高中数学课本典例改编之必修四、五：专题一 三角函数

一、题之源：课本基础知识 1．角的有关概念(1)从运动的角度看,角可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看,角可分为象限角与轴线角．(3)若β与α是终边相同的角,则β用α表示为β＝2k π＋α,k ∈Z ． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是零．(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad,1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°． (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ,扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2．3．任意角的三角函数4．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α．5．六组诱导公式6.正弦、余弦、正切函数的图象与性质7．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念8.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示：二、题之本：思想方法技巧1．要注意锐角与第一象限角的区别,锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集,即锐角是第一象限角,但第一象限角不一定是锐角．2．在同一个式子中,采用的度量制必须一致,不可混用．如α＝2k π＋30°(k ∈Z ),β＝k ·360°＋π2(k ∈Z )的写法都是不正确的．3．一般情况下,在弧度制下计算扇形的弧长和面积比在角度制下计算更方便、简捷．4．已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值,若含有参数,则要注意对可能情况进行分类讨论．5．牢记各象限三角函数值的符号,在计算或化简三角函数关系时,要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论．6．2k π＋α表示与α终边相同的角,其大小为α与π的偶数倍(而不是整数倍)的和,是π的整数倍时,要分类讨论．如：(1)sin(2k π＋α)＝sin α；(2)sin(k π＋α)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin α（k 为偶数），－sin α（k 为奇数）＝(－1)k sin α.7．在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．8．诱导公式用角度制和弧度制表示都可,运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取．9．已知一个角的某一个三角函数值,求这个角的其他三角函数值,这类问题用同角三角函数的基本关系式求解,一般分为三种情况：(1)一个角的某一个三角函数值和这个角所在的象限或终边所在的位置都是已知的,此类情况只有一组解． (2)一个角的某一个三角函数值是已知的,但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出,解答这类问题,首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置,然后分不同的情况求解．(3)一个角的某一个三角函数值是用字母给出的,此类情况须对字母进行讨论,并注意适当选取分类标准,一般有两组解．10．计算、化简三角函数式常用技巧(1)减少不同名的三角函数,或化切为弦,或化弦为切,如涉及sin α,cos α的齐次分式问题,常采用分子分母同除以cos n α(n ∈N *),这样可以将被求式化为关于tan α的式子． (2)巧用“1”进行变形,如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan45°等． (3)平方关系式需开方时,应慎重考虑符号的选取．(4)理解sin α±cos α,sin αcos α的内在联系,利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α,可知一求二． 常见结论：①2(sin cos )1sin 2;ααα±=± ②；ααα2cos cos sin 44-=-③；αααα2244cos sin 21cos sin -=+④；αααα2242cos sin 1cos sin-=+⑤12tan tan sin 2ααα+=； ⑥12tan .tan tan 2ααα-=-11．三角函数的定义域、值域 (1)三角函数的定义域的求法三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提,求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)．一般可用三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解．列三角不等式时,要考虑全面,避免遗漏,既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1,又要考虑三角函数本身的定义域(如正切函数等)． (2)三角函数值域的求法三角函数的值域问题,大多是含有三角函数的复合函数值域问题,常用的方法为：化为代数函数的值域,也可以通过三角恒等变形化为求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的值域；或化为关于sin x (或cos x )的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域． 12．判断三角函数的奇偶性判断函数的奇偶性,应先判定函数定义域的对称性,注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中,对每个函数而言,“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下,需先对函数式进行化简,再判断其奇偶性．13．求三角函数的周期(1)求三角函数的周期,通常应将函数式化为只有一个函数名,且角度唯一,最高次数为一次的形式,然后借助于常见三角函数的周期来求．(2)三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成y ＝A sin(ωx ＋φ),或y ＝A tan(ωx ＋φ)等类型后,用基本结论T ＝2π|ω|或T ＝π|ω|来确定；③根据图象来判断．⑶4424sin cos ,sin cos y x x y x x =+=+的最小正周期都是2π。

14．三角函数的单调性(1)三角函数单调区间的确定,一般先将函数式化为基本三角函数标准式,然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法,参见“2.2函数的单调性与最大(小)值”．(2)利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内,不属于的,可先化至同一单调区间内．若不是同名三角函数,则应考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与0比较,与1比较等)求解．15．五点法作函数图象及函数图象变换问题(1)当明确了函数图象基本特征后,“描点法”是作函数图象的快捷方式．“五点法”作图的优点是用简单的计算、列表、描点替代图形变换,不易出错,且图形简洁．(2)在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,而“先伸缩,后平移”也经常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,但要注意：先伸缩后平移时要把x 前面的系数提取出来． 16．根据y ＝A sin(ωx ＋φ),x ∈R 的图象求解析式的步骤： (1)首先确定振幅和周期,从而得到A 与ω.1)A 为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最小值的差的一半．2)ω由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x 轴的交点是其对称中心,相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的14个周期(借助图象很好理解记忆)．(2)求φ的值时最好选用最值点求．峰点：ωx ＋φ＝π2＋2k π； 谷点：ωx ＋φ＝－π2＋2k π.也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点． 升零点(图象上升时与x 轴的交点)：ωx ＋φ＝2k π；降零点(图象下降时与x 轴的交点)：ωx ＋φ＝π＋2k π(以上k ∈Z )．17.)(x f =）（ϕω+x A sin ），（00≠≠ωA 的图象关于直线x=t 对称⇔)(t f =±A ； )(x f =）（ϕω+x A sin ），（00≠≠ωA 的图象关于点（t,0）对称⇔)(t f =0； 18．三角函数模型的三种模式在现实生活中,许多变化的现象都具有周期性,因此,可以用三角函数模型来描述．如：气象方面有温度的变化,天文学方面有白昼时间的变化,物理学方面有各种各样的振动波,生理方面有人的情绪、智力、体力变化等．研究这些应用问题,主要有以下三种模式：①给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型,结合三角函数的性质,解决一些实际问题； ②给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数,再解决其他问题；③搜集一个实际问题的调查数据,根据数据作出散点图,通过拟合函数图象,求出可以近似表示变化规律的函数式,进一步用函数性质来解决相应的实际问题． 19．三角函数应用问题解题流程三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题,利用三角函数的周期性、有界性等,可以解决很多问题,其解题流程大致是：审读题目,理解题意→设角,建立三角函数模型→分析三角函数的性质→解决实际问题．其中根据实际问题的背景材料,建立三角函数关系,是解决问题的关键．在解决实际问题时,要具体问题具体分析,充分运用数形结合的思想,灵活运用三角函数的图象和性质． 三、题之变：课本典例改编1.原题（必修4第十页A 组第五题）改编1 下列说法中正确的是( ) A ．第一象限角一定不是负角 B ．－831°是第四象限角C ．钝角一定是第二象限角D ．终边与始边均相同的角一定相等 【答案】C.【解析】－330°＝－360°＋30°,所以－330°是第一象限角,所以A 错误；－831°＝(－3)×360°＋249°,所以－831°是第三象限角,所以B 错误；0°角,360°角终边与始边均相同,但它们不相等,所以D 错误． 改编2 已知θ为第二象限角,那么3θ是（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角 C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角 【答案】D.【解析】36090360180,,1203012060,3k k k z k k k z θθ+〈〈∙+∈∴∙+〈〈∙+∈（1）当()3,36030360180,,3k n n z n n n z θ=∈∙+〈〈∙+∈时此时3θ为第一象限角；（2）当()31,360150360180,,3k n n z n n n z θ=+∈∙+〈〈∙+∈时此时3θ为第二象限角；（3）当()32,360270360300,3k n n z n n θ=+∈∙+〈〈∙+时此时3θ为第四象限角.选D.改编3 设α角属于第二象限,且2cos2cosαα-=,则2α角属于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C.2.原题（必修4第十页B 组第二题）改编 时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( ) A.143 π B ．－143 π C.718 π D ．－718π【答案】B.【解析】 显然分针在1点到3点20分这段时间里,顺时针转过了两周又一周的13,用弧度制表示就是－4π－13×2π＝－143π.故选B.3.原题（必修4第十九页例6）改编 （1）已知sin α 13=,且α为第二象限角,求tan α；（2）已知sin α= m (0,1)m m ≠≠±,求tan α.4.原题（必修4第十九页例7）改编 若sin cos 1,sin cos 1,a b ab θθθθ+=-=则的值是（ ）A. 0B. 1C. -1D. 【答案】B.【解析】由已知有：sin 1cos ,sin 1cos a b θθθθ=-=+； 两式相乘得：()()2sin 1cos 1cos ab θθθ=-+221c o s s i n θθ=-=()21sin 0sin 01ab ab θθ∴-=≠∴=又5.原题（必修4第二十二页习题1.2B 组第二题）改编为（ ）A. 2tan x C. 2tan x -B. 2tan x ± D. 不能确定 【答案】C.【解析】C .原式=2tan 2,4432tan 2,44x x k k x x k k ππππππππ⎧⎛⎫∈-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-∈++ ⎪⎪⎝⎭⎩6.原题（必修4第二十二页B 组第三题）改编 已知tan 2α=,计算：（1）2sin cos sin 2cos αααα-+；（2）22sin sin cos 2cos αααα+-【解析】（1）原式2tan 13tan 24αα-==+；（2）原式2222sin sin cos 2cos sin cos αααααα+-=+ 22tan tan 24tan 15ααα+-==+7.原题（必修4第二十三页探究）改编1( ) A.sin 2cos 2+ B.cos 2sin 2- C.sin 2cos 2- D.±cos 2sin 2- 【答案】C.改编2 设函数()sin()cos()4f x a x b x αβ=π++π++(其中βα、、、b a 为非零实数),若5)2001(=f ,则(2010)f 的值是( )A.5B.3C.8D.不能确定 【答案】B.【解析】(2001)sin(2001)cos(2001)4sin()cos()f a b a b παβαβ=++π++=π++π+sin cos 45a b αβ=--+=,sin cos 1a b αβ∴--=,(2010)sin(2010)cos(2010)4sin cos 4143f a b a b αβαβ=π++π++=++=-+=8.原题（必修4第二十七页例4）改编 已知角x 终边上的一点P （-4,3）,则()cos sin 29cos sin 22x x x x ππππ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为 .【解析】()cos sin sin sin 2tan 9sin cos cos sin 22x x x x x x x x x ππππ⎛⎫+-- ⎪-∙⎝⎭==-∙⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,根据三角函数的定义,可知 33tan ,=-tan 44y x x x ==-=所以原式 9.原题（必修4第四十一页练习题6）改编 函数12log cos 34x y π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递增区间 为 .【答案】 ()336,644k k k z ππππ⎡⎫-++∈⎪⎢⎣⎭10.原题（必修4第五十三页例1）改编 设ω>0,函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合,则ω的最小值是( )A.23B.43C.32 D ．3 【答案】C.【解析】函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移4π3个单位所得的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4π3ω,又因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合,∴4π3ω＝2kπ⇒ω＝32k(k ∈Z),∵ω>0,∴ω的最小值为32,故选C.11.原题（必修4第五十六页练习题3）改编 s i n 24y xπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的振幅为______,频率和初相分别为______,______.【解析】 21π4π-12.原题（必修4第五十八页例4）改编 某正弦交流电的电压v （单位V ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是 ),[0,)6v t t ππ=-∈+∞.（1）求该正弦交流电电压v 的周期、频率、振幅； （2）当1600t =,160时,求瞬时电压v ； （3）将此电压v 加在激发电压、熄灭电压均为84V 的霓虹灯的两端,求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（说明：加在霓虹灯管两端电压大于84V 时灯管才发光. 1.4）13.原题（必修4第六十页例2）改编 在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、2tan(2)3y x π=+中,最小正周期为π的函数的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】sin y x =中,利用含绝对值函数和奇偶性的知识作出函数图象如下,可知sin y x =不是周期函数；x y sin =的最小正周期为π,课本上已有解答；由公式可知)322sin(π+=x y 的最小正周期为π,2tan(2)3y x π=+的最小正周期为2π.故答案选B.14.原题（必修4第六十九页复习参考题A 组第八题）改编 已知1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根,且παπ273<<,求2sin cos sin ααα+的值． 【解析】21tan 31,2tan k k αα⋅=-=∴=±,而παπ273<<,则1tan 2,tan k αα+==得tan 1α=,则 222222sin cos sin tan tan sin cos sin 1cos sin 1tan ααααααααααα+++===++. 15.原题（必修4第七十一页复习参考题B 组第六题）改编 已知222121,y x y u x x-==+则的值域 为 .【解析】221,x y -=()22221cos tan 12tan cos 2sin sin 2sin 1sec sin 12,1sin 1x sec y u sec θθθθθθθθθθθθ⎧==⎪∴⎨⎪=⎩∴=+=+=-++=--+-〈〈可设其中 sin u θ随的增大而增大.sin 12,sin 12u u θθ→-→-→→又当时，当时， ∴所求值域为（-1,2）.。