§6.2正则,正规,T3,T4空间

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X {1, 2,3} , T= { ,{1},{2},{1, 2}, X }
易知它是正规空间；
但它不是正则空间，这是因为在 拓扑空间中1和｛2，3｝，没有它们 各自的开邻域互不相交.
定义6.2.4 正则的T1空间称为T3 空间,正规的T1空间称为T4空间.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
注: T4 T3 T2 T1 T0 定理6.2.3 每一个度量空间都是 T4空间.
§6.2 正则，正规，T3 ,T4空间
定义6.2.1 设X是一个拓扑空间，
A,U X . 若 A U
集合A的一个邻域.
换言之
，则称U是
特别的，若U还是一个开集（闭集）， 则称U是A的一个开（闭）邻域.
继续
也可以换一个说法
若存在一个开集V满足:
AV U
则称U是A的一个邻域.
定义6.2.2 设X是一个拓扑空 间，若X中的任何一个点x和任何
证明:易知度量空间是Hausdorff 空间，因而是T1空间，下面只需证明
它是正规空间. 令U
xA
见下图
B( x, ( x)) V
B( y, ( y))
yB
则有 U V ，从而度量空间是正 规空间,因而是T4空间.
证明 继续
继续
Ax
y
B
作业：1,2,6
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非正规空间的例子
继续
继续
•(R,T1)是一个Hausdorff空间;
•(R,T1)不是一个正则空间; •(R,T1)不是一个正规空间;
证明
继续
(1) K是T1中的闭集;
(2) 0和K在T1中没有互不相交的 开邻域,因而(R,T1)不是正则空间;
(3) {0}也是T1中的闭集,由(2)知(R,T1) 也不是正规空间
继续
A
A x
定义6.2.3 设X是一个拓扑空间, 若X中任意两个互不相交的闭集A、B
都各有一个开邻域U、V，满足
U V
则称拓扑空间X 是一个正规空间.
A
B
定理6.2.2 设X是一个拓扑空 间.则X是一个正规空间当且仅当
对于任何一个闭集 A X 和A的 任何一个开邻域U，存在A的一个
一 个不包含x的闭集A都各有一个 开邻域U,V，使 得 U V ，
则称X是一个
.
x
A
定理6.2.1 X 是一个拓扑空间, 则 X 是一个正则空间当且仅当对于
任 何点
V U
x X
和 x 的任意一个邻
域U,存在一个 x 的开邻域V使得:
证明: 必要性 设X是一个正则空
间,U是 x 的任何一个开邻域,则 U 是 不包含 x 的闭集, 图示
从而 x 和
U 分别有开邻域 V
和V1 使
得 V V1 ,从而 V V1 ,
所以 V V1 V1 U .
继续
U
x
U
充分性
对任意的x∈X和不包含x
图 的任意闭集A,则 A是x的一个开邻域,
故有x的开邻域U 使得 U A , 令 V U ' ,则有 A V ,所以V是A 的一个开邻域,并且有 U V , 这说明X是一个正则空间.
开邻域V，使得 V U .
设X＝{1,2,3} , T
{, X ,{1},{2,3}}
正则且正规的空间 但非T0,T1,T2空间的例子
记 T 为实数空间的通常拓扑 设
K { n Z ,}
1 n
T1 = {G E G T , E K}
则T1是R的一个拓扑
T2空间但非正则、