江苏省姜堰中学九年级数学下册第二十七章《相似》综合(提高培优)

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AC ＝4，AD ＝2，∠DAB ＝∠C ．如果△ACD 的面积为15，那么△ABD 的面积为（ ）
A ．15
B ．10
C ．152
D ．5 2．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点
E 在AC 边上，过点E 作//E
F BC ，交AD 于点F ，过点E 作//E
G AB ，交BC 于G ，则下列式子一定正确的是（ ）
A ．AE EF EC CD =
B ．BF EG CD AB =
C ．AF BC F
D GC = D ．CG AF BC AD = 3．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使3OA OD =，3OB OC =），然后张开两脚，使A 、B 两个尖端分别在线段I 的两个端点上．若12AB cm =，则CD 的长是（ ）
A ．3cm
B ．4cm
C ．6cm
D ．8cm 4．如图，在Rt ABC 中，90,ACB AC BC ∠==，点D 、
E 在AB 边上，
45DCE ∠=，若3,4AD BE ==，则
ABC ∣的面积为（ ）
A ．20
B ．24
C ．32
D ．36
5．如图，在ABC 中，//DE BC ，6AD =，3DB =，4AE =，则AC 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
6．如图，已知△ABC 和△EDC 是以点C 为位似中心的位似图形，且△ABC 和△EDC 的周长之比为1：2，点C 的坐标为（﹣2，0），若点A 的坐标为（﹣4，3），则点E 的坐标为（ ）
A ．（52，﹣6）
B ．（4，﹣6）
C ．（2，﹣6）
D ．3
(,6)2
- 7．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是()1,2A ，()1,1B ，()3,1C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为（ ）
A ．5
B ．2
C ．4
D ．5
8．已知两个相似三角形一组对应高分别是15和5，面积之差为80，则较大三角形的面积为（ ）
A ．90
B ．180
C ．270
D ．3600
9．如图，已知在ABC 中，D 为BC 上一点，//EG BC ，分别交AB ，AD ，AC 于点E ，F ，G ，则下列比例式正确的是（ ）
A ．AE EF BE BD =
B ．EF AF D
C A
D = C ．AC FG CG DC = D ．A
E FG AB DC
= 10．△ABC 与△DBC 如图放置，已知，∠ABC ＝∠BDC ＝90°，∠A ＝60°，BD ＝CD ＝22，将△ABC 沿BC 方向平移至△A'B'C'位置，使得A'C 边恰好经过点D ，则平移的距离是（ ）
A ．1
B ．22﹣2
C ．23﹣2
D ．26﹣4 11．已知P ，Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB=10，则PQ 长为（ ）
A ．5(5-1)
B ．5(5+1)
C ．10(5-2) -
D ．5(3-5) 12．如图，在ABC 中，点D 、
E 分别在边AB 、AC 上，则在下列五个条件中：①AED B ∠=∠；②//DE BC ；③AD AE AC AB
=；④AD BC DE AC ⋅=⋅，能满足ADE ACB 的条件有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
13．如图，在△ABC 中，AB ＝AC=5，BC ＝5O 为△ABC 三条高的交点，则OA 的
长度为（ ）
A ．352
B ．253
C ．5
D ．354
14．如图，11AOB 与22A OB 位似，位似中心为O 且11AOB 与
22A OB 在原点O 的两侧，若11AOB 与
22A OB 的周长之比为1：2，点1A 的坐标为()1,2-，则点1A 的对应点2A 的坐标为（ ）
A ．()1,4-
B ．()2,4-
C ．()4,2-
D ．()2,1-
二、填空题
15．如图，在平行四边形ABCD 中，E 在AD 上，21
AE ED =，CE 交BD 于F ，则:BCF DCF S S =△△__________．
16．如图，点О是正方形ABCD 的中心，DE 与О相切于点E ，连接,BE 若10,DE =102BE =，则О的面积是________________．
17．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，AD=AC ，以A 为圆心，AB 长为半径画弧，
交AC 于点E ，连接DE 、BE ，并延长BE 交CD 于点F ，下列结论：①△BAC ≌ △EAD ，②BC+CF=DE+EF ，③∠ABE+∠ADE=∠BCD ，其中正确的有____（填序号）
18．如图，直线////a b c ，直线m ，n 分别与a ，b ，c 相交于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，若2AB =，3BC =，3DE =，则EF =_______．
19．如图，在矩形ABCD 中，M N 、分别是边AD BC 、的中点，点
P Q 、在DC 边上，且14
PQ DC =．若8,10AB BC ＝＝，则图中阴影部分的面积是_____________
20．△ABC 的三边长分别为7、6、2，△DEF 的两边分别为1、3，要使△ABC ∽△DEF ，则△DEF 的第三边长为______．
21．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，D 是AB 边的中点，P 是BC 边上一动点（点P 不与B 、C 重合），若以D 、C 、P 为顶点的三角形与ABC 相似，则线段PC ______．
22．如图，已知△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，D 是边AB 上一点，DE ∥BC 交AC 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折得到△A ′DE ，若△A ′EC 是直角三角形，则AD 长为_____．
23．如图，ED 为△ABC 的中位线，点G 是AD 和CE 的交点，过点G 作GF ∥BC 交AC 于点F ，如果GF ＝4，那么线段BC 的长是________．
24．如果23a c b d ==，其中20b d +≠，那么22a c b d +=+________． 25．若
2a c e b d f ===，且4b d f ++=，则a c e ++=_______． 26．若233
a b c ==，且233a b c ++=，则a b c -+=__________． 三、解答题
27．如图，已知在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且BF ＝FC ，连接DE ，EF ，并以DE ，EF 为边作▱DEFG ．
（1）求▱DEFG 对角线DF 的长；
（2）求▱DEFG 周长的最小值；
（3）当▱DEFG 为矩形且AE ﹥BE 时，连接BG ，分别交EF ，CD 于点P ，Q ，求BP ：QG 的值．
28．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”．
（1）如图1，在44⨯的正方形网格中，有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“友爱四边形”的是______．
（2）如图2，四边形ABCD 是“友爱四边形”，对角线AC 是“友爱线”，同时也是BCD ∠的角平分线，若ABC 中，2AB =，3BC =，4AC =，求友爱四边形ABCD 的周长．
（3）如图3，在ABC 中，AB BC ≠，60ABC ∠=︒，ABC 的面积为33，点D 是ABC ∠的平分线上一点，连接AD ，CD ．若四边形ABCD 是被BD 分割成的“友爱四边形”，求BD 的长．
29．如图，△ABC 中，E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，EF ＝a ，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，
（1）当CQ ＝
12CE 时，求EP+BP 的值． （2）当CQ ＝
13CE 时，求EP+BP 的值． （3）当CQ ＝1n
CE 时，直接写出EP+BP 的值．
30．阅读下面材料
（问题情境）
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①．在△ABC 中，若AB =8，AC =6，求BC 边上的中线AD 取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE =AD ，请根据小明方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是（）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）由三角形三边的关系可求得AD长的取值范围是（）
A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7
（解后感悟）
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到一个三角形中．
（灵活运用）
如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF若EF=4，EC=3，求线段BF的长．
【参考答案】
一、选择题
1．D
2．C
3．B
4．D
5．D
6．C
7．A
8．A
9．D
10．C
11．C
12．B
13．A
14．B
二、填空题
15．3【分析】证明可得结合三角形面积公式即可求得结果【详解】在平行四边形ABCD中∵∴∵∴故答案为：3【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定解答本题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定
16．25【分析】连接EO可知EO⊥ED延长DE到点F作BF⊥DF根据题意可知
△DEO∽△DFB在△EFB中根据勾股定理求解得出半径的长然后再根据圆的面积公式求解即可；【详解】如图：连接EO可知EO⊥ED
17．①②③【分析】先由已知条件利用SAS证明△BAC≌△EAD得到①；由全等得到BC=DE然后再通过证明△ABE∽△ACD得到∠ABE=∠ACD=∠AEB进而再得到CF=EF得到BC+CF=DE+EF即
18．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到然后根据比例的性质求EF的长【详解】解：∵直线a∥b∥c∴即∴EF=故答案为：【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例
19．【分析】连接MN过点O作于点E交CD于点F先证明得到相似比是然后求出和的面积用矩形MNCD的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积【详解】解：如图连接MN过点O作于点E交CD于点F∵四边形ABC
20．35【分析】根据△ABC∽△DEF得到结合△ABC的三边长分别为762△DEF的两边分别为13可以得到△DEF的两边13分别与△ABC的两边26是对应边得到两三角形相似比为可以求出△DEF的第三边【
21．或【分析】分两种情况求解或利用相似三角形对应边成比例求出PC的长【详解】解：①如图∵且D是AB中点∴∴∵∴∴∵∴∴解得；②如图此时∴即解得故答案是：或【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定解题的关键
22．或【分析】先根据勾股定理得到AC＝5再根据平行线分线段成比例得到AD：AE＝AB：AC＝4：5设AD＝x则AE＝A′E＝xEC＝5﹣xA′B＝2x﹣4在Rt△A′BC中根据勾股定理得到A′C再根据△
23．12【分析】先判断点G为△ABC的重心得到AG=2GD再证明△AGF∽△ADC然后利用相似比求出CD的长从而得到BC的长【详解】解：∵ED为△ABC的中位线
∴DE//ACDE=ADCE为△ABC的中
24．【分析】根据已知条件得出再根据b+2d≠0即可得出答案【详解】解：
∵∴∵b+2d≠0∴；故答案为：【点睛】本题考查了比例的性质熟练掌握比例的性质是解题的关键
25．8【分析】根据等比性质可得答案【详解】由等比性质得所以故答案为：8【点睛】本题考查了比例的性质利用了等比性质
26．66【分析】设a=2kb=3kc=3k代入求出k值进而求得abc然后代入所求代数式中求解即可【详解】解：由可设a=2kb=3kc=3k代入得：4k+3k+3k=33解得：k=33∴a=66b=c=9
三、解答题
27．
28．
29．
30．
【参考解析】
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
首先证明△ABD∽△CBA，由相似三角形的性质可得：△ABD的面积：△ACB的面积为1：4，因为△ACD的面积为15，进而求出△ABD的面积．
【详解】
∵∠DAB＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∵AC＝4，AD＝2，
∴△ABD的面积：△ACB的面积＝（AD
）2＝1：4，
AC
∴△ABD的面积：△ACD的面积＝1：3，
∵△ACD的面积为15，
∴△ABD的面积＝5．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．
2．C
解析：C
【分析】
根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．
【详解】
解：∵EF∥BC，
∴AF AE
=，
FD EC
∵EG∥AB，
∴AE BG
=，
EC GC
∴AF BC
=，
FD GC
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例性质，关键是熟记定理，找准对应线段．
3．B
解析：B
【分析】
首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解.
【详解】
∵OA =3OD ，OB =3OC ， ∴3OA OB OD OC
==， ∵AD 与BC 相交于点O ，
∴∠AOB =∠DOC ，
∴△AOB ∽△DOC ， ∴3AB OA DC OD
==， ∵12AB cm =
∴CD=
12433
AB ==cm, 故选B.
【点睛】 本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型.
4．D
解析：D
【分析】
设DE x =，则7AB x =+，然后根据相似三角形的判定及性质以及勾股定理求出x 的值，最后利用直角三角形面积公式求解即可．
【详解】
设DE x =，则7AB x =+，
45DCE CAE DBC ∠=∠=∠=︒，
ACE CDE BDC ∴△△△．
设,CD a CE b ==，
则有以下等式：()::3x b b x =+，()::4x a a x =+，::x a b AC =，
整理得()()22
3,4,b x x a x x x AC ab =+=+⋅=， ()()()2
2222227342
x x x x x a b x AC +++===， 解得5x =，
12AB ∴=，
AC BC ∴==
1
362
ABC S ∴=⨯=△， 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，利用方程的思想是解题的关键． 5．D
【分析】
根据平行线分线段成比例求出EC ，即可解答．
【详解】
解：∵DE ∥BC ， ∴
AD AE DB EC =，即643EC
=， 解得：EC=2，
∴AC=AE+EC=4+2=6；
故选：D ．
【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理． 6．C
解析：C
【分析】
先利用位似的性质得到△ABC 和△EDC 的位似比为1：2，然后利用平移的方法把位似中心平移到原点解决问题．
【详解】
∵△ABC 和△EDC 是以点C 为位似中心的位似图形，
而△ABC 和△EDC 的周长之比为1：2，
∴△ABC 和△EDC 的位似比为1：2，
把C 点向右平移2个单位到原点，则A 点向右平移2个单位的对应点的坐标为（-2，3）， 点（-2，3）以原点为位似中心的对应点的坐标为（4，-6），
把点（4，-6）向左平移2个单位得到（2，-6），
∴E 点坐标为（2，-6）．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．也考查了转化的思想．
7．A
解析：A
【分析】
根据位似图形的性质可得DF =2AC ，然后根据两点间的距离公式求出AC 即可解决问题．
【详解】
解：∵DEF 与ABC 是位似图形，且相似比为2:1，
∴DF =2AC ，
∵
AC ==
∴DF =
【点睛】
本题考查了位似图形的性质和两点间的距离，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．8．A
解析：A
【分析】
由两个三角形的高之比可得出两个三角形的相似比，进而得出两个三角形的面积之比，根据两个三角形的面积之比设未知数，列方程，求出较大三角形的面积即可．
【详解】
由题意得，两个三角形的相似比为：15∶5=3∶1，
故面积比为：9∶1，
设两个三角形的面积分别为9x，x，
则9x－x=80，
解得：x=10，
故较大三角形的面积为：9x=90．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质，熟记相似三角形的高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解题关键．
9．D
解析：D
【分析】
根据相似三角形的判定推出△AEF∽△ABD，△AFG∽△ADC，△AEG∽△ABC，再根据相似三角形的性质得出比例式即可．
【详解】
A、∵EG∥BC，即EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∴AE EF
=，
AB BD
≠，故本选项不符合题意；
∵AB BE
B、∵EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∴EF AF
=，
BD AD
∵BD≠DC，故本选项不符合题意；
C、∵EG∥BC，即FG∥DC，
∴△AFG∽△ADC，
∴AG FG
=，
AC DC
∵AG AC AC CG ≠，故本选项不符合题意； D 、∵EG ∥BC ，
∴△AEG ∽△ABC ， ∴
AE AG AB AC
=， ∵FG ∥DC ， ∴△AFG ∽△ADC ， ∴
AG FG AC DC =， ∴AE FG AB DC
=，故本选项符合题意； 故选：D
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，能正确的识别图形、灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
过点D 作DJ ⊥BC 于J ，根据勾股定理求出BC ，利用等腰直角三角形的性质求出DJ 、BJ 、JC ，利用平行线分线段成比例定理求出JC′即可解决问题．
【详解】
解：过点D 作DJ ⊥BC 于J ．
∵DB ＝DC ＝2，∠BDC ＝90°，
∴BC ()()222222+4，DJ ＝BJ ＝JC ＝2，
∵∠ABC ＝90°，∠A ＝60°，
∴∠ACB ＝30°，
∴AC=2AB ，
∵AB 2+42=(2AB)2，
∴A′B′=AB ＝433
， ∵DJ//A′B′，
∴DJ A B ''＝C J C B
'''，
∴2433＝4C J '， ∴C′J ＝23，
∴JB′＝4﹣23，
∴BB′＝2﹣(4﹣23)＝23﹣2.
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平移的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，以及平行线分线段成比例定理． 11．C
解析：C
【分析】
画出图像，根据黄金分割的概念写出对应线段的比值，求出AQ 、PB 的长度，再根据PQ =AQ +PB －AB 即可求出PQ 的长度． 【详解】
解：如图，
根据黄金分割点的概念，可知512
PB AQ AB AB ==， ∴AQ =PB ，
AB =10，
∴AQ =PB 5110555-=， ∴PQ =AQ +PB －AB =555555101052010(52)+-==．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查黄金分割的概念，熟记黄金分割的概念并根据黄金分割的比值列式是解题关键．
12．B
解析：B
【分析】
根据相似三角形的判定逐个判断即可得．
【详解】
①在ADE 和ACB △中，AED B A A
∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ADE ACB ∴，则条件①能满足；
②
//DE BC ，
ADE ABC ∴，则条件②不能满足； ③在ADE 和ACB △中，AD AE AC AB A A
⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，
ADE ACB ∴，则条件③能满足；
④由AD BC DE AC ⋅=⋅得：
AD DE AC BC
=， 对应的夹角ADE ∠与C ∠不一定相等，
∴此时ADE 和ACB △不一定相似，则条件④不能满足；
综上，能满足的条件有2个，
故选：B ．
【点睛】 本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题关键．
13．A
解析：A
【分析】
设BC 边上的高为AD ，结合三角形高线的性质及等腰三角形的性质证明△OBD ∽△BAD ，可得BD:AD=OD:BD ，利用勾股定理可求解AD 的长，进而可求解OD 的长．
【详解】
解：如图，设BC 边上的高为AD ，
∵点O 为△ABC 三条高的交点， ∴AD ⊥BC ，BO ⊥AC ，
∴∠ADB=90°，∠OBC+∠C=90°，
∴∠CAD+∠C=90°，
∴∠OBD=∠CAD ，
∵AB=AC ，∴D 为BC 的中点，∠BAD=∠CAD ，
∴∠OBD=∠BAD ，
∴△OBD ∽△BAD ，∴BD:AD=OD:BD ，
∵BC=25∴5
在Rt △ABD 中，AB=5，∴()22225525AB BD -=-=
∴
OD =，解得
∴OA=AD−OD=
2
=， 故选A ．
【点睛】 本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的高线，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合运用 ．
14．B
解析：B
【分析】
根据位似变换的概念得到△A 1OB 1∽△A 2OB 2，△A 1OB 1与△A 2OB 2的相似比为1：2，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】
解：∵△A 1OB 1与△A 2OB 2位似，
∴△A 1OB 1∽△A 2OB 2，
∵△A 1OB 1与△A 2OB 2的周长之比为1：2，
∴△A 1OB 1与△A 2OB 2的相似比为1：2，
∵A 1的坐标为（-1，2），△A 1OB 1与△A 2OB 2在原点O 的两侧，
∴点A 1的对应点A 2的坐标为（2，-4），
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．
二、填空题
15．3【分析】证明可得结合三角形面积公式即可求得结果【详解】在平行四边形ABCD 中∵∴∵∴故答案为：3【点睛】本题考查了三角形相似的性质与判定解答本题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定
解析：3
【分析】
证明DEF BCF ，可得31BF CB DF ED ==，结合三角形面积公式即可求得结果． 【详解】
在平行四边形ABCD 中，AD BC =，//AD BC ， ∵21
AE ED =，AE ED AD +=，∴13ED AD = ∵//AD BC ，13DF ED ED BF BC AD ∴
===．
∴3BCF DGF S BF S DF ==． 故答案为：3．
【点睛】
本题考查了三角形相似的性质与判定，解答本题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．
16．25【分析】连接EO 可知EO ⊥ED 延长DE 到点F 作BF ⊥DF 根据题意可知△DEO ∽△DFB 在△EFB 中根据勾股定理求解得出半径的长然后再根据圆的面积公式求解即可；【详解】如图：连接EO 可知EO ⊥ED
解析：25π
【分析】
连接EO ，可知EO ⊥ED ，延长DE 到点F ，作BF ⊥DF ，根据题意可知△DEO ∽△DFB ，在△EFB 中，222EB EF FB =+，根据勾股定理求解得出半径的长，然后再根据圆的面积公式求解即可；
【详解】
如图：连接EO ，可知EO ⊥ED ，延长DE 到点F ，作BF ⊥DF ，
∵∠FDB=∠EDO ，∠DEO=∠DFB ，
∴△DEO ∽△DFB ，
∵EO=r ，ED=10，EB=102，
∵DO=OB ，
∴
12DO EO DE DB FB DF
===， ∴EF=10，FB=2r ， 在△EFB 中，222EB EF FB =+，
()22102=1004r +，
∴ r=5，
∴ 圆的面积为225r ππ=，
故答案为：25π
【点睛】
本题考查了圆的面积公式、相似三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握这些公式是解
题的关键；
17．①②③【分析】先由已知条件利用SAS 证明△BAC ≌△EAD 得到①；由全等得到BC=DE 然后再通过证明△ABE ∽△ACD 得到∠ABE=∠ACD=∠AEB 进而再得到CF=EF 得到BC+CF=DE+EF 即
解析：①②③
【分析】
先由已知条件利用SAS 证明△BAC ≌ △EAD ，得到①；由全等得到BC=DE ，然后再通过证明△ABE ∽△ACD ，得到∠ABE=∠ACD=∠AEB ，进而再得到CF=EF ，得到BC+CF=DE+EF ，即②正确；由∠ABE=∠ACD ，∠BCA=∠EDA ，可得到∠ABE+∠ADE=∠BCD ，即③正确．
【详解】
解：由题意可知，∠BAC=∠CAD ，AB=AE ，
在△BAC 和△EAD 中，
AB AE BAC CAD AC AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∠∠
∴△BAC ≌ △EAD ，故①正确；
∵△BAC ≌ △EAD ，
∴BC=ED ，∠BCA=∠EDA ，
由于AB=AE ，AC=AD ，∠BAC=∠CAD ， ∴AB AE AC AD
=， ∴△ABE ∽△ACD ，且△ABE 和△ACD 都为等腰三角形，
∴∠ABE=∠ACD=∠AEB ，
∵∠AEB=∠CEF ，
∴∠ECF=∠CEF ，
∴CF=EF ，
∴BC+CF=DE+EF ，故②正确；
由以上过程知道∠ABE=∠ACD ，∠BCA=∠EDA ，
∴∠ABE+∠ADE=∠ACD+∠BCA=∠BCD ，故③正确．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确找到全等三角形是解题的关键．
18．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到然后根据比例的性质求EF 的长
【详解】解：∵直线a ∥b ∥c ∴即∴EF=故答案为：【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例 解析：92
【分析】 根据平行线分线段成比例定理得到AB DE BC EF =，然后根据比例的性质求EF 的长． 【详解】
解：∵直线a ∥b ∥c ，
∴AB DE BC EF
=，即23=3EF ， ∴EF=92
． 故答案为：
92． 【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 19．【分析】连接MN 过点O 作于点E 交CD 于点F 先证明得到相似比是然后求出和的面积用矩形MNCD 的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积
【详解】解：如图连接MN 过点O 作于点E 交CD 于点F ∵四边形ABC 解析：23
【分析】
连接MN ，过点O 作OE MN ⊥于点E ，交CD 于点F ，先证明OMN PQO ，得到相似比是4:1，然后求出OMN 和PQO 的面积，用矩形MNCD 的面积减去这两个三角形的面积得到阴影部分面积．
【详解】
解：如图，连接MN ，过点O 作OE MN ⊥于点E ，交CD 于点F ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴//AD BC ，AD BC =，
∵M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，
∴DM CN =，
∴四边形MNCD 是平行四边形，
∴//MN CD ，
∴OMN PQO ，
相似比是:4:1MN PQ =，
∴:4:1OE OF =， ∵152
EF BC ==， ∴4OE =，1OF =， ∴184162MNO S =⨯⨯=，12112PQO
S =⨯⨯=，8540MNCD S =⨯=， ∴4016123S =--=阴影．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 20．35【分析】根据△ABC ∽△DEF 得到结合△ABC 的三边长分别为762△DEF 的两边分别为13可以得到△DEF 的两边13分别与△ABC 的两边26是对应边得到两三角形相似比为可以求出△DEF 的第三边【
解析：3.5
【分析】
根据△ABC ∽△DEF ，得到AB AC BC DE DF EF
==，结合△ABC 的三边长分别为7、6、2，△DEF 的两边分别为1、3，可以得到△DEF 的两边1、3分别与△ABC 的两边2，6是对应边，得到两三角形相似比为
12，可以求出△DEF 的第三边． 【详解】
解：∵要使△ABC ∽△DEF ，需AB AC BC DE DF EF
==， ∵△ABC 的三边长分别为7、6、2，△DEF 的两边分别为1、3，
∴△DEF 的两边1、3分别与△ABC 的两边2，6是对应边，
∴两三角形相似比为12
， ∴△DEF 的第三边长为：7×
12＝3.5． 故答案为：3.5．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，根据两三角形相似，结合两三角形的线段长求出相似比是解题的关键．
21．或【分析】分两种情况求解或利用相似三角形对应边成比例求出PC 的长
【详解】解：①如图∵且D 是AB 中点∴∴∵∴∴∵∴∴解得；②如图此时∴即解得故答案是：或【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定解题的关键 解析：4或
254
【分析】
分两种情况求解，90CPD ∠=︒或90CDP ∠=︒，利用相似三角形对应边成比例求出PC 的长．
【详解】
解：①如图，90CPD ∠=︒，
∵90ACB ∠=︒，且D 是AB 中点，
∴AD BD CD ==，
∴DCP ABC ∠=∠，
∵90CPD BCA ∠=∠=︒，
∴
CPD BCA ， ∴CP CD BC BA =， ∵6AC =，8BC =，
∴10AB =，5AD BD CD ===， ∴5810
CP =，解得4CP =；
②如图，90CDP ∠=︒，
此时CDP BCA ，
∴CP CD BA BC =，即5108CP =，解得254
CP =．
故答案是：4或
254
． 【点睛】 本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 22．或【分析】先根据勾股定理得到AC ＝5再根据平行线分线段成比例得到AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5设AD ＝x 则AE ＝A′E ＝xEC ＝5﹣xA′B ＝2x ﹣4在Rt △A′BC 中根据勾股定理得到A′C 再根据△
解析：78或258 【分析】 先根据勾股定理得到AC ＝5，再根据平行线分线段成比例得到AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5，设AD ＝x ，则AE ＝A ′E ＝54x ，EC ＝5﹣54
x ，A ′B ＝2x ﹣4，在Rt △A ′BC 中，根据勾股定理得到A ′C ，再根据△A ′EC 是直角三角形，根据勾股定理得到关于x 的方程，解方程即可求解．
【详解】
解：在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝3，AB ＝4，
∴AC ＝5，
∵DE ∥BC ，
∴AD ：AB ＝AE ：AC ，即AD ：AE ＝AB ：AC ＝4：5，
设AD ＝x ，则AE ＝A ′E ＝54x ，EC ＝5﹣54
x ，A ′B ＝24x ﹣， 在Rt △A ′BC 中，A ′C ＝22(24)3x -+，
∵△A ′EC 是直角三角形，
∴①当A '落在边AB 上时，∠EA ′C ＝90°，∠BA ′C ＝∠ACB ，A ′B ＝3×cot ∠ACB ＝39344
⨯=， ∴AD ＝1974248
⎛⎫-= ⎪⎝⎭；
②点A 在线段AB 22(24)3x -+2+（5﹣
54x ）2＝（54x ）2， 解得x 1＝4（不合题意舍去），x 2＝258
．
故AD 长为78或258
． 故答案为：
78或258． 【点晴】
本题考查了勾股定理和平行线等分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 23．12【分析】先判断点G 为△ABC 的重心得到AG=2GD 再证明△AGF ∽△ADC 然后利用相似比求出CD 的长从而得到BC 的长【详解】解：∵ED 为△ABC 的中位线∴DE//ACDE=ADCE 为△ABC 的中
解析：12．
【分析】
先判断点G 为△ABC 的重心得到AG=2GD ，再证明△AGF ∽△ADC ，然后利用相似比求出CD 的长，从而得到BC 的长．
【详解】
解：∵ED 为△ABC 的中位线，
∴DE//AC ，DE=
12
AC ，AD 、CE 为△ABC 的中线， ∴△DEG ∽△ACG ∴12
DG DE AG AC == ∴AG=2GD ，
∵GF ∥BC ，
∴△AGF ∽△ADC ， ∴23
GF AG CD AD ==， ∴CD=
32GF=32
×4=6， ∴BC=2CD=12．
故答案为12．
【点睛】
本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了三角形中位线和相似三角形的判定与性质．
24．【分析】根据已知条件得出再根据b+2d≠0即可得出答案【详解】解：∵∴∵b+2d≠0∴；故答案为：【点睛】本题考查了比例的性质熟练掌握比例的性质是解题的关键 解析：23
【分析】 根据已知条件得出
2223a c b d ==，再根据b+2d≠0，即可得出答案． 【详解】
解：∵
23a c b d ==， ∴2223
a c
b d ==， ∵b+2d≠0， ∴
2223
a c
b d +=+； 故答案为：23
． 【点睛】 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
25．8【分析】根据等比性质可得答案【详解】由等比性质得所以故答案为：8
【点睛】本题考查了比例的性质利用了等比性质
解析：8
【分析】
根据等比性质，可得答案．
【详解】
2a c e b d f
===， 由等比性质，得24
a c e a c e
b d f ++++==++， 所以8a
c e ++=．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用了等比性质．
26．66【分析】设a=2kb=3kc=3k 代入求出k 值进而求得abc 然后代入所求代数式中求解即可【详解】解：由可设a=2kb=3kc=3k 代入得：4k+3k+3k=33解得：k=33∴a=66b=c=9
解析：6.6
【分析】
设a=2k ，b=3k ，c=3k ，代入233a b c ++=，求出k 值，进而求得a 、b 、c ，然后代入所求代数式中求解即可．
【详解】 解：由233a b c ==可设a=2k ，b=3k ，c=3k ， 代入233a b c ++=得：4k+3k+3k=33，
解得：k=3.3，
∴a=6.6，b=c=9.9， ∴a b c -+=a =6.6，
故答案为：6.6．
【点睛】
本题考查了比例的性质、代数式求值，熟练掌握比例的性质，巧妙设参是解答的关键．
三、解答题
27．
（1）10（2）62 （3）
35
． 【分析】
（1）▱DEFG 对角线DF 的长就是Rt △DCF 的斜边的长，由勾股定理求解；
（2）▱DEFG 周长的最小值就是求邻边2（DE+EF ）最小值，DE+EF 的最小值就是以AB 为对称轴，作点F 的对称点M ，连接DM 交AB 于点N ，点E 与N 点重合时即DE+EF=DM 时有最小值，在Rt △DMC 中由勾股定理求DM 的长；
（3）用等腰直角三角形判定与性质，三角形相似的判定与性质和勾股定理求解．
【详解】
解：（1）如图1所示：
连接DF ，
∵四边形ABCD 是矩形，∠C=90°，AD=BC ，AB=DC ，BF=FC ，AD=2，∴FC=1，
∵AB=3；∴DC=3，
在Rt △DCF 中，由勾股定理得DF=22221310FC DC +=+=，
故▱DEFG 对角线DF 的长10．
（2）如图2所示：
作点F 关直线AB 的对称点M ，连接DM 交AB 于点N ，连接NF ，ME ，点E 在AB 上是一个动点，
①当点E 不与点N 重合时点M 、E 、D 可构成一个三角形，∴ME+DE ＞MD ，
②当点E 与点N 重合时点M 、E （N ）、D 在同一条直线上，∴ME+DE=MD ，
由①和②DE+EF 的值最小时就是点E 与点N 重合时，
∵MB=BF ，∴MB=1，∴MC=3，
又∵DC=3，∴△MCD 是等腰直角三角形，
∴MD=22223332MC DC +=+=，
∴NF+DN=MD=32，
∴262DEFG C NF DF =+=（）；
（3）设AE=x ，则BE=3-x ，
∵▱DEFG 为矩形，∴∠DEF=90°，∴∠AED+∠BEF=90°，
∵∠BEF+∠BFE=90°，∴∠AED=∠BFE ，
又∵∠A=∠EBF=90°，∴△DAE ∽△EBF （AA ）∴
AE AD BF BE =， ∴213x x
=-，解得：x=1（舍去），或x=2，即AE=2，BE=1， 过点G 作GH ⊥DC ，如图3所示：
∵▱DEFG 为矩形，∴∠A=∠EBF=90°，
∵AD=AE=2，BE=BF=1，
∴在Rt △ADE 和Rt △EFB 中，由勾股定理得：
==，
==，
∴∠ADE=45°，
又∵四边形DEFG是矩形，∴EF=DG，∠EDG=90°，∴
，∠HDG=45°，
∴△DHG是等腰直角三角形，∴DH=HG=1，
在△HGQ和△BCQ中有
GHQ BCQ
HQG CQB ∠∠
⎧
⎨
∠∠
⎩
＝
＝
，
∴△HGQ∽△BCQ（AA），∴
1
2 HG HQ
CB CQ
==，
∵HC=HQ+CQ=DC-DH=2，∴HQ=2
3
，
又∵DQ=DH+HQ，∴DQ=
25
1
33 +=，
∵AB∥DC，EF∥DG，∴∠EBP=∠DQG，∠EPB=∠DGQ，∴△EBP∽△DQG（AA），
∴
3
5 BP EB
QG DQ
==．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是作辅助线．
28．
（1）四边形ABCE；（2）13或10；（2）
【分析】
（1）根据勾股定理分别求出三个三角形的各边长，根据三边对应成比例的三角形相似、“友爱四边形”的定义判断；
（2）根据旋转变换的性质、平行线的性质、两角相等的两个三角形相似证明；
（3）AM⊥BC，根据含30°的直角三角形的特殊性质及勾股定理用AB表示出AM，根据三角形的面积公式得到BC×AB＝12，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案．
【详解】
解：（1）∵AB＝2，BC＝1，AD＝4，
∴由勾股定理得，AC
CD
AE
＝
CE
5，
∴BC
AC ＝
AB
AE
＝
AC
CE
，
∴ABC ∽EAC，
∴四边形ABCE是“友爱四边形”，
∵BC
AC ≠
AC CD
，
∴ABC 与ACD 不相似，
∴四边形ABCD 不是“友爱四边形”，
故答案为：四边形ABCE ；
（2）∵AC 平分∠BCD ，
∴∠ACB=∠ACD ，
当∠B=∠DAC 时，ABC ∽
DAC ， 则BC AC ＝AB AD ＝AC CD
， ∵2AB =，3BC =，4AC =， ∴34＝2AD ＝4CD
， 解得AD ＝83，CD ＝163
， ∴友爱四边形ABCD 的周长为816321333
+++=； 当∠B=∠D 时，ABC ∽
ADC ， 则BC DC ＝AB AD ＝AC AC
＝1， ∵2AB =，3BC =，4AC =， ∴3DC ＝2AD
＝1， 解得AD ＝2，CD ＝3，
∴友爱四边形ABCD 的周长为233210+++=， 综上所述，友爱四边形ABCD 的周长为13或10； （3）如图3，过点A 作AM ⊥BC 于M ， 则∠AMB ＝90°，
∵60ABC ∠=︒，
∴∠BAM ＝30°，
∴BM ＝12
AB ， ∴在Rt △ABM 中，AM
＝
2AB ， ∵
ABC 的面积为，
∴1
2BC ＝
∵四边形ABCD 是被BD 分割成的“友爱四边形”，且AB ≠BC ， ∴
ABD ∽DBC ∴AB BD BD BC
=， ∴BD 2＝AB ×BC ＝12，
∴BD ＝12＝23．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质、三角形的面积计算，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、理解“友爱四边形”的定义是解题的关键．
29．
（1）2a ；（2）4a ；（3）2an ﹣2a ．
【分析】
（1）延长BQ 交EF 的延长线于点G ，根据三角形中位线定理求出BC ，证明
△BQC ∽△GQE ，根据相似三角形的性质得到EG=BC=2a ，根据角平分线的定义、平行线的性质得到PB=PG ，得到答案；
（2）（3）仿照（1）的解法解答．
【详解】
解：（1）如图1，延长BQ 交EF 的延长线于点G ，
∵E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，
∴EF 是△ABC 的中位线，
∴BC=2EF=2a ，EF ∥BC ，
∴△BQC ∽△GQE ，
∴1EG EQ BC QC
==，
∵BQ 是∠CBP 的平分线，
∴∠PBQ=∠CBQ ，
∵EF ∥BC ，
∴∠EGQ=∠CBQ ，
∴∠PBQ=∠EGQ ，
∴PB=PG ，
∴PE+PB=PE+PG=EG=2a ；
（2）如图2，延长BQ 交EF 的延长线于点M ，
由（1）可知，△BQC ∽△MQE ， ∴1.2
BC CQ EM EQ ==， ∴EM=2BC=4a ，
∴PE+PB=PE+PM=EM=4a ；
（3）如图2，当1CQ CE n
=
时，则EQ=（n-1）CQ ， 由EF ∥BC 得，△MEQ ∽△BCQ ， ∴1EM EQ n BC QC
==-， ∴EM=（n-1）BC=2a （n-1），即EP+BP=2an-2a ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质，延长BQ 构造出相似三角形，求出EP+BP=EM 并得到相似三角形是解题的关键．
30．
(1)B ；（2）C ；应用：7．
【分析】
(1)由已知AD 是△ABC 的中线，和作图延长AD 到点E ，使DE =AD ，CD=BD, ∠ADC=∠EDB, AD=DE 得到△ADC ≌△EDB (SAS) 即可，
(2) 由△ADC ≌△EDB ，则BE=AC=6，AE=2AD ，AB=8，在ΔABE 中，AB-BE<AE<AB+BE ，即则2<2AD<14即可，
【灵活运用】。