高中数学必修五 知识点总结【经典】
高中数学必修五知识点大全

知识点串讲必修五第一章:解三角形1.1.1正弦定理1、正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即sin sin abA B =sin cC =一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。
2、已知∆ABC 中,∠A 060=,a =求sin sin sin a b c A B C++++ 证明出sin sin a b A B =sin c C ==sin sin sin a b c A B C++++ 解:设sin sin a b A B =(>o)sin c k k C== 则有sin a k A =,sin b k B =,sin c k C = 从而sin sin sin a b c A B C ++++=sin sin sin sin sin sin k A k B k C A B C++++=k又sin a A =2k ==,所以sin sin sin a b c A B C++++=2 评述:在∆ABC 中,等式sin sin a b A B =sin c C ==()0sin sin sin a b c k k A B C ++=>++ 恒成立。
3、已知∆ABC 中,sin :sin :sin 1:2:3A B C =,求::a b c(答案:1:2:3)1.1.2余弦定理1、余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-从余弦定理,又可得到以下推论:222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba2、在∆ABC 中,已知=a c 060=B ,求b 及A⑴解:∵2222cos =+-b a c ac B=222+-⋅cos 045=2121)+-=8∴=b求A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:⑵解法一:∵cos 2222221,22+-=b c a A bc ∴060.=A解法二:∵sin 0sin sin45,=a A B b2.4 1.43.8,+=21.8 3.6,⨯=∴a <c ,即00<A <090,∴060.=A评述:解法二应注意确定A 的取值范围。
高中数学必修五知识点总结

高中数学必修五知识点总结一、代数部分:1.多项式的基本概念与运算:包括多项式的定义、次数、系数、单项式、多项式的加减乘除等。
2.因式分解与提取公因式:掌握对多项式进行因式分解与提取公因式的方法,包括一元二次、三项完全平方差、简单三项和复杂多项式的因式分解。
3.方程与不等式:掌握一元二次方程与一元二次不等式的解法,包括配方法、公式法、图像法和根与系数关系等。
4.等差数列与等比数列:了解等差数列和等比数列的概念、公式及其应用,包括求和公式、通项公式、项数和值与项数关系等。
二、函数部分:1.函数的基本概念与性质:掌握函数的定义、函数图像、值域、定义域、奇偶性等基本性质。
2.一次函数与二次函数:了解一次函数和二次函数的定义、图像、性质和特征等,包括函数的增减性、最值、交点、轴对称点等内容。
3.三角函数:熟练掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、图像、性质和应用,包括变化规律、周期、幅值、对称性和反函数等。
4.指数函数与对数函数:了解指数函数和对数函数的定义、性质和应用,包括指数函数的增减性和指数函数与对数函数的互逆关系等。
三、几何部分:1.平面向量与坐标表示:了解平面向量的定义、平移、线性运算和坐标表示方法,包括平面向量的加减、数量积和向量共线的判定等。
2.绝对值与不等式:熟练掌握绝对值的性质和变形,以及利用绝对值解决各种绝对值不等式的方法。
3.平面几何应用:包括相似三角形的判定与性质、三角形的三边、两边一角和正弦定理、余弦定理及其应用等内容。
四、概率与统计部分:1.事件与概率:了解事件和概率的基本概念和性质,包括样本空间、事件的发生、概率公理及其应用等。
2.随机变量与概率分布:掌握离散型和连续型随机变量及其概率分布的定义、性质和应用,包括离散型随机变量的期望和方差的计算等。
3.抽样与统计推断:了解统计样本、样本估计和假设检验的基本原理和方法,包括样本均值、样本比例的估计和显著性检验等。
五、数学建模部分:1.数学建模的基本步骤:掌握数学建模中的问题分析和模型假设、模型建立、模型求解和模型评价等基本步骤。
数学高二必修5总结知识点

数学高二必修5总结知识点高中数学必修5总结知识点1. 二次函数二次函数是高中数学中的重要内容,涉及到顶点、开口方向、对称轴、判别式等概念。
其标准形式为:$y = ax^2 + bx + c$。
其中,$a$决定了开口方向和开口大小,$b$决定了对称轴的位置,$c$则是函数图像与$y$轴的截距。
2. 三角函数三角函数是研究三角形的函数关系,包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
要求掌握它们的定义、性质和图像变化规律,以及相关的三角恒等式和解三角方程的方法。
3. 指数与对数函数指数函数是形如$y = a^x$的函数,对数函数是指满足$y =\log_a{x}$的函数。
要理解指数函数的增长特点和对数函数的性质,并能运用指数对数变换解决实际问题。
4. 数列与数列的表示数列是有序的一串数,常见的数列有等差数列和等比数列。
重点掌握数列的通项公式和求和公式,能够利用数列的性质解决实际问题。
5. 概率与统计概率与统计是数学中的实际应用领域,包括事件的概率、随机变量、概率分布函数、统计参数等。
要熟悉概率计算和统计分析的方法,能够进行数据收集、整理和分析,并推断出相应的结论。
6. 三角恒等式三角恒等式是指在三角函数中成立的等式关系。
理解和掌握常见的三角恒等式,能够运用它们化简复杂的三角函数表达式,解决与三角函数相关的各种问题。
7. 坐标系与向量坐标系是直角坐标系和极坐标系两种,分别对应平面上点的位置和向量的表示。
要能够在不同坐标系下进行坐标变换,了解向量的基本概念和运算法则,并能运用向量解决平面几何问题。
8. 解析几何解析几何是坐标系与几何图形的统一表示方法,重点掌握直线和圆的方程、位置关系和性质,能够用解析几何的方法解决相关问题。
9. 导数与微分导数是函数在某一点处的变化率,微分是导数的基本运算。
要能够求函数的导数,掌握导数的基本性质和求导法则,并能应用导数解决最值、极值等问题。
10. 不等式与线性规划不等式是用来表示数之间大小关系的符号,线性规划是利用不等式求解最优问题。
必修5数学知识点总结

必修5数学知识点总结在必修5数学课程中,有许多重要的知识点需要我们掌握和理解。
这些知识点不仅对我们学习数学课程有着重要的指导作用,也对我们日常生活中的问题解决有着积极的影响。
下面我将对必修5数学知识点进行总结,希望能够帮助大家更好地理解和掌握这些知识。
一、函数与导数。
在必修5数学课程中,函数与导数是一个非常重要的知识点。
函数是描述两个变量之间关系的一种数学工具,而导数则是函数的变化率。
通过学习函数与导数,我们可以更好地理解和描述各种变化规律,例如物体的运动规律、曲线的变化趋势等。
同时,函数与导数也是许多其他数学知识的基础,例如微积分、微分方程等。
二、三角函数与三角恒等变换。
三角函数是必修5数学课程中的另一个重要知识点。
三角函数描述了角度和直角三角形的边长之间的关系,是解决角度和边长相关问题的重要工具。
而三角恒等变换则是三角函数的重要性质,通过三角恒等变换,我们可以将复杂的三角函数式子简化为更简单的形式,从而更方便地进行计算和推导。
三、概率与统计。
概率与统计是必修5数学课程中的另一个重要内容。
概率是描述随机事件发生可能性的数学工具,而统计则是描述和分析数据的数学方法。
通过学习概率与统计,我们可以更好地理解和预测各种随机事件的发生规律,同时也可以更好地分析和解释各种数据的特征和规律。
四、向量与空间几何。
向量与空间几何是必修5数学课程中的另一个重要知识点。
向量是描述空间中方向和大小的数学工具,而空间几何则是描述空间中图形和位置的数学方法。
通过学习向量与空间几何,我们可以更好地理解和描述各种空间中的图形和位置关系,同时也可以更好地解决各种空间中的几何问题。
五、数学证明。
数学证明是必修5数学课程中的另一个重要内容。
数学证明是数学思维和逻辑推理的重要体现,通过学习数学证明,我们可以更好地培养自己的逻辑思维能力和数学推理能力,同时也可以更好地理解和掌握各种数学定理和结论。
总结。
通过对必修5数学知识点的总结,我们可以看到,这些知识点不仅在数学课程中具有重要的地位,同时也在我们日常生活中具有重要的应用价值。
数学必修五知识点总结10篇

数学必修五知识点总结数学必修五知识点总结10篇数学必修五知识点总结1一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性:(1) 元素的确定性,(2) 元素的互异性,(3) 元素的无序性,3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2) 集合的表示方法:列举法与描述法。
注意:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集) 记作:N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1) 列举法:{a,b,c……}2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}4) Venn图:4、集合的分类:(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即:① 任何一个集合是它本身的子集。
A?A②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)③如果 A?B, B?C ,那么 A?C④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’),即A B={x|x A,且x B}.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B 的并集.记作:A B(读作‘A并B’),即A B ={x|x A,或x B}).设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)二、函数的有关概念1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.注意:1.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
高中数学必修5全册知识点总结(理科)

高中数学必修5知识点第一章解三角形(一)解三角形:1、正弦定理:在C ∆AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,,则有2sin sin sin a b c RC ===A B (R 为C ∆AB 的外接圆的半径)2、正弦定理的变形公式:①2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =;②sin 2a R A =,sin 2b R B =,sin 2c C R=;③::sin :sin :sin a b c C =A B ;3、三角形面积公式:111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆A B =A ==B .4、余弦定理:在C ∆AB 中,有2222cos a b c bc =+-A ,推论:222cos 2b c abc+-A =第二章数列1、数列中n a 与n S 之间的关系:11,(1),(2).n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩注意通项能否合并。
2、等差数列:⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即n a -1-n a =d ,(n≥2,n∈N +),那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项:若三数a A b 、、成等差数列2a bA +⇔=⑶通项公式:1(1)()n m a a n d a n m d=+-=+-或(n a pn q p q =+、是常数).⑷前n 项和公式:()()11122n n n n n a a S na d -+=+=⑸常用性质:①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,,则q p n m a a a a +=+;②下标为等差数列的项() ,,,2m k m k k a a a ++,仍组成等差数列;③数列{}b a n +λ(b ,λ为常数)仍为等差数列;④若{}n a 、{}n b 是等差数列,则{}n ka 、{}n n ka pb +(k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、,…也成等差数列。
高中数学必修五知识点归纳

高中数学必修五知识点归纳高中数学必修五知识点归纳高中数学必修五是国内高中数学教育中的一门重要课程。
下面将对该课程中的一些重要知识点进行归纳总结,希望能够帮助学生更好地掌握这门课程。
1. 二次函数二次函数是高中数学中的重要内容,在解题中经常会遇到。
学生需要掌握二次函数的基本定义、图像特征、性质和基本操作。
重点内容包括:二次函数的标准形式、顶点形式和交点式等表示方法;二次函数的图像特征,例如顶点、对称轴、开口方向、开口程度等;二次函数的性质,例如函数的单调性、最值、零点、定义域和值域等。
2. 三角函数三角函数是数学中的一类特殊函数,常用于解决与角度相关的问题。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等,学生需要掌握它们的定义、性质和基本操作。
重点内容包括:三角函数的周期性、奇偶性;三角函数的图像、值域和区间(例如各函数图像的振幅、相位差);三角函数的基本关系(例如正切函数与正弦函数、余弦函数的关系)。
3. 三角恒等式三角恒等式是指在三角函数中成立的恒等式,理解和应用三角恒等式是解决三角函数问题的关键。
学生需要掌握一些常用的三角恒等式,例如和差公式、倍角公式、半角公式等,同时还需要知道如何利用这些恒等式来简化等式和证明等式。
4. 常用数列数列是一系列有规律的数按照一定次序排列而形成的序列。
在高中数学中,常用数列有等差数列、等比数列和等比数列。
学生需要掌握数列的基本定义、性质和运算法则。
重点内容包括:等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式、求和公式,以及在实际问题中如何应用常用数列。
5. 概率与统计概率与统计是高中数学必修五中的另一个重要内容,它是数学与现实生活相结合的一门学科。
学生需要掌握概率的基本概念,例如样本空间、随机事件和概率的计算方法,同时还需要掌握一些常用的统计方法,例如均值、中位数、众数、极差和标准差等。
6. 解析几何解析几何是数学中的一个分支学科,它将代数和几何相结合,用代数方法研究几何问题。
高中数学必修5的知识点

2.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 3.解线性规划实际问题的步骤:
(1)将数据列成表格; ( 2)列出约束条件与目标函数; ( 3)根据求最值方法:①画:画可行域;②移:移
与目标函数一致的平行直线;③求:求最值点坐标;④答;求最值;
( 4)验证。
两类主要的目标函数的几何意义 :
高中数学必修 5 知识点总结
(一)解三角形:
1、正弦定理:在
C 中, a 、 b 、 c 分别为角 、 、 C 的对边,,则有 a
b
c 2R
sin sin sin C
( R为
C 的外接圆的半径 )
2、正弦定理的变形公式:① a 2Rsin , b 2Rsin , c 2Rsin C ;
② sin
a , sin
ap aq Sn , S3n
S2 n 成等差数列
则 am an a p aq 3. Sn , S2n Sn , S3n
S2n 成等比
数列
(三)不等式
1、 a b 0 a b ; a b 0 a b ; a b 0 a b .
2、不等式的性质: ① a b b a ; ② a b, b c a c ; ③ a b a c b c ;
5、均值定理的应用:设 x 、 y 都为正数,则有
s2 ⑴若 x y s (和为定值) ,则当 x y 时,积 xy 取得最大值 .
4
⑵若 xy p (积为定值) ,则当 x y 时,和 x y 取得最小值 2 p .
注意:在应用的时候,必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。
高考试题来源: /zyk/gkst/
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《必修五 知识点总结》第一章:解三角形知识要点一、正弦定理和余弦定理1、正弦定理:在C ∆AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,,则有2sin sin sin a b cR C===A B (R 为C ∆AB 的外接圆的半径)2、正弦定理的变形公式:①2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =; ②sin 2a R A =,sin 2bRB =,sin 2cC R =;③::sin :sin :sin a b c C =A B ; 3、三角形面积公式:111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B . 4、余弦定理:在C ∆AB 中,有2222cos a b c bc =+-A ,推论:bca cb A 2cos 222-+=B ac c a b cos 2222-+=,推论:C ab b a c cos 2222-+=,推论:abc b a C 2cos 222-+=二、解三角形处理三角形问题,必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型,特别要多角度(几何作图,三角函数定义,正、余弦定理,勾股定理等角度)去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况,根据已知条件判断解的情况,并能正确求解1、三角形中的边角关系(1)三角形内角和等于180°;(2)三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;acb c a B 2cos 222-+=(3)三角形中大边对大角,小边对小角;(4)正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ,其中R 是△ABC 外接圆半径. (5)在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. (6)三角形的面积公式有:S =21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=21ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --⋅-其中,h 是BC 边上高,P 是半周长.2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形(1)已知两角及一边,求其它边角,常选用正弦定理.(2)已知两边及其中一边的对角,求另一边的对角,常选用正弦定理. (3)已知三边,求三个角,常选用余弦定理.(4)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角,常选用余弦定理. (5)已知两边和其中一边的对角,求第三边和其他两个角,常选用正弦定理.3、利用正、余弦定理判断三角形的形状常用方法是:①化边为角;②化角为边.4、三角形中的三角变换(1)角的变换因为在△ABC 中,A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC ;cos(A+B)=-cosC ;tan(A+B)=-tanC 。
2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+; (2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理。
r 为三角形内切圆半径,p 为周长之半(3)在△ABC 中,熟记并会证明:∠A ,∠B ,∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°;△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ,∠B ,∠C 成等差数列且a ,b ,c 成等比数列.三、解三角形的应用1.坡角和坡度:坡面与水平面的锐二面角叫做坡角,坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度,用i 表示,根据定义可知:坡度是坡角的正切,即tan i α=.lhα2.俯角和仰角:如图所示,在同一铅垂面内,在目标视线与水平线所成的夹角中,目标视线在水平视线的上方时叫做仰角,目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.3. 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B 点的方位角为α.注:仰角、俯角、方位角的区别是:三者的参照不同。
仰角与俯角是相对于水平线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的。
4. 方向角:相对于某一正方向的水平角.5.视角:由物体两端射出的两条光线,在眼球内交叉而成的角叫做视角.第二章:数列知识要点一、数列的概念1、数列的概念:一般地,按一定次序排列成一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项,数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ,简记为数列{}n a ,其中第一项1a 也成为首项;n a 是数列的第n 项,也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集N *(或它的子集)的函数,当自变量从小到大取值时,该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类:按数列中项的多数分为:(1) 有穷数列:数列中的项为有限个,即项数有限; (2) 无穷数列:数列中的项为无限个,即项数无限.3、通项公式:如果数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成()n a f n =,那么这个式子就叫做这个数列的通项公式,数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征:一般地,一个数列{}n a ,如果从第二项起,每一项都大于它前面的一项,即1n n a a +>,那么这个数列叫做递增数列; 如果从第二项起,每一项都小于它前面的一项,即1n n a a +<,那么这个数列叫做递减数列; 如果数列{}n a 的各项都相等,那么这个数列叫做常数列.5、递推公式:某些数列相邻的两项(或几项)有关系,这个关系用一个公式来表示,叫做递推公式.二、等差数列1、等差数列的概念:如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差是同一个常数,那么这个数列久叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=(常数),这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式:设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,则通项公式为:()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项:(1)若a A b 、、成等差数列,则A 叫做a 与b 的等差中项,且=2a bA +; (2)若数列{}n a 为等差数列,则12,,n n n a a a ++成等差数列,即1n a +是n a 与2n a +的等差中项,且21=2n n n a a a +++;反之若数列{}n a 满足21=2n n n a a a +++,则数列{}n a 是等差数列.4、等差数列的性质:(1)等差数列{}n a 中,若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+,若2m n p +=,则2m n p a a a +=;(2)若数列{}n a 和{}n b 均为等差数列,则数列{}n n a b ±也为等差数列; (3)等差数列{}n a 的公差为d ,则{}0n d a >⇔为递增数列,{}0n d a <⇔为递减数列,{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S :(1)数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈;(2)数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系:11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩(3)设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ,则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质:(1)等差数列{}n a 中,连续m 项的和仍组成等差数列,即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列(即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列);(2)等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时,n S 可看作关于n 的二次函数,且不含常数项;(3)若等差数列{}n a 共有2n+1(奇数)项,则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n (偶数)项,则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题:设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ,则(1)100a d ><且(即首正递减)时,n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和; (2)100a d <>且(即首负递增)时,n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念:如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的比是同一个不为零的常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示(0q ≠).即()1n na q q a +=为非零常数,这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式:设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,则通项公式为:()11,,n n m n m a a qa q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项:(1)若a A b 、、成等比数列,则A 叫做a 与b 的等比中项,且2=A ab ;(2)若数列{}n a 为等比数列,则12,,n n n a a a ++成等比数列,即1n a +是n a 与2n a +的等比中项,且212=n n n a a a ++⋅;反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅,则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质:(1)等比数列{}n a 中,若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅,若2m n p +=,则2m n p a a a ⋅=;(2)若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列,则数列{}n n a b ⋅也为等比数列;(3)等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列,{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列, {}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和:(1)数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈;(2)数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系:11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩(3)设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为()0q q ≠,则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知,已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个,便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质:设等比数列{}n a 中,首项为1a ,公比为()0q q ≠,则 (1)连续m 项的和仍组成等比数列,即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等比数列(即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列);(2)当1q ≠时,()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------, 设11a t q =-,则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念:一般地,把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系,把表达递推关系的式子叫做递推公式,而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式:对于任意的数列{}n a 恒有:(1)()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-(2)()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结: 类型一(公式法):已知n S (即12()n a a a f n +++=)求n a ,用作差法:{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥类型二(累加法):已知:数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈,求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3,……,n-1,可得到下面n-1个式子:()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得:()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三(累乘法):已知:数列{}n a 的首项1a ,且()()1,n na f n n N a ++=∈,求n a 通项. 给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3,……,n-1,可得到下面n-1个式子: ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得: ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四(构造法):形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1(q p b k ,,,为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后,再求n a 。