2013年中考数学“方程、不等式及其应用”创新题选讲[1]

2013年中考数学“方程、不等式及其应用”创新题选讲
【课时目标】
熟悉并能够解答与“方程、不等式”内容有关的开放型试题、新定义试题、阅读理解题、方案设计题、课题研究型试题、操作型试题、探索型试题等，在此过程中力求逐步形成探索能力，并提高创新能力．
【例题精选】
考点一 与“方程、不等式”有关的开放题
例1 (2012．湛江)请写出一个二元一次方程组_______，使它的解是21x y =⎧⎨=-⎩
提示 根据x 、y 的值可以写出多个二元一次方程组．
答案答案不唯一，如13x y x y +=⎧⎨-=⎩
点评 本题结合方程组解的定义可快速得到一个方程组，这是中考热点题型，同学们可以将解代入方程组中检验方程组的正确性．
考点二 与“方程、不等式”有关的新定义试题
例2 (2012．莱芜)对于非零的两个实数a 、b ，规定a ⊕11b b a =
-，若2⊕ (2x －1)＝1，则x 的值为 ( )
提示 利用规定的新定义，把2⊕（2x －1）－1转化为
111212
x -=-，再解此分式方程即可．
点评 本题考查新运算的理解、应用以及分式方程的解法，解决此类问题的关键是理清并运用“新概念”的含义，并能够运用新运算解决问题．
考点三 与“方程、不等式”有关的阅读理解题
例3（2012．黔西南）问题：已知方程x 2＋x －1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y ，则y ＝2x ，所以x ＝
2y ．把x ＝2y 代入已知方程，得(2y )2＋
2y －1＝0．化简，得y 2＋2y －4＝0．故所求方程为y 2＋2y －4＝0．这种利用方程根的代
换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用上面提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）：
(1)已知方程x 2＋x －2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数；
(2)已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
提示 按照题目给出的范例，对于(1)中“根的相反数”，用“y ＝－x ”替换；对于(2)中“根的倒数”，用“y ＝1x
”替换，并且注意有“不等于零的实数根”的限制，要进行讨论．
答案 (1)设所求方程的根为y ，则y ＝－x ，所以x ＝－y ．把x ＝－y 代入已知方程x 2＋x －2＝0，得(－y)2＋（－y ）－2＝0．化简，得y 2－y －2＝0．
(2)设所求方程的根为y ，则y ＝1x
，所以x ＝1y ．把x ＝1y 代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0，得2110a b c y y ⎛⎫+∙+= ⎪⎝⎭
．去分母，得a ＋by ＋cy 2＝0．若c －0，则ax 2＋bx ＝0，于是方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为0，不符合题意．∴c ≠0．故所求方程为cy 2＋by ＋a ＝0(c ≠0)． 点评 本题属于阅读理解题，读懂题意，理解题目讲述的方法是基础．在实际解题时，要灵活运用题目提供的方法进行解题，这种方法实际上是数学中转化思想的运用． 考点四 与“方程、不等式”有关的方案设计题
例4 （2012．南充）学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车，则共需租车费1000元；若租用2辆大车1辆小车，则共需租车费1100元．
(1)求每辆大车、小车的租车费各是多少元？
(2)若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案．
提示 (1)本题的等量关系是1辆大车2辆小车共需租车费1000元，2辆大车1辆小车共需租车费1100元；(2)根据“每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元”列出不等式组求解．
答案 (1)设一辆大车的租车费是x 元，一辆小车的租车费是y 元根据题意，得2100021100x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得400300x y =⎧⎨=⎩
，∴每辆大车、小车的租车费分别是400元和300元． (2)240名师生都有座位，租车总辆数大于等于6，每辆车上至少要有一名教师，租车总辆数小于等于6，故租车总数是6辆，设大车租x 辆，则小车租（6－x ）辆，根据题意，得()()4530624040030062300x x x x ⎧+-≥⎪⎨+-≤⎪⎩
，解得4≤x ≤5．∵x 是正整数，∴x ＝4或5．∴有两种租车
方案，方案1：大车租4辆，小车租2辆，总租车费用为2200元；方案2：大车租5辆，小车租1辆，总租车费用为2300元，可见最省钱的是方案1．
点评正确理解题意，抓住题目中的等量关系或不等关系列出方程组或不等式组是关键，还应注意“不超过”是表示“≤”，“不低于”是表示“≥”，最后利用所学的数学知识进行最佳方案的判断．
考点五与“方程、不等式”有关的开放十研究型试题
例5（2011．衢州）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元．以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
小明的解法如下：
解：设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有(1＋3)株，平均单株盈利为(3－0.5x)元．由题意，得(x＋3)(3－0.5x)＝10.
化简，整理得x2－3x＋2＝0，
解得x1＝1，x2＝2．
∴要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株．
(1)本题涉及的主要数量有每盆花苗的株数，平均单株的盈利，每盆花苗的盈利等，请写出两个不同的等量关系：__________________________________________；
(2)请用一种与小明不相同的方法求解上述问题．
提示(1)本题答案不唯一，只要写出合理的等量关系即可；(2)可用列表法、函数法、图象法等进行解答，
答案(1)答案不唯一，如平均单株盈利×株数＝每盆盈利；每盆的株数＝3＋每盆增加的株数；平均单株盈利＝3－0.5×每盆增加的株数．
(2)解法1（列表法）：
∴要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株，
解法2（图象法）：
如图，纵轴表示平均单株盈利，横轴表示株数，则相应长方形的面积表示每盆盈利．
由图象可知，每盆植入4株或5株时，相应长方形的面积是10．
∴要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株．
解法3（函数法）：
设每盆花苗增加x 株，每盆的盈利为y 元．根据题意，得y ＝(x ＋3)(3－0.5x)． 当y ＝10时，(x ＋3)(3－0.5x)＝10，
解得x 1＝1，x 2＝2．
∴要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株．
解法4（列分式方程）：
解：设每盆花苗增加x 株时，每盆盈利10元．根据题意，得1030.53
x x =-+x ，解得x 1＝1，x 2＝2．
经检验，x 1＝1，x 2＝2都是所列方程的解，
∴要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株．
点评 本题是“开放＋研究型学习”试题，通过创设一定的情境，给出解决问题的一般方法，在此基础上，要求同学们提出问题及给出解决问题的其他方法，给同学们创造了自由驰骋的空间，建立相关的数学模型是解决数学问题的方法之一．
【真题精练】
1．（2012．德阳）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文a ＋2b ，2b ＋c ，2c ＋3d ，4d ．例如：明文1，2，3，4对应的密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为 ( )
A ．4，6，1，7
B ．4，1，6，7
C ．6，4，1，7
D ．1，6，4，7
2．（2012．齐齐哈尔）为庆祝“六一”国际儿童节，龙沙区某小学组织师生共360人参加公园游园活动，有A 、B 两种型号的客车可供租用，两种客车载客量分别为45人、30人，要求每辆车必须满载，则师生一次性全部到达公园的租车方案有 ( )
A ．3种
B ．4种
C ．5种
D ．6种
3．(2012．铜仁)按照如图所示的操作步骤，若输入x 的值为5，则输出的值为_______．
4．(2012．荆州)新定义：[a ，b]为一次函数y ＝ax ＋b(a ≠0，a 、b 为实数)的“关联数”，若“关联数”[1，m －2]的一次函数是正比例函数，则关于x 的方程
1111x m +=-的解为_______．
5．（2012．菏泽）将a 、b 、c 、d4个数排成两行、两列，两边各加一条竖线记成a c b d ，
定义a c b d ＝ad －bc ，上述等式就叫做二阶行列式，若11x x +- 11
x x -+＝8，则x ＝_______． 6．（2012．资阳）观察分析下列方程：①x ＋2x ＝3；②x ＋6x ＝5；③x ＋12x
＝7，请利用它们所蕴含的规律，求关于x 的方程2
3
n x x +-＝2n ＋4 (n 为正整数)的根，你的答案是_______．
7．（2012．莆田）已知三个一元一次不等式：2x>6，2x ≥x ＋1，x －4<0，请你从中选择你喜欢的两个不等式，组成一个不等式组，求出这个不等式组的解集，并把解集在如图所示的数轴上表示出来．
(1)你组成的不等式组是_______,_______;⎧⎨
⎩ (2)解：
8．（2012．湛江）先阅读下面的例题，再按要求解答下问题：
例：解一元二次不等式：x 2－4>0．
解：∵ x 2－4＝(x ＋2)（x －2），
∴x 2－4>0可化为(x ＋2)（x －2）>0．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
①2020x x +>⎧⎨->⎩；②2020x x +<⎧⎨-<⎩
． 解不等式组①，得x>2．
解不等式组②，得x<－2．
∴(x ＋2)（x 一2）>0的解集为x>2或x<－2．
∴一元二次不等式x 2－4>0的解集为1>2或x<－2．
(1)一元二次不等式x 2－16>0的解集为________，
(2)分式不等式13
x x -->0的解集为_______； (3)解一元二次不等式：2x 2－3x<0．
① ②
9．(2012．遂宁)我市新都生活超市准备一次性购进A、B两种品牌的饮料100箱，此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示，设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)由于资金周转原因，用于超市购进A、B两种饮料的总费用不超过5 600元，并要求获得利润不低于1 380元，则从两种饮料箱数上考虑，共有哪几种进货方案（利润＝售价－进价）?
10．（2012．黔西南）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表．
(1)若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？
(2)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？
(3)在(2)的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．
参考答案
1．C 2．C 3. 97 4．x＝3 5.2 6．x＝n＋3或x＝n＋4 7．答案不唯一．(2)(1)中不等式组的解集是3<x<4 解集在数轴上表示略
8．(1)x>4或x<－4 (2)x>3或<1 (3)0<x<1－5
9．(1)y＝2x＋1300 (2)该超市购进A、B两种品牌饮料，共有4种进货方案，方案1：购进A品牌饮料40箱，B品牌饮料60箱；方案2：购进A品牌饮料41箱，B品牌饮料59箱；方案3：购进A品牌饮料42箱，B品牌饮料58箱；方案4：购进A品牌饮料43箱，B品牌饮料57箱
10．(1)生产A种产品8件，B种产品2件(2)工厂有6种生产方案，方案1：A种产品2件，B种产品8件；方案2:A种产品3件，B种产品7件；方案3：A种产品4件，B种产品6件；方案4：A种产品5件，B种产品5件；方案5:A种产品6件，B种产品4件；方案6：A种产品7件，B种产品3件(3)生产方案1获利最大，最大利润为26万元。