将自然数按以下规律排列，则2012所在的位置是第______行第______列．
5. 把1～7填入下图中，使每条线段上三个○内的数的和相等。

二、解答题
6. 在图中的A、B、C三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得正方形每条边上的三个数之和都相等，那么圆圈A中应填的数是多少？
7. 请在图的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和．
8. 如图，三个正方形组成八个三角形，现把每个正方形四个顶点上都分别填上 2，3， 4， 5 这四个数，使得八个三角形三个顶点上数的和为连续的八个自然数，这连续的八个自然数各是多少？
9. 小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，上面写着：把10至20这11个数分别填入右图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？。

小学数学解题方法、思路归纳14：小学数学数阵问题

102
103
书”。

而这种“河图”和“洛书”的形象最早是宋人根据郑玄的《乾凿度》中的“载九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”造出来的。

如下图所示，我们填写的方阵图正好与这种“河图”、“洛书”的形象完全一致。

“洛书”作为数字方阵，也就是我们所说的三阶幻方。

直到现在，仍然是许多数学家和数学爱好者感兴趣的问题。

其实，在三阶方阵里填写的数不一定是从1开始的自然数，可以从任何一个数开始，这一列数可以是任何一个等差数列。

二、五阶幻方
我们继续用上面的调整法来制作五阶幻方。

将数1到25按自然排列排成一个5阶方阵，如图（6）所示。

按照幻方的要求，五行、五列、两条对角线上的5个数的和应该相等。

我们首先计算这个和应该等于多少。

由于1＋2＋3＋……＋24＋25=65，而65÷5=13，这说明5阶幻方与3阶幻方一样，中心位置的数应该是13。

在图（5）中，两条对角线、第三行、第三列的5个数的和已经都等于65：1＋7＋13＋19＋25=65；5＋9＋13＋17＋21=65
像三阶幻方那样，我们仍然采用下面的“对角线”法则对图（6）的元素作下列调整：（1）将两条对角线上的元素绕中心旋转45度得图（7）或图（8）：
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